28 haziran 2008 ogretmen secme sinavi matematik sorulari ve cozumleri
TRANSCRIPT
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 1/64
28 Haziran 2008
Fen Liseleri, Sosyal Bilimler Liseleri, Spor Liseleri, Anadolu Liseleri
ĂÄretmenlerinin Seçme Sınavı
Matematik Soruları ve ĂözĂŒmleri
56. [ p ⧠(q â (qâ ⧠s)) ] ⧠sâ ⥠1 olduÄuna göre,
aĆaÄıdaki önermelerden hangisinin doÄruluk deÄeri 0 dır?
A) p â q B) q â s C) s â p D) qâ â p
ĂözĂŒm 56
[ p ⧠(q â (qâ ⧠s)) ] ⧠sâ ⥠1 (1 ⧠1 ⥠1)
[ p ⧠(q â (qâ ⧠s)) ] ⥠1 ve sââĄ1 olur. sâ ⥠1 olduÄundan, s ⥠0 olur.
p ⧠(q â (qâ ⧠s)) ⥠1 olacaÄından, p ⥠1 ve (q â (qâ ⧠s)) ⥠1 (1 ⧠1 ⥠1)
(q â (qâ ⧠s)) ⥠1 olması için, q ⥠1 olamaz. (1 â 0 ⥠0 ) q ⥠0 olur.
veya
(q â (qâ ⧠s)) ⥠1 olması için, (1 â 1 ⥠1 , 0 â 1 ⥠1 , 0 â 0 ⥠1)
s ⥠0 olduÄuna göre, (qâ ⧠s) ⥠(qâ ⧠0) ⥠0 olur. (1 ⧠0 ⥠0 , 0 ⧠0 ⥠0)
(q â (qâ ⧠s)) ⥠q â 0 ⥠1 olması için, q ⥠0 olur. (0 â 0 ⥠1)
Bu deÄerler seçeneklerde yerine yazılırsa, (p â q) ⥠(1 â 0) ⥠0 olur.
Not :
p q p Î q p V q p â q
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
0 1 0 1 1
0 0 0 0 1
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 2/64
57. A ve B iki kĂŒme olmak ĂŒzere,
[ A âȘ (Aâ â© B) ]â âȘ B kĂŒmesi aĆaÄıdakilerden hangisine eĆittir?
A) Aâ âȘ B B) Aâ â© B C) A â© Bâ D) A âȘ Bâ
ĂözĂŒm 57
I. Yol
[ A âȘ (Aâ â© B) ]â âȘ B = [ (A âȘ Aâ) â© (A âȘ B) ]â âȘ B
= [ E â© (A âȘ B) ]â âȘ B
= (A âȘ B)â âȘ B
= (Aâ â© Bâ) âȘ B
= (Aâ âȘ B) â© (Bâ âȘ B)
= (Aâ âȘ B) â© E
= Aâ âȘ B olur.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 3/64
II. Yol
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 4/64
58. a , b â R olmak ĂŒzere,
f : R â R ve g : R â R fonksiyonları sırasıyla
a x x f += 5)( ve 4)( += bx x g seklinde tanımlanmaktadır.
fog fonksiyonu birim fonksiyon ise ab â kaçtır?
A)5
17 B)
9
121 C)
5
101 D)
2
91
ĂözĂŒm 58
a x x f += 5)(
4)( += bx x g
fog fonksiyonu birim fonksiyon olduÄuna göre, x x fog =))(( olur.
))(())(( x g f x fog =
= )4( +bx f
= abx ++ )4.(5
xabx =++ )4.(5 â xabx =++ 205 â 15 =b â 51=b
â 020 =+ a â a = â 20
Buna göre
ab â =5
1 â (â 20) =
5
1 + 20 =
5
101 elde edilir.
Not : Birim Fonksiyon
A dan A ya bir fonksiyon, her elemanı kendisine eĆliyorsa,
bu fonksiyona birim fonksiyon denir. Birim fonksiyon genel olarak I ile gösterilir.
Buna göre, I : A â A
x x f =)( birim fonksiyondur.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 5/64
59. g(x) =
<â€â
<â€â
ise x x
ise x x
13
1,
23
13
10,
3
15
Ćeklinde tanımlanan g parçalı fonksiyonuna göre, g(g(5
3)) kaçtır?
A)3
1 B)
3
2 C) 1 D)
3
4
ĂözĂŒm 59
g(5
3) = ? â 1
5
3
3
1<†olduÄundan,
g(5
3) =
23
1
5
3â
=2
15
59 â
=15
2
g(g(5
3)) = g(
15
2) = ? â
3
1
15
20 <†olduÄundan,
g(15
2) = 5.
15
2 â
3
1 =
3
1 bulunur.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 6/64
60. )( x f =3
6ÂČ
+
â+
x
x x
Ćeklinde verilen f fonksiyonunun en geniĆ tanım kĂŒmesi aĆaÄıdakilerden hangisidir?
A) [â 3 , â) \ {2} B) (â 3 , â) C) (â â , 2] \ {â 3} D) [2 , â)
ĂözĂŒm 60
f(x) =3
6ÂČ
+
â+
x
x x =
3
)2).(3(
+
â+
x
x x = 2â x
x â 2 â„ 0 â â„ 2 olmalıdır.
Buna göre f fonksiyonunun en geniĆ tanım kĂŒmesi = [2 , â) olur.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 7/64
61. ABC , BCA , CAB biçimindeki ĂŒĂ§ basamaklı ĂŒĂ§ doÄal sayının toplamı 1887 dir.
A > B > C olduÄuna göre, B kaç farklı deÄer alır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5
ĂözĂŒm 61
ABC + BCA + CAB = 1887
100A + 10B + C + 100B + 10C + A + 100C + 10A + B = 1887
111A + 111B + 111C = 1887
111.(A + B + C) = 1887
A + B + C = 17 olur.
A > B > C olduÄuna göre,
A = 9 alınırsa, 9 + B + C = 17 â B + C = 8 â B = 7 ve C = 1 (A > B > C)
â B + C = 8 â B = 6 ve C = 2
â B + C = 8 â B = 5 ve C = 3
A = 8 alınırsa, 8 + B + C = 17 â B + C = 9 â B = 7 ve C = 2 (A > B > C)
â B + C = 9 â B = 6 ve C = 3
â B + C = 9 â B = 5 ve C = 4
A = 7 alınırsa, 7 + B + C = 17 â B + C = 10 â B = 6 ve C = 4 (A > B > C)
Bu durumda, B rakamı = {7 , 6 , 5} olmak ĂŒzere ĂŒĂ§ farklı deÄer alabilir.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 8/64
62. a , b ve c birbirinden farklı doÄal sayılar olmak ĂŒzere,
2a.15 b sayısı ile 10c sayısının O.B.E.B.âi 2a.5c sayısıdır.
Buna göre, aĆaÄıdakilerden hangisi doÄrudur?
A) a < b < c B) c < b < a C) a < c < b D) b < c < a
ĂözĂŒm 62
A = 2a.15 b = 2a.3 b.5 b OBEB(A , B) = 2a.5c olduÄuna göre, .
B = 10c = 2c.5c
A ve B sayılarının OBEB i bulunurken,
ortak çarpanlardan ĂŒssĂŒ kĂŒĂ§ĂŒk olanların alınması gerekir.
O halde
a < c ve c < b â a < c < b elde edilir.
Not : Ortak Bölenlerin En BĂŒyĂŒÄĂŒ (OBEB)
En az biri sıfırdan farklı iki ya da daha fazla tam sayının ortak bölenlerinin en bĂŒyĂŒÄĂŒne
bu sayıların ortak bölenlerinin en bĂŒyĂŒÄĂŒ denir ve OBEB biçiminde gösterilir.
OBEB bulunurken, verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır.
Ortak olan asal çarpanlardan bĂŒyĂŒk olmayan ĂŒslĂŒlerin çarpımı bu sayıların OBEB ini verir.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 9/64
63. x ve y birer tam sayı ve xÂČ â y = 13 = yÂČ + x olduÄuna göre,
xâin alabileceÄi deÄerler toplamı kaçtır?
