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동아대학교 토목공학과 구조역학 1 강의: 박현우

Lecture 3 - 1

3. 평형과 지점반력

(Equilibrium and Reaction Forces)

수업목적:

하중을 받는 구조의 평형에 대한 개념 이해.

구조물의 정적 정정, 부정정, 불안정성 개념 이해.

동일 평면상의 하중에 대한 평면(2 차원) 구조의 지점 반

력 해석하는 방법 습득.

수업내용:

평형의 개념 및 평형방정식

외력과 내력

지점 종류

정적 정정, 부정정, 불안정성

반력계산


Lecture 3 - 2

3.1 구조의 평형 (Equilibrium of Structures) (1) 정의

구조가 최초에 정지해 있고 힘과 우력을 받은 상태에서도 정지해 있는 상태. (이 때, 구조의 모든 부재와 부분들도 평형상태에 있음)

(2) 구조의 평형조건 (3차원 입체구조)

0xF 0yF 0zF

0xM 0yM 0zM


Lecture 3 - 3

(3) 구조의 평형조건 (2차원 동일평면상의 x-y 좌표계)

0xF 0yF 0zM

2차원 평형조건을 다른 식으로 표현하면:

0qF 0AM 0BM

0AM 0BM 0CM

A,B 연결한 직선이 축 q와 수직이 아니어야 함.

A,B,C 가 동일직선 상에 위치하지 않아야 함.


Lecture 3 - 4

3.2 외력과 내력 (External and Internal Forces) (1) 외력

다른 물체에서 구조체로 가해지는 힘. 가력과 반력으로 구분. 가력은 구조해석에서 이미 알고 있는 힘 (예: 사하중, 활하중, 풍하중, 지진하중 등) 반력은 구조해석을 통해서 구해야 하는 미지의 힘.

(2) 내력

부재 혹은 구조체의 일부분에 발생되는 힘 또는 우력. 작용, 반작용 법칙에 의해서 부재의 한부분이 나머지 다른부분에 대해 항상 크기가 같고 방향이 반대인 한 쌍의 힘이 존재.

내력은 상쇄되기 때문에 전체 평형방정식에서는 나타나지 않음. 구조해석 문제에서 무엇이 미지수이며 어느 값이 주어지는

것인지 아는 것은 아주 중요한 기본적인 문제이다.

구조해석 문제란 궁극적으로는 미지수의 개수만큼 수식을

유도하여 그 미지의 값을 계산하는 것이다.


Lecture 3 - 5

3.3 지점 종류 (Types of Supports of Plane Structures)

(1) 롤러 (Roller)

(2) 로커 (Rocker)

그림 3.5

(3) 연결재 (Link)

(4) 힌지 (Hinge)

(5) 고정 (Fixed)

(질문) 각 지점 종류에 따라서 구조해석에서 구해야 하는 반력성분의 개수는?


Lecture 3 - 6

3.4 정적 정정, 부정정, 불안정성 (Static Determinacy, Indeterminacy, and Instability)

(1) 내적 안정성

구조물의 지점으로부터 떨어져 나왔을 때, 구조물의 형상이 유지가 되면 내적으로 안정.


Lecture 3 - 7

(2) 내적으로 안정한 구조물의 정적 정정 (Static Determinacy of Internally Stable Structures)

정적 정정 (외적) - 내적으로 안정한 구조물 - 평형방정식만을 이용하여 해석이 가능. 정적 부정정 (외적) - 내적으로 안정한 구조물 - 구하고자 하는 반력의 개수 > 평형방정식의 개수. - 평형방정식의 개수를 반력의 개수가 초과할 때 외적 부정정이 발생. (3) 외적 부정정 차수의 계산 (ie)

ie = r – ne

r = 미지의 반력의 개수. ne = 평형방정식의 수 = 3 + ec

ec = 추가조건의 수.

(예시)

r < ne: 외부적으로 정적 불안정 r = ne: 외부적으로 정적 정정 r > ne: 외부적으로 정적 부정정

ie = r – 3 = 6 – 3 = 3


Lecture 3 - 8

(3) 기하적 불안정성(Geometric Instability)

내적으로 안정된 구조물이나 3 개의 반력이 한점에서 만나기 때문에 회전에 대한 저항력 상실

내적으로 불안정한 구조물을 지지하기 위한 지지 조건이 부적합.


