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2.Capítulo II: Modelo de la aeronave

P.F.C. Desarrollo de Estrategias de Control Avanzado para Vehículos Aéreos No Tripulados

Capítulo II: Modelo de la aeronave

Elías Plaza Alonso - 22 -

2.1. Introducción

Tras exponer los antecedentes al proyecto y contextualizar el mismo en la introducción ya se puede iniciar el desarrollo. Comenzamos entonces con el modelado de la aeronave, uno de los dos capítulos fundamentales del presente proyecto, de ahí la gran extensión del mismo.

El desarrollo realizado tiene gran detalle aunque en ningún caso se pretende que este capítulo parezca un libro de texto sobre el tema. Lo que ocurre es que nuestro avión tiene particularidades y así mismo, dadas las condiciones en las que se moverá, se justificarán las hipótesis que se irán introduciendo, por lo que el modelado debe desarrollarse paulatinamente hasta llegar a un modelo completo y linealizarlo para las condiciones nominales de vuelo concretas del avión.

En la primera parte de este capítulo se va a realizar el modelado del avión en base a ecuaciones no lineales que rigen la dinámica del sistema. Después de esto se linealizará el modelo entorno al punto usual de trabajo, con ello se obtendrá una descripción en espacio de estados para que puedan ser diseñados los controladores. Finalmente se realizará un análisis de la estabilidad del sistema en bucle abierto.

La construcción del modelo se basa en las ecuaciones de la Mecánica de Vuelo que son una aplicación de las ecuaciones de la dinámica de sólidos con seis grados de libertad. Como se ve en el siguiente esquema, para definir cuantitativamente las ecuaciones de la Mecánica de Vuelo es necesario hacer uso de cuatro modelos que se pueden definir independientemente. Nos referiremos a ellos como sub-modelos.

Figura 2.1: Esquematización del proceso de modelado.

En primer lugar hay que definir el modelo másico-geométrico o modelo inercial. Es

decir, definir la geometría del avión, obtener la masa total, estimar el centro de gravedad y el tensor de inercias. Esto da lugar a la estimación de las fuerzas y momentos inerciales del avión.

En segundo lugar hay que definir el modelo gravitatorio, es decir, hacer el cómputo del vector fuerza de gravedad (W, weight).

Modelo Másico-Geométrico

Modelo Gravitatorio

Modelo Aerodinámico

Modelo Propulsivo

Ecuaciones Dinámica de sólido 6 g.d.l.

MODELO AERONAVE

Modelo Lineal

Punto de trabajo Condición de vuelo en equilibrio




Otro modelo a definir es el modelo aerodinámico. El modelo aerodinámico queda

definido a partir de un conjunto extenso de coeficientes que multiplican a cada una de las variables influyentes que se detallarán en su correspondiente apartado. Esos coeficientes son las derivadas de estabilidad y de potencia, y son probablemente, cuantitativamente hablando, la parte fundamental del modelo. De esta forma se obtienen las fuerzas de sustentación (L, lift) y de resistencia (D, drag), además de los momentos aerodinámicos (de alabeo, cabeceo y guiñada) entorno al centro de gravedad.

El último sub-modelo es el modelo propulsivo. Con él se concluye con el cómputo de fuerzas y momentos sobre el avión, definiendo el vector empuje (T, thrust). Para su definición se hace uso de la teoría de hélices.

Figura 2.2: Fuerzas fundamentales sobre el avión.

Hay que hacer un apunte muy importante que define uno de los objetivos fundamentales del proyecto. La base en la definición de los modelos se encuentra en las medidas realizadas para caracterizar la geometría. Con esta caracterización geométrica y junto con las teorías en que se basa cada sub-modelo se construyen los mismos. Por tanto, el modelo tiene más base teórica que experimental; es decir, no

se han podido realizar medidas empíricas de inercias, coeficientes aerodinámicos y coeficientes propulsivos debido al alto coste (tiempo, medios, etc.) que esto supone. De esta forma tenemos un modelo en primera aproximación con el que poder acometer un diseño preeliminar de estrategias y controladores y, como veremos

el capítulo referente a los sistemas de control, esto conlleva la decisión de implementar controladores con características de robustez.

L

D T

W




2.2. Definiciones Previas

Es necesario para la comprensión del proyecto dar algunas definiciones básicas antes de desarrollar los conceptos.

Geometría:

Línea de referencia: intersección del plano de simetría geométrica vertical (xz) con el plano paralelo al plano definido por los puntos de apoyo de las tres ruedas. Se puede ver en la figura número 2.3.

Perfil del ala: curva cerrada en dos dimensiones definida por la intersección de un

plano perpendicular al eje longitudinal del ala con la superficie exterior de la propia ala. De la misma forma se define el perfil dell estabilizador vertical y del horizontal.

Borde de ataque (geométrico): punto más adelantado de un perfil en el sentido de la corriente incidente.

Borde de salida (geométrico): punto más retrasado de un perfil en el sentido de la corriente incidente.

Punto O: punto del borde de ataque en el perfil medio del ala (el de separación de las dos semialas).

Punto CG o G: Centro de Gravedad total del avión.

Cuerda: Longitud medida entre el borde de ataque y el borde de salida de un perfil.

Línea ¼ de cuerda: lugar geométrico de los puntos de cada cuerda que se encuentran a ¼ de la longitud de la misma desde el b.a. para todos los perfiles de un semi-ala.

Envergadura alar (bw): longitud del extremo de una semiala al extremo de la otra. Definición análoga para la envergadura del estabilizador horizontal.

Superficie alar (Sw): superficie de referencia que queda acotada entre las líneas de borde de ataque y de salida (geométricos) a lo largo de toda la envergadura. Como, dependiendo de los autores, la definición puede variar, vamos a aclarar matemáticamente la usada en este proyecto:

2/b

2/b

w

w

w

'dy)'y(cS [2.2.1]

Donde y’ es la coordenada que recorre el ala longitudinalmente y c(y’) es la distribución de cuerdas a lo largo del ala. Esta superficie se utiliza como superficie de referencia en muchas definiciones por lo que también la denominamos Sref. Por otra parte la definición sería análoga para el caso de las superficies de referencia de los estabilizadores.

Alargamiento (AR o Aw): relación adimensional entre superficie alar y envergadura:

w

2

w

S

bAR [2.2.2]

Estrechamiento del ala (taper ratio, λw): Relación entre la cuerda en la raíz del ala cr (root) y la cuerda en la punta del ala ct (tip). Análoga definición para los estabilizadores.

r

tw

c

c [2.2.3]

Diedro geométrico del ala (Γw): ángulo (agudo) formado entre la línea que une los extremos de las semialas con la línea que une el punto ¼ de la cuerda del perfil del




encastre con el punto ¼ de la cuerda del perfil de una de las puntas. Es positivo cuando el extremo está por encima de la raíz en sentido vertical.

Realmente la definición rigurosa es la de ángulo diedro local, que se define como el ángulo (agudo) entre la perpendicular al plano de simetría y la perpendicular al plano que contiene un perfil concreto. Se define así tanto para el ala como para el estabilizador horizontal.

Flecha del ala (Λw): ángulo existente entre la línea de borde de ataque con un eje perpendicular al plano que contiene al perfil del encastre2. Positivo si el borde de ataque del extremo se encuentra más retrasado respecto al del encastre visto en planta desde el morro. Análogamente se define la flecha del estabilizador horizontal y del vertical.

Torsión del ala (θw(y’)): ángulo existente entre la línea de cuerda del perfil en la posición y’ y la línea de cuerda de un perfil de referencia seleccionado. También se

define así la torsión del estabilizador horizontal.

Incidencia del ala (iw): ángulo existente entre el la línea de cuerda del encastre con la línea de referencia. La definición es análoga para la incidencia del estabilizador horizontal.

Figura 2.3: representación de línea de referencia, borde de ataque y punto O.

2 Dependiendo del autor en algunos textos la definición cambia de en vez de usar la línea de borde de

ataque usar la línea de ¼ de cuerda.

Línea Referencia

Línea Borde Ataque

Perfil central Punto O




Figura 2.4: esquematización de la cuerda, perfil, sus bordes y la incidencia del ala (téngase en cuenta que dado que no hay torsión se puede referir a cualquier perfil en vez de a el del

encastre).

Figura 2.5: Esquematización de la mitad de la envergadura y de la flecha del estabilizador.

Aerodinámica:

Velocidad respecto al aire (V): vector velocidad del avión respecto al aire circundante. Este se puede expresar en términos de componentes cartesianas o en términos del módulo y dos ángulos.

La expresión cartesiana se realiza en un sistema de referencia solidario al avión (que se definirá en el apartado siguiente, bajo el nombre de SR cuerpo) y se denota por V=[u,v,w]b.

Si nos referimos a la otra posibilidad tendremos por un lado el módulo del vector velocidad (V) y por otro dos ángulos llamados ángulo de ataque (α) y ángulo de resbalamiento (β).

Cuerda

Paralela a la línea de referencia

Línea de cuerda

Perfil b.s.

iw

b.a.

bw/2

Λh




Relacionando estos con la visión cartesiana, obviamente el módulo será:

222 wvuV [2.2.4]

Así mismo el ángulo de ataque se define así:

u

warctan [2.2.5]

Mientras que el ángulo de resbalamiento tiene dos posibles definiciones. Una usada para estimaciones analíticas:

u

varctana [2.2.6]

Y otra para estimaciones experimentales:

V

varcsine [2.2.7]

Aunque ambas son relacionables:

e

ea

cos

tantan

[2.2.8]

Recíprocamente, se puede obtener el vector en cartesianas a partir de los ángulos y el módulo:

22

22

22

)tan()tan(1

V)tan(w

)tan()tan(1

V)·tan(v

)tan()tan(1

Vu

[2.2.9, a, b, y c]

Figura 2.6: Representación del vector velocidad en 3 dimensiones.

Ejes Cuerpo

V

x

y

z




Figura 2.7: Esquematización de las componentes (x,z) de la velocidad y el ángulo de ataque.

Figura 2.8: Esquematización de las componentes (x,y) de la velocidad, el ángulo de resbalamiento analítico (a la izquierda) y el ángulo de resbalamiento experimental (a la

derecha).

Cuerda media aerodinámica (cw o cmac): es una definición aerodinámica que se

cuantifica matemáticamente a partir de la geometría según:

2/b

2/b

2

w

w

w

w

'dy)'y(cS

1c [2.2.10]

Punto neutro a mando fijo/ Centro Aerodinámico Total: Punto de reducción de la fuerza aerodinámica sustentadora en el que el momento de cabeceo (momento entorno al eje “y” del SR-cuerpo, SR que se definirá en el siguiente apartado) no varía con el ángulo de ataque.

Margen Estático (Static Margin, SM): diferencia entre la posición del centro aerodinámico total y el centro de gravedad medidos longitudinalmente desde el morro del avión y adimensionalizado con la cuerda media aerodinámica. Es un índice de la capacidad de maniobra (mayor cuanto menor es el SM) y de la estabilidad estática longitudinal del avión (menor cuanto menor es el SM). El rango usual en aviación convencional es de entre 0.10 y 0.20.

wc

XcgXcaSM

[2.2.11]

x

y v

u

βa>0

y v

βe>0

V

z

x u

w

α>0




Coeficiente de sustentación (CL): Coeficiente adimensional cuyo valor multiplicado por

½·ρ·V2·Sw da como resultado el valor de la fuerza de sustentación (perpendicular al plano de la corriente incidente), siendo ρ la densidad del aire, y V la velocidad respecto al aire del avión. Cómo se cuantifica este y los coeficientes que siguen es parte del trabajo de este capítulo.

Coeficiente de resistencia (CD): Coeficiente adimensional cuyo valor multiplicado por ½·ρ·V2·Sw da como resultado el valor de la fuerza de resistencia (paralela a la corriente incidente).