A) â1 B) 0 C) 1 D) 3
ĂözĂŒm 63
xÂČ â y = 13 = yÂČ + x â xÂČ â y = yÂČ + x
â xÂČ â yÂČ = x + y
â (x + y).(x â y) = x + y
â x â y = 1
â y = x â 1 olur.
xÂČ â y = 13 = yÂČ + x olduÄundan,
y = x â 1 deÄeri, xÂČ â y = 13 de yerine yazılırsa,
xÂČ â y = xÂČ â (x â 1)
= xÂČ â x + 1 = 13 â xÂČ â x â 12 = 0 denklemi elde edilir.
Bu denklemde kökler toplamı,1
)1(ââ = 1 bulunur.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 10/64
64.1ÂČ4
ÂČ4.
1ÂČ3
ÂČ3.
1ÂČ2
ÂČ2
ââââŠâŠâŠ.
1ÂČ49
ÂČ49
â = AÂČ ise A kaçtır?
A) 15
37 B) 5
34 C) 6
7 D) 5
7
ĂözĂŒm 64
1ÂČ4
ÂČ4.
1ÂČ3
ÂČ3.
1ÂČ2
ÂČ2
ââââŠâŠâŠ.
1ÂČ49
ÂČ49
â = AÂČ
)14).(14(
4.4.
)13).(13(
3.3.
)12).(12(
2.2
+â+â+ââŠâŠâŠ.
)149).(149(
49.49
+â = AÂČ
5.3
4.4.
4.2
3.3.
3.1
2.2âŠâŠâŠ.
50.48
49.49 = AÂČ
)50........5.4.3).(48........3.2.1(
)49........4.3.2).(49.........4.3.2( = AÂČ
50
2.49 = AÂČ
2549 = AÂČ â A = 57 bulunur.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 11/64
65. Ćekilde â Ï â€ x â€ Ï aralıÄında çizilmiĆ olan grafik
aĆaÄıdaki fonksiyonlardan hangisine ait olabilir?
A) x x f 2sin.3)( = B) x x g 2cos.3)( = C) x xh 3cos.2)( = D) x xt 3sin.2)( =
ĂözĂŒm 65
Fonksiyonun 3 katı alınmıĆtır. )(.3 x f y = Ćeklindedir.
Periyodu = Ï ve (0 , 0) noktasından geçen fonksiyon : x x f 2sin)( = olabilir.
[( axsin âin periyodu : T =
a
Ï 2) â ( x2sin âin periyodu : T =
2
2Ï = Ï)]
O halde, x y 2sin.3= olabilir.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 12/64
66. cos4x + 2sinx.cosx = 0 denkleminin [0 , Ï] aralıÄında kaç çözĂŒmĂŒ vardır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
ĂözĂŒm 66
cos4x + 2sinx.cosx = 0
cos4x = 1 â 2.sinÂČ2x ve 2.sinx.cosx = sin2x olduÄundan,
cos4x + 2sinx.cosx = 0 â 1 â 2.sinÂČ2x + sin2x = 0
â 2.sinÂČ2x â sin2x â 1 = 0
sin2x = a olsun.
2.aÂČ â a â 1 = 0 â (2a + 1).(a â 1) = 0
â a =2
1â ve a = 1 bulunur.
sin2x = a =2
1â â
2
1â = sin2x = sin210 â 2x = 210 â x = 105
â 2
1â
= sin2x = sin330 â 2x = 330 â x = 165
sin2x = a = 1 â 1 = sin2x = sin90 â 2x = 90 â x = 45
Dolayısıyla ĂŒĂ§ tane çözĂŒmĂŒ vardır.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 13/64
Not :
Ćekildeki dört bölgeden herhangi birindeki açınınkosinĂŒs ve sinĂŒsĂŒnĂŒn iĆareti, o bölgedeki bir
noktanın apsis ve ordinatının iĆareti ile aynıdır.
Tanjant ve kotanjantın iĆareti ise sinĂŒs ve
kosinĂŒsĂŒn iĆaretleri oranıdır.
0 < x <2
Ï , I. bölgede, hepsi (+)
2
Ï < x < Ï , II. bölgede, sin (+) , diÄerleri (-)
Ï < x <2
3Ï , III. bölgede, sin (-) , cos (-) , tan (+) , cot (+)
23Ï < x < 2Ï , IV. bölgede, cos (+) , diÄerleri (-)
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 14/64
67. tan (arc cos13
5 + arc sin
5
3) ifadesinin deÄeri nedir?
A) 16
9â
B) 16
63â
C) 56
9
D) 56
63
ĂözĂŒm 67
arc cos13
5 = x ve arc sin
5
3 = y olsun.
tan (arc cos13
5 + arc sin
5
3) = tan(x + y) = ?
arc cos135 = x â cos (arc cos
135 ) = cosx â cosx =
135
arc sin5
3 = y â sin (arc sin
5
3) = siny â siny =
5
3
cosx =13
5 â tanx =
5
12
siny = 5
3
â tany = 4
3
tan (arc cos13
5 + arc sin
5
3) = tan(x + y)
= y x
y x
tan.tan1
tantan
â
+
=
4
3.
5
121
4
3
5
12
â
+ =
5
420
63
â =
16
63â elde edilir.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 15/64
68. Kutupsal koordinatları (6 ,3
2Ï ) olan karmaĆık sayı aĆaÄıdakilerden hangisidir?
A) â 3 3 â 3 i B) 3 â 3 3 i C) 3 + 3 3 i D) â 3 + 3 3 i
ĂözĂŒm 68
r = 6 ve Ξ =3
2Ï â Z = 6.(cos
3
2Ï + i.sin
3
2Ï )
â Z = 6.(â 2
1 + i.
2
3)
â Z = â 3 + i .3 3
â Z = â 3 + 3 3 i elde edilir.
Not :
Z = r.(cosΞ + i.sinΞ) yazılıĆına karmaĆık sayının kutupsal (trigonometrik) biçimi denir.
(r , Ξ) ikilisine Z karmaĆık sayısının kutupsal koordinatları denir.
r.(cosΞ + i.sinΞ) = r.cisΞ gösterimi kullanılır.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 16/64
69. Kendisi hariç bĂŒtĂŒn pozitif bölenlerinin toplamı,
kendisinden kĂŒĂ§ĂŒk olan sayılara eksik sayı denir.
Buna göre, aĆaÄıdakilerden hangisi eksik sayı deÄildir?
A) 2ânin kuvveti olan bir sayı
B) 3âĂŒn kuvveti olan bir sayı
C) 10âun kuvveti olan bir sayı
D) Bir asal sayı
ĂözĂŒm 69
I. Yol
10âun kuvveti olan bir sayı olarak, 100 sayısını alalım.
Kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamını yazacak olursak,
1 + 2 + 5 + 10 + 20 + 25 + 50 = 113 olur.
(113 > 100 olduÄundan tanıma göre 100 sayısı eksik sayı deÄildir.)
DiÄer seçeneklerdeki sayılar yapılan tanıma göre eksik sayılardır.
Not : a , b , c birbirinden farklı asal sayılar olmak ĂŒzere, A = am.bn.c p ise,
A nın pozitif bölenlerinin toplamı = (1+a+aÂČ+âŠ+am).(1+b+bÂČ+âŠ+bn).(1+c+cÂČ+âŠ+c p)
(1 + a + aÂČ + ⊠+ am) =1
11
â
â+
a
a m
(1 + b + bÂČ + ⊠+ bn
) = 1
11
â
â+
b
b n
(1 + c + cÂČ + ⊠+ c p) =1
11
â
â+
c
c p
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 17/64
II. Yol
A) 2ânin kuvveti olan bir sayı, A = 2m olsun.
A nın pozitif bölenlerinin toplamı = (1 + 2 + 2ÂČ + ⊠+ 2m
)
Kendisi hariç (A = 2m) pozitif bölenlerinin toplamı = (1 + 2 + 2ÂČ + ⊠+ 2m-1)
(1 + 2 + 2ÂČ + ⊠+ 2m-1) < 2m â 12
12
â
âm
< 2m â 2m â 1 < 2m bulunur.
Bu durumda, A = 2m eksik sayıdır.
