2pfg/de/fem/unicamp – fundamentos em cfd jun-15 prof. dr. ricardo augusto mazza1 volumes finitos...
TRANSCRIPT
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 12PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
VOLUMES FINITOSVOLUMES FINITOS
Prof. Dr. Ricardo A. Mazza2PFG/DE/FEM/UNICAMP
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 22PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA• Suhas V Patankar – Numerical Heat Transfer
and Fluid Flow• Versteeg H. K. and Malalasekera W – An
introduction to computational fluid dynamics: The finite volume method
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 32PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Forma geral da equação de transporteForma geral da equação de transporte
• t é o tempo;• é a densidade;• V é o vetor velocidade;• é a propriedade a ser conservada;• é o coeficiente de difusão de ;• S representa os termos fontes;
{ { {FonteConvecção Difusão
Transiente
V St
r1442443
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 42PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Equações de transporteEquações de transporte
Eq. SMassa 1 0 0Qt. de Movimento
Energia T k/Cp
Vr
{ { {FonteConvecção Difusão
Transiente
V St
r1442443
P g r
DPT dissipação q'''Dt
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 52PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Equação de conservação no PhoenicsEquação de conservação no Phoenics
• representa uma variável genérica que pode ser: u1, u2, v1, v2, w1, w2, k, , h1, h2, C1 a C150.
• P não aparece na lista pois ela é calculada por meio das sucessivas correções da pressão que vem dos ajustes de velocidade para satisfazer o balanço de massa. (método SIMPLE)
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 62PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Modelos matemáticos simplificadosModelos matemáticos simplificados• As equações de transporte são complexas pelos termos não
lineares e acoplamentos;• Há uma redução do esforço computacional quando se modela o
escoamento de forma mais simples:– Laminar / Turbulento– Incompressível / Compressível– Euler (s/ viscosidade) / Navier Stokes (viscoso)– Potencial (irrotacional) / Euler (rotacional)– Stokes (Re -> 0 ) / Re ~ 1 (inercia e viscoso dominantes)– Camada Limite (Re -> inf) / Re ~ 1 (inercia e viscoso dominantes)
• Mas não tem jeito:– Reações químicas (combustão), turbulência , interações entre fases e
domínio complexo surgem simultâneamente
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 72PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Método dos Volume Finitos (VF)Método dos Volume Finitos (VF)• Utiliza a forma integral das equações como ponto de partida.• O domínio de solução é subdividido em um número finito de
volumes de controle, VC, adjacentes entre sí onde as equações de conservação são aplicadas.
• Cada variável é calculada no centroide de cada VC;– Os valores das variáveis e propriedades nas faces do VC são
determinados por interpolação.• O método VF pode acomodar qualquer tipo de grade e é,
portanto, aplicável para geometrias complexas. • A grade define as fronteiras do VC e não é necessariamente
relacionada a um sistema de coordenadas.
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 82PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Volume de controleVolume de controle• O domínio de cálculo é dividido em volumes
cujas faces são identificadas pelas direções cardiais West-East (x), South-North (y) e Low-High (z)
x
y
z
P
NorthEast
High
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 92PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Discretização Discretização do meio do meio
contínuo no contínuo no espaço e no espaço e no tempo & tempo &
nomenclatura nomenclatura das direçõesdas direções
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 102PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Discretização no espaçoDiscretização no espaçoM
oléc
ula
com
puta
cion
al
PTSNWE
TTSSNNWWEEP aaaaaa
Saaaaa
O método dos Volumes Finitos representa a influência que o ponto P recebe dos vizinhos na forma de produtos de coeficientes e do valor das variáveis
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 112PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Sistema resultanteSistema resultante• As equações discretizadas formam um sistema de
equações algébricas lineares, constituido da soma das ‘moléculas computacionais’ de cada VC.
• Os coeficientes (aP e anb) levam as informações sobre transporte convectivo e difusivo da propriedade– São sempre positivos.
• Há diversos esquemas discretizantes;– A escolha de cada um influência na solução e na taxa de
convergência.
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 122PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Grade computacionalGrade computacional• A localização discreta onde as variáveis serão
calculadas é definida pela grade computacional. • A grade é uma representação do domínio
geométrico onde o problema será resolvido.• A grade transmite ao modelo informações a
respeito da localização do centróide do VC e dos centros das faces, das áreas das faces e do volume e também da distância entre centróides e faces de VC adjacentes.
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 132PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Definição da gradeDefinição da grade• Define a precisão numérica da solução uma vez
que as variáveis são calculadas em pontos discretos definidos pela grade.
• Influencia na taxa de convergência (ou divergência) da solução.
• Define o custo computacional:– É basicamente determinado pelo tamanho da grade.