Polar parabólica: La relación entre CL y CD es bien aproximada con una parábola. Una

primera estimación es una parábola de coeficientes constantes en el orden 2 y en el orden 0:

2

L21D CkkC [2.2.12]

Existen algunas más sofisticadas con un tercer coeficiente (orden 1) e incluso con coeficientes no constantes.

Velocidad del sonido (a): velocidad del sonido en el aire que es calculable como:

)h(TR)h(a gasaire [2.2.13]

Donde γaire es aproximadamente igual a 1.4, Rgas es la constante de los gases (287 J/kg K), y T(h) es la temperatura del aire en calma a la altura h sobre el nivel del mar, medida en K.

Número de Mach (M): número adimensional que relaciona la velocidad de la corriente (respecto al avión en este caso) con la velocidad del sonido (a la altura del avión en este caso):

a

VM [2.2.14]

Es muy importante desde el punto de vista fluidodinámico por dos motivos esencialmente. Primero porque un número de Mach cercano a cero indica que el movimiento es casi incompresible, mientras que para Mach mayores ya hay que tener en cuenta la compresibilidad del aire. Segundo porque M=1 es la frontera entre movimientos subsónicos (M<1) y movimientos supersónicos (M>1), cuyo comportamiento es totalmente distinto.

Coeficiente de Oswald del ala (ew): representa la variación de la resistencia con la sustentación en un ala finita en comparación con un ala ideal que tenga el mismo alargamiento y con distribución de sustentación elíptica.

Mecánica de Vuelo:

Velocidad respecto a tierra (Vg): Es la velocidad del CG del avión respecto a un observador fijo en tierra. Se expresa de manera natural en los ejes NED (SR que se definirá en el siguiente apartado).

Velocidad del aire o viento (Vw): Es la velocidad del aire respecto a un observador fijo en tierra.

La velocidad del avión respecto al aire, la velocidad del avión respecto a tierra y la velocidad del aire respecto a tierra están relacionadas de manera que se cumple (expresándolas en el mismo SR):

wg VVV

[2.2.15]




Figura 2.9: Relación entre velocidad respecto a tierra, velocidad respecto aire y viento.

Ángulo de trayectoria (γ): Es el ángulo de elevación del vector velocidad respecto a

tierra. Es decir, es el ángulo existente entre este vector y la línea intersección del plano ortogonal a la superficie terrestre que contiene al vector velocidad con el plano horizontal local (tangente a la superficie terrestre que está debajo del avión).

2

Este

2

Norte

Subida

VV

Varctan [2.2.16]

En el caso de encontrarse la aeronave nivelada (plano alar paralelo a la horizontal), se cumple que:

γ=θ-α [2.2.17]

Donde θ es el segundo ángulo de Euler del avión (orientación en cabeceo) y se define

con más detalle más tarde.

Ángulo de rumbo (χ): Es el ángulo de acimut del vector velocidad respecto a tierra. Es decir, se trata del ángulo entre la proyección de este vector en la horizontal local y una línea de referencia sobre este plano (generalmente se toma la línea apoyada sobre la horizontal local que índica el Norte).

Norte

Este

V

Varctan [2.2.18]

En el caso de que la aeronave se encuentre nivelada, se cumple que:

χ=β+ψ [2.2.19]

Donde ψ es el tercer ángulo de Euler (orientación en guiñada), que más tarde se

definirá.

Vs

V

Vh Vh

Vg

Vw

Vw sen(φw)

Vh cos(φc)

φw

φc χ

ψ -γ’

Proy. Plano Horiz.

Proy. Plano Vert.

N

E




2.3. Sistemas de referencia

A continuación se van a definir los sistemas de referencia que van a ser utilizados en el presente proyecto.

SR cuerpo (b): Origen (CG), x (paralelo a la línea de referencia, con sentido positivo

hacia el morro), y (perpendicular al plano de simetría geométrico, hacia el semiala derecha visto en planta desde arriba), z (cerrando triedro a derechas, por tanto, hacia abajo y contenido en el plano de simetría).

Figura 2.10: Sistema de Referencia Cuerpo (“body”, b).

Uso natural: ecuaciones de equilibrio del sólido rígido. Propiedades másicas y geométricas (i.e. inercias).

SR NED (n): Origen (es arbitrario, puede ser el punto de despegue), X (vector Norte tangente a la tierra), Y (vector Este tangente a la tierra), Z (cierra triedro a derechas, por tanto mira hacia centro de la tierra).

Figura 2.11: Sistema de Referencia NED (“North-East-Down”, n).

Uso natural: posición, orientación y velocidad relativas a tierra del avión.

Estos dos son los SR esenciales, aunque en diversos desarrollos y resultados parciales serán útiles los siguientes:

SR cuerpo- aerodinámico: Origen (CG u O según convenga), xa (paralelo a la línea

de la cuerda media aerodinámica, con sentido positivo hacia la cola), ya (perpendicular

X

Y

Z

N

E

x

z

y

Línea de referencia

CG




al plano de simetría, hacia el semiala derecha visto en planta), za (cerrando triedro a derechas, por tanto, hacia arriba y contenido en el plano de simetría).

Figura 2.12: Sistema de Referencia Cuerpo-aerodinámico (a).

Uso natural: las ecuaciones de fuerzas y momentos aerodinámicos se expresan con facilidad en él.

SR cuerpo- geométrico: Origen (punto O), xg (paralelo a la línea de referencia, con sentido positivo hacia la cola), yg (perpendicular al plano de simetría, hacia el semiala derecha visto en planta), zg (cerrando triedro a derechas, por tanto, hacia arriba y contenido en el plano de simetría).

Figura 2.13: Sistema de Referencia Cuerpo-geométrico (g).

Uso natural: disposición de puntos característicos y medidas.

SR viento (w): Origen (CG), xw (en dirección y sentido del vector Velocidad respecto al aire), yw (perpendicular a xw y contenido en el plano proyectado de las alas según el ángulo diedro), zw (cierra triedro a derechas).

xa

za

O

(aprox)

xg

zg

yg

Línea de referencia




Figura 2.14: Sistema de Ejes Viento (w).

Uso natural: fuerzas aerodinámicas (sustentación, resistencia y fuerza lateral).

Así que se pueden relacionar trigonométricamente estos ejes con los ejes cuerpo (b), a través de los ángulos de la aerodinámica:

Figura 2.15: Ejes viento (w) y ejes cuerpo (b). (Ilustración de [II.1]).

SR atmósfera: fijo a la atmósfera (sin velocidad relativa respecto al viento), y paralelo al NED, por tanto se mueve a velocidad (supuesta constante) del viento respecto al NED. El origen es arbitrario.

Además de todos estos en aeronáutica suelen usarse otros en los que algunos sensores miden de manera natural como pueden ser el SR Tierra y el SR inercial. No vamos a detenerlos en su definición pues no serán necesarios en los desarrollos de este proyecto.

Referencias angulares:

Ángulos del estado aerodinámico: (recuérdese que han sido definidos en el apartado “Definiciones Previas”)

α: positivo si la componente z del SR cuerpo de la velocidad respecto al aire es positiva. Ángulo cero: plano xy del SR cuerpo.

β: positivo si la componente y del SR cuerpo de la velocidad respecto al aire es positiva. Ángulo cero: plano yz del SR cuerpo.

Ángulos del estado de orientación: (ver su definición más adelante)

Alabeo, cabeceo y guiñada: positivos en sentido de la regla de la mano derecha según x,y,z respectivamente del SR cuerpo.

V

yw

zw

xw




Deflexiones de las superficies de control:

- Profundidad (δe): hacia abajo (abajo es el sentido del eje z).

- Dirección (δr): hacia izquierda (derecha es el sentido del eje y).

- Alerón (δa): el izquierdo hacia arriba.

La deflexión nula para δe, δr, y δa son las líneas de cuerda originales de estabilizador horizontal, estabilizador vertical y ala respectivamente.

Figura 2.16: Deflexiones positivas de las superficies de control.

x

z

δe>0

y

z

δa>0

x

δr>0

y




2.4. Hipótesis3

H.1) Hipótesis de tierra plana: consideramos el SR NED inercial. Razón: las distancias que recorre el avión (menos de 1 km de radio) y el tiempo de vuelo (menor a 20 minutos) son muy pequeños en comparación con el radio de la tierra y la velocidad de giro de la misma (tasa de transporte).

H.2) Condiciones atmosféricas:

a) Atmósfera entorno al avión con velocidad constante (vector viento constante) respecto a los ejes NED (de hecho respecto al SR tierra pero por la

hipótesis anterior se sucede a eso). Razón: la velocidad del avión debe ser susceptiblemente mayor a las variaciones de velocidad del viento, y además no se debe volar si el viento rola o rachea. En todo caso es una hipótesis simplificatoria y por tanto conlleva a error notable en el modelo.

b) Atmósfera Estándar Internacional (ISA, International Standard Atmosphere). Con esto la densidad atmosférica en función de la coordenada Z del SR-NED viene dada por:

SLstd

termicoGL

R·

g

SLstd

termicoSLstd

SLstd

T

)Z(T

T

)Z(T

)Z(

airetermico

[2.4.1]

Definiéndose las constantes:

2

22

3

m/s

/(K·sm

K/m

K

kg/m

87.9g

)287R

10·5.6

15.288T

225.1

aire

3

termico

SLstd

SLstd

TGL: Temperatura en el campo de vuelo.

H.3) Plano xz es de simetría respecto a la masa (inercia). Esta es una hipótesis usual en Mecánica de Vuelo pero en nuestra realidad el avión no tiene una distribución de masa simétrica respecto a ese plano, por lo tanto, debido a esta hipótesis, se tendrá otra fuente de error en el modelo. Sin embargo, por simplicidad en el tratamiento de las ecuaciones se trata de una hipótesis muy necesaria porque, de lo contrario, la no simetría hace que la dinámica longitudinal afecte a la lateral; es decir, que las perturbaciones longitudinales (u, w, q, Fx+Wx, Fz+Wz, My) producen cambios en las componentes laterales (v, p, r). En cambio a pesar de esta hipótesis, las perturbaciones laterales (v, p, r, Fy+Wy, Mx, Mz) afectan tanto a las componentes de velocidad laterales como longitudinales, al menos en el modelo no lineal.

H.4) Condición de vuelo TRIMADO 4 : solución de equilibrio estable del sistema de ecuaciones de vuelo para el que se tiene un vuelo estacionario y

3 Es importante notar que estas hipótesis se van a ir introduciendo a lo largo del desarrollo, y en

conjunto son las hipótesis que dan lugar al resultado final del modelo global linealizado.




rectilíneo (en nuestro caso: velocidad constante, rumbo constante, altura constante). Esto da lugar a unos parámetros de vuelo fijos: V0, α0, β0, ϕ0, θ0, ψ0, δatrim, δetrim, δrtrim; giros nulos p = q = r = 0; y posición NED que varía de forma constante: [X0,Y0, Z0]

T = ( Vw + [Tb_n]ϕ0,θ0,ψ0 · V(V0, α0, β0) ) · t, donde, como ya se definirá, la matriz T representa el cambio de base de SR cuerpo a NED.

H.5) Condición de vuelo de referencia: condición particular de la anterior en que el vuelo además es simétrico y con el avión nivelado. Por tanto β0=0 y ϕ0=0. Además por simplicidad se asume que el vuelo esta alineado con el eje X por lo que ψ0=0.

H.6) Hipótesis de ángulos pequeños: α<<1, β<<1. Es usual en aerodinámica asumir que los ángulos aerodinámicos se encuentran bastante cercanos a cero. En el caso del ángulo de ataque es una hipótesis bastante cercana a la realidad, pero en el cado del resbalamiento no se puede asegurar. Esto hace que simplificaciones relativas a este ángulo en el modelo provoquen error respecto a la realidad, aunque es cierto que el efecto no tiene porque ser desestabilizador.

