ANLISIS DE

ALGORITMOS Escuela Superior de Cmputo

Contenido

Introduccin

Algoritmos vidos

Forma general de un algoritmo vido

Planteamiento de un algoritmo vido

Ejemplo

Mnimo nmero de monedas

Ejercicios: Ejercicios sobre Dijkstra, Prim

y Kruskal

Tarea: Implementacin de 2 algoritmos

vidos

Introduccin Los algoritmos vidos o voraces (Greedy

Algorithms) son algoritmos que toman

decisiones de corto alcance, basadas en

informacin inmediatamente disponible, sin

importar consecuencias futuras.

Suelen ser bastante simples y se emplean sobre

todo para resolver problemas de optimizacin,

como por ejemplo, encontrar la secuencia

ptima para procesar un conjunto de tareas por

un computador, hallar el camino mnimo de un

grafo, etc.

Los algoritmos voraces tambin se caracterizan

por la rapidez en que encuentran una solucin

(cuando la encuentran), la cual casi siempre no

es la mejor.

Normalmente son utilizados para resolver

problemas en los que la velocidad de respuesta

debe ser muy alta o en la que el rbol de

decisiones de bsqueda es muy grande, no

siendo posible analizar la totalidad de

posibilidades.

La estrategia general de este tipo de algoritmos se basa en la

construccin de una solucin, la cual comienza sin elementos

y cada vez que debe tomar algn tipo de decisin, lo hace

con la informacin que tiene a primera mano, la cual de

alguna manera le permita adicionar elementos y as avanzar

hacia la solucin total.

Cada elemento o paso de la solucin se adiciona al conjunto

solucin y as hasta llegar a la solucin final o a un punto en

el cual no puede seguir avanzando, lo cual indica que no

encontr una solucin al problema.

Habitualmente, los elementos que intervienen

son:

Un conjunto o lista de candidatos (tareas a

procesar, vrtices del grafo, etc.)

Un conjunto de decisiones ya tomadas

(candidatos ya escogidos).

Una funcin que determina si un conjunto de

candidatos es una solucin al problema (aunque

no tiene por qu ser la ptima).

Para resolver el problema de optimizacin hay

que encontrar un conjunto de candidatos que

optimiza la funcin objetivo. Los algoritmos

voraces proceden por pasos.

Algoritmos vidos Un algoritmo voraz (tambin conocido como vido, devorador o goloso) es aquel que, para resolver un determinado problema, sigue una heurstica consistente en elegir la opcin ptima en cada paso local con la esperanza de llegar a una solucin general ptima. Este esquema algortmico es el que menos dificultades plantea a la hora de disear y comprobar su funcionamiento. Normalmente se aplica a los problemas de optimizacin.

Dado un conjunto finito de entradas C, un algoritmo voraz devuelve un conjunto S (seleccionados) tal que S C y que adems cumple con las restricciones del problema inicial.

Cada conjunto que satisfaga las restricciones se le suele denominar prometedor, y si este adems logra

que la funcin objetivo se minimice o maximice

(segn corresponda) diremos que es una solucin ptima.

Elementos de los que consta la tcnica El conjunto de candidatos, entradas del problema.

Funcin solucin, esta comprueba, en cada paso, si el

subconjunto actual de candidatos elegidos forma una

solucin (no importa si es ptima o no lo es).

Funcin de seleccin, informa de cul es el elemento

ms prometedor para completar la solucin. ste no

puede haber sido escogido con anterioridad. Cada

elemento es considerado una sola vez. Luego, puede ser

rechazado o aceptado y pertenecer a \ .

Funcin de factibilidad, informa si a partir de un

conjunto se puede llegar a una solucin. Lo aplicaremos

al conjunto de seleccionados unido con el elemento ms

prometedor.

Funcin objetivo, es aquella que queremos maximizar o

minimizar, el ncleo del problema.

Forma general de un algoritmo vido

Funcin vido(C:conjunto):conjunto //C conjunto de candidatos

S

Forma general de un algoritmo vido Para identificar si un problema es susceptible de

ser resuelto por un algoritmo vido se definen

una serie de elementos que han de estar

presentes en el problema:

Un conjunto de candidatos, que corresponden a las n

entradas del problema.

