CLCULOIngeniera Industrial. Curso 2009-2010.

Departamento de Matemtica Aplicada II. Universidad de Sevilla.

Leccin 2. Integracin: aplicaciones.

Resumen de la leccin.

2.1. Clculo de primitivas.

Primitiva. Integral indenida. Si f es una funcin continua denida en unintervalo I entonces una primitiva suya es una funcin F derivable en el dominioI de forma que F 0 = f en I.Si F es una primitiva de f entonces F + cte es tambin primitiva de f , para

cualquier constante cte. La integral indenida de f en I;Zf (x) dx, es el conjunto

de todas las primitivas de f en dicho intervalo; es decir, si F es una primitivasuya entonces Z

f (x) dx = F + cte :

El clculo de primitivas es una operacin lineal, esto es, si f y g son dosfunciones continuas en un dominio I y F yG son primitivas suyas respectivamenteentonces, para cualesquiera ; 2 R, se verica que F + G es una primitivade la funcin f + g.Para el clculo de primitivas se debe tener en cuenta la tabla de primitivas de

las funciones fundamentales vista en el ejercicio 19 de la relacin de repaso.

Mtodo del cambio de variable. Sean f (x) una funcin continua en un in-tervalo I y ' (t) una funcin de clase C1 estrictamente montona (creciente odecreciente) en el intervalo J con ' (J) = I entonces:Z

f (x) dx =

Zf (' (t))'0 (t) dt:

Un ejemplo de cambio de variable es el que resuelve las integrales del ejercicio20 de la relacin de repaso, dando lugar a una familia de integrales denominadasinmediatas.

Mtodo de partes. Sean f y g dos funciones de clase C1 en un intervalo I,entonces Z

f (x) g0 (x) dx = f (x) g (x)Zf 0 (x) g (x) dx:

Mtodo de descomposicin en fracciones simples para integrales racio-

nales. Se quiere resolver la integralZP (x)

Q (x)dx donde P y Q son polinomios de

manera que el grado del numerador sea menor estrictamente que el del denom-inador (en caso de que el grado del denominador sea menor o igual que el delnumerador se dividirn los polinomios). Para ello, se factoriza el denominador yse construye la descomposicin en fracciones simples del cociente. Se resolvernslo aquellos casos donde dicha factorizacin tenga, a lo ms, la siguiente forma:

Q (x) = p (x a1)m1 (x ak)mkx2 + 2ax+ b

;

es decir k races reales de distintas multiplicidades (nmero de veces que son raz)y quiz un polinomio de segundo grado sin races reales (con races complejas).Existen unos coecientes A11; : : : ; A1m1 ; : : : ; Ak1; : : : ; Akmk ;M;N de forma que seconsiga la siguiente descomposicin:

pP (x)

Q (x)=

A11x a1 + +

A1m1(x a1)m1

+

+

Ak1x ak + +

Akmk(x ak)mk

+

Mx+N

x2 + 2ax+ b:

La resolucin de la integral inicial se reduce entonces a resolver integrales quepueden ser de tres tipos:

1. Integrales del tipoZ

dx

x a;Zdx

x a = log jx aj+ C:

2. Integrales del tipoZ

dx

(x a)m con m 6= 1;Zdx

(x a)m =(x a)m+1m+ 1 + C:

3. Integrales del tipoZ

Mx+N

x2 + 2ax+ bdx,Z

Mx+N

x2 + 2ax+ bdx =

M

2

logx2 + 2ax+ b

+

2N

M 2a

Zdx

x2 + 2ax+ b

:

Si M = 0 el paso anterior no se realiza y directamente se pasa al pasosiguiente. La integral que queda por resolver se denomina tipo arcotangentey se resuelve comoZ

dx

x2 + 2ax+ b=

1pb a2 arctan

x+ apb a2

+ cte :