H.7) Hipótesis de sólido rígido. Aunque parte de la estructura (como las

alas) puedan flectar notoriamente, es más que asumible esta hipótesis en orden de caracterización del movimiento global del avión.

H.8) Hipótesis asumidas en el modelo gravitatorio:

a) la altura sobre la superficie terrestre (que a su vez es casi la altura del mar, al situarse en Sevilla) que alcanza el avión es muy pequeña respecto al radio terrestre.

b) El alcance de las misiones tiene un rango muy pequeño respecto a la circunferencia terrestre (como se establece en la hipótesis H.1).

H.9) Hipótesis asociadas al modelo aerodinámico:

a) Régimen subsónico: el Mach de vuelo estará muy por debajo de 1 (de hecho M≈0.0735 en la condición de equilibrio).

b) Régimen casi incompresible: teniendo en cuenta el valor indicado antes del Mach, se aprecia que se encuentra cercano a cero.

c) Movimiento casi-estacionario (en términos del fluido circundante).

d) Viscosidad despreciable. Asunción válida debido a que se trata de un cuerpo fuselado a bajo ángulo de ataque.

e) Conducción de calor despreciable.

f) Movimientos barótropos.

g) Fuerzas másicas despreciables (nótese que esto es para la dinámica del fluido, el aire, no para el sólido, el avión).

h) Comportamiento del aire como gas ideal.

i) Movimiento isentrópico.

j) Hipótesis de Kutta: la circulación alrededor del perfil debe ser la apropiada para que el punto de remanso posterior no esté en extradós ni en intradós, sino que se encuentre en el borde de salida o desaparezca.

k) Ala de gran alargamiento.

4 Esta definición de trimado es particular para el presente proyecto. Para el caso en que el avión varía su

masa en el vuelo, la definición puede ser algo más compleja.




Estas hipótesis se pueden comprobar numéricamente, pero están muy extendidas en la formulación de modelos como este y, teniendo en cuenta todo lo que va a abarcar este proyecto, no merece la pena tener tanto detalle con la física aerodinámica del proceso. Para más detalles se pueden consultar la bibliografía relativa a este tema, por ejemplo la referencia [VI.3] en su décimo tercer capítulo.

H.10) Hipótesis asociadas al modelo propulsivo:

a) Vuelo axial: por analogía con helicópteros, se consideran las ecuaciones de la Teoría de Elemento de Pala (TEP) para hélices en el caso de vuelo axial ascendente. El avión en crucero (equilibrio trimado), vuela de forma rectilínea hacia delante, movimiento análogo al helicóptero ascendiendo sin avance para la aplicación de dicha teoría.

b) Hipótesis de la TEP:

o Las secciones aerodinámicas de las palas se idealizan como perfiles bidimensionales.

o Los efectos de la velocidad inducida se tienen en cuenta considerando únicamente una modificación del ángulo de ataque en cada elemento de pala y en la velocidad relativa.

o Se supone que en toda circunstancia el problema es axilsimétrico.

o El ángulo de incidencia de la corriente es pequeño debido a que la velocidad asociada al giro del rotor es grande en comparación con la componente axial.

o Resistencia aerodinámica pequeña comparada con la sustentación.

o Aerodinámica subsónica-lineal (ver hipótesis H.9).

c) Hipótesis para la teoría combinada TCM (Teoría Cantidad de Movimiento)-TEP, usada exclusivamente para el cálculo de la velocidad inducida:

o Las leyes de conservación de masa, cantidad de movimiento y energía de la Mecánica de Fluidos son aplicables a tubos de corriente de espesor diferencial considerando que no existe interacción mutua entre tubos de corriente (el movimiento del fluido en el entorno de cada elemento de pala es básicamente bidimensional).

o Al aplicar la ecuación de cantidad de movimiento a cada tubo de corriente la contribución al flujo de cantidad de movimiento axial del término de presión en las paredes del tubo de corriente diferencial es despreciable.

Explicaciones a estas teorías de hélices y las hipótesis asociadas se puenden encontrar, por citar fuentes, en las referencias [II.9]. [II.10] y [II.11].

Es muy importante destacar que el modelo no lineal descansa sobre las hipótesis 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9 y 10. Para obtener el modelo lineal, se añaden las hipótesis 4 y 5, y además se hace uso de la Teoría de Pequeña Señal para poder linealizar entorno al punto de operación.




2.5. Modelo Global

En este apartado vamos a definir y desarrollar las ecuaciones fundamentales (no lineales) que gobiernan la dinámica del avión y el movimiento respecto a los ejes NED. Estas ecuaciones son ciertas bajo las hipótesis H.1, H.2, H.3 y H.7.

ECUACIONES DE LA DINÁMICA DE SÓLIDO RÍGIDO:

En ejes cuerpo:

IIdt

dM

VmVmdt

dWF

s

s

[2.5.1. a, y b]

donde:

Fs: vector fuerza neta sobre la superficie (cerrada) que engloba todo el contorno del avión. Por tanto entran en ella tanto la fuerza que el aire genera sobre la superficie como la fuerza de reacción del sistema propulsor.

Ms: vector momento neto que las fuerzas Fs generan alrededor del CG.

W: vector peso.

m: masa total.

[I]: tensor de inercias.

V: vector velocidad transnacional (velocidad lineal del CG).

ω: vector velocidad angular (entorno al CG).

Las definiciones de las inercias son:

m

zxxz

m

zyyz

m

yxxy

m

22

zz

m

22

yy

m

22

xx

bzzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

dmzxII

dmzyII

dmyxII

dmyxI

dmzxI

dmzyI

III

III

III

I

[2.5.2]

Desarrollando los términos de las expresiones de fuerza y momento en el CG la segunda ley de Newton queda generalizada en el SR cuerpo:




r·q·Iq·p)·II(Mz

)pr·(Ir·p)·II(My

q·p·Ir·q)·II(Mx

r

q

p

I0I

0I0

I0I

r

q

p

·

III

III

III

r

q

p

Mz

My

Mx

r

q

p

III

III

III

g/W)·v·pu·q(WzFz

g/W)·u·rw·p(WyFy

g/W)·w·qv·r(WxFx

w

v

u

g/W00

0g/W0

00g/W

xzyyxx

22

xzxxzz

xzzzyy

zzzx

yy

xzxx

zzxyzx

yzyyyx

xzxyxx

zzxyzx

yzyyyx

xzxyxx

:simetría de plano sea xz que de caso en

[2.5.3]

Habiendo llamado a las componentes de los vectores fuerza y momento: Fs=[Fx,Fy,Fz]b

T, W= [Wx,Wy,Wz]bT, Ms= [Mx,My,Mz]b

T.

Como se indicó en la introducción al capítulo se tienen que desarrollar cuatro sub-modelos (modelo másico-geométrico, de gravedad, aerodinámico y propulsivo) para definir las fuerzas y momentos anteriores.

POSICIÓN Y ORIENTACIÓN: FORMULACIÓN DE EULER.

POSICIÓN: en rigor debe darse como el trío latitud, longitud y altitud. No obstante, dado que la autonomía y el alcance son pequeños, se describirá la posición del avión respecto a un sistema NED con origen en el punto de despegue o similar.

ORIENTACIÓN: se describirá con los ángulos de EULER definidos así5:

a) rotación del SR_NED (X,Y,Z) entorno al Z un ángulo ψ hasta el sistema (x1, y1, z1).

b) rotación del (x1, y1, z1) entorno al y1 un ángulo θ hasta el sistema (x2, y2, z2).

c) rotación del (x2, y2, z2) entorno al x2 un ángulo ϕ hasta el SR_cuerpo (x, y, z).

Esto proceso definitorio puede verse en la figura siguiente.

5 Nótese que como SR de partida se ha tomado el NED. Esto lo hemos hecho así dada la

hipótesis H.5, sin embargo, la elección es arbitraria (se podía haber tomado otro), y la solución no pierde generalidad, solo habría que tener en cuenta un cambio de referencia auxiliar (alineamiento).




Figura 2.17: Obtención gráfica de los ángulos de Euler.

Los ángulos ϕ, θ, ψ se denominan ángulo de alabeo (bank angle), ángulo de elevación (elevation angle) y ángulo de acimut (heading), respectivamente. No se deben confundir con balanceo, cabeceo y guiñada (roll, pitch y yaw), pues existe una leve diferencia entre ellos: la guiñada es la rotación entorno al eje z del SR cuerpo; el cabeceo es la rotación entorno al eje y del SR cuerpo; mientras que alabeo y balance si que coinciden 6 . Por tanto balance, cabeceo y guiñada son ortogonales mientras que los ángulos de Euler no.

El rango de los ángulos es: -180º < ϕ < 180º, -90º < θ < 90º, 0º < ψ < 360º.

Transformaciones de sistemas:

La siguiente matriz es el cambio de base de un vector en el SR cuerpo (b) al SR NED (n)7:

C·CC·SS

C·SS·S·CC·CS·S·SS·C

S·SC·S·CS·CC·S·SC·C

T nb [2.5.4]

Donde con C nos referimos a la función coseno (i.e. Cθ=cos(θ)) y con S a la seno.

Su transpuesta es el cambio inverso:

6 Se debe indicar para no confundir al lector que dependiendo del autor se realiza esa distinción

o no. En este capítulo se ha seguido mayoritariamente la referencia [II.2]. 7 Su desarrollo puede verse en cualquier libro de Mecánica de Vuelo. En este caso se ha seguido el [II.2]

de la bibliografía.

ψ X

x1

x1

x2 θ

y2

y ϕ




Tnbbn TT [2.5.5]

Así mismo puede calcularse la matriz de cambio de la velocidad angular en ejes cuerpo (ω = [p, q, r]T) a la velocidad angular de los ángulos de Euler ( d/dt [ϕ, θ, ψ])1:

C/CC/S0

SC0

C/S·CC/S·S1

T E [2.5.6]

Mientras que el cambio inverso (que no es la transpuesta) es:

C·CS0

C·SC0

S01

TE [2.5.7]

Recopilando todos estos desarrollos llegamos las seis ecuaciones cinemáticas (kinematic transformation equations) en términos de los ángulos de Euler.

Ecuaciones Cinemáticas

r

q

p

·T

V

V

V

w

v

u

·T

Z

Y

X

E

nw

w

w

nb

Z

Y

X

[2.5.8]

Donde, recordando las definiciones previas, (X, Y, Z) es la posición respecto a tierra en SR-NED; (u, v, w) son las componentes de la velocidad del avión respecto al aire en el SR-cuerpo; (VwX, VwY, VwZ) son las componentes de la velocidad del viento respecto a tierra en el SR-NED; (ϕ, θ, ψ) son los ángulos de Euler y (p, q, r) son las velocidades rotacionales entorno a los ejes cuerpo.

Entonces, estas ecuaciones permiten obtener la derivada de la posición NED respecto al tiempo a partir de los ángulos de Euler, de las componentes en ejes cuerpo de la velocidad respecto al aire y de las componentes en ejes NED del viento, así como obtener la derivada de la orientación (ángulos de Euler) respecto al tiempo a partir de los propios ángulos de Euler y la velocidad angular en ejes cuerpo.

La formulación con ángulos de Euler tiene el inconveniente de que posee inherentemente una discontinuidad matemática o singularidad cuando θ=90º ó θ=-90º (se conoce como gimbal lock). Esto puede evitarse usando otro tipo de formulación como puede ser la transformación con matriz de cosenos directores o la transformación con cuaterniones. Esta última es muy útil de cara al cálculo computacional.

No obstante debido a que por un lado el presente avión no debe acercarse a esas cifras del ángulo de elevación durante el tiempo en que el control sea automático y por otro, conceptualmente es más intuitiva la formulación con ángulos de Euler, se va a desarrollar el modelo con esta.

Sin embargo, en caso de requerirse u optarse por el cambio de formulación en el momento de realizar la implementación (por cuestiones de eficiencia y seguridad




computacional) puede hacerse fácilmente pues existen numerosas librerías a disposición en varios programas.