Una funcin de seleccin que en cada momento

determine el candidato idneo para formar la solucin

de entre los que an no han sido seleccionados ni

rechazados.

Una funcin que compruebe si un cierto subconjunto

de candidatos es prometedor. Entendemos por

prometedor que sea posible seguir aadiendo

candidatos y encontrar una solucin.

Una funcin objetivo que determine el valor de la

solucin hallada. Es la funcin que queremos

maximizar o minimizar.

Una funcin que compruebe si un subconjunto de

estas entradas es solucin al problema, sea ptima o

no.

Planteamiento de un algoritmo vido Para resolver el problema, un algoritmo vido tratar

de encontrar un subconjunto de candidatos tales que,

cumpliendo las restricciones del problema, constituya

la solucin ptima.

Para ello trabajar por etapas, tomando en cada una

de ellas la decisin que le parece la mejor, sin

considerar las consecuencias futuras, y por tanto

escoger de entre todos los candidatos el que produce

un ptimo local para esa etapa, suponiendo que ser a

su vez ptimo global para el problema.

Planteamiento de un algoritmo vido Antes de aadir un candidato a la solucin que est

construyendo comprobar si es prometedora al

aadirlo. En caso afirmativo lo incluir en ella y en

caso contrario descartar este candidato para siempre

y no volver a considerarlo.

Cada vez que se incluye un candidato comprobar si el

conjunto obtenido es solucin.

Ejemplo: Mnimo nmero de monedas Se pide crear un algoritmo que permita a una mquina

expendedora devolver el cambio mediante el menor

nmero de monedas posible.

1. Considerando que el nmero de monedas es

ilimitado.

2. Considerando que el nmero de monedas es

limitado, es decir, se tiene un nmero concreto de

monedas de cada tipo.

Candidato: conjunto finito de monedas de, por

ejemplo, 1, 5, 10 y 25 unidades, con un nmero de

monedas ilimitado o limitado.

Solucin: conjunto de monedas cuya suma es la

cantidad a pagar.

Prometedor: la suma de las monedas escogidas en un

momento dado no supera la cantidad a pagar.

Funcin de seleccin: la moneda de mayor valor en el

conjunto de candidatos an no considerados.

Funcin objetivo: nmero de monedas utilizadas en la

solucin.

La estrategia a seguir consiste en escoger sucesivamente las

monedas de valor mayor que no superen la cantidad de cambio a

devolver. El buen funcionamiento del algoritmo depende de los tipos

de monedas presentes en la entrada. As, por ejemplo, si no hay

monedas de valor menor que diez, no se podr devolver un cambio

menor que diez. Adems, la limitacin del nmero de monedas

tambin influye en la optimalidad del algoritmo, el cual devuelve

buenas soluciones bajo determinados conjuntos de datos, pero no

siempre.

Si hay que devolver la cantidad 110, se tomara primero una moneda

de 50, quedando una cantidad restante de 60. Como 50 es an menor

que 60, se tomara otra moneda de 50. Ahora la cantidad restante es

10, por tanto ya tenemos que devolver una moneda de 5, ya que 50 y

25 son mayores que 10, y por tanto se desechan. La cantidad a

devolver ahora es 5. Se tomara otra moneda de 5, terminando as el

problema de forma correcta.

Solucin: Devolver dos monedas de 50 y dos de 5.

Denominacin de

Monedas 50 25 5 1

Algoritmo vido: Monedas ilimitadas

fun cambio (monedas_valor[1..n] de nat, importe: nat) dev

cambio[1..n] de nat

m := 1;

mientras (importe > 0) and (m

Si consideramos adems un numero de monedas de

cada denominacin no ilimitado deberemos ahora de

considerar que sea posible tomar monedas de cada

denominacin para formar la solucin

Si hay que devolver la cantidad 110 siguiendo el mtodo del algoritmo

voraz, se tomara primero una moneda de 50, quedando una cantidad

restante de 60. Como 50 es an menor que 60, se tomara otra

moneda de 50. Ahora la cantidad restante es 10, por tanto ya tenemos

que devolver una moneda de 5, ya que 50 y 25 son mayores que 10, y

por tanto se desechan. La cantidad a devolver ahora es 5. Se tomara

otra moneda de 5, pero puesto que ya no nos queda ninguna, debern

devolverse 5 de valor 1, terminando as el problema de forma correcta.