2

Integrales trigonomtricas. Para resolver integrales de funciones donde apare-cen razones trigonomtricas se utilizan en muchos casos las frmulas del ejercicio7 de la relacin de repaso, las cuales permiten transformar dichas integrales eninmediatas.Se ofrecen ahora cambios de variables adecuados para resolver las denominadas

integrales racionales trigonomtricas en general, transformndolas en integralesracionales. Un polinomio trigonomtrico es una combinacin lineal de produc-tos de potencias enteras no negativas de senos y cosenos,

Pnk=0 ak sen

pk x cosqk x:Una funcin racional trigonomtrica, R (sen x; cosx), es un cociente de polinomiostrigonomtricos. Para resolver

RR (sen x; cosx) dx se aplicarn los siguientes cam-

bios de variables:

1. Si R (sen x; cosx) es impar en seno, esto es

R ( sen x; cosx) = R (sen x; cosx) ;entonces realizar el cambio t = cos x.

2. Si R (sen x; cosx) es impar en coseno, esto es

R (sen x; cosx) = R (sen x; cosx) ;entonces realizar el cambio t = senx.

3. Si R (sen x; cosx) es par en seno y coseno, esto es

R ( sen x; cosx) = R (sen x; cosx) ;entonces realizar el cambio t = tanx. Para dicho cambio se tiene que

dx =dt

1 + t2; cos2 x =

1

1 + t2, sen2 x =

t2

1 + t2.

4. En cualquier caso puede realizarse el cambio t = tanx2

para el cual se

tiene que

dx =2dt

1 + t2; cosx =

1 t21 + t2

, sen x =2t

1 + t2.

Funciones hiperblicas. Las funciones hiperblicas, seno y coseno hiperblico,se denen de la siguiente forma para todo x 2 R, respectivamente,

senh x =ex ex

2; coshx =

ex + ex

2:

Sus representaciones grcas (requeridas en el ejercicio 13 de la relacin de repaso)son, respectivamente,

3

52.50-2.5-5

50

25

0

-25

-50

x

y

x

y

y = senhx

52.50-2.5-5

62.5

50

37.5

25

12.5

x

y

x

y

y = cosh x

Las funciones hiperblicas y las funciones trigonomtricas verican desigual-dades similares, entre ellas destacan

1. cosh2 x senh2 x = 1

2. cosh2 x =1 + cosh (2x)

2

3. senh2 x =1 cosh (2x)

2;

por su utilidad en el clculo de primitivas.Adems se satisface que seno y coseno hiperblicos son de clase C1, siendo

(senhx)0 = cosh x y (coshx)0 = senhx:

Integrales irracionales de polinomios de segundo grado. Todo polinomiode segundo grado puede escribirse de la forma b2 (x a)2 : Segn la combi-nacin de signos lograda en dicha representacin se recomiendan los siguientescasos:

1. Para integrales que contienen una expresin de la formaqb2 (x a)2 se

puede realizar uno de estos cambios, x = a+ b sen t o bien x = a+ b cos t:

2. Para integrales que contienen una expresin de la formaqb2 + (x a)2 se

pueden realizar cualquiera de estos dos cambios de variable, x = a+ b tan to x = a+ b senh t.

3. Para integrales que contienen una expresin de la formaqb2 + (x a)2 se

pueden realizar cualquiera de estos dos cambios de variable, x = a+ b coth to x = a+ b cosh t.

4

2.2. La integral denida.

Sucesin convergente. Se dene una sucesin como una secuencia de nmerosreales, uno por cada nmero natural n, (a1; a2; : : : ; an; : : :) : A cada uno de losnmeros que forman la secuencia se le denomina trmino, as al trmino ak conk 2 N se le llama trmino k-simo. Si se tiene una frmula que permite calcularcada trmino en funcin de n; que denotamos an, entonces se le denomina a dichafrmula trmino general y se escribe la sucesin como (an)n2N. Se dice que L 2 Res el lmite de la sucesin (an)n2N si en cualquier entorno de L pueden encontrarsetodos los trminos de la sucesin a partir de uno dado. Una sucesin (an)n2N esconvergente cuando tiene un nico lmite L 2 R, en dicho caso se denota como

lmn!1

an = L:

Regin encerrada por la grca de una funcin. Sea f una funcin conti-nua en un intervalo cerrado y acotado [a; b]. La regin encerrada por la grca def en dicho intervalo [a; b] es la zona del plano que queda encerrada por la grcade f , el eje OX y las rectas x = a, x = b.

x

y

( )y f x=

a b

D

rea encerrada por una funcin

Particin equidistante de un intervalo. Suma de Riemann. Sea f unafuncin continua en un intervalo cerrado y acotado [a; b]. La particin equidistantedel intervalo [a; b] en n 2 N intervalos es tomar el conjunto de n+ 1 puntos dadopor Pn = fx0; x1; : : : ; xng con xk = a + b a

nk para todo k = 0; : : : ; n, lo que

equivale a dividir [a; b] en n subintervalos iguales de medidab an. Se dene la

suma de Riemann de f en el intervalo [a; b] de tamao n como el nmero

S (Pn; f) =b an

nXk=1

f (xk) :

Integral denida. Si f es una funcin continua en [a; b] entonces la sucesin desumas de Riemann de tamao n 2 N, (S (Pn; f))n2N, es convergente. Se dene la

5

integral denida de f en [a; b] como el lmite de dicha sucesin y se denota comoR baf (x) dx; esto es Z b

a

f (x) dx = lmn!1

S (Pn; f) :

En particular, se deneR aaf (x) dx = 0.

Propiedades de la integral denida. Sean f y g funciones continuas en elintervalo cerrado y acotado [a; b]. Se verican las siguientes propiedades:

1. Linealidad. Si ; 2 R entoncesZ ba

f (x) + g (x) dx =

Z ba

f (x) dx+

Z ba

g (x) dx:

2. Aditividad. Si c 2 (a; b) entoncesZ ba

f (x) dx =

Z ca

f (x) dx+

Z bc

f (x) dx:

3. Monotona. Si f (x) g (x) para todo x 2 [a; b] entoncesZ ba

f (x) dx Z ba

g (x) dx:

4. Valor absoluto.Z b

a

jf (x)j dx Z b

a

f (x) dx

:5. rea de la regin encerrada. Si D es la regin encerrada por la grca de fen [a; b] entonces

area (D) =

Z ba

jf (x)j dx:

Funciones continuas a trozos. Se dice que f es una funcin continua a trozosen un intervalo I si es continua salvo en una cantidad nita de puntos para loscuales existen discontinuidades de salto nito. Si f es una funcin continua atrozos en un intervalo [a; b] y c1; : : : ; cp son los puntos de discontinuidad de f en[a; b] entonces la integral denida se calcula comoZ b

a

f (x) dx =

Z c1a

f (x) dx+

Z c2c1

f (x) dx+ +Z bcp

f (x) dx:

Teorema fundamental del clculo. Si f es una funcin continua en un inter-

valo cerrado y acotado [a; b] entonces la funcin F (x) =Z xa

f (t) dt para todo

x 2 [a; b] es la primitiva de f en [a; b] que se anula para x = a. As,Zf (x) dx =

Z xa

f (t) dt+ cte :

6

Regla de Barrow. Si f es una funcin continua en un intervalo [a; b] y F es unaprimitiva cualquiera suya en [a; b] entoncesZ b

a

f (x) dx = F (b) F (a) .