B) 3âĂŒn kuvveti olan bir sayı, B = 3n olsun.
B nin pozitif bölenlerinin toplamı = (1 + 3 + 3ÂČ + ⊠+ 3n)
Kendisi hariç (B = 3n) pozitif bölenlerinin toplamı = (1 + 3 + 3ÂČ + ⊠+ 3n-1)
(1 + 3 + 3ÂČ + ⊠+ 3n-1) < 3n â 13
13
â
ân
< 3n â 3n â 1 < 2.3n bulunur.
Bu durumda, B = 3n eksik sayıdır.
C) 10âun kuvveti olan bir sayı, C = 10 p olsun. (C = 10 p = (2.5) p = 2 p.5 p)
C nin pozitif bölenlerinin toplamı = (1 + 2 + 2ÂČ + ⊠+ 2 p).(1 + 5 + 5ÂČ + ⊠+ 5 p)
Kendisi hariç (C = 10 p = (2.5) p = 2 p.5 p) pozitif bölenlerinin toplamı
= [(1 + 2 + 2ÂČ + ⊠+ 2 p).(1 + 5 + 5ÂČ + ⊠+ 5 p)] â [2 p.5 p] < 2 p.5 p
=
â
â
â
â ++
)
15
15).(
12
12(
11 p p
< 2.2 p.5 p
= (2 p+1 â 1).(5 p+1 â 1) < 4.2.2 p.5 p
= (2 p+1 â 1).(5 p+1 â 1) < 2 p+3.5 p
= (2 p+1 â 1) < 2 p+3 ve (5 p+1 â 1) < 5 p
(5 p+1 â 1) < 5 p olamayacaÄı için (p > 0) , eksik sayı deÄildir.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 18/64
D) Bir asal sayı, d olsun.
d = 1.d â Kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı = 1 â 1 < d bulunur.
Bu durumda, d asal sayısı eksik sayıdır.
70. a, b ve h â Z+ olmak ĂŒzere,
x eksenini (h , 0) noktasında kesen y = log b x ve y = log a x fonksiyonlarının grafikleri
Ćekilde verilmiĆtir.
GrafiÄe göre, aĆaÄıdakilerden hangisi yanlıĆtır?
A) h = 1 B) log b 3 < log a 3 C) log b 21 > log a
21 D) b < a
ĂözĂŒm 70
A)
y = log b x â by = x
(h , 0) â 0 = log b h â b° = h â h = 1
y = log a x â ay = x
(h , 0) â 0 = log a h â a° = h â h = 1
O halde (h , 0) = (1 , 0) olur.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 19/64
B)
log b 3 < log a 3 â ab log
3log
log
3log<
â ab log
1
log
1<
â log a < log b
â a < b
C)
log b 2
1 > log a
2
1 â
ab log21log
log21log
<
â ab log
1
log
1<
â log a < log b
â a < b
D)
y = 1 doÄrusu için,
y = log b x (by = x) â x = b
y = log a x (ay = x) â x = a
a < b olduÄu görĂŒlĂŒr.
Not : ax = b â x = log a b
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 20/64
71. P(x) = x4 polinomu xÂČ â 4 ile bölĂŒndĂŒÄĂŒnde,
bölĂŒm B(x) = ax ÂČ + bx + c ve kalan K(x) = (e + d)x + 2(d â e) olduÄuna göre,
a + b + c + d + e ifadesinin deÄeri kaçtır?
A) 13 B) 8 C) 5 D) 0
ĂözĂŒm 71
P(x) = (xÂČ â 4).B(x) + K(x) olduÄuna göre,
x4 = (xÂČ â 4).(axÂČ + bx + c) + ((e + d)x + 2(d â e))
x4 = [(axÂČ.xÂČ + bx.xÂČ + c.xÂČ) â 4.axÂČ - 4.bx â 4.c] + (e.x + d.x + 2d â 2e))
x4 = [a.x4 + b.xÂł + c.xÂČ â 4a.xÂČ â 4b.x â 4c + e.x + d.x + 2d â 2e]
x4 = [a.x4 + b.xÂł + (c â 4a).xÂČ + (e + d â 4b).x + (2d â 2e â 4c)]
a = 1
b = 0
(c â 4a) = 0 â c = 4
(e + d â 4b) = 0 â e + d = 0 â e = â d
(2d â 2e â 4c) = 0 â d â e â 8 = 0 â d â e = 8 â d â (â d) = 8 â d = 4
â e = â 4
a + b + c + d + e = 1 + 0 + 4 + 4 + (â 4) = 5 elde edilir.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 21/64
72. ĂĂ§ĂŒncĂŒ dereceden bir reel katsayılı P(x) polinomunun çarpanlarından biri (x â 3) tĂŒr.
P(x) polinomunun (xÂČ â 17).(x â 2) ile bölĂŒnmesinden elde edilen kalan 48 ise
P(x) polinomunun baĆ katsayısı kaçtır?
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8
ĂözĂŒm 72
Polinomların bölme kuralına göre, x â 3 = 0 â x = 3 için P(3) = 0 olur.
Polinom ĂŒĂ§ĂŒncĂŒ dereceden olduÄundan,
aynı dereceden baĆka polinoma bölĂŒnmesi sonucu, kalan 48 olduÄuna göre,
bölen sabit bir sayı = A olsun.
P(x) = [(xÂČ â 17).(x â 2)].A + 48 â P(3) = [(3ÂČ â 17).(3 â 2)].A + 48 = 0
â (â 8).A + 48 = 0
â A = 6
P(x) = [(xÂČ â 17).(x â 2)].6 + 48
= 6.xÂł â 12.xÂČ â 102.x + 252
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 22/64
73. i sayısı, ÂČi = â 1 Ćartını saÄlayan kompleks sayı ve x
x1
+ = 3 i olduÄuna göre,
Âł
1Âł
x
x + aĆaÄıdakilerden hangisine eĆittir?
A) â 6 3 i B) â 3 3 i C) 3 i D) 3 3 i
ĂözĂŒm 73
I. Yol
x x
1+ = 3 i â ( x
1+ )Âł = ( 3 i)Âł
â Âł
1
ÂČ
1..3
1ÂČ..3Âł x
x x x +++ = Âł.33 i
â Âł
1
ÂČ
1..3
1ÂČ..3Âł x
x x x +++ = â 3 3 i
â Âł
1)
1.(3Âł
x x x x +++ = â 3 3 i
â Âł
1Âł x + + 3.( 3 i) = â 3 3 i
â Âł
1Âł
x x + = â 6 3 i
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 23/64
II. Yol
+
Âł
1Âł
x x =
+
x x
1.
+â
ÂČ
11ÂČ
x x
=
+
x x
1.
â+ 1
ÂČ
1ÂČ
x x
=
â
â+
+ 1
1..2)ÂČ
1(.
1
x x
x x
x x
=
â
+
+ 3
1.
12
x x
x x
x x
1+ = 3 i olduÄuna göre,
+
Âł
1Âł
x x = ( 3 i).(( 3 i)ÂČ â 3)
= ( 3 i).( 3.iÂČ â 3)
= 3 i.(â 6)
= â 6 3 i bulunur.
Not :
(a + b)Âł = aÂł + 3aÂČb + 3abÂČ + bÂł
aÂł + bÂł = (a + b).(aÂČ â a.b + bÂČ)
(a + b)ÂČ = aÂČ + 2ab + bÂČ â aÂČ + bÂČ = (a + b)ÂČ â 2ab
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 24/64
74. Ξ 4cos.2=r denkleminin grafiÄi aĆaÄıdakilerden hangisidir?
A) B) C) D)
ĂözĂŒm 74
I. Yol
Ξ nr cos= denkleminde,
n tek ise â n yapraklıâ , n çift ise â n2 yapraklıâ yonca eÄrileri olacaÄına göre,
Ξ 4cos.2=r denklemi 2 Ă 4 = 8 yapraklı yonca eÄrisi olur.
Not : Ξ nr cos= ve Ξ nr sin= denklemleri,
n tek ise â n yapraklıâ , n çift ise â n2 yapraklıâ yonca eÄrileridir.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 25/64
II. Yol
Ξ 4cos.2=r eÄrisinin grafiÄini çizelim.