Por otra parte también hay que notar que en este sistema de ecuaciones ocurre que mientras que las perturbaciones longitudinales afectan solo al movimiento longitudinal, las laterales afectan a ambos.

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO. LINEALIZACIÓN

Recopilemos los resultados importantes que se han detallado previamente. Las ecuaciones que rigen el movimiento de un sólido rígido con seis grados de libertad particularizado para el avión bajo las hipótesis H.1, H.2, H.3, H.7, con las definiciones (apartado 2.3), notaciones (ver glosario) y sistemas de referencia (apartado 2.4) indicados al principio son:

bxzyyxx

22

xzxxzz

xzzzyy

1

bzzzx

yy

xzxx

b

bbbb

b

nw

w

w

bn

ea

222

r·q·Iq·p)·II(Mz

)pr·(Ir·p)·II(My

q·p·Ir·q)·II(Mx

·

I0I

0I0

I0I

r

q

p

v·pu·q

u·rw·p

w·qv·r

Wz

Wy

Wx

·W

g

Fz

Fy

Fx

·W

g

w

v

u

r

q

p

·

C/CC/S0

SC0

C/S·CC/S·S1

V

V

V

w

v

u

·

C·CC·SS

C·SS·S·CC·CS·S·SS·C

S·SC·S·CS·CC·S·SC·C

Z

Y

X

V

varcsin

u

varctan

u

warctan

wvuV

Z

Y

X

Cuerpo Ejes en angular velocidad la para E.D.

Cuerpo Ejes en aire al respecto velocidad la para E.D.

Euler de ángulos en norientació la para E.D.

NED en posición la para E.D.

ó

:casaerodinámi Variables

Conjunto de ecuaciones [2.5.9].

El sistema no lineal recopilado consta de 12 ecuaciones diferenciales no lineales acopladas con 12 incógnitas.




Para la linealización del sistema va a hacerse uso de la Teoría de Pequeñas Perturbaciones. De esta forma conociendo una solución particular se puede hacer un desarrollo en serie de Taylor de primer orden del sistema anterior entorno a ese punto de equilibrio o linealización8, de forma que variaciones de la solución particular queden descritas por un sistema lineal que es tanto más aproximado cuanto más cerca del punto de linealización se evalúe el sistema.

El punto de linealización es un conjunto de los parámetros y variables de todas esas ecuaciones y debe elegirse en virtud de la condición de vuelo (altura y velocidad esencialmente) en la que se quiere establecer el equilibrio (punto de equilibrio estable trimado).

Las variables van a ser expresadas como suma de su punto de equilibrio (solución particular del sistema) mas una variación entorno a ese punto que denominaremos variable en pequeña señal.

aaa

MxMxMx

WxWxWx

FxFxFx

XXX

ppp

uuu

0

0

0

0

0

0

0

0

eee

MyMyMy

WyWyWy

FyFyFy

YYY

qqq

vvv

0

0

0

0

0

0

0

0

rrr

MzMzMz

WzWzWz

FzFzFz

ZZZ

rrr

www

0

0

0

0

0

0

0

0

Conjunto de expresiones [2.5.10. a, b, y c]

Las cuatro primeras filas constituyen las 12 variables de estado9 pues definen la posición, velocidad y orientación (su índice de cambio) de la aeronave en sus ejes. Estas son entonces las variables incógnita del sistema de ecuaciones.

El grupo de las tres filas siguientes corresponde a las fuerzas y momentos ya presentados en desarrollos anteriores. La variable en pequeña señal de estas fuerzas y momentos corresponde con una función lineal de la misma respecto a las variables de estado, a alguna de sus derivadas respecto al tiempo y a las variables de control.

Estas variables de control son precisamente la última fila: deflexión del alerón (ailerons, δa), deflexión del timón de profundidad (elevator, δe), y deflexión del timón de dirección (rudder, δr). Además de esta debe tenerse en cuenta una cuarta variable de control: la velocidad de giro de la hélice, que solo afecta a la fuerza y momento propulsivos10:

0 [2.5.10. d]

A partir de ahora se denominará a las variables de control en la posición de equilibrio (“0”) como vector de control en trimado (“trim”) puesto que es un valor que depende del piloto/controlador y no de la mecánica de vuelo (esto es, el piloto debe fijar ese

8 Nótese que con “punto de equilibrio” nos referimos a un conjunto de las variables del sistema

con un valor particular y no debe confundirse con un punto determinado del espacio. 9 Con ánimo de no confundir al lector se debe puntualizar que más tarde en el desarrollo del

modelo en espacio de estados se utilizarán dentro del vector de estados otro conjunto de variables parcialmente distinto al conjunto de 12 variables indicado. Sin embargo, desde el punto de vista teórico debemos presentarlo de esta manera en primer lugar. 10

No se ha definido dentro del bloque de variables de pequeña señal ya que este se trata de un conjunto

idéntico para todas las aeronaves ordinarias, sin embargo, la cuarta variable de control depende del motor particular de cada vehículo.




valor para que el vuelo pueda realizarse bajo la condición de trimado a la velocidad y altura prefijados). Por ello denominaremos:

0trim

0trim

0trim

0trim

rr

ee

aa

[2.5.10. e]

También hay que apuntar que se pueden intercambiar estas variables para que las de estado sean otro conjunto. Por ejemplo, en vez de u,v, w, usar V, α, β. O bien, en vez de usar p,q,r (cuya conveniente integración da lugar a los ángulos de Euler), utilizar directamente los ángulos de Euler ϕ, θ, ψ. En todo caso lo importante es tener un vector de navegación PVA (position-velocity-attitude, es decir, posición-velocidad-orientación).

Por otra parte ténganse presentes los sistemas de referencia en los que se han definido cada una de las variables del conjunto anterior: los vectores V, ω, F, W, M, y

el conjunto de deflexiones están en el SR cuerpo. Por otra parte los ejes de Euler están definidos en sus correspondientes juegos de ángulos y el conjunto (X,Y,Z) lo esta en el SR NED.

Pasamos a plantear las ecuaciones linealizadas para cada uno de los dos modelos.

Se va a considerar la condición de vuelo de la hipótesis H.5 y la hipótesis de pequeños ángulos aerodinámicos H.6. Por tanto, el cuadro de las variables queda:

aaa

MxMx

WxWxWx

FxWxFx

Xt·VVX

pp

uVu)cos(Vu

trim

0

0

0Xw

000

eee

MyMy

WyWy

FyFy

Yt·VY

qq

vv

trim

0

Yw

rrr

MzMz

WzWzWz

FzWzFz

ZHt·VZ

rr

ww)(senVw

trim

0

0

0wZ

00

Conjunto de expresiones [2.5.10. f]

Téngase en cuenta que dado que se asume que las alas están niveladas en la posición de equilibrio, es decir sin ángulo de alabeo (por la hipótesis de la condición de vuelo de equilibrio), se tiene que existirán componentes del peso en el eje “x” y “z” de los ejes cuerpo (debido a que sí hay ángulo de cabeceo θ0), pero no dará lugar a componente en “y”.

Por otra parte la forma de determinar θ0 es obligar a la aeronave a llevar un vuelo trimado con altura constante (esto se puede hacer ya que nuestro avión no pierde masa durante el vuelo y siempre que no exista viento en el eje Z). Generalmente se supone que la componente Z del viento es nula o despreciable y dado que las alas están niveladas, se cumple la relación angular θ-α=γ con lo que si se quiere volar horizontalmente (γ=0) tiene que hacerse que:

00

Con esto, en ausencia de viento en Z, se puede volar a altura constante H0, como se expresa en las ecuaciones anteriores.




Entonces las ecuaciones linealizadas quedan, asumiendo la hipótesis de pequeñas perturbaciones angulares (hipótesis H.6) y despreciando los términos de segundo orden y superior de los desarrollos de Taylor:

proaer

proaer

0

proaer

zzxz

xzxx

proaer

0

proaer

proaer

yy

00

00

00

0

0

00

00

ea

222

MzMz

MxMx

g/W·V·rWyFyFy

r

p

v

·

II0

II0

00g/W

MyMy

g/W·V·qWzFzFz

WxFxFx

q

w

u

·

I00

0g/W0

00g/W

·

000

000

000

0)·cos(V0

)·cos(V00

0)(sen·V0

r

q

p

w

v

u

·

)sec(00000

010000

)tan(01000

000)cos(0)(sen

000010

000)(sen0)cos(

Z

Y

X

u

v

u

w

wvuV

LESDIRECCIONA-LATERAL

angular velocidad yaire al respecto velocidad la para E.D.

ALESLONGITUDIN

angular velocidad yaire al respecto velocidad la para E.D.

Euler de ángulos en norientació la yNED en posición la para E.D.

:casaerodinámi Variables

Conjunto de ecuaciones [2.5.11]

Como se puede apreciar, y como ya se ha mencionado anteriormente, para cerrar el modelo hay que introducir cuatro sub-modelos. El primero es referente a la masa y




geometría para definir las inercias. Los otros son referentes a la dinámica: se requiere un modelo gravitatorio, un modelo aerodinámico y un modelo propulsivo (que en las ecuaciones anteriores ya se ha separado explícitamente del aerodinámico). Además estos modelos deben ser linealizados en sus expresiones en ejes cuerpo, de ahí que en las ecuaciones anteriores estos modelos están expresados en nomenclatura de pequeña señal.




2.6. Modelo Másico-Geométrico

Geometría Característica

Como se mencionó en la introducción al capítulo, gran parte de los resultados (inercias, fuerzas aerodinámicas, etc.) se encuentran estrechamente asociados a la geometría característica del avión. Por esta razón conviene especificar aquí dichos valores característicos.

Fuselaje:

o Longitud: L=1.34 m.

o Anchura máxima: Dm=0.1450 m.

o Altura máxima: Hm=0.2 m.

Ala (w, wing):

o Incidencia: iw=0.0398 rad.

o Flecha: Λw=0 rad.

o Diedro geométrico: Γw=0.0259 rad.

o Torsión: θw=0 rad.

o Envergadura: bw=1.82 m.

o Cuerda media aerodinámica: cw=0.2747 m.

o Cuerda en la raiz: cr_w=0.3 m.

o Cuerda en la punta: ct_w=0.3 m.

o Cuerda en el encastre: cj_w=0.3 m.

o Superficie alar: Sw=0.546 m2.

o Alargamiento (aspect ratio): Arw=6.6247.

o Estrechamiento (taper ratio) λw=1.

o Espesor máximo: tw=0.048 m.

o Punto más adelantado (SR-cuerpo): OPw=[0 0 0]T m.

o Cuerda superficie flapeada (alerones): ce_w=0.042 m.

o Longitud flapeada (alerones): Le_w=1.584 m.

Estabilizador Horizontal (ht, horizontal tail):

o Incidencia: iht=0.0475 rad.

o Flecha: Λht=0.0947 rad.

o Diedro geométrico: Γht=0 rad.

o Torsión: θht=0 rad.

o Envergadura: bht=0.65 m.

o Cuerda media aerodinámica: cht=0.1744m.

o Cuerda en la raiz: cr_ht=0.1854 m.

o Cuerda en la punta: ct_ht=0.1630 m.

o Cuerda en el encastre: cj_ht=0.1840 m.




o Superficie alar: Sht=0.1205 m2.

o Alargamiento (aspect ratio): Arht=3.5064.

o Estrechamiento (taper ratio) λht=0.8793.

o Espesor máximo: tht=0.08 m.

o Punto más adelantado (SR-cuerpo): OPht=[-0.8034 0 0.1358]T m.

o Cuerda superficie flapeada (timón profundidad): ce_ht=0.044 m.

o Longitud flapeada (timón profundidad): Le_ht=0.65 m.