Cambio de variable en integrales denidas. Sean f (x) una funcin continuaen un intervalo [a; b] y ' (t) una funcin de clase C1 en el intervalo [; ] con' ([; ]) = [a; b] entonces:Z b

a

f (x) dx =

Z

f (' (t)) j'0 (t)j dt:

2.3. Aplicaciones geomtricas de la integral.

rea encerrada entre las grcas de dos funciones. Sean f; g funcionescontinuas en un intervalo cerrado [a; b]. La regin encerrada entre las grcas deestas dos funciones es la parte del plano que queda encerrada por dichas grcasy las rectas x = a y x = b: Se verica que el rea de la regin encerrada entre lasgrcas de estas dos funciones es

area (D) =

Z ba

jf gj dx:

x

y( )y f x=

( )y g x=

a b

D

rea entre dos funciones

Slido de revolucin generado por el rea encerrada por la grca deuna funcin. Sea f 0 una funcin continua en un intervalo cerrado [a; b] yD la regin encerrada por la grca de f en [a; b] : El slido de revolucin Vgenerado por D alrededor del eje OX es la zona del espacio obtenida al girar unavuelta completa la regin D alrededor del eje OX: Igualmente se puede deniralrededor del eje OY .

7

xy( )y f x=

a b

DV

Alrededor eje OX

x

y( )y f x=

a b

D

V

Alrededor eje OY

Volumen de revolucin alrededor del eje OX. Sea f 0 una funcincontinua en un intervalo cerrado [a; b]. El volumen del slido de revolucin Vgenerado por la regin encerrada por la grca de f en [a; b] alrededor del eje OXse calcula como:

vol (V ) =

Z ba

f 2 (x) dx:

Volumen de revolucin alrededor del eje OY . Sea f 0 una funcin conti-nua en un intervalo cerrado [a; b] con a > 0. El volumen del slido de revolucinV generado por la regin encerrada por la grca de f en [a; b] alrededor del ejeOY se calcula como:

vol (V ) = 2

Z ba

xf (x) dx:

Volumen por secciones planas. Sea V un slido situado a lo largo del eje OX(valdra tambin cualquiera de los otros dos ejes cartesianos) para x 2 [a; b]. Paracada x0 2 [a; b] se dene la seccin plana de V como la regin D0 que resultade cortar V con el plano x = x0: Si se conoce A (x) 0 con x 2 [a; b] funcin

8

continua que calcula el rea de cada seccin plana de V con respecto a la variablex entonces

vol (V ) =

Z ba

A (x) dx:

xa b

V

0x

0D

Seccin plana

Longitud del arco de curva descrito por una funcin. Sea f una funcincontinua en un intervalo cerrado y acotado [a; b] : El arco de curva L de f endicho intervalo es el tramo de la grca de f representado entre x = a y x = b.Si f es de clase C1 en [a; b] entonces la longitud del arco de curva de f en [a; b]se calcula como

long (L) =

Z ba

q1 + [f 0 (x)]2dx:

2.4. Integrales impropias.

Integral impropia de primera especie. Sea f una funcin continua en unintervalo de la forma [a;+1). Se dene la integral impropia de primera especiede f en [a;+1) como Z +1

a

f (x) dx = lmr!+1

Z ra

f (x) dx:

De forma similar se dene la integral impropia para una funcin continua en unintervalo de la forma (1; b] ; R b1 f (x) dx: La integral impropia de una funcincontinua en toda la recta real se dene comoZ +1

1f (x) dx =

Z a1f (x) dx+

Z +1a

f (x) dx;

donde a 2 R es un nmero real cualquiera.Convergencia. Una integral impropia de primera especie es convergente cuandoexiste y es nito el lmite de la denicin anterior, en cualquier otro caso se dirque la integral impropia es divergente (bien porque tienda a innito o porque noexista el lmite).En el caso de la integral impropia en toda la recta real

R +11 f (x) dx se dice

que es convergente cuando lo son cada uno de los sumandos de la denicin,R a1 f (x) dx y

R +1a

f (x) dx, siendo divergente si alguno de ellos lo es. Adems,

9

la integral impropiaR +11 f (x) dx tiene el mismo carcter y el mismo valor in-

dependientemente del punto intermedio a elegido. Existen casos en los que laintegral en toda la recta real de una funcin

R +11 f (x) dx es divergente porque lo

son los dos sumandos,R a1 f (x) dx y

R +1a

f (x) dx; pero sin embargo es posibledenir este otro valor, denominado valor principal de Cauchy de la integral,

V PC

Z +11

f (x) dx

= lm

r!+1

Z +rr

f (x) dx:

Cuando la integral impropia en toda la recta real es convergente su valor coincidecon el valor principal de Cauchy de la integral.