Solucin: Devolver dos monedas de 50, una de 5 y cinco de 1.

Denominacin de

Monedas 50 25 5 1

Monedas disponibles 3 4 1 6

Algoritmo vido: Monedas limitadas

fun cambio (monedas_valor[1..n] de nat, monedas[1..n] de nat,

importe: nat) dev cambio[1..n] de nat

m := 1;

mientras (importe > 0) and (m 0 entonces devolver Error; fsi

ffun

Ejemplo: Algoritmos Greedy sobre grafos rboles generadores minimales

Problema

Dado un grafo conexo G = (V, A) no dirigido y ponderado con pesos

positivos, calcular un subgrafo conexo T G que conecte todos los vrtices del grafo G y que la suma de los pesos de las aristas

seleccionadas sea mnima.

Solucin

Este subgrafo es necesariamente un rbol: rbol generador minimal o

rbol de recubrimiento mnimo (minimum spanning tree [MST]).

Aplicaciones Diseo de redes: redes telefnicas, elctricas,

hidrulicas, de computadoras, de carreteras

Construccin de redes de mnimo costo.

Refuerzo de lneas crticas.

Identificacin de cuellos de botella.

Enrutamiento (evitar ciclos).

Soluciones aproximadas para problemas NP.

Algoritmos de agrupamiento (anlisis de clster).

Algoritmos Greedy para resolver el

problema

Algoritmo de Kruskal: Comenzando con T=, considerar las aristas en orden creciente de

costo y aadir las aristas a T salvo que hacerlo suponga la creacin de

un ciclo.

Algoritmo de Prim:

Comenzando con un nodo raz arbitrario s, hacer crecer el rbol T

desde s hacia afuera. En cada paso, se aade al rbol T el nodo que

tenga una arista de menor costo que lo conecte a otros nodos de T.

Algoritmo de borrado inverso:

Comenzando con T=A, considerar las aristas en orden decreciente de

costo eliminar las aristas de T salvo que eso desconectase T.

Ejemplo: Caminos mnimos Caminos mnimos

Problema

Dado un grafo G ponderado con pesos positivos, calcular el camino de

menor peso existente entre un vrtice s y otro vrtice t.

Algoritmo de Dijkstra (1959)

El algoritmo de Djikstra es un algoritmo muy

nico. Inicialmente, se utiliza un enfoque voraz para

conseguir distancias iniciales a los nodos vecinos.

Luego, en el siguiente paso, se comprueba si el valor

calculado es el ptimo global a ese nodo o no. Si no,

se comprueban todos los otros caminos y calcula la

distancia ptima a ese nodo.

Luego, basndose en los valores ya calculados de los

nodos anteriores, se calcula el camino ms corto para

el nodo final. Por lo tanto, esto es una especie de un

enfoque de programacin dinmica.

Algoritmo de Dijkstra (1959)

As, Djikstra utiliza ambos enfoques y, por tanto, no

puede ser completamente clasificada como "Greedy" o

"DP". Es una mezcla de ambos y por lo tanto, es

nico. Siempre ha sido un tema debatido. Tal es la

belleza del algoritmo.

Dado un grafo G=(V,A) y un vrtice s, encontrar el

camino de costo mnimo para llegar desde s al resto de

los vrtices en el grafo.

IDEA: Mantener el conjunto de nodos ya explorados

para los cuales ya hemos determinado el camino

ms corto desde s

Ejercicios: Ejercicios sobre Dijkstra, Prim y Kruskal

Para los siguientes 5 grafos detallar la solucin de la

ruta ms corta del nodo (1) a todos los nodos (Dijkstra) y

el rbol recubridor mnimo mediante Prim y Kruskal.

Describir de manera detallada los algoritmos y sus pasos.

Ejercicio 01

Ejercicio 02

Ejercicio 03

Ejercicio 04

Ejercicio 05