Estabilizador vertical11 (vt, vertical tail):

o Incidencia: ivt=0 rad.

o Flecha: Λvt_p=0.06301 rad; Λvt_s=1.3449 rad.

o Diedro geométrico: Γvt=0 rad.

o Torsión: θvt=0 rad.

o Altura desde el encastre: bvt_p=0.223 m; bvt_s=0.0493 m.

o Cuerda media aerodinámica: cvt=0.1777 m.

o Cuerda en la raiz (encastre): cr_vt_p=0.236 m; cr_vt_s=0.167 m.

o Cuerda en la punta: ct_vt_p=0.149 m; ct_vt_s=0 m.

o Superficie alar: Svt=0.0609 m2.

o Alargamiento (aspect ratio): Arvt=0.8171.

o Estrechamiento (taper ratio): λvt_p=0.6314; λvt_s=0.

o Espesor máximo: tvt=0.008 m.

o Punto más adelantado (SR-cuerpo): OPvt_p=[-0.7284 0 0.11]T m; OPvt_s=[-0.5614 0 0.11]T m

o Cuerda superficie flapeada (timón dirección): ce_vt=0.053 m.

o Longitud flapeada (timón dirección): Le_vt=0.22 m.

A continuación presentamos una representación aproximada de la aeronave realizada con Matlab® para que queden claros los anteriores parámetros.

11

A efectos de caracterización geométrica se divide el estabilizador vertical en dos partes la

principal (p) y la secundaria (s), debido a la forma que tiene.




Figura 2.18: representación aproximada de la aeronave.

Figura 2.19: Vista en plano xz (ejes cuerpo).

Figura 2.20: Vista en plano yz (ejes cuerpo)




Figura 2.21: Vista en plano xy (ejes cuerpo).

Figura 2.22: Disposición interior de los componentes instalados a fecha de este proyecto.




Masa total

Pesando el avión mediante una balanza hemos obtenido que la masa total del avión en la fecha de este proyecto es de 2.7880 kg.

Centro de Gravedad

En referencia al punto O (borde de ataque del perfil central del ala) y en el sistema de referencia cuerpo definido, el centro de gravedad queda cuantificado por el vector:

m 10

11

12.1

12.9

OG 2

b

)erimentall(exp

[2.6.1. a]

Este vector ha sido obtenido experimentalmente mediante el uso de básculas.

Sin embargo, por la hipótesis H.3, se va a despreciar la excentricidad en el eje y del CG, de forma que consideramos:

m 10

11

0

12.9

OG 2

b

[2.6.1. b]

Matriz de inercias

Para estimar el tensor de inercias se ha dividido el avión (fuselaje, ala y estabilizadores) en un gran número de placas (rectangulares y triangulares) en las que es fácil aplicar fórmulas conocidas y después aplicar el Teorema de Steiner para obtener la inercia total. Además también se consideran los componentes instalados y los refuerzos interiores. El cálculo se realiza con la herramienta Matlab® mediante varios programas implementados (la relación de los mismos puede verse en el Anexo A, “Relación de programas Matlab y Simulink”).

El resultado es el que sigue:

2

b

exp)teo(kg·m

0.4870 0.0000- 0.0027

0.0000- 0.2904 0.0013

0.0027 0.0013 0.2213

I

[2.6.2. a]

Se aprecia que existe componente Ixy, no obstante, por la hipótesis H.3, se va a considerar que no se tiene dicha componente (nótese que es despreciable frente a los valores diagonales, si bien es verdad que es del mismo orden que Ixz). Así que:

2

b

kg·m

0.4870 0.0000 0.0027

0.0000 0.2904 0.0000

0.0027 0.0000 0.2213

I

[2.6.2. b]

Comprobaciones

Con los programas de la estimación inercial también se calculan de forma teórica la masa y centro de gravedad, obteniéndose:

Mteórica=2.7130 kg.

OGteórico=[ -0.0999, 0.0011, 0.1004]T [m].

Con lo que el error respecto al valor real es:




Errormasa=2.6901%.

ErrorCG=[9.5008, 10.0433, 8.7476]T [%].

Observamos que los errores no son excesivos, lo que proporciona una idea de la bondad de la estimación realizada. Aunque es evidente que el cálculo es bastante teórico por lo que asegurar que ese tensor se encuentra muy cercano al real no es algo asegurable. También nótese que a pesar de que se obtengan errores cercanos al 10 % en el vector CG, la diferencia del teórico respecto al real es de menos de un centímetro para cada componente.

Por otra parte también se debe comprobar que el valor de las inercias en orden de magnitud relativo es correcto; es decir deben cumplirse y se cumplen las propiedades del sólido rígido:

4870.05117.02904.02213.0III zzyyxx

4870.00691.02213.02904.0III zzyyxx

2904.07083.04870.02213.0III yyzzxx

2904.02657.02213.04870.0III yyzzxx

2213.07774.04870.02904.0III xxzzyy

2213.01966.02904.04870.0III xxzzyy

0054.02213.0I2)I,Imin( xyyyxx

Por último indicar que en el Anexo B se describe la toma de medidas de la geometría y el experimento de obtención del CG.




2.7. Modelo Gravitatorio

Modelo no lineal

Existen modelos gravitatorios muy sofisticados (por ejemplo los basados en el WGS-84). No obstante, no conviene utilizar este tipo de modelos en el presente trabajo por varios motivos: en primer lugar porque usarlos no se correspondería con la precisión global del modelo; es decir, el modelo aerodinámico y el propulsivo tienen considerable menos precisión que los modelos gravitatorios sofisticados. Por ello no compensa usar modelos gravitatorios complejos que después complicarán el cálculo. Y en segunda instancia, porque las condiciones de vuelo no los requieren debido a las aceptaciones de las hipótesis H.8 establecidas en el apartado correspondiente a la relación de las hipótesis.

Entonces la fuerza gravitatoria en SR cuerpo es:

))·cos(cos(

))·cos((sen

)(sen

·W

Wz

Wy

Wx

[2.7.1]

Siendo el módulo del vector:

g·mW [2.7.2]

Tomando la masa de la aeronave “m” en kg y la aceleración de la gravedad como g=9.81 m/s2.

Modelo lineal

Ahora vamos a dar ese modelo pero linealizado; para ello se hace uso del concepto de teoría de pequeña señal desarrollado en el apartado del Modelo Global. Recuérdense las hipótesis bajo las que se han desarrollado los modelos, las cuales ya han sido expuestas en los apartados anteriores. Entonces, la parte correspondiente a la fuerza gravitatoria del desarrollo de Taylor es:

·

WzWzWz

WyWyWy

WxWxWx

Wz

Wy

Wx

0,0,0

b

[2.7.3]




Figura 2.22: Vector Peso en ejes cuerpo.

Una vez realizadas dichas derivadas parciales (ver Anexo II.1) y habiendo usado las hipótesis apropiadas tenemos la siguiente relación para la fuerza gravitatoria en pequeña señal para el modelo lineal:

·

0)(sen0

00)cos(

0)cos(0

·W

Wz

Wy

Wx

0

0

0

[2.7.4]

y

x

W sen(ϕ) cos(θ)

W sen(θ)

z

W cos(ϕ) cos(θ)

W




2.8. Modelo Aerodinámico

Modelo aerodinámico no-lineal

Desde el principio, tal y como se desprende de las hipótesis asociadas a la aerodinámica (hipótesis H.9), se va a asumir un modelo aerodinámico lineal entre los

coeficientes adimensionales de fuerzas y momentos totales y las variables de las que depende la aerodinámica. Como veremos a continuación, una vez definidos así los coeficientes totales, estos se transforman en fuerzas y momentos aerodinámicos deshaciendo la adimensionalización, con lo que pasan a ser función de la densidad del aire (es decir, de la altura) y de la velocidad del avión respecto al aire, además de las variables de las que dependen los coeficientes adimensionales totales. Es al deshacer dicha adimensionalización cuando el modelo deja de ser lineal.

Por otra parte también se tienen dos juegos de ecuaciones separados: fuerzas y momentos longitudinales por un lado, y lateral-direccionales por otro.

Las fuerzas y momentos aerodinámicos que se van a cuantificar están asociados a los ejes cuerpo (ver figura de abajo), para el caso en que no exista viento. Generalmente, en el desarrollo lineal se considera que los ejes viento son aproximadamente los ejes cuerpo. De todas formas en el modelo no lineal se tendrá en cuenta que las fuerzas aerodinámicas se encuentran definidas en los ejes viento, realizando la transformación de estos ejes a los cuerpo convenientemente.

Figura 2.23: Fuerzas y momentos aerodinámicos en ejes cuerpo, donde CZ≈ -CL y CX≈ -CD (Ilustración de [II.2]).

Ecuaciones longitudinales12:

Coeficiente de sustentación (según eje –z-viento):

MCqCV·2

cC

V·2

ceCCCC LMLq

wL

weLL0LL

[2.8.1. a]

12

Recuérdese el apartado de definiciones previas en el que vienen definidas las variables que

se utilizan en las definiciones de estas ecuaciones.

y

x

z

1/2ρV2Sw CX

1/2ρV2Sw CY

1/2ρV2Sw CZ 1/2ρV2Sw bwCl

1/2ρV2Sw bwCn

1/2ρV2Sw cwCm




Coeficiente de resistencia13 (según eje –x-viento):

MCqCV·2

crCaCeCCCCC DMDq

wrDaDeD

2

0Ltrim_L0DD

[2.8.1. b-1]

Para el caso lineal se utilizará la expresión siguiente que se deduce linealizando la anterior:

MCqCV·2

crCaCeCCCC DMDq

wrDaDeDD0DD

[2.8.1. b-2]

Coeficiente del momento de cabeceo (entorno a eje y):

MCqCV·2

cC

V·2

ceCCCC mMmq

wm

wemm0mm

[2.8.1.c]

Ecuaciones lateral-direccionales:

Coeficiente de resbalamiento (fuerza lateral, según eje y-viento)

rCV2

bpC

V2

brCaCCCC Yr

wYp

wrYaYY0YY

[2.8.2. a]

Coeficiente del momento de balance (entorno al eje x):

rCV2

bpC

V2

brCaCCCC lr

wlp

wrlall0ll

[2.8.2. b]

Coeficiente del momento de guiñada (entorno al eje z):

rCV2

bpC

V2

brCaCCCC nr

wnp

wrnann0nn

[2.8.2. c]

DERIVADAS DE ESTABILIDAD Y POTENCIA

Ahora se va a proceder a cuantificar el valor de todos esos coeficientes. Para ello es necesario definir una condición de vuelo:

Velocidad respecto al aire V0=20 m/s.

Altura sobre el nivel del mar H0=25 m.

Temperatura a nivel del suelo T0=288 K.

La justificación de la consideración de esos valores se encuentra en lo que se ha observado durante los vuelos de prueba realizados.

13

Existen varias formas de modelar la resistencia. La más común es usar la polar parabólica

del avión (que relaciona CD con CL parabólicamente) y es en la que se basa la fórmula expuesta. La parte de la polar correspondería con los dos primeros términos (resistencias parásitas e inducida), el resto corresponde con el efecto de las deflexiones y de los transitorios.




Con estos valores, y bajo las condiciones de trimado de la hipótesis H.514, el valor de las derivadas (ver Anexo II.2. “Derivadas de estabilidad y control” donde se describe el procedimiento de cálculo de estos parámetros) es:

CL0= 0.3019

CLα= 5.1115

CLδf= 0

CLδe= 0.4940

LC = 4.1052

CLq= 8.0258

CLM= 0.0147

CD0= 0.0219

CDα= 0.1019

CDδf= 0

CDδe= 0.0111

CDδa= 0

CDδr= 0

CDq= 0.1766

CDM= 6.3449·10-4

CY0= 0

CYb= -0.1963

CYp= -0.0650

CYr= 0.1516

CYδa= 0.0497

CYδr= 0.0930

Cm0= -0.0630

Cmα= -0.7637

Cmδf= 0

Cmδe= -1.2506

mC = -9.6444

Cmq= -10.8340

CmM= 0.0022

Cl0= 0

Clβ= -0.0245

14

Nótese que a pesar de estar construyendo el modelo no lineal, como se expresa en la

hipótesis H.9, las ecuaciones de los coeficientes adimensionales aerodinámicos se consideran lineales, por lo que para el caso del cálculo de las derivadas (y solo para este caso) se aplica la hipótesis H.5.