Condicin necesaria de convergencia para integrales de primera es-pecie. Sea f una funcin continua y positiva en un intervalo de la forma [a;+1) :Si la integral impropia de primera especie

R +1a

f (x) dx es convergente entonceslm

x!+1f (x) = 0:

Integral impropia de segunda especie. Impropiedad. Sea f una funcincontinua en un intervalo de la forma [a; b) con lm

x!bjf (x)j = +1: Se dene la

integral impropia de segunda especie de f en [a; b) comoZ ba

f (x) dx = lmr!b

Z ra

f (x) dx;

y se dice entonces queR baf (x) dx tiene una impropiedad en b: Igualmente se puede

denir en un intervalo de la forma (a; b] y con lmx!a+

jf (x)j = +1: En general, si fes continua en un intervalo (a; b) ocurriendo que la integral tiene impropiedadesen a y b entonces la integral impropia esZ b

a

f (x) dx =

Z ca

f (x) dx+

Z bc

f (x) dx;

donde c 2 (a; b) es un punto cualquiera. Si f es continua en [a; b] salvo un puntoc 2 (a; b) donde tiene impropiedad entonces la integral impropia se dene comoZ b

a

f (x) dx =

Z ca

f (x) dx+

Z bc

f (x) dx:

Convergencia. Una integral impropia de segunda especie es convergente si existey es nito el lmite que aparece en su denicin, en cualquier otro caso (que tiendaa innito o no exista) se dice que es divergente.En los casos en que la integral se dene como la suma de otras dos se dir que

es convergente cuando sean convergentes los dos sumandos, siendo divergente encuanto uno de ellos sea divergente.

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Integral impropia. La familia de las integrales impropias incluyen a las in-tegrales impropias de primera especie y a las de segunda especie. Pero tambinpueden denirse integrales impropias combinando los dos tipos de impropiedades.En todo caso la denicin de esa integral es la suma de integrales mediante unaparticin del intervalo de forma que slo quede una impropiedad en cada integral.Por ejemplo, si f es continua en R salvo una impropiedad en c entonces la integralen toda la recta real se dene comoZ +1

1f (x) dx =

Z a1f (x) dx+

Z ca

f (x) dx+

Z bc

f (x) dx+

Z +1b

f (x) dx;

donde a; b son dos nmeros reales cualesquiera con a < c < b:Un integral impropia de este tipo ser convergente cuando lo sean todos los

sumandos de su denicin, y bastar con que uno de ellos sea divergente paraque la integral sea divergente.Las integrales denidas pueden considerarse tambin integrales impropias que

siempre son convergentes.

Integrales impropias fundamentales. A continuacin se establece la conver-gencia o divergencia de tres tipos fundamentales de integrales impropias.

Integral Convergencia DivergenciaZ +1a

1

xpdx; a > 0 p > 1 p 1

Z ba

1

(x a)pdx; b a p < 1 p 1Z ba

1

(b x)pdx; b a p < 1 p 1

Criterio de comparacin por paso al lmite. Sea f 0 continua en unintervalo de la forma [a; b) donde b puede ser innito: Se verican las siguientesarmaciones:

1. Si existe una funcin g 0 en [a; b) con

lmx!b

f (x)

g (x)= L 6= 0;+1;

entoncesZ b

a

f (x) dx converge si, y slo si,Z ba

g (x) dx converge.

11

2. Si existe una funcin g 0 en [a; b) con

lmx!b

f (x)

g (x)= 0

yZ b

a

g (x) dx converge entoncesZ ba

f (x) dx es convergente.