Lecture 3 - 9

(4) 구조물의 정적 구분 (Statical Classification of Structures)

연결재는 자체로하나의 반력


Lecture 3 - 10

(참고자료: 최근 5년간 기사 1차 기출 유사 문제-부정정차수 계산)


Lecture 3 - 11


Lecture 3 - 12

3.5 반력의 계산 (1) 반력을 구하기 위한 절차

a) 구조체의 자유물체도(Free-body diagram)을 그리기. b) 정적 정정, 부정정, 불안정성 확인. 부정정 또는 불안정성이 확인되면 해석을 끝냄.

c) 평형방정식을 이용하여 미지의 반력 계산. (질문) 자유물체도란 무엇인가? (2) 예제 a) 경사 지점을 가진 보에서 지점 반력 계산

자유물체도


Lecture 3 - 13

정적 정정, 부정정, 불안정성 확인

ie = r – ne = 3 – 3 = 0 (정적 정정)

평형조건으로부터 지점 반력 계산

MB = 0 0)5(6)10(60sin12)20(5

4 AR

RA = 4.62k

Fx = 0

060cos125

3 xA BR

060cos12)62.4(5

3 xB

Bx = 3.23k

Fy = 0

0660sin125

4 yA BR

0660sin12)62.4(5

4 yB

By = 12.7k

두개의 미지 반력이 만나는 B 점을 중심으로 모멘트 평형식을 적용시키면 반력 RA 한 개만 미지수로 하는 식을 유도할 수 있음. 또한 RA

계산값이 양수이므로 처음 가정한 방향 ()과 일치.

보는 내적으로 안정. 3 개의 반력(RA, Bx, By)에 의해 지지되고 서로 모두 평행하거나 한 점에서 만나지 않으므로 정적 정정.


Lecture 3 - 14

(참고자료: 최근 5년간 기사 1차 기출 유사 문제 – 보 반력 계산)


Lecture 3 - 15


Lecture 3 - 16

b) 분포하중을 받는 골조의 지점 반력 계산 (1)

자유물체도


ie = r – ne = 3 – 3 = 0 (정적 정정)

골조는 내적으로 안정. 3개의 반력(Ax, Ay, MA)에 의해 지지되므로 정적 정정.


Lecture 3 - 17


Fx = 0 0)15(2 xA

Ax = -30 kN

Fy = 0 0)9)(3(2

1)9(2 yA

Ay = 31.5 kN

MA = 0 0)9(3

2)]9)(3(

2

1[)

2

9)](9(2[)

2

15)](15(2[ AM

MA = 387 kN-m

모멘트 계산시 위쪽에 사다리꼴 모양의 분포하중을 직사각형 형태의 분포하중과 삼각형 형태의 분포하중으로 나눠서 계산하면 보다 편리하게 계산할 수 있음.

Ax 계산값이 음수이므로 처음 가정한 방향 ()과 반대 방향()임에 유의..


Lecture 3 - 18

c) 분포하중을 받는 골조의 지점 반력 계산 (2)

자유물체도


ie = r – ne = 3 – 3 = 0 (정적 정정)

골조는 내적으로 안정. 3개의 반력(Ax, Ay, By)에 의해 지지되므로 정적 정정.


Lecture 3 - 19


Fx = 0 015)18)(5.2(2

1xA

Ax = -7.5 kN

Fy = 0 05.16)18(5.1 yA

Ay = 10.5 k

MA = 0

0)12()12(15)9)](18(5.1[)3

18)](18)(5.2(

2

1[ yB

By = 16.5 kN-m

Ax 계산값이 음수이므로 처음 가정한 방향 ()과 반대 방향()임에 유의..


Lecture 3 - 20

d) 분포하중을 받는 내부 힌지가 있는 아치의 반력 계산

자유물체도


ie = r – ne = 4 – (3+1) = 0 (정적 정정)

내부 힌지 1 개(B) 때문에 아치는 내적으로 불안정. 반력은 총 4 개(Ax, Ay, Cx, Cy) 인데 내부 힌지 한개가 추가 조건식 1개를 성립시키므로 전체적으로 정적 정정.