Clp= -0.4619

Clr= 0.0366

Clδa= -0.3487

Clδr= 0.0036

Cn0= 0

Cnβ= 0.0143

Cnp= -0.0342

Cnr= -0.0652

Cnδa= 0.0249

Cnδr= -0.0431

El valor de las derivadas es adimensional, pero es importante notar que, para los coeficientes asociados a variables angulares, se considera que estas se expresarán en radianes.

Ecuaciones para el modelo no lineal:

Definidos los coeficientes de la manera anterior, solo queda deshacer la adimensionalización, con lo que las fuerzas y momentos aerodinámicos toman la forma:

bnw

mw

lw

w

2aer

G

)viento_ejes(wL

Y

D

w

2aer

r,a,r,p,C·b

M,e,q,,C·c

r,a,r,p,C·b

SV)Z(2

1M

M,e,q,,C

r,a,r,p,C

M,r,e,a,q,,C

SV)Z(2

1F

[2.8.3. a y b]

siendo: ρ(Z) la densidad del aire, V la velocidad respecto al aire, Sw la superficie alar completa (incluido la parte cubierta por el fuselaje) y bw la envergadura y cw la cuerda media aerodinámica.

La transformación de ejes cuerpo a viento viene dada por:

C0S

S·SCS·C

C·SSC·C

T wb [2.7.4]

Por tanto, la función de la fuerza queda:

wL

Y

D

T

w

2b

aer

C

C

C

·

C0S

S·SCS·C

C·SSC·C

SV)Z(2

1F

[2.8.5]




Modelo aerodinámico lineal:

Sustituyendo los coeficientes adimensionales en las funciones anteriores se puede desarrollar la fuerza y momento aerodinámicos de forma que sea fácil de integrar en una visión de espacio de estados.

Hay que tener en cuenta que dado que la linealización se realiza en condiciones de trimado (hipótesis H.4) y que además se asume que los ángulos aerodinámicos toman valor muy pequeño (hipótesis H.6), los ejes viento coincidirán aproximadamente con los ejes cuerpo.

Como se puede ver en el Anexo II.3 (“Linealización del modelo aerodinámico”) se llega a que las ecuaciones del modelo aerodinámico lineal son:

r

a

00

CC

CCe

0C

00

0C

r

p

00000

00CV2

bC

V2

bC

00000

q

V

0CV·2

cCF

VS

4C

)Z(a

1

000FVS

4

0CV·2

cCF

VS

4C

V

1

CV·2

c0

0

VS)Z(2

1

)v(F

rYaY

rDaD

eL

eD

Yr

0

wYp

0

wY

Lq

0

wL

0

aer

z3

0w

LM

0

0

aer

y3

0w

Dq

0

wD

0

aer

x3

0w

Du

0

L

0

w

2

0w0

var

aer

[2.8.6. a]




r

a

CC

00

CCe

00

0C

00

r

p

00CV2

bC

V2

bC

00000

00CV2

bC

V2

bC

q

V

000MVbS

4

0CV·2

cCM

VcS

4C

)Z(a

1

000MVbS

4

CV·2

c0

0

b00

0c0

00b

VS)Z(2

1

)v(M

rnan

rlal

em

nr

0

wnp

0

wn

lr

0

wlp

0

wl

0

aer

z3

0ww

mq

0

wm

0

aer

y3

0ww

mM

0

0

aer

x3

0ww

m

0

w

w

w

w

2

0w0

var

aer

G

[2.8.6. b]




2.9. Modelo Propulsivo

Modelo propulsivo no-lineal:

Se va a utilizar un modelo teórico que requiere medidas experimentales y geométricas. Esta basado en la Teoría del Elemento de Pala (TEP), aplicada usualmente en helicópteros, por lo que se asumirá la particularidad de vuelo axial ascendente como analogía al crucero estacionario. Además, para calcular la velocidad inducida por la hélice en el aire, se hará uso de la teoría conjunto TCMEP (Teoría de Cantidad de Movimiento + Teoría de Elemento de Pala). Esta y todas las demás hipótesis asociadas al modelo propulsivo son las correspondientes a las hipótesis H.10 del apartado 2.4 “Hipótesis”.

DIRECCIÓN DE LOS VECTORES FUERZA Y MOMENTO PROPULSIVOS

Se procede a definir el vector fuerza propulsiva. Para saber su dirección y sentido se ha recurrido a la medida experimental de la dirección perpendicular al plano de puntas (plano que define la hélice).

En el plano vertical se ha encontrado que la diferencia de altura entre punta y cabeza era menor al milímetro (del orden de 0.05 mm), respecto al eje z del SR cuerpo.

En el plano horizontal ni siquiera se noto desviación respeto al eje x, usando calibre de precisión de centésimas de milímetro.

No obstante al girar el eje se pudo observar que la cabeza del tornillo oscilaba aproximadamente 2 mm de radio en el plano de giro.

A pesar de esto, es factible según las medidas explicadas concluir que el vector fuerza propulsiva tiene la dirección del eje x del SR cuerpo y sentido el positivo de dicho eje.

El momento que genera esta fuerza se puede calcular como el producto vectorial de la misma con el vector que une el eje de la hélice (punto P) con el centro de gravedad (punto G).

Para ello es necesario la medida geométrica de dicho punto en el SR cuerpo. La medida real encontrada es:

m 2

bbb

10

75.0

5.1

82.41

100/11

100/12.1

100/12.9

100/75.11

100/38.0

100/7.32

OGPOPG

siendo “O” el punto del b.a. que intersecta con el plano de simetría vertical geométrico.

Por la hipótesis H.3, vamos a considerar despreciable el término en la componente “y”, con lo que se tiene:

m 2

b

2

b

2

b

10

75.0

0

82.41

10

11

0

12.9

10

75.11

0

7.32

'OG'PO'PG

Por otra parte el momento propulsivo total es suma del definido antes mas el momento que provoca el par de reacción de la hélice en el avión. Este es un momento con dirección el eje “x” (momento de alabeo) y se ha obtenido experimentalmente (ver Anexo B).




MÓDULO DEL VECTOR FUERZA PROPULSIVA: MODELO TEP

El módulo del vector fuerza propulsiva o empuje lo indicaremos con T (del inglés, thrust) y va a ser estimado mediante la Teoría del Elemento de Pala TEP, usada comúnmente en helicópteros. En nuestro modelo se usará el caso particular de vuelo axial ascendente pues es análogo al vuelo de crucero.

Esta teoría permite relacionar el coeficiente de tracción con el parámetro de avance J (cociente entre la velocidad de avance y el producto de la velocidad de giro por el diámetro de la hélice) o bien con la velocidad adimensional λc (cociente entre la velocidad de avance y el producto de la velocidad de giro por el radio de la hélice).

El módulo T se obtiene deshaciendo la adimensionalización de la TEP, con lo que además de con el parámetro de avance, el empuje será función de la altura y la velocidad de giro.

La base para la construcción de este modelo es la geometría de la hélice (radio, número de palas, torsión de las palas y cuerda en cada sección) y algunas características aerodinámicas (coeficiente de sustentación de cada perfil de la pala). Vamos a caracterizar geométricamente la hélice:

Número de palas: bh=2.

Radio de la hélice: Rh=0.1480 m.

Torsión: θh(xh)=θh0+θh1·xh, siendo xh=rh/Rh, con “rh” la coordenada que recorre la pala desde la raíz hasta la punta. Los valores son: θh0= 0.8954, θh1= -0.8381.

Distribución de cuerda:

ch(xh)=-0.105xh5+0.285xh

4-0.2198xh3-0.0228xh

2+0.0522xh+0.0194.

Para la caracterización aerodinámica se va a suponer como primera aproximación que cada perfil tiene un coeficiente de sustentación respecto al ángulo de ataque de Clα_h=2π. Este es el valor teórico para la placa plana y dado que el perfil de cada

sección es muy difícil de medir pero se trata de perfiles muy delgados, se ha decidido tomar esa aproximación.

Con estas definiciones la geometría de la hélice puede representarse:




Figura 2.24: Representación de la hélice.

El diferencial del coeficiente de tracción en virtud de la TEP en vuelo axial (véanse las referencias [II.9], [II.10] y [II.11]) viene dado por:

h

2

h

h

hhh_lT dxx

xC

2

1dC

[2.9.1]

Donde σ es la solidez definida como:

h

hhhh

R

)x(cb)x(

[2.9.2]

Siendo bh el número de palas (dos en nuestro caso).

Y λh es la velocidad inducida adimensionalizada que se calcula como fruto de la teoría conjunta TCMEP:

hhh

h_l

2

h_ch_lh_ch_l

hh x)x(8

C

216

C

216

C)x(

[2.9.3]

Siendo λc_h la velocidad adimensional de avance:




h

h_cR

V

[2.9.4. a]

Donde V, para nuestro caso, es la velocidad del avión, y ω la velocidad de giro de la hélice. No obstante, es más usual utilizar en vez de la variable anterior, el parámetro de avance, J:

hD

VJ

[2.9.4. b]

Donde Dh es el diámetro de la hélice.

De esta forma ya se tiene una expresión de dCT en función de xh (es decir, para cada sección).

La integración del diferencial de coeficiente de tracción se ha realizado numéricamente para varios “J”, obteniendo una serie de puntos que permiten generar una interpolación suficiente. Además de esa integración, también se ha utilizado el software libre JavaProp, el cual se basa también en la teoría expuesta pero con

diversas correcciones que hacen que se pueda adaptar mejor a las hélices de propulsión. De hecho se han comparado los resultados encontrados tanto con el programa como el de la integración respecto a datos experimentales, y para el caso de JavaProp la cercanía a la realidad es bastante alta. Tanto la obtención del coeficiente

de tracción de ambas formas como las comparativas pueden verse en el Anexo II.4 (“Coeficiente de tracción”).

Por esta razón se va a usar la relación CT(J) obtenida mediante el software, resultando de la interpolación entre varios puntos:

4h3h

2

2h

3

1hT pJpJpJp)J(C [2.9.5]

Con los coeficientes del polinomio (para uso en el S.I.):

ph1 =-0.0954

ph2 =-0.7101

ph3 = -0.0157

ph4 = 0.0087

Deshaciendo la adimensionalización:

)J(C)Z(RT T

24

helice [2.9.6]

Recordando la definición de J (y su dependencia con V y ω), y de la densidad atmosférica ρ (ecuación 2.4.1).

Luego, recopilando esto términos, el módulo del empuje queda:

4h

1

h

3h

2

h

2h

3

h

1h

24

h pD

Vp

D

Vp

D

Vp)Z(R)Z,V,(T

[2.9.7]

siendo: ω la velocidad de giro de la hélice, V el módulo de la velocidad respecto al aire, y Z la componente z del SR NED (es decir, la altura cambiada de signo). Importante notar que esta función es válida para el uso con unidades del Sistema Internacional para los coeficientes del polinomio dados.




Las siguientes gráficas representan tanto el coeficiente de tracción como el empuje para varios regímenes de giro frente al parámetro de avance. Podemos observar que cuanto mayor es la velocidad menor es el empuje disponible, y cuanto mayor es la velocidad de giro de la hélice, lógicamente, mayor es el empuje prestado.

Figura 2.25: Coeficiente de tracción frente a J.

Figura 2.26: Empuje para distintas velocidades de giro a nivel del mar.

VECTOR EMPUJE:

Ya se ha definido, la dirección, el sentido y el módulo, que ahora se resumen en la siguiente función:

N

0

0

)Z,V,(T

)Z,V,(F

b

pro

[2.9.8]

Siendo T el empuje especificado en el apartado anterior.