3. Si existe una funcin g 0 en [a; b) con

lmx!b

f (x)

g (x)= +1;

yZ b

a

g (x) dx diverge entoncesZ ba

f (x) dx es divergente.

(Todos los lmites anteriores se resuelven con x ! +1 en el caso de queb = +1)

12

Ejercicios de la leccin.

Ejercicio 1. Resuelve las siguientes integrales racionales.

1:R dx4 x2 ; 3:

R dx4 + x2

; 4:R 2x2 + 9x+ 1(x 2) (x+ 1)2dx;

5:R 3x+ 1x2 + 2x+ 3

dx; 6:R dxx3 x2 + 2x 2 ; 7:

R xx2 x 6dx;

8:R xx3 1dx; 9:

R 2x3 + x2 7x 3x2 + 2x+ 4

dx; 10:R 1x5 + x4 x 1 dx:

Ejercicio 2. Calcula las siguientes integrales por partes.

1:Rex (2x+ 1) dx; 3:

Re2x cos 3x dx; 5:

Rlog x dx;

2:Rx arctanx dx; 4:

Rarcsenx dx; 6:

Rx2 cosx dx:

Ejercicio 3. Calcula las siguientes integrales trigonomtricas.

1:Rcos2 x dx; 4:

Rsen2 x cos3 x dx; 7:

Rcos5 x dx;

2:Rsen 3x cos 4x dx; 5:

R cos5 xsen3 x

dx; 8:R cos2 xsen3 x

dx;

3:R 1 cosx1 + cos x

dx; 6:R dxsen2 x cos4 x

; 9:R dx7 + 3 sen x+ 7 cosx

:

Ejercicio 4. Calcula las siguientes integrales irracionales.

1:R p

2 x2dx; 2: R p4 + x2dx; 3: R x3p1 x2 dx;

4:R p2x2 + 2x+ 1 dx; 5: R 1

x2p1 + x2

dx; 6:R dxp

4 x 2x2 :

Ejercicio 5. Calcula las siguientes integrales.

1:R 2x3 + x2 7x+ 7

x2 + x 2 dx; 6:R p9 x2

xdx; 11:

R sen 2x1 cosxdx;

2:R 5x2 + 4x+ 1x5 2x4 + 2x3 2x2 + xdx; 7:

Rex sen 3x dx; 12:

Rcos 3x cos 2x dx;

3:Rx2 log x dx; 8:

R 5xx4 + 1

dx; 13:R dx(9 x2)3=2

;

4:Rcos2 x sen2 x dx; 9:

R dxx2 5x+ 6 ; 14:

Rtan4 x dx;

5:R dxx2 + 2x+ 2

; 10:R dxsen2 x+ sen x 2 ; 15:

Rsen3 x cos4 x dx:

13

Ejercicio 6. Sea la funcin f (x) =Z x

1

log t

tdt:

1. Construye el polinomio de Taylor de f centrado en a = 1 de grado 5.

2. Aproxima el valor de f (1.5) usando el polinomio anterior y estima el errorcometido.

Ejercicio 7*. Se dene la funcin seno integral para cada x 2 R como

si (x) =

Z x0

f (t) dt;

donde f (x) es la funcin continua que para todo x 6= 0 ocurre que f (x) = sen xx.

Se pide:

1. Construye el polinomio de Maclaurin de grado 5 de si (x).

2. Aproxima el valor si () usando el polinomio anterior y estima el errorcometido.

Ejercicio 8*. Halla las siguientes reas.

1. El rea encerrada entre las curvas y = x3 e y = x2 x en el intervalo [0; 1] :2. El rea encerrada entre las curvas y = 6x x2 e y = x2 2x en [0; 6] :3. El rea limitada por las curvas y = 2x; y = x e y = x3:

4. El rea limitada por las curvas y = x y x = y2.

Ejercicio 9. Calcula el rea de las siguientes regiones planas.

