27 marzo 2014 patino u javeriana
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Presentación sobre procesos estocásticos útiles para empezar en la materia.TRANSCRIPT
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Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.
Procesos estocasticos. Conceptos del calculo
estocastico.
Diego A. Patino, M.Sc., Ph.D.
Pontificia Universidad Javeriana
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Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.
1 Motivacion
2 Continuidad
3 Derivadas
4 Integrales
5 Ecuaciones diferenciales
6 Densidad espectral de potencia
7 Ruido Blanco
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Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.
Motivacion
Motivacion
Ya vimos como hallar la media y la correlacion cuando pasapor un sistema LTI Entrada-Salida Generalizacion paraderivadas e integrales.
Calculo estocastico: Continuidad, Derivadas, Integrales,Densidad espectral de potencia... de procesos estocasticos.
Formalizar para ecuaciones diferenciales. Mirar desde el puntode vista de continuidad.
Solucion al espacio de estados si la entrada es estocastica?
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Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.
Continuidad
Continuidad
Recordemos la continuidad para una funcion en calculo clasico:
Una funcion f es continua en un punto a sii:
lm0
f (x + ) = f (x)
De igual forma se puede definir para un proceso estocasticoX (t, ). Existen 4 tipos de continuidad:
Continuidad de una funcion muestra:
lm0
X (t + , ) = X (t, )
Continuidad almost-sure:
P
[lmst
X (s, ) 6= X (t, )]= 0
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Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.
Continuidad
Continuidad
Continuidad en probabilidad:
lmst
P [|X (s) X (t)| > ] = 0
Continuidad en sentido medio cuadratico:
lm0
E [|X (t + ) X (t)|2] = 0
Si esto se cumple t, el proceso es continuo en sentido mediocuadratico (mc).
Si X (t) es mc, entonces RX (t1, t2) es continua en el puntot1 = t2 = t. Si X (t) es WSS y mc entonces RX () es continuo en
= 0. PROBAR!
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Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.
Derivadas
Derivadas
Para que una funcion sea derivable debe ser continua!!
Entonces es una condicion necesaria tambien para un procesoestocastico.
Las derivadas de una funcion deterministica f (x) en a se definencomo:
df (x)
dx
x=a
= lmx0
f (a +x) f (a)
x
De igual manera se define la derivada para el proceso estocasticoX (t):
X(t) = lm
0
X (t + ) X (t)
Y existe en sentido medio cuadratico en t si:
lm0
E
[(X (t + ) X (t)
X (t)
)2]= 0
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Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.
Derivadas
Derivadas
Se puede probar por la desigualdad de Cauchy que un procesoaleatorio con funcion de autocorrelacion RX (t1, t2) tiene una
derivada mc en t sii 2RX (t1,t2)t1t2
existe en t1 = t2 = t.
Ejemplo: Considere un proceso estocastico X (t) con funcion demedia X = 5 y funcion de correlacion:
R(t1, t2) = 2e(t1t2)2 + 25
Determine si es derivable en sentido m.c.
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Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.
Derivadas
Derivadas
Si un proceso estocastico X (t) con funcion de media mX (t) yfuncion de correlacion RX (t1, t2), ademas tiene una derivada ensentido m.c., entonces la media y la correlacion de X (t) estandadas por:
mX (t) =dmX (t)
dt
y
RX (t1, t2) =2RX (t1, t2)
t1t2
Ejemplo: Calcule la funcion de media y la correlacion de X delejemplo anterior.
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Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.
Derivadas
Derivadas
Ejemplo: Calcule la derivada de un proceso estocastico WSS.Apliquelo al proceso X (t) con media cero y RX () =
2e22 .
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Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.
Integrales
Integrales
Las integrales en sentido m.c. de X (t) sobre un intervalo(T1,T2) existen si:
lmn
E
T2
T1
X (t)dt n
i=1
X (ti)ti
2 = 0
Se puede probar utilizando el criterio de convergencia deCauchy que la media de la integral en sentido m.c. es:
E
[ T2T1
X (t)dt
]=
T2T1
E [X (t)]dt
Ejemplo: Hallar la correlacion y la covarianza de la integral.
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Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.
Integrales
Integrales
Sea I = T2T1
X (t)dt, entonces:
RI =
T2T1
T2T1
RX (t1, t2)dt1dt2
y
CI =
T2T1
T2T1
CX (t1, t2)dt1dt2
Ejemplo: Sea un proceso estocastico X (t) con media cero ymatriz de covarianza CX () =
2(). Encuentre la media y lacovarianza en sentido m.c. de la integral de X (t).
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Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
Ya vimos como trabajar las derivadas e integrales estocasticas.