I ) Periyod : T =4
2Ï =2Ï olur.
2.cos (4Ξ + Ï) = â 2.cos4Ξ olduÄundan,
incelemeyi,2
T =
4
Ï e eĆit uzunluktaki bir aralıkta yapmak yeterlidir.
4
Ï e eĆit uzunluktaki aralık [
8
Ï â ,
8
Ï ] seçilebilir.
Bunun için inceleme aralıÄı olarak [0 ,8
Ï ] alınabilir ve
eÄriyi pozitif deÄerleri için incelemek yeterli olur.
Bu aralıÄa ait eÄri çizilir ve kutupsal eksene göre simetriÄi alınırsa eÄrinin [8
Ï â ,
8
Ï ]
aralıÄına karĆılık olan kısmı elde edilmiĆ olur.
EÄrinin tamamını elde etmek için
[8Ï â ,
8Ï ] aralıÄı için çizilmiĆ olan kısmını negatif yönde
87
8Ï Ï
Ï =â açısı kadar
döndĂŒrmek ve döndĂŒrmeyi eÄri ĂŒzerinde kapanıncaya kadar devam etmek gerekir.
II ) // )4cos.2( Ξ =r â Ξ 4sin.8/ â=r
â 8.sin 4Ξ = 0 â sin 4Ξ = 0
â 4Ξ = 0 â Ξ = 0
â r = 2.cos 4Ξ = 2.cos 4.0 = 2.cos 0 = 2
â Ξ =4
Ï â Ξ =
4
Ï
â r = 2.cos 4Ξ = 2.cos 44
Ï = 2.cos Ï = â 2
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 26/64
III ) Ξ 4cos.2=r = 0 â cos 4Ξ = 0
â 4Ξ =2
Ï â Ξ =
8
Ï
â 4Ξ =2
3Ï â Ξ =
8
3Ï
IV ) DeÄiĆim tablosu
V )
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 27/64
75. )
3sin(
1cos2lim
3Ï Ï
â
â
â x
x
x
limitinin deÄeri aĆaÄıdakilerden hangisidir?
A) â 3 B) â2
3 C) 0 D)
3
3
ĂözĂŒm 75
)3
sin(
1cos2lim
3Ï Ï
â
â
â x
x
x
=)
33sin(
13
cos2
Ï Ï
Ï
â
â =
)0sin(
12
1.2 â
=0
0 belirsizliÄi vardır.
LâHospital kuralı uygulanırsa,
)3
cos(
sin2lim
3Ï Ï
â
â
â x
x
x
=)
33cos(
3sin.2
Ï Ï
Ï
â
â =
)0cos(2
3.2â
=1
3â = â 3 bulunur.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 28/64
76. (an) = (ÂČ
1ÂČ
n
n +) dizisinin, 1 sayısının
10
1 komĆuluÄu dıĆında kaç terimi vardır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
ĂözĂŒm 76
1 â in10
1 komĆuluÄu dıĆındaki bir terim ile
1 arasındaki farkın10
1 dan bĂŒyĂŒk veya eĆit olması gerekir.
Yani,
an â 1 â„ 10
1
eĆitsizliÄini saÄlayan sayma sayılarının sayısı kadar terim
bu komĆuluÄun dıĆındadır.
an - 1 â„ 10
1 â
10
11
ÂČ
1ÂČâ„â
+
n
n
â 10
11
ÂČ
11 â„â+
n
â 101
ÂČ1 â„n
â 0 < ÂČn †10 â n = 1 , 2 , 3 olur.
O halde, 3 terim dıĆarıdadır.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 29/64
77. Bir aÄacın dikildikten t yıl sonraki boyu )(t f = 9+t (metre) fonksiyonu ile veriliyor.
Bu aÄacın boyunun deÄiĆim hızı ilk defa kaçıncı yılda 0,1 m / yılâın altına dĂŒĆer?
A) 18 B) 17 C) 15 D) 14
ĂözĂŒm 77
f fonksiyonunun tĂŒrevi, aÄacın boyunun deÄiĆim hızını vereceÄinden,
)(/ t f = /)9( +t â )(/ t f =92
1
+t
92
1
+t
< 0,1 â
92
1
+t
<
10
1
â 10 < 2 9+t
â 5 < 9+t
â 5ÂČ < t + 9
â 25 â 9 < t
â t > 16 (ilk defa 17)
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 30/64
78.
Yukarıda verilen grafiklerden hangileri (a , b) aralıÄında
tĂŒrevlenebilir bir fonksiyona ait deÄildir?
A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) II ve III
ĂözĂŒm 78
I ) Fonksiyon sĂŒrekli olmadıÄından, tĂŒrevlide deÄildir.
II ) Fonksiyon 0 noktasında sĂŒrekli olduÄu halde bu noktada tĂŒrevli deÄildir.
Grafik de, eÄimler birbirinden farklıdır.
III ) Fonksiyon (a , b) aralıÄında sĂŒrekli ve bu aralıkta fonksiyona teÄet çizilebilir.
Bu teÄetin eÄimi tĂŒreve eĆit olacaÄından, fonksiyon tĂŒrevlenebilir.
79. 015ÂČ =+ââ x xy xy
baÄıntısı ile verilen fonksiyonun tĂŒrevi aĆaÄıdakilerden hangisidir?
A) x y x
y y
â
++â
..2
5ÂČ B)
x y x
y x y x
â
ââ
ÂČ.
5.ÂČ. C)
x y x
y y
â
ââ
..2
5ÂČ D)
y y x
x y x
â
â
ÂČ.
..2
ĂözĂŒm 79
Kapalı fonksiyonun tĂŒrevini alalım.
/ y ='
'
y
x
f
f â â / y =
x y x
y y
â
âââ
..2
)5ÂČ( =
x y x
y y
â
++â
..2
5ÂČ
olur.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 31/64
80. 2arctan
)1()( x
x x f â= ise )2(/ f nin deÄeri aĆaÄıdakilerden hangisidir?
A)4
Ï B)
2
1 C) 2 D) Ï
ĂözĂŒm 80
2arctan
)1( x
x y â= yazalım ve her iki yanın logaritmasını alalım.
2arctan
)1ln(ln x
x y â=
)1ln().2(arctanln â= x
x
y her iki tarafın tĂŒrevini alalım.
)2
.(arctan))1(ln()1ln(.)2
(arctan)(ln /// x x x
x y â+â=
y
y' =
+ )ÂČ2
(1
)'2
(
x
x
. )1ln( â x +1
)'1(
â
â x. )
2(arctan
x
y
y' =
+4
ÂČ1
2
1
x. )1ln( â x +
1
1
â x. )
2(arctan
x
y
y' = (
ÂČ4
2
x+). )1ln( â x +
1
1
â x. )
2(arctan
x
â+â
+
â=
2arctan.
1
1)1ln(.
ÂČ4
2.)1( 2
arctan/ x
x x
x x y
x
)2(/ f =
â+â
+
â
2
2arctan.
12
1)12ln(.
ÂČ24
2.)12( 2
2arctan
= 1.
+
40
Ï
= 4
Ï
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 32/64
81. ÂČ1 t x â= ve Âłt y = parametrik denklemleri verildiÄine göre,
ÂČ
ÂČ
dx
yd aĆaÄıdakilerden hangisidir?
A)2
3t â B)
t
3 C)
2
3â D)
t 4
3
ĂözĂŒm 81
ÂČ
ÂČ
dx
yd = )(
dx
dy
dx
d
/ y =
dt
dxdt
dy
dxdy = = /
/
t
t
x y = /
/
ÂČ)1( Âł)(t
t â
=t
t 2ÂČ3â = 23
t â
ÂČ
ÂČ
dx
yd = )(
dx
dy
dx
d =
dx
dy /
=
dt
dxdt
dy /
=/
/
ÂČ)1(
2
3
t
t
â
â
=t 2
2
3
â
â
=t 4
3 elde edilir.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 33/64
82.
Verilen grafik bir bisikletin hareketine ait hız-zaman grafiÄidir.
AĆaÄıdakilerden hangisi bu bisikletin ilk 30 saniyede aldıÄı yolun en yakın tahminidir?