1. La regin encerrada, cuando x 2 [0; 1] ; entre la funcin f (x) = sen x y surecta tangente en el origen:

2. La regin encerrada por la funcin f (x) = sen x cos2 x en el intervaloh0;

2

i:

3. La regin encerrada por la curva y = x (cosx+ sen x) cuando y 0 yx 2 [0; ] :

Ejercicio 10*. Halla el volumen de los siguientes slidos.

1. La esfera de radio R.

2. El tronco de cono de base mayor a; base menor b y altura h.

14

3. El slido que se obtiene al girar alrededor del eje OY la regin plana ence-rrada por la curva y = x2; cuando 1 x 2:

4. El slido que se obtiene al girar alrededor del ejeOY la regin plana limitadapor las grcas y = x3 + x+ 1 e y = 1; cuando 0 x 1:

5. El slido que resulta de taladrar un agujero cilndrico de radio r a travsdel centro de una esfera maciza de radio R; siendo R > r:

Ejercicio 11*. Un depsito de agua tiene forma de hemielipsoide de revolucin,la que se obtiene al girar alrededor del eje OY el tramo de elipse de ecuacinx2

16+y2

9= 1 situado en el primer cuadrante.

1. Determina el volumen total del depsito.

2. Calcula el volumen de agua almacenada en el depsito si el nivel de aguaalcanza una altura h.

Ejercicio 12*. Calcula los siguientes volmenes.

1. El volumen del slido cuya base es el crculo x2 + y2 4 y las seccionesplanas perpendiculares a dicha base son cuadrados.

2. El volumen del slido cuya base es un crculo de radio unidad y las seccionesplanas perpendiculares a la base son tringulos equilteros.

3. El volumen de una pirmide recta de altura h y base cuadrada de lado l.

Ejercicio 13*.

1. Se considera la parbola en el plano Y OZ de ecuacin z = a2 y2 cona > 0: Entre todos los rectngulos de dicho plano inscritos en la parbolay con base en el eje OY calcula el que tiene rea mxima.

2. Para cada x0 2 [0; 1] se toma la parbola Px0 del tipo anterior en el planox = x0 de forma que su vrtice est en la recta que une los puntos (1; 0; 0)y (0; 0; 1) : Halla el volumen del slido cuya seccin plana para cada planox = x0 es el rectngulo calculado en el apartado anterior para la parbolaPx0 :

Ejercicio 14*.

1. Calcula por integracin el rea encerrada por una elipse de semiejes a; b > 0:

15

2. Sea C la circunferencia de centro el origen y radio 4 en el plano y = 0 y r larecta que pasa por los puntos (4; 0; 0) y (0; 2; 0) : Halla el volumen del slidoV situado en el octante positivo que se encierra tomando elipses apoyadasen C y r, que son paralelas al plano OY Z y tienen su centro en el eje OX.

Ejercicio 15*. Calcula las longitudes de los siguientes arcos.

1. El trozo de curva y = x3=2 cuando x 2 [0; 4] :2. El arco de la curva y = cosh x para 1 x 1:

3. El trozo de curva de ecuacin y =x3

6+1

2xcon x 2

1

2; 2

:

4. El arco de curva y = x2 para 0 x 1:

Ejercicio 16*. Determina si las siguientes integrales impropias convergen y, ensu caso, calcula su valor.

1.Z +1

0

exdx: 5.Z +10

1

1 + x2dx: 9.

Z +11

ex

1 + e2xdx:

2.Z 1

1

1

xdx: 6.

Z +10

log x

x3dx: 10.

Z 01

1p1 xdx:

3.Z +1

0

1

x2dx: 7.

Z +11xdx: 11.

Z +10

ex sen xdx:

4.Z 1

0

log xdx: 8.Z +1

1

xexdx 12.Z 20

1p4 x2dx:

Ejercicio 17*. Determina si las siguientes integrales impropias convergen.