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 142PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Tipos de grades - CartesianasTipos de grades - Cartesianas
UniformeCartesiana
Não-UniformePower
Não-Uniformeduas regiões
UniformePolar
Não-UniformeFine Grid Embedding
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 152PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Definição do espaçamento da gradeDefinição do espaçamento da grade• É necessário controlar o espaçamento da grade
para capturar características do escoamento que mudam rápidamente (altos gradientes) e ao mesmo tempo economizar tempo computacional em regiões que variam lentamente.
• O tamanho da grada é um ‘filtro’ do tamanho do fenômeno que se quer detectar. Estruturas do escoamento menores que 2x o espaçamento da grade não serão detectadas (alaising).
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 162PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
• Escoamento de Camada Limite. Aplica-se grades não-
uniformes Power ou duas-regiões
• Esteira de Vórtices em cilindros. Aplica-se ‘fine grid embedding’ para capturar as
dimensões dos vórtices
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 172PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Geometrias complexasGeometrias complexasBody Fitted Coordinates - BFCOrtogonal ou Não Ortogonal
Multi-BlockOrtogonal ou Não Ortogonal
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 182PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Novo métodoNovo método
Grade Cartesiana com Objetos Imersos: • Iteração volume a volume tipo ‘escada’ ou;• Iteração via software com algoritmo PARSOL
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 192PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Condições de contorno e iniciaisCondições de contorno e iniciais• Qualquer modelo matemático expresso por
meio de eq. diferenciais não é completo a menos que sejam definidas as CC e CI;
• As CC e CI variam dependendo do tipo de equação diferencial que o modelo emprega.
• As equações diferenciais parciais de segunda ordem são classificadas por três tipos: – Elípticas, Parabólicas e Hiperbólicas.
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 202PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Equações hiperbólicasEquações hiperbólicas• A informação se
propaga com velocidade finita em duas direções;
Região influenciadapelo valor do ponto CP
X
Y
a b c
P depende das informaçõesao longo do segmento a-b
Região influenciadapelo valor do ponto P
Característica a
esquerda
Cara
cter
ístic
a a
dire
ita
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 212PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Características (Mach const.)
Y
X
C.C.: necessário conhecer u & v ou ao longo da linha
2 2
2 22
1 0x yM 1
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 222PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Equações parabólicasEquações parabólicas• A informação se propaga
com velocidade finita em uma direção;
• A informação de P influencia a solução somente em um lado do plano XY;– Influência a solução somente
aos pontos à sua direita;– Depende dos valores à sua
esquerda mas não da sua direita.
• A solução numérica utiliza um processo de marcha em X e é necessário especificar somente um fronteira;
X
Y
PRegião influenciadapelo valor do ponto P
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 232PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Y
X
u =
Uin
let
u = Uext
u = 0
2
2
u u uu vx y y
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 242PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Equações elípticasEquações elípticas• A informação se propaga
em todas direções com velocidade infinita.
• Fisicamente significa que a informação de P recebe a influência de todos os pontos do domínio!– Só é possível obter uma
solução se você conhecer os valores em todo o contorno;
X
Y
P
a
b c
d
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 252PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
2 2
2 2
T T 0x y
T = 0 Dirichlet
q”=
-kT
/ x
Neu
man
T/ x = 0Neuman
T/ x = 0N
euman
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 262PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Condições iniciaisCondições iniciais• Tal como o espaço o tempo também é
representado numa grade cujos volumes variam com incrementos no tempo.
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 272PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Condições iniciaisCondições iniciais• Como na geometria, há uma grade temporal;• Os modelos transientes são de natureza
PARABÓLICA no tempo;– Um evento no futuro não pode influenciar o que acontece no
presente. – Nenhuma condição pode ser imposta na solução (exceto no
contorno) em qualquer instante após o início (t=0).– É especificado com uma condição ou campo inicial.
• Existem duas possibilidades de implementação de esquemas transientes: – IMPLÍCITA (default) – EXPLÍCITA
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 282PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Esquema explícitoEsquema explícito• O cálculo das variáveis no próximo passo de
tempo depende somente dos valores das variáveis no tempo anterior;
• Computacionalmente é mais simples que o esquema Implícito.
• Para obter uma solução estável, o avanço no tempo e no espaço estão limitados:
2xt
2
u x 2
restrição no passo de
tempo; relação entre coeficientes de convecção
e difusão;
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 292PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
Esquema implícitoEsquema implícito• O cálculo das variáveis para o próximo passo de
tempo depende dos valores das variáveis no tempo anterior e atual;
• Computacionalmente é mais complexo que o esquema Explícito pois requer cálculos iterativos;
• Ele é intrinsicamente estável;
04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 302PFG
/DE
/FE
M/U
NIC
AM
P –
FUN
DA
ME
NT
OS
EM
CFD
FIM !FIM !