Considerese la ecuacion diferencial a coeficientes constantes:
anY(n)(t) + an1Y
(n1)(t) + . . .+ a0Y (t) = X (t)
con condiciones iniciales en Y (0), Y (1)(0), . . ., Y (n1)(0)
Como se soluciona esta ecuacion diferencial?
R Sistema lneal Resolver el sentido mc
Se define una solucion de la ecuacion en sentido mc si se
soluciona para la funcion de media y la correlacion.
Se debe encontrar solucion para la media y la correlacion
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Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
Ya vimos que:
E [Y (i)(t)] =d iE [Y (t)]
dt i
entonces mY (t) debe verificar:
anm(n)Y (t) + an1m
(n1)Y (t) + . . .+ a0mY (t) = mX (t)
con m(i)Y (0) = E [Y
(i)(0)]. RXY debe satisfacer:
an(n)RXY (t1, t2)
tn2+ . . . + a0
(0)RXY (t1, t2)
t02= RX (t1, t2)
con condiciones iniciales (i)RXY (t1, 0)/ti2. Finalmente RY debe
resolver:
an(n)RY (t1, t2)
tn1+ . . . + a0
(0)RY (t1, t2)
t01= RXY (t1, t2)
con condiciones iniciales (i)RY (0, t2)/ti1 13
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Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
Se puede probar tambien que la covarianza debe cumplir lasmismas ecuaciones:
an(n)CXY (t1, t2)
tn2+ . . .+ a0
(0)CXY (t1, t2)
t02= CX (t1, t2)
con condiciones iniciales (i)CXY (t1, 0)/ti2. Finalmente CY debe
resolver:
an(n)CY (t1, t2)
tn1+ . . .+ a0
(0)CY (t1, t2)
t01= CXY (t1, t2)
con condiciones iniciales (i)CY (0, t2)/ti1.
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Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
Ejemplo: Sea X (t) un proceso estocastico estacionario con mediamX y funcion de covarianza CX () =
2(). Calcule la solucionen sentido mc de:
dY (t)
dt+ Y (t) = X (t), t 0
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Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.
Densidad espectral de potencia
Densidad espectral de potencia
Para una senal deterministica x(t), la potencia promedio es:
lmT
1
2T
TT|x(t)|2dt
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Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.
Densidad espectral de potencia
Densidad espectral de potencia
Para un proceso WSS:
PX = E [X2(t)] = RX (0) =
SX (f )df
Hay tres maneras de expresar la potencia en un proceso WSS.
Ejemplo: Para un proceso WSS X (t), encuentre la potenciaen la banda de frecuencia W1 |f | W2. Muestre ademasque SX (f ) 0, f .
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Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.
Ruido Blanco
Ruido Blanco
Es uno de los procesos WSS mas importantes es el ruidoblanco gaussiano.
Se caracterza por afectar todas las frecuencias. Entonces:
RX () =N0
2() SX (f ) =
N0
2
Ejemplo: Considere un filtro RC . Suponga que la fuente de voltajees un generador de ruido blanco X (t). Si la salida del filtro es elvoltaje del condensador, encuentre la densidad espectral depotencia SY (f ) y su correspondiente funcion de correlacion RY ().
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Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.
Ruido Blanco
Ruido Blanco
Ejemplo: Un receptor de comunicaciones emplea un filtropasa-bandas para reducir el ruido blanco generado en elamplificador. Encuentre la potencia de salida esperada a la salida.
Ejemplo: Un ruido blanco se aplica a un filtro pasa-bajos confuncion de transferencia H(f ) = e2|f |. Encuentre la potenciadel ruido a la salida del filtro.
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Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.
Ruido Blanco
Ruido Blanco Gaussiano
Un proceso estocastico X (t) es Gaussiano si las muestrasX (t1),X (t2),X (t3), . . . . son variables aleatorias Gaussianas paratodo t. Entonces
fX (x) N(m,C )
donde m = [m(t1),m(t2), . . .]T y
C =
CX (t1, t1) CX (t1, t2) . . .CX (t1, tk)...
......
CX (tk , t1) CX (tk , t2) . . .CX (tk , tk)
Un proceso X (t) es un ruido balnco Gaussiano si t, lasvariables aleatorias son Gaussianas, independientes.
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Procesos estocasticos. Conceptos del calculo estocastico.
Ruido Blanco
Ruido Blanco Gaussiano
Esto quiere decir que CX (ti , tj ) = 0, ti 6= tj y CX (tj , tj ) = 2,
entonces CX (ti , tj ) = 2(ti tj)
Proximos temas: Solucion al espacio de estados con entradas
estocasticas, Filtro Adaptado, Filtro Wiener, Cadenas de
Markov.
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MotivacinContinuidadDerivadasIntegralesEcuaciones diferencialesDensidad espectral de potenciaRuido Blanco