1.Z +1

1exdx: 4.

Z 42

1

(4 x)x1=3dx: 7.Z +10

ex log xdx:

2.Z +1

0

ex

1 + xdx: 5.

Z +11

1

(x 1)xdx: 8.Z +11

5x2 3x2 + 1

dx:

3.Z 1

0

log xpxdx: 6.

Z 30

1px (1 + x)

dx: 9.Z 11

1

1 x2dx:

Ejercicio 18*. Sea la integralZ +10

1

x1=3 (1 + x)dx:

1. Prueba que se trata de una integral impropia convergente sin calcularla.

2. Determina el valor de dicha integral mediante el cambio de variable t = x1=3:

Ejercicio 19*. Se dene la funcin de Euler, para cada p 2 R, como

(p) =

Z +10

exxp1dx:

16

1. Determina el dominio de la funcin .

2. Prueba que para todo n 2 N, con n > 1; ocurre que (n) = (n 1) (n 1) :3. Concluye que para todo n 2 N se tiene que (n) = (n 1)!:

Ejercicio 20*. Se dene la funcin B de Euler, para cada p; q 2 R, como

B (p; q) =

Z 10

xp1 (1 x)q1 dx:

Determina los valores de p; q 2 R para los que la funcin B existe.Ejercicio 21. (Junio 03-04) Estudia segn los valores de 2 R la convergenciade la integral Z +1

0

ex sen xdx

y calcula el valor de dicha integral cuando sea posible.

Ejercicio 22. Calcula los siguientes volmenes de revolucin alrededor del ejeOX.

1. El generado por el rea encerrada por la funcin f (x) =x

x2 + 3x+ 2en el

intervalo [0;+1) :

2. El generado por el rea encerrada por la funcin f (x) = log1

x

en el

intervalo (0; 1] : (Septiembre 03-04)

Ejercicio 23. (Primer Parcial 04-05)

1. Calcula la integral indenida Zdxq

(9 x2)3:

2. Sea D el cuerpo de revolucin engendrado al hacer girar la regin

A = f(x; y) : 1 x 2; 0 y f (x)g ; con f (x) = 1xq(9 x2)3

alrededor del eje OY . Calcula el volumen del slido D:

17

3. Estudia, usando algn criterio de convergencia, el carcter de la integralimpropia Z 3

1

dx

xq(9 x2)3

:

Ejercicio 24. (Junio 04-05) Halla el valor de la integral impropiaZ +10

dx

1 + x+ x2;

determinando previamente su carcter mediante algn criterio de convergencia.

Ejercicio 25. (Primer Parcial 05-06)

1. Calcula la integral indenidaZtan4 xdx:

2. Sea D el cuerpo de revolucin engendrado al hacer girar la regin

A =(x; y) : 0 x =4; 0 y tan2 x :

alrededor del eje OX. Halla el volumen del slido D.

3. Estudia, segn los valores de 2 R, el carcter de la integral impropiaZ =20

tan4 x2 x

dx:Ejercicio 26. (Primer Parcial 06-07) Considera la funcin

f (x) =

p9 x2x

:

1. Encuentra una primitiva de f (x).

2. Estudia segn los valores de 2 R el carcter de la integralZ 31

log x

f (x) sen3xdx:

3. Calcula el volumen del slido generado al girar alrededor del eje OY laregin encerrada por la curva

y =log xp9 x2 ;

el eje OX, la recta x = 1 y la recta x = 3:

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Ejercicio 27. (Junio 06-07)

1. Calcula una primitiva de la funcin f (x) =1

x2px2 + 1

:

2. Considera U una de las mitades obtenidas al cortar un cilindro de radio 1con un plano perpendicular a su eje. Sea V el slido que se obtiene al cortarU con el plano que pasa por el centro de la base de U y forma un ngulo 2

0;

2

con dicha base. Halla el volumen de V en funcin de :

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