VECTOR MOMENTO PROPULSIVO:

Podemos componer el vector momento propulsivo a partir de dos, uno correspondiente al producto vectorial de T y otro debido a la reacción al giro de la hélice sobre el avión.

Desarrollando el producto vectorial especificado antes, (recordar hipótesis H.3):

N·m

0

)Z,V,(T0075.0

0

'PGy)Z,V,(T

PGz)Z,V,(T

0

PGz'PGyPGx

00)Z,V,(T

kji

'PG)Z,V,(F)Z,V,(M

b

b

bbb

pro)T(

pro

G

[2.9.9. a]

El momento de reacción al giro de la hélice se ha estimado experimentalmente y comparado con el resultado teórico (JavaProp).

b

reacc

G)R(

pro

G

reacc

G

0

0

M

M

Nm 1.0M

[2.9.9. b]

Por tanto, el momento total es:

N·m

0

)Z,V,(T0075.0

M

MM)Z,V,(M

b

reacc

G)R(

pro

G

)T(pro

G

pro

G

[2.9.9. c]

La siguiente figura representa las componentes de la fuerza y momento propulsivo.

Figura 2.27: Componentes de fuerza y momento propulsivo.

Fxpro

Mypro

Mxpro




Modelo propulsivo linealizado

Procedamos a linealizar las ecuaciones anteriores. En principio habría que linealizar respecto a tres variables: ω, V y Z. Lo que ocurre es que dado que la densidad del aire no varía mucho, no merece la pena a efectos de cálculo considerarla variable, y por tanto supondremos que ρ=ρ(Z0). Por tanto, el desarrollo en serie de Taylor de primer orden, teniendo en cuenta que solo hay componente “x” en la fuerza y que solo se considera variable la componente “y” en el momento, será:

V)V,(MV

)V,(M)V,(M

VV)V,(MV

)V,(M)V,(M)V,(M

V)V,(FV

)V,(F)V,(F

VV)V,(FV

)V,(F)V,(F)V,(F

0,0V

prop

y

0,0V

prop

y

prop

y

0

0,0V

prop

y

0

0,0V

prop

y00

prop

y

prop

y

0,0V

prop

x

0,0V

prop

x

prop

x

0

0,0V

prop

x

0

0,0V

prop

x00

prop

x

prop

x

[2.9.10]

Las derivadas anteriores corresponden a derivar la fórmula del empuje respecto a V y ω:

h

3h

2

h

2h2

3

h

1h0

4

hD

pV

D

p2

V

D

p3)·Z(R)V,(T

V

4h

h

3h

2

3

3

h

1h0

4

h p2VD

pV

D

p)·Z(R)V,(T

[2.9.11]

Ecuaciones en las que hay que usar el Sistema Internacional de Unidades, para los valores de los coeficiente “p” indicados antes.

Sustituyendo estas derivadas en el desarrollo en serie y teniendo en cuenta el carácter vectorial, podemos poner la expresión en la forma apta para las variables de estado y de control:




N

e

00

00

p2VD

pV

D

p0

q

V

0000

0000

000D

pV

D

p2

V

D

p3

)·Z(2

D

F

04h0

h

3h

2

0

3

0

3

h

1h

0

h

3h02

h

2h

0

2

0

3

h

1h

0

4

h

b

pro

[2.9.12. a]

N·m e

00

p2VD

pV

D

p0

00

q

V

0000

000D

pV

D

p2

V

D

p3

0000

)PG)·(Z(2

D

M

04h0

h

3h

2

0

3

0

3

h

1h

0

h

3h02

h

2h

0

2

0

3

h

1h

z0

4

h

b

pro

G

[2.9.12. b]

Con:

Coefs. Polinomio: ph1 =-0.0954; ph2 =-0.7101; ph3 = -0.0157; ph4 = 0.0087.

Diámetro hélice: Dh= 0.2960 m.

Brazo centro de empuje-centro de gravedad: PGz= -0.0075 m.




2.10. Modelo no lineal

Ya se ha desarrollado el modelo global y se han modelado las fuerzas que en él intervienen. En este apartado tan solo se recopila la designación de esas ecuaciones para que sea fácilmente identificable el modelo no lineal desarrollado.

De esta forma, las ecuaciones globales que rigen la dinámica del avión bajo las hipótesis H.1, H.2, H.3, H.7, con las definiciones (apartado 2.3), notaciones (ver glosario) y sistemas de referencia (apartado 2.4) son el conjunto [2.5.9] (modelo global).

Para completar el modelo se debe hacer uso de las ecuaciones:

[2.6.1. b] y [2.6.2. b] (modelo inercial).

[2.7.1] y [2.7.2] (modelo gravitatorio), bajo las hipótesis H.8.

[2.8.5] y [2.8.3. b] (modelo aerodinámico), bajo las hipótesis H.9.

[2.9.8] y [2.9.9. c] (modelo propulsivo), bajo las hipótesis H.10.

Realizando la evaluación de las ecuaciones el S.I. de unidades para los valores de los parámetros dados a lo largo del proyecto.




2.11. Modelo lineal: Espacio de Estados, primera ecuación.

Primera Ecuación del Espacio de Estados

En este apartado se van a ensamblar los sub-modelos linealizados de gravedad, propulsivo, aerodinámico y másico-geométrico insertándolos en las ecuaciones linealizadas del modelo global (ecuaciones [2.5.11]).

En atención a las ecuaciones del modelo aerodinámico y propulsivo queda todavía un aspecto a resolver. Esta es la relación ente (u, v, w) y (V, α, β), que como se puede ver al principio del conjunto de ecuaciones anterior, no es lineal. Por ello vamos linealizar también esa relación.

2/3222/322

222/322

2

222/322

22

222/322

2

222/322

2/3222/322

22

2/3222/322

2/3222/322

22

22

22

22

ea

222

1

V2

2

1

1

Vw

1

V

1

V

1

V2

2

1

1

Vw

1V

w

1

V

1

V

1

V2

2

1

1

Vv

1

V2

2

1

1

Vv

1V

v

1

V2

2

1

1

Vu

1

V2

2

1

1

Vu

1

1

V

u

:derivando

1

Vw

1

V·v

1

Vu

u

v

u

w

wvuV

Entonces, la linealización de la relación entre variables aerodinámicas queda:




2/32

0

2

0

000

2

0

2

0

0

2/32

0

2

0

0

2

0

2

0

2

0

0

2

0

2

0

0

2/32

0

2

0

0

2

0

2/32

0

2

0

000

2

0

2

0

0

2/32

0

2

0

00

2/32

0

2

0

00

2

0

2

0

0

0

1

V

1

V

1

V

1

1

V

1

V

1

V

1

1

V

1

V

1

1

R

:con

V

R

w

v

u

[2.11.1. a]

Teniendo en cuenta la hipótesis de pequeños ángulos (hipótesis H.6), la relación

anterior se simplifica pues:

V

0V0

V00

001

w

v

u

:Entonces

V,

0

0

000

[2.11.1. b]

Con esto ya se puede generar la primera ecuación de la descripción en espacio de estados:

ces

cee

vDvCv

vBvAv

[2.11.2]

Decimos primera ecuación (en rigor, primer conjunto de ecuaciones) dado que solo se van a definir las matrices A y B anteriores. Las matrices C y D se definirán mas tarde pues depende de las variables que son observables y de la estimación a partir de ellas del vector de estados; es decir depende de los sensores (ver siguiente capítulo).

Por otra parte dado las características del modelo global y de los submodelos definidos es claro que se puede separar el modelo en dos movimientos distintos al menos hasta el nivel de la velocidad y la orientación (a nivel de posición no es posible). Por un lado el movimiento longitudinal y por otro, el lateral-direccional.

Así mismo hay que tener en cuenta que se maneja el problema en variables de pequeña señal.

Por tanto podemos definir los espacios así:




ev

q

V

v

vBvAv

lon

c

lon

e

lon

clon

lon

elon

lon

e

:Control de Vectorel y

:Estados de Vectorel con

:allongitudin movimiento al para estados de espacio del ecuación 1ª

[2.11.3. a]

r

av

r

p

v

vBvAv

lat

c

lat

e

lat

clat

lat

elat

lat

e

:Control de Vectorel y

:Estados de Vectorel con

:ldirecciona- lateral movimiento al para estados de espacio del ecuación 1ª

[2.11.3. b]

A continuación presentamos las matrices A y B resultantes de ensamblar los submodelos linealizados en el modelo global linealizado. La obtención de estas matrices puede consultarse en el anexo II. 5 (“Construcción de las matrices de Estado y Control).

Para el movimiento longitudinal:

Llamando:

)Z(Rh

y

VS)Z(2

1q

0

4

helice0

2

0w00S

[2.11.4. a y b]

Y designando15 (recuérdese la definición de los coeficientes “pi”):

15

Téngase en cuenta que esos coeficientes no son adimensionales.




04h0

h

3h

2

0

3

0

3

h

1h,T

0

h

3h02

h

2h

0

2

0

3

h

1hV,T

p2VD

pV

D

pC

D

pV

D

p2

V

D

p3C

[2.11.5. a y b]

Las matrices de estado y de control para el movimiento longitudinal quedan:

Conjunto de expresiones [2.11.6].

Para el movimiento lateral-direccional:

Igualmente, llamando:

2

0w00S VS)Z(2

1q

Las matrices de estado y de control para el movimiento lateral-direccional quedan:

1

yym

0

ww0S

L

0

w0S0

lon

,Tz0emw0S

eL0S

,T0eD0S

lon

mq

0

ww0Smw0SV,Tz0

0

aer

y3

0ww

mM

0

w0S

00Lq

0

w0SL0S

0

aer

z3

0w

0SLM

0

0S

0Dq

0

w0SD0SV,T0

0

aer

x3

0w

0SDu

0

0S

lon

lon

lonlon

lon

lonlon

1000

0ICV·2

ccq0

00CV·2

cqg/WV0

000g/W

I

C)PG(hCcq

0Cq

ChCq

B

0CV·2

ccqCcqC)PG·(hM

VcS

4C

)Z(a

1cq

)(Wseng/W·VCV·2

cqCqF

VS

q4C

)Z(a

1q

)cos(WCV·2

cqCqChF

VS

q4C

V

1q

A

:siendo

00

BIB

0100

AIA




1

zzxz

xzxx

0

lat

rnw0Sanw0S

rlw0Salw0S

rY0SaY0S

lat

nr

0

ww0Snp

0

ww0Snw0S

lr

0

ww0Slp

0

ww0Slw0S

00Yr

0

w0SYp

0

w0SY0S

lat

lat

lat

atl

0

0

lat

lat

lat

10000

01000

00II0

00II0

0000g/WV

I

CbqCbq

CbqCbq

CqCq

B

00CV2

bbqC

V2

bbqCbq

00CV2

bbqC

V2

bbqCbq

0)cos(Wg/W·VCV2

bqC

V2

bqCq

A

:siendo

00

00

B

I

B

00)sec(00

00)tan(10

A

I

A

Conjunto de expresiones [2.11.7]




2.12. Resultados Numéricos

Matrices del espacio de estados

En este apartado vamos a presentar los resultados numéricos de las matrices de estado y de control para la condición de vuelo impuesta de: V0=20 m/s, H0=25 m, T0=288 K. Los valores de las matrices antes definidas, en el S.I. de unidades son:

0000.0 0000.1 0000.0 0000.0

0581.0 2671.0 -8056.195 -4928.0 -

0064.0 9141.0 0240.12 -0515.0 -

8092.9 -0547.0 -5945.4 -3560.0 -

A lon

0000.0 0000.0

0006.0 3102.155 -

0000.0 1620.1 -

0088.0 4999.0 -

B lon

0 0000.0 0001.1 0000.0 0000.0

0 0000.0 0162.0 -0000.1 0000.0

0 0000.0 4708.1 -9046.0 -9953.6

0 0000.0 8109.1 0909.23 -8175.26 -

0 4904.0 9830.0 -0073.0 -4831.0 -

A lat

0000.0 0000.0

0000.0 0000.0

6954.19 -3994.9

3438.3 5309.350 -

2096.0 1120.0 -

B lat

Punto de trabajo: vector de estados y de control en la condición de equilibrio

Vector de estados longitudinal:

[V0, α0, q0, θ0]T=[20, -0.0124, 0, -0.0124] T en [m/s, rad, rad/s, rad] T

Obsérvese que el ángulo de ataque es negativo. Pero si se tiene en cuenta la incidencia del ala, se obtiene un ángulo de ataque en referencia al ala positivo de 2.67º.