A) 550 m B) 1050 m C) 1550 m D) 2050 m
ĂözĂŒm 82
Alan A =2
5.20 = 50
Alan B = 2
)515).(2040( ââ
= 100
Alan C =2
)1530).(4050( ââ = 75
1 dikdörtgenin alanı = 5.10 = 50
Alınan yolun tamamı = 16.50 + 50 + 100 + 75 = 1025 m (tahmini)
EÄrinin altındaki alan hareketlinin aldıÄı yolu ifade eder. (x = v.t)
Hareketlinin A , B , C bölgelerinde aldıÄı yolu hesaplarken,
hareketlinin hızını, dĂŒzgĂŒn hızlanan olarak hesap ettik.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 34/64
83. dx x
e x
â«â
â5
2
1
1 integrali aĆaÄıdakilerden hangisidir?
A) e(2e â 1) B) eÂČ(2e â 1) C) e(eÂČ â 1) D) 2e(e â 1)ĂözĂŒm 83
dx x
e x
â«â
â5
2
1
1 DeÄiĆken deÄiĆtirerek integral alınırsa,
u x =â1 olsun.
//
)1( u x =â â u xdx
du
2
1
12
1=â=
â duudx 2= olur.
x = 5 için : u = 15 â â u = 2
x = 2 için : u = 12 â â u = 1
dx x
e x
â«â
â5
2
1
1 = duu
u
eu
22
1â«
= dueu
â«2
1
2 = 2.(
2
1
ue ) = 2.(eÂČ â e) = 2e.(e â 1) elde edilir.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 35/64
84. Kimsesiz öÄrenciler adına dĂŒzenlenen bir kermeste elde edilen gelirin deÄiĆim hızı
)(t f = 4000.e 10
t
(YTL / gĂŒn) fonksiyonu ile verilmektedir.
t , kermesin basından itibaren açık olduÄu gĂŒn sayısını gösterdiÄine göre,kermesin ilk 10 gĂŒnĂŒnde elde edilen toplam gelir kaç YTLâdir?
( e sayısını 2,7 alınız.)
A) 6800 B) 10800 C) 68000 D) 108000
ĂözĂŒm 84
Kermeste elde edilen toplam gelir, [0 , 10] aralıÄında
fonksiyonun grafiÄinin ekseni ile sınırladıÄı bölgenin alanı ile ifade edilmektedir.
Buna göre, dt t f â«10
0
)( = dt e
t
â«10
0
10.4000 = 4000. dt e
t
â«10
0
10
ut
=10
olsun.
ut .10= â dudt 10= olur.
t = 0 için : u = 0
t = 10 için : u = 1
4000. dt e
t
â«10
0
10 = 4000. dueu 101
0â« = 4000.10. dueu
â«1
0
= 40000.
1
0
ue
= 40000.(e1 â e0)
e sayısı 2,7 alındıÄına göre,
= 40000.(2,7 â 1) = 40000.(1,7) = 68000 elde edilir.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 36/64
85. dt t t â«2/
0
34 cos.sinÏ
integralinin deÄeri aĆaÄıdakilerden hangisidir?
A) 0 B) 352 C) 71 D) 51
ĂözĂŒm 85
dt t t â«2/
0
34 cos.sinÏ
t t ÂČsin1ÂČcos â= olduÄuna göre,
dt t t t â«2/
0
24 )cos..(cossinÏ
= dt t t t â« â2/
0
4 cos).ÂČsin1.(sinÏ
ut =sin dönĂŒĆĂŒmĂŒ yapılırsa,
//)(sin ut = â t cos =dt
du
â dudt t =cos
t = 0 için : 0sin = 0
t =2
Ï için :
2sin
Ï = 1
dt t t t â« â2/
0
4 cos).ÂČsin1.(sinÏ
= duuuâ« â1
0
4 ÂČ)1.(
= duuu
â« â
1
0
64 )(
= (75
75 uuâ )
1
0
= (7
1
5
1â ) â 0
=35
2 elde edilir.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 37/64
86. x= doÄrusu ve ÂČ x y = parabolĂŒ ile sınırlanan bölge A olduÄuna göre,
dA y A
â«â« ifadesinin deÄeri aĆaÄıdakilerden hangisidir?
A)2
1 B)
6
1 C)
10
1 D)
15
1
ĂözĂŒm 86
x y = doÄrusu ile ÂČ x y = parabolĂŒnĂŒn kesiĆme noktaları,
ÂČ x x = â 0)1.( =â x x
â x = 0 , y = 0 â (0 , 0)
â x = 1 , y = 1 â (1 , 1)
â«â« A
y dA = dxdy y
x
xâ« â«
1
0 ÂČ
= dx y
x
x
â«ÂČ
1
0 2
ÂČ = dx
x xâ«
â
1
0 2
ÂČ)ÂČ(
2
ÂČ = dx x xâ« â
1
0
4 )ÂČ(2
1
=2
1.
â
1
0
5
53
Âł x x =
2
1[ 0)
5
1
3
1( ââ ]
=21 .
152 =
151
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 38/64
Not : S = dA y x f A
â«â« ),( integralini hesaplamak için,
Ănce x i sabit tutup y ye göre, dy y x f â« ),( belirli integrali hesaplanır.
Bu integralin sonucu x e baÄlı olduÄundan bu sonuç in fonksiyonudur.
Bu fonksiyona )( x g diyelim.
dy y x f x g â«= ),()(
Sonra )( x g fonksiyonunun integrali hesaplanarak sonuç bulunur.
S = dA y x f A
â«â« ),( = dx x g â« )( = dxdy y x f â« â«
),(
Not : Ä°ki katlı integralin hesaplanmasında integralleme sırası deÄiĆebilir.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 39/64
87. dxdydz
y x
x
x
â«â«â«+ÂČ
1
1
0
integralinin deÄeri aĆaÄıdakilerden hangisidir?
A) 52â B) 21 C) 85 D) 23
ĂözĂŒm 87
dxdydz
y x
x
x
â«â«â«+ÂČ
1
1
0
= dxdydz
y x
x
x
))((ÂČ
1
1
0â«â«â«+
= dxdy z
y x
x
x
))((ÂČ
1
1
0
+
â«â« )
= dxdy x y x
x
)]))[(((ÂČ
1
1
0
â+â«â«
= dxdy y
x
)(ÂČ
1
1
0â«â«
= dx y
x
)2
ÂČ(
ÂČ
1
1
0â«
= dx x
ââ« 2
1
2
ÂČ)ÂČ(1
0
= dx xâ« â1
0
4 )1(2
1
=
â
1
0
5
52
1 x
x =
ââ
â )00(1
5
1.
2
1 =
â
5
4.
2
1 =
5
2â
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 40/64
88. x y y =â/ diferansiyel denkleminin 1)0( = y koĆulunu saÄlayan çözĂŒmĂŒ
aĆaÄıdakilerden hangisidir?
A) 1.2 ââ= xe y x
B) 1.2 â+= xe y x
C) 1.2 ++= xe y x
D) xe y x
â=2
ĂözĂŒm 88
I. Yol
x y y =â/ lineer diferansiyel denkleminde âsabitin deÄiĆimi yöntemiâ kullanılırsa,
Ănce
0= x alınır ve böylece elde edilen 0
/
=â y y diferansiyel denklemi integre edilirse,
0/ =â y y â y y =/
â y
y' = 1
â â« y
y' = â« 1
â ç x y +=ln
â ç xe y +=
â xç ee y .= ( çe , keyfi sabit olduÄundan çe yerine c yazarsak)
â xec y .= bulunur.
c keyfi sabiti yerine )( xc fonksiyonu alınır ve böylece elde edilen
xe xc y ).(= fonksiyonu
x y y =â/ diferansiyel denkleminde yerine konursa,
( ) ( ) xe xce xc x x =â ).().(/
( ) ( ) xe xc xcee xc x x x =â+ ).()(.)(.)( //
xe xc xcee xc
x x x =â+).()(.).(
/
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 41/64
xe xc x =).(/
xe
x xc =)(/
xe x xc â= .)(/ elde edilir.
xe x xc â= .)(/ integrali alınırsa,
xe x xc â
â«â« = .)(/
= dxe x xâ
â« . kısmi integrasyon uygulandıÄında,
u x = â dudx =
dvdxe x =â â xev ââ=
â« ââ âââ= dxee x xc x x.)(
1.)( cee x xc x x +ââ= ââ
)( xc fonksiyonu, xe xc y ).(= de yerine yazılırsa,
x x x ecee x y )..( 1+ââ= ââ
xec x y .1 1+ââ= bulunur.