Lecture 3 - 21


MC = 0 0)30)](60(5.2[)15)](30(1[)60( yA

Ay = 67.5 k

MB (부재 AB 자유물체도)= 0 0)15)](30(5.2[)15)](30(1[)30()30( yx AA

Ax = 15 k

Fx = 0 0)30(1 xx CA

Cx = -30- Ax =-45 k

Fy = 0 0)60(5.2 yy CA

Cy = 150- 67.5 = 82.5 k (참고자료: 최근 5년간 기사 1차 기출 유사 문제- 3활절 아치)

미지수를 하나로 만들 수 있는 평형방정식부터 먼저 풀고 그 결과를 이용해서 다른 평형방정식에 순차적으로 대입해서 나머지 미지수들을 구하는 과정을 유의해서 살펴볼 것.


Lecture 3 - 22


Lecture 3 - 23


Lecture 3 - 24


Lecture 3 - 25

e) 분포하중을 받는 게르버보의 반력 계산 (1)

자유물체도


ie = r – ne = 5 – (3+2) = 0 (정적 정정) 평형조건으로부터 지점 반력 계산

Fx = 0 0xA

MB (부재 AB 자유물체도)= 0 0)10)](20(5[)20( yA

Ay = 50 kN

내부 힌지 2 개(B, E) 때문에 보는 내적으로 불안정. 반력은 총 5 개(Ax, Ay, Cy, Dy, Fy) 인데 내부 힌지 두개가 추가 조건식 2개를 성립시키므로 전체적으로 정적 정정.


Lecture 3 - 26

ME (부재 EF자유물체도)= 0 0)20()10)](20(3[ yF

Fy = 30 kN

MD = 0 0)40()5)](90(3[)50()70)](40(5[)90( yyy FCA

0)40(30)5)](90(3[)50()70)](40(5[)90(50 yC

Cy = 241 kN

Fy = 0 0)90(3)40(5 yyyy FDCA

0)90(3)40(53024150 yD

Dy = 149 kN (참고) 게르버보 (Gerber beam)란? 1866년 독일의 Heinrich Gerber가 창안하였음. 연속보에 부정정 차수 만큼의 힌지를 설치하여 정정구조로 만든 형식의 보.

미지수를 하나로 만들 수 있는 평형방정식부터 먼저 풀고 그 결과를 이용해서 다른 평형방정식에 순차적으로 대입해서 나머지 미지수들을 구하는 과정을 유의해서 살펴볼 것.


Lecture 3 - 27

f) 분포하중을 받는 게르버보의 반력 계산 (2)

자유물체도


ie = r – ne = 5 – (3+2) = 0 (정적 정정) 평형조건으로부터 지점 반력 계산

Fx = 0 0xA

MC (부재 AC 자유물체도)= 0 0)75()125(80)200( yy BA

40038 yy BA

내부 힌지 2개(C, D) 때문에 보는 내적으로 불안정. 반력은 총 5개(Ax, Ay, By, Ey, Fy) 인데 내부 힌지 두개가 추가 조건식 2개를 성립시키므로 전체적으로 정적 정정.


Lecture 3 - 28

MD (부재 AD 자유물체도)= 0 0)75)](150)(3[()225()275(80)350( yy BA

2230914 yy BA

위의 Ay와 By에 대한 식을 연립해서 풀면 다음과 같다. 40038 yy BA

2230914 yy BA

Ay = -103 k , By = 408 k ,

MF = 0 0)125()175)](350)(3[()425()475(80)550( yyy EBA

0)125()175)](350)(3[()425(408)475(80)550(103 yE

Ey = 840 k ,

Fy = 0 0)350(380 yyyy FEBA

0)350(380840408103 yF

Fy = 15 k

여기서 미지의 반력 Ay 와 By 를 나타내는 두개의 식으로부터 연립해서 Ay와 By를 계산함에 유의.


Lecture 3 - 29

(참고) 다음과 같이 다른 방법으로도 계산이 가능. 자유물체도

(참고자료: 최근 5년간 기사 1차 기출 유사 문제 – 게르버보)

위의 자유물체도에서 힌지로 연결된 CD 부재만을 따로 분리시켜서 자유물체도를 그리게 되면 CD 부재에서의 평형방정식으로부터 내력을 먼저 계산. 이 결과를 이용하여 나머지 자유물체도 (DF부분, AC부분)들로부터 지점 반력을 연립방정식을 세우지 않고 계산이 가능. [교재 68페이지 참고]


Lecture 3 - 30

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