Vector de control longitudinal:

[δetrim, ωtrim]T = [-0.0419, 805.3665] T en [rad, rad/s] T

Se obtiene una deflexión negativa de timón de profundidad (esto es, deflectado hacia arriba) lo que puede llevar al engaño de que se esta produciendo sustentación negativa en el estabilizador horizontal. En virtud del modelo se tiene que debido a la




incidencia del estabilizador horizontal (que es una placa plana) el ángulo de ataque que este “ve” es positivo y por tanto la sustentación es positiva, que sí es lo esperado. En todo caso esto es así en base al modelo, debiéndose de ser corroborado experimentalmente.

Vector de estados lateral-direccional:

[β0, p0, r0, ϕ0, ψ0]T = [-2.7860·10-5, 0, 0, 0, 0] T en [rad, rad/s, rad/s, rad, rad] T

Vector de control lateral-direccional:

[δatrim, δrtrim]T =[-0.0013, -7.5170·10-4] T en [rad, rad] T




2.13. Análisis de la Estabilidad

En este apartado se va a realizar un estudio somero sobre la estabilidad del avión (en rigor, sobre la estabilidad del modelo obtenido del avión).

Cuando se realiza un análisis de la estabilidad en aeronaves, tanto estática como dinámica, básicamente se recurre a observar el signo de algunas de las derivadas de estabilidad.

Además, dado que el problema ha quedado formulado en virtud de la teoría de sistemas lineales, la negatividad de la parte real de los autovalores de las matrices “A” es una condición necesaria de la estabilidad dinámica de la aeronave (no es condición suficiente en el sentido de que solo se ha linealizado para un punto de trabajo concreto). En aeronáutica al valor de esos autovalores se les conoce como modos de vuelo.

Criterios de signo en las derivadas

CDM = 6.3449·10-4 > 0 (estabilidad en velocidad de avance)

CYβ = -0.1963 < 0 (estabilidad en velocidad de resbalamiento)

CLα = 5.1115 > 0 (estabilidad en velocidad vertical)

Cmq = -10.8340< 0 (estabilidad en rate de cabeceo)

Clp = -0.4619< 0 (estabilidad en rate de alabeo)

Cnr = -0.0652< 0 (estabilidad en rate de guiñada)

Cmα = -0.7637< 0 (estabilidad en ángulo de ataque: estabilidad estática

longitudinal)

Cnβ = 0.0143 > 0 (estabilidad estática lateral)

Clβ = -0.0245< 0 (estabilidad estática direccional)

CmM = 0.0022 > 0

Además del cumplimiento de todos estos criterios se añade que Cm0 > 0. En nuestro caso Cm0= -0.0630, sin embargo esto no es debido a que el avión sea inestable sino a al sistema de referencia elegido. Debido a la incidencia del ala respecto al eje x del SR cuerpo considerado, el ángulo de ataque en la condición de equilibrio trimado es negativo (como se ha indicado en el apartado anterior), por lo que es necesario que Cm0 sea negativo para poder tener una configuración estable, lo que se puede ver en la siguiente gráfica.




Figura 2.28: Coeficiente de momento frente al ángulo de ataque en trimado.

Esta gráfica puede extrañar a aquellas personas afines a la teoría de Mecánica de Vuelo, sin embargo vuelve a repetirse que se trata solo de una cuestión del sistema de referencia. Para tener una visión física es mejor usar como referencia la línea de

cuerda del ala. Haciendo esto, el nuevo ángulo de ataque sería αw=iw+α, con lo que la

gráfica queda de la siguiente manera, lo que es más usual en la práctica del modelado de aeronaves.

Figura 2.29: Coeficiente de momento frente al ángulo de ataque del ala (αw=iw+α) en trimado.

En este caso ya se observa que el corte con el eje de coordenadas es un valor positivo (lo que correspondería con Cm0 positivo para esta nueva referencia).




Modos de vuelo

Autovalores de la matriz de estado longitudinal:

Modo de Corto Periodo: -6.1702 +12.0068i, y -6.1702 -12.0068i

Modo Fugoide: -0.1533 + 0.4491i, y -0.1533 - 0.4491i

Apreciamos que la parte real de todos ellos es negativa, por lo que la conducta dinámica longitudinal debe ser estable.

Autovalores de la matriz de estado lateral-direccional:

Modo de Convergencia en Balance: -21.1575

Modo Balance Holandés: -0.8384 + 2.3159i, y -0.8384 - 2.3159i

Modo Espiral: -0.1051

Para este movimiento también se tiene que la parte real de todos los autovalres es negativa, por lo que el comportamiento de la dinámica lateral-direccional debe ser estable.

Obsérvese que hay cuatro autovalores y la matriz A es de orden 5. El quinto autovalor es nulo, debido a que el tercer ángulo de Euler no afecta a ninguna componente de la derivada respecto al tiempo del vector de estado.




2.14. Validación de resultados

Como se discute en el apartado siguiente el modelo no está exento de error. Esto es lo normal siempre que se construyen modelos; el problema es la carencia de métodos para poder acotar el error de una forma efectiva. Es decir, no podemos validar los resultados de forma fiable hasta que se realicen pruebas de vuelo con diferentes sensores.

En este apartado solo podemos realizar algunas comparaciones para advertir la posibilidad de algún error en la construcción del modelo. Estos test consisten en distintas simulaciones; sus resultados y discusión de los mismos se encuentran en el Anexo II.6. “Validación de resultados del modelo”.

El primer test realizado es la comparación del modelo no lineal con el lineal ante pulsos en cada variable de control

Como primera conclusión de dicho test, se puede afirmar que el modelo lineal aproxima bastante bien al no lineal en el entorno de su posición de equilibrio. Esto quiere decir que no se han cometido errores en la deducción del modelo lineal.

La segunda conclusión es que el modelo del avión tiene un comportamiento esperado en términos cualitativos y en relación a las acciones de control introducidas. Cuantitativamente no se puede garantizar la exactitud del modelo respecto al comportamiento real.

El segundo test ha consistido en la comparación del modelo no lineal del Liberty con otros dos aviones (Aerosonde UAV y North American Navion)

Como conclusión de estas simulaciones se puede decir que el comportamiento cualitativo del Liberty no es muy diferente al de otros aviones, siendo muy notable las diferencias en las magnitudes alcanzadas, algo explicable teniendo en cuenta la pequeña inercia del Liberty respecto a los otros aviones. En todo caso queda por comprobar en vuelos de prueba si realmente el avión es tan agresivo como parece en estas simulaciones.




2.15. Discusión del error del modelo

Ya se ha apuntado tanto en la introducción como a lo largo del desarrollo de cada modelo que por diversos motivos se tiene un modelo global con una incertidumbre sustancial. En este apartado se van a indicar cuales son las fuentes de error en el modelo más importantes.

Errores constructivos: el avión tiene cierta excentricidad en el centro de gravedad según el eje y (como se cuantificó en el apartado correspondiente al modelo másico). Así que el plano xz no es exactamente un plano de simetría inercial.

Errores de medida: la toma de medidas de la geometría no es tan sencilla

como pueda parecer. Es necesaria la utilización de multitud de referencias arbitrarias y medidas indirectas por lo que los errores de medida se acumulan.

Errores del modelo inercial: el avión es aproximado geométricamente por

figuras sencillas. Es cierto que la aproximación es aceptable, pero al realizar el cálculo de las inercias con fórmulas teóricas finalmente se obtiene un modelo con error.

Errores del modelo aerodinámico: aunque las hipótesis de la Aerodinámica

son bastante aproximadas a las condiciones reales, la estimación de las derivadas de estabilidad y control deja que desear. Dicha estimación se basa en teorías que implican un error considerable en el valor de las derivadas. Para dar un valor fiable es necesario medirlas experimentalmente (túnel de viento y ensayos de vuelo) y para muchas condiciones de vuelo, no solo para una.

Errores del modelo propulsivo: de todos los sub-modelos este es el más

alejado de la realidad, lo cual no tiene porqué significar que sea el que más afecte negativamente al modelo global. En primer lugar porque las teorías utilizadas (TEP y conjunto TCM-TEP) distan de la realidad en pro de la facilidad de sus cálculos, como se desprende de las hipótesis relativas a estas teorías. En segundo lugar porque estas teorías se han planteado prioritariamente para helicópteros y en su adaptación a propulsión de aeronaves se pierde fiabilidad (porque el alargamiento de la hélice es menor y porque el sólido aguas abajo, el avión, es mayor en relación al área que barre la hélice). Y en tercer lugar porque se realiza la suposición de vuelo axial; esto es, se asume que el avión vuela de forma rectilínea hacia delante, lo que esta bien para el vuelo de equilibrio trimado pero no en maniobras. Un modelo correcto del avión se debe obtener con pruebas de vuelo que por ahora se encuentran fuera de nuestro alcance.

Por todo ello el modelo resultante puede encerrar un error muy considerable. Tanto es así que en la profesión, durante el cálculo de aviones, estas estimaciones son solo una primera aproximación; este modelo debe ser corregido con datos experimentales (ensayos en túnel de viento y pruebas de vuelo). Con un modelo corregido empíricamente ya se puede diseñar un sistema de control de alta fiabilidad.

Evidentemente en el presente caso es muy difícil realizar estos ensayos (por falta de sensores, por la cualidad de vuelo de un avión RC, por dificultad en conseguir los medios necesarios, etc.). De esta forma lo que se va a hacer es un diseño preliminar de controladores y, de todas formas, se formularán controladores con características de robustez con ánimo de paliar la incertidumbre del modelo.

Hablamos de “características de robustez” y, en rigor, no de controladores “robustos” porque en la práctica un controlador absolutamente robusto puede ser incluso contraproducente. Esto se debe a que la envolvente de vuelo de un avión varía mucho, lo que hace que en el modelo lineal no solo existan incertidumbres por las




fuentes apuntadas sino que el error aumenta mas que considerablemente al cambiar condiciones de vuelo respecto a las de trabajo (en especial, por la velocidad). Por ello diseñar controladores robustos a partir de modelos linealizados entorno a una condición de vuelo pueda dar lugar a problemas si las condiciones varían sustancialmente.

Sin embargo, dado que el objetivo fundamental es el seguimiento de waypoints, la misión del autopiloto es gobernar la orientación de la aeronave y sobretodo controlar el rumbo. Entonces, se puede intentar fijar la velocidad del avión (con los propios controladores) y no variar su altura demasiado, con lo que la envolvente de vuelo no sufrirá grandes cambios y controladores con características robustas tendrán fiabilidad suficiente.

En todo caso, lo cierto es que uno de los objetivos de este proyecto es el diseño y simulación de controles avanzados, con ánimo de probar e investigar en sistemas poco convencionales y obtener conclusiones, sean del tipo que sean.




2.16. Referencias

*Consultar al final del proyecto.

- [II.1], especialmente Capítulo III y IV.

- [II.2], especialmente Capítulo II.

- [II.8], Temas de Estabilidad y Control.

- [II.6], Tema 2, Propulsión por hélice.

- [II.9], primeros temas.

- [II.10]

- [II.11]

- [VI.1], Capítulo 3.

- [VI.3], Capítulo 13.

2.capítulo ii modelo de la aeronave -...

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