1)0( = y olduÄundan, 1 = â 0 â 1 + 01.ec â 1c = 2 olur.
Bu durumda diferansiyel denklemin çözĂŒmĂŒ, 1.2 ââ= xe y x elde edilir.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 42/64
II. Yol
x y y =â/ lineer diferansiyel denkleminde, )( xuu = ve )( xvv = olmak ĂŒzere,
vu.= dönĂŒĆĂŒmĂŒ yapılırsa,
x y y =â/ â xvuvu =â .).( /
â xvuuvvu =â+ .)..( //
â xuvvuu =+â .).( //
u fonksiyonu, 0)( / =â uu olacak Ćekilde belirlenirse,
uu =/ â u
u' = 1
â â« u
u' = â« 1
â ç xu +=ln
â ç xeu +=
â xç eeu .= ( çe , keyfi sabit olduÄundan çe yerine c yazarsak)
â xecu .= ( c keyfi sabit) bulunur.
u nun deÄeri, xuvvuu =+â .).( // denkleminde yerine yazılırsa,
xecvvecec x x x =+â )..()..).(( //
xecvvecec x x x =+â )..()...( /
xecv x =)..(/
xe xc
v â= ..1/
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 43/64
İntegrali alınırsa,
xe xc
v â
â«â« = ..1/
= dxe xc
x
â« â.
1 (kısmi integral uygulanırsa)
s x = â dsdx =
dt dxe x =â â xet â=
[ ]â« ââ âââ= dxee x
cv x x..
1 â [ ]C ee x
cv x x +ââ= ââ..
1
O halde, lineer diferansiyel denklemin çözĂŒmĂŒ,
vu.=
+ââ= ââ )..(
1)..( C ee x
cec y x x x
)..( C ee xe y x x x +ââ= â
xeC x y .1+ââ= bulunur.
1)0( = y olduÄundan, 1 = â 0 â 1 + 0.eC â C = 2 olur.
Bu durumda diferansiyel denklemin çözĂŒmĂŒ, 12 ââ= xe y x elde edilir.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 44/64
Not : Kısmi (parçalı) integrasyon yöntemi
İki fonksiyonun çarpımının integralinin hesaplanmasında genelde,
kısmi integrasyon yöntemi kullanılır.
)( xu ve )( xv tĂŒrevlenebilir fonksiyonlar ise çarpımın tĂŒrevi formĂŒlĂŒne göre,
uvvuvu ..).( /// += yazarız.
Her iki tarafı dx ile çarpıp integrallersek, â« â« â«+= dxuvdxvudxvu /// .).( bulunur.
Belirsiz integralin tanımından, vudxvu .).( / =⫠yazılabilir.
Bunu dikkate alarak, vu. = dxvuâ«/. + â« dxuv /. formĂŒlĂŒnĂŒ elde ederiz.
dx
duu =/ â dudxu =/
dx
dvv =/ â dvdxv =/ olduÄundan,
â« â«+= duvdvuvu. â â«â« â= duvvudvu . elde edilir.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 45/64
89. AĆaÄıdaki ifadelerden hangileri yanlıĆtır?
I- Herhangi iki rasyonel sayının arasında en az bir reel sayı vardır.
II- Rasyonel sayılar kĂŒmesi sayılamazdır.
III- Ä°rrasyonel sayılar kĂŒmesi toplama iĆlemine göre kapalı deÄildir.
IV- Ä°rrasyonel sayılar kĂŒmesi sayılabilirdir.
A) II â III B) I â IV C) III â IV D) II â IV
ĂözĂŒm 89
I ) Herhangi iki rasyonel sayının arasında en az bir reel sayı vardır.
( 53,52 ) â ( 22 ) ile geniĆletirsek â ( 106,104 ) â 65
II ) Rasyonel sayılar kĂŒmesi sayılabilirdir.
Q = { x =b
a ; a , b â Z ve b â 0 ; a ile b aralarında asal }
III ) Ä°rrasyonel sayılar toplam altında kapalı deÄildir.
2 irrasyonel ve 2â
de irrasyoneldir. Fakat , 2 2â
= 0 olduÄunda â0â rasyoneldir.IV ) Ä°rrasyonel sayılar kĂŒmesi sayılamazdır.
2 , Ï , e , âŠ..Her irrasyonel sayı, devirli olmayan sonsuz ondalıklı bir sayıdır.
Sonuç olarak seçeneklerden II â IV yanlıĆtır.
Not :
Rasyonel Sayılar KĂŒmesi : (Q)
Q = { x =b
a ; a , b â Z ve b â 0 ; a ile b aralarında asal } Ćeklinde gösterebiliriz.
Ä°rrasyonel Sayılar KĂŒmesi : (Qâ)
Gerçek (reel) Sayılar KĂŒmesi : (Q âȘ Qâ)
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 46/64
90. Z8 toplamsal grubunda _
3 nın mertebesi kaçtır?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
ĂözĂŒm 90
Toplama iĆleminde (Z8 de) birim eleman 0 olduÄuna göre,
_
3 + _
3 + _
3 + ⊠+ _
3 = n. _
3 = 0 â 8.3 = 0 olduÄundan,
Z8 toplamsal grubunda _
3 nın mertebesi = 8 bulunur.
Not :
Bir G grubunun elemanlarının sayısına G nin mertebesi denir ve G ile gösterilir.
G bir grup, a â G olsun.
ea n = olacak Ćekilde bir en kĂŒĂ§ĂŒk pozitif n doÄal sayısı varsa
bu sayıya a nın derecesi denir ve | a | ile gösterilir.
Böyle bir n sayısı yoksa | a | = â yazılır.
BaĆka bir ifadeyle,
Zm de, birim eleman e olmak ĂŒzere,
bir elemanı için, e x n = ise n sayısına, x in mertebesi denir.
91. AĆaÄıdakilerden hangisi dĂŒzlemde bir doÄru denklemi belirtir?
A) y x
1312
011
â = 0 B) y x
y x
1132
0
â = 0 C)
y x
1030
110
= 0 D) y x
y x
0121
1
â = 0
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 47/64
ĂözĂŒm 91
DoÄru denklemi birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemden oluĆtuÄuna göre,
A)
y
x
13
12
011
â =
+
++
â
ââ
â
â
x
y
x
0
0
1
1
1
1
1
2
1
3
2
1
= 1.(â 1).y + 2.1.0 + 3.1.x â 2.1.y â 1.1.x â 3.(â 1).0
= â y + 3x â 2y â x
= 2x â 3y
2x â 3y = 0 doÄru denklemi belirtir.
B)
y
x
y x
11
32
0
â
=
+
+
+
â
â
â
â
x y x
y
x
y x
320
11
32
0
= x.3.y + 2.1.0 + (â 1).y.x â 2.y.y â x.1.x â (â 1).3.0
= 3xy â xy â 2yÂČ â xÂČ
= 2xy â 2yÂČ â xÂČ
2xy â 2yÂČ â xÂČ = 0 doÄru denklemi belirtmez.
C)
y
x
10
30
110
= 0
1. sĂŒtundaki terimler 0 olduÄuna göre, determinantı = 0 dır.
Dolayısıyla doÄru denklemi belirtmez.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 48/64
D) y x
y x
01 21
1
â =
+
+
+
â
â
â
â
x
y x y
x
y x
21
101
21
1
= x.2.y + 1.0.1 + (â 1).y.x â 1.y.y â x.0.x â (â 1).2.1
= 2xy â xy â yÂČ + 2
= xy â yÂČ + 2
xy â yÂČ + 2 = 0 doÄru denklemi belirtmez.
Not : İçerisinde kareli terim ve x.y âli terim olmayan determinant, doÄru denklemi olacaktır.
Not : Bir determinantın, herhangi bir satırı ya da sĂŒtunundaki elemanların hepsi sıfır ise,
bu determinantın deÄeri sıfırdır.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 49/64
92. AĆaÄıdakilerden hangisi
26
11 matrisinin bir özdeÄeridir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
ĂözĂŒm 92
0. =â I A λ â 010
01.
26
11det =
â
λ
â 026
11det =
â
â
λ
λ
â λ
λ
ââ
26
11 = 0
â (1 â λ).(2 â λ) â 6.1 = 0
â λÂČ â 3λ + 2 â 6 = 0
â λÂČ â 3λ â 4 = 0
â (λ â 4).(λ + 1) = 0 â λ = 4
â λ = â 1
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 50/64
Not :
X X A .. λ = denklemini saÄlayan sıfırdan farklı X matrisi için bulunan
λ deÄerlerine A matrisinin öz deÄerleri denir.
Bu durumda 0).( =â I A λ denklem sisteminin sıfırdan farklı çözĂŒmĂŒnĂŒn bulunması için
0).det( =â I A λ olmalıdır.
BaĆka bir ifadeyle
A bir kare matris ve I aynı mertebeden birim matris olmak ĂŒzere,
0. =â I c A denkleminin köklerine
A matrisinin öz deÄerleri (veya karakteristik deÄeri) denir.
A matrisi, özdeÄerini bulmak istediÄimiz matris,
c , A matrisinin bir özdeÄeri â 0. =â ĂĂ nnnn I c A (polinomunun kökleri)
I , birim matris â 22Ă I =10
01
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 51/64
93. {â
1e ,â
2e ,â
3e }, RÂł ĂŒn standart bazı olmak ĂŒzere,
T : RÂł â RÂł lineer dönĂŒĆĂŒmĂŒ için
T(â
1e ) = (â 3 , 2 , 5)
T(â
2e ) = (2 , â 1 , 0)
T(â
3e ) = (â 5 , 3 , 5) dır.
T dönĂŒĆĂŒmĂŒne karĆılık gelen matrisin rankı nedir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
ĂözĂŒm 93
I.Yol
RÂł de standart tabanın, E = { e1 = (1, 0, 0) , e2 = ( 0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1) } olduÄunu biliyoruz.
T(â
1e ) = (â 3 , 2 , 5)
T(â
2e ) = (2 , â 1 , 0)
T(â
3e ) = (â 5 , 3 , 5)
T(x , y , z) = x. T(â
1e ) + y. T(â
2e ) + z. T(â
3e )
= x.(â 3 , 2 , 5) + y.(2 , â 1 , 0) + z.(â 5 , 3 , 5)
= (â 3x + 2y â 5z , 2x â y + 3z , 5x + 5z)
T dönĂŒĆĂŒm matrisi,
â
ââ
505
312
523
olur.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 52/64
det T = 505 312
523
â
ââ
=
+
+
+
â
â
â
â
ââ
â
ââ
312
523 505
312
523
= [(â 3).(â 1).5 + 2.0.(â 5) + 5.2.3] â [2.2.5 + (â 3).0.3 + 5.(â 1).(â 5)]
= 45 â 45
= 0 olduÄundan,
T matrisinin rankı : rank(T) = 3 olamaz.
2 Ă 2 tĂŒrĂŒndeki alt matrisi,12
23
â
â = (â 3).(â 1) â 2.2 = â 1 â 0 olduÄundan,
rank(T) = 2 olur.
Not : Bir Matrisin Rankı
A, nmĂ tĂŒrĂŒnde bir matris olsun.
A nın determinantları sıfırdan farklı olan kare alt matrislerinden en bĂŒyĂŒk mertebeli olanın
mertebesine A nın rankı denir ve rank(A) ile gösterilir.
Not : Bir Matrisin Rankı
Bir A matrisi verilsin.
A matrisinin basamak biçime dönĂŒĆtĂŒrĂŒlmĂŒĆĂŒ olan matrisin,
sıfırdan farklı satırları sayısına A matrisinin rankı denir ve r(A) ile gösterilir.
Not :
Bir determinantın bir satırındaki ya da bir sĂŒtunundaki elemanlar, k â R ile çarpılıp baĆka bir
satıra ya da sĂŒtuna karĆılıklı olarak eklenirse, determinantın deÄeri deÄiĆmez.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 53/64
II.Yol
RÂł de standart tabanın, E = { e1 = (1, 0, 0) , e2 = ( 0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1) } olduÄunu biliyoruz.
T( â1e ) = (â 3 , 2 , 5)
T(â
2e ) = (2 , â 1 , 0)
T(â
3e ) = (â 5 , 3 , 5)
T dönĂŒĆĂŒm matrisi =
k h g
f ed
cba
olsun.
k h g
f ed
cba
.
0
0
1
=
â
5
2
3
â
++
++
++
0.0.1.
0.0.1.
0.0.1.
k h g
f ed
cba
=
â
5
2
3
â
g
d
a
=
â
5
2
3
a = â 3 , d = 2 , g = 5
k h g
f ed
cba
.
0
1
0
=
â
0
1
2
â
++
++
++
0.1.0.
0.1.0.
0.1.0.
k h g
f ed
cba
=
â
0
1
2
â
h
e
b
=
â
0
1
2
b = 2 , e = â 1 , h = 0
k h g
f ed
cba
.
1
0
0
=
â
5
3
5
â
++
++
++
1.0.0.
1.0.0.
1.0.0.
k h g
f ed
cba
=
â
5
3
5
â
k
f
c
=
â
5
3
5
c = â 5 , f = 3 , k = 5
T dönĂŒĆĂŒm matrisi =
k h g
f ed
cba
=
â
ââ
505
312
523
olarak hesaplanır.
T dönĂŒĆĂŒm matrisinin, 2. satırını (2) ile çarpıp, 1.satıra ekleyelim.
1. satırı (â 5) ile çarpıp, 3. satıra ekleyelim.
1. satırı (â 2) ile çarpıp, 2. satıra ekleyelim.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 54/64
T =
â
ââ
505
312
523
=
â
505
312
101
=
â
000
312
101
=
â
000
110
101
Sonuç olarak, T dönĂŒĆĂŒm matrisinin rankı : rank(T) = 2 olur.
Not : Lineer DönĂŒĆĂŒmler
T =
d c
ba
Lineer dönĂŒĆĂŒm matrisi, A( 1 x , 1 y ) noktasını K( , y ) noktasına dönĂŒĆtĂŒrĂŒyorsa,
d c
ba.
1
1
y
x =
y
x Ćeklinde gösterilir.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 55/64
94. 5ÂČÂČ =+ y x denkleminin belirttiÄi eÄrinin (â 1 , 2) noktasındaki teÄetinin denklemi
aĆaÄıdakilerden hangisidir?
A) 012 =+â x y B) 052 =ââ x y C) 052 =ââ x y D) 042 =+â x y
ĂözĂŒm 94
I. Yol
5ÂČÂČ =+ y x
5.. 00 =+ y y x x teÄet denkleminde ( 0 x , 0 y ) = (â 1 , 2) noktası yazılırsa,
(â 1). + 2. = 5 â 052 =ââ x y teÄet denklemi bulunur.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 56/64
II. Yol
05ÂČÂČ =â+ y x kapalı fonksiyonunun tĂŒrevini alalım.
/ y =dx
dy =
/
/
y
x
f
f â = â
y
x
22 =
y
xâ
TĂŒrevde, = â 1 , = 2 deÄerleri yerine yazıldıÄında, teÄetin eÄimi bulunur.
/ y =2
)1(ââ =
2
1 (teÄetin eÄimi)
(â 1, 2) noktasındaki teÄetinin denklemi, teÄetin eÄimi =
2
1 olduÄuna göre,
Bir noktası ve eÄimi bilinen doÄru denkleminden,
2
1 =
)1(
2
ââ
â
x
y â 142 +=â x y
â 052 =ââ x y bulunur.
III. Yol
5ÂČÂČ =+ y x çember denkleminin merkezi O(0 , 0) olsun.
(â 1, 2) noktasında çember ĂŒzerinde olduÄuna göre,
Ä°ki noktası bilinen doÄrunun eÄiminden,0)1(
02
ââ
â=m = â 2 elde edilir.
1. â=nt mm â t m .(â 2) = â 1
â t m =2
1
(â 1 , 2) noktasındaki teÄetinin denklemi, teÄetin eÄimi =2
1 olduÄuna göre,
2
1 =
)1(
2
ââ
â
x
y â 142 +=â x y
â 052 =ââ x y bulunur.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 57/64
95. A(3 , 1 , 3) noktasından geçen ve 2x + y â z = 1 dĂŒzlemine dik olan doÄrunun
parametrik denklemi aĆaÄıdakilerden hangisidir?
A) (3t , t , 3t) B) (3 + 2t , 1 + t , 3 â t) C) (2t + 1 , t , t + 2) D) (2t â 1 , t , 1 â t)
ĂözĂŒm 95
2x + y â z = 1 dĂŒzleminin normali, n = (2 , 1 , â 1)
DoÄrunun dĂŒzleme dik olması için, v // n olmalıdır.
v // n â 112 â==
cba
= k
A(3 , 1 , 3) noktasından geçen ve doÄrultmanı v(2k , k , â k) olan doÄrunun denklemi,
k
z
k
y
k
x
â
â=
â=
â 31
2
3 bulunur.
k
z
k
y
k
x
â
â=
â=
â 31
2
3 = m â x = 2.k.m + 3 , y = k.m + 1 , z = 3 â k.m
k.m = t olsun.
x = 2t + 3 , y = t + 1 , z = 3 â t â (3 + 2t , 1 + t , 3 â t)
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 58/64
Not : DoÄrunun dĂŒzleme dik olma Ćartı
d doÄrusunun E dĂŒzlemine dik olması için gerek ve yeter Ćart doÄrunun v = (a , b , c)doÄrultman vektörĂŒnĂŒn, dĂŒzlemin n = (A , B , C) normaline paralel olmasıdır.
Ä°ki vektörĂŒn paralel olması için karĆılıklı bileĆenlerinin orantılı olması gerek ve yeterdir.
E : Ax + By + Cz + D = 0
d :c
z z
b
y y
a
x x 111 â=
â=
â
Dolayısıyla, d â„ E â C c
Bb
Aa == olur.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 59/64
96. Bir torbanın içindeki toplar, 1âden baĆlanarak numaralandırılmıĆtır.
Torbadan rastgele çekilen bir topun ĂŒzerindeki sayının 7âden bĂŒyĂŒk bir asal sayı
olma olasılıÄı6
1 âdir.
Buna göre, torbanın içinde en az kaç tane top vardır?
A) 11 B) 13 C) 17 D) 18
ĂözĂŒm 96
Torbadaki top sayısı = x olsun. {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , âŠâŠâŠâŠ., }
7 den bĂŒyĂŒk asal sayılar = {11 , 13 , 17 , âŠ.., } tane olsun.
6
1=
x
y â = 6 â y = 1 için = 6.1 = 6
(çekilen bir topun ĂŒzerindeki sayının 7âden bĂŒyĂŒk olacaÄından)
â y = 2 için = 6.2 = 12
(1 ile 12 arasında, 7âden bĂŒyĂŒk asal sayı , 2 tane olmadıÄından)
â
y = 3 için = 6.3 = 18 tane top vardır. ({11 , 13 , 17})
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 60/64
97. Sınıf baĆkanının kız olduÄu bir sınıfta, erkeklerin sayısı kızların sayısından 3 fazladır.
Bu sınıftan, içinde sınıf baĆkanının yer alacaÄı 2 kız ve 1 erkekten oluĆan 3 kiĆilik bir
komisyon, 117 farklı Ćekilde oluĆturulabilmektedir.
Buna göre, sınıf mevcudu kaç kiĆidir?
A) 22 B) 23 C) 24 D) 25
ĂözĂŒm 97
Kızların sayısı = k
Erkeklerin sayısı = e = k + 3
Sınıf baĆkanının kız olduÄu göre, komisyon için kalan kızların sayısı = k â 1
Komisyon için kalan kızlardan 1 ve erkeklerden 1 kiĆi seçmeliyiz.
â
1
1k .
1
e = 117 â
+
â
1
3.
1
1 k k = 117
â ( k â 1).( k + 3) = 117
â k ÂČ + 2 k â 120 = 0
â ( k + 12).( k â 10) = 0
â k = 10
â e = k + 3 = 10 + 3 = 13
Buna göre, sınıf mevcudu = k + e = 10 + 13 = 23 bulunur.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 61/64
98.
Merkezleri O ve M olan kĂŒre seklindeki iki top,
Ćekildeki gibi dĂŒz bir zemin ĂŒzerinde birbirine T noktasında deÄiyor.
Merkezlerinin arasındaki uzaklık 50 cm ve yarıçaplarının uzunlukları oranı4
1 olduÄuna göre,
bu topların zemine deÄdiÄi A ve B noktaları arasındaki uzaklık kaç cmâdir?
A) 30 B) 35 C) 40 D) 50
ĂözĂŒm 98
O merkezli kĂŒrenin yarıçapı = r
M merkezli kĂŒrenin yarıçapı = R â 4
1=
R
r â R = 4r olur.
OM = 50 â AB = ?
OT = rOM = 5r = 50 â r = 10
TM = 4r
MC = 3r = 3.10 = 30
OCM ĂŒĂ§geninde, 50ÂČ = 30ÂČ + OCÂČ (pisagor) â OC = 40
OC = AB olduÄundan, AB = 40 elde edilir.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 62/64
99.
Tabanı yamuk Ćeklinde olan yandaki dik
prizmanın A, B, C, D köĆeleri [AD] çaplı
çember yayı ĂŒzerindedir.
AD = 8 cm,
DDâ = 12 3 cm ve
AB = BC = CD olduÄuna göre,
bu prizmanın hacmi kaç cmÂł tĂŒr?
A) 144 B) 288 C) 432 D) 576
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 63/64
ĂözĂŒm 99
Yarım çemberin merkezini O diyelim ve B ve C köĆeleriyle birleĆtirelim.
Burada oluĆan ĂŒĂ§genler eĆkenardır. (OAB , OBC , OCD)
ĂĂŒnkĂŒ, kiriĆler eĆ olduÄuna göre, (AB = BC = CD) bunlara ait yaylar da eĆtir.
AD = 8 cm olduÄuna göre, AO = OD = OB = OC = AB = BC = CD = 4
YamuÄun uzun kenarı = AD = 8
YamuÄun kısa kenarı = BC = 4
YamuÄun yĂŒksekliÄi = OH = 2 3 (OHC dik ĂŒĂ§geninde pisagor uygulanırsa)
Prizmanın taban alanı = YamuÄun alanı =2
32).84( + = 12 3 olur.
Prizmanın Hacmi = (yamuÄun alanı) Ă (yĂŒkseklik)
= 12 3 .12 3
= 432 elde edilir.
8/18/2019 28 Haziran 2008 Ogretmen Secme Sinavi Matematik Sorulari Ve Cozumleri
http://slidepdf.com/reader/full/28-haziran-2008-ogretmen-secme-sinavi-matematik-sorulari-ve-cozumleri 64/64
100. Kenar uzunlukları 4 cm ve 7 cm olan dikdörtgensel bölge,
eĆ karesel bölgelere ayrılmıĆtır.
Buna göre, Ćekildeki boyalı bölgelerin alanları toplamı kaç cmÂČ dir?
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15
ĂözĂŒm 100
alan (AEH) + alan (DHG) + alan (EFG) = ?
alan (AEH) =2
1.3 =
2
3
alan (DHG) =2
3.1 =
2
3
alan (EFG) = alan (BEGC) â [alan (BEF) + alan (FCG)]
alan (EFG) =2
4).64( + â [
2
2.6
2
2.4+ ] = 20 â [4+6] = 10
alan (AEH) + alan (DHG) + alan (EFG) =2
3 +
2
3 + 10 = 13 cmÂČ (boyalı alan)
Adnan ĂAPRAZ
adnancapra @ ahoo com