3° algebra
TRANSCRIPT
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LGEBRAI Nivel Secundaria
Operaciones Combinadas
Potenciacin i
Potenciacin ii
Repaso
Ecuaciones Exponenciales
Expresiones Algebraicas
Trminos Semejantes
Multiplicacin Algebraica I
Multiplicacin Algebraica II
Productos Notables I
134
138
143
147
150
153
158
161
164
168
-
134
Ejemplos:
Ejemplos:
Ejemplos:
Operaciones Bsicas
Saberes Previos
Ejemplos:
* - 4 - 5 - 7 = - (4 + 5 + 7) = -16
* + 3 + 4 + 8 = + (3 + 4 + 8) = +15
Efecta:
-4 - 6 - 5 =
+2 + 5 + 8 =
-8 - 7 - 10 =
+8 + 12 + 13 =
-12 - 11 - 20 =
Si se tiene dos o ms nmeros enteros con el mismo signo, el resultado ser la suma precedido del signo en comn.
1. R E G L A P R C T I C A P A R A SUMAR O RESTAR NMEROS ENTEROS
* - 7 + 12 = + (12 - 7) = +5
* - 10 + 8 = - (10 - 8) = -2
Efecta:
-4 + 5 =
Si se tiene dos nmeros con signos diferentes, el resultado ser la diferencia precedida del signo del mayor en cantidad.
-8 + 6 =
+9 - 5 =
+10 - 15 =
-20 + 8 =
Todo signo de coleccin precedido por un signo + puede ser suprimido, escribiendo luego los nmeros contenidos en su interior, cada uno con su propio signo.
2. S I G N O S D E C O L E C C I N : ( ); [ ]; { }
* 10 + (-4 + 2 - 5) = 10 - 4 + 2 - 5
* 8 + (12 - 4) = 8 + 12 - 4
Todo signo de coleccin precedido por un signo - puede ser eliminado, escribiendo luego cada uno de los nmeros contenidos en su interior, con su signo cambiado.
* -12 - (4 + 3 - 1) = -12 - 4 - 3 + 1
* -8 - (7 - 3 + 2) = -8 - 7 + 3 - 2
Operaciones Combinadas
Son aquellas donde intervienen las operaciones elementales (adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin), as como tambin los signos de coleccin.
L a j e r a r q u a u o r d e n e n
las operaciones combinadas es el siguiente:
* Se efectan las operaciones dentro de los signos de coleccin: ( ), [ ], { }.
* A continuacin operamos las multiplicaciones y divisiones: x, .
* Finalmente efectuamos las sumas y restas: +, -.
1. Calcula: 7 + 5 - 2 - 4 + 8 - 6 los sumandos pueden cambiarse de orden y agruparse.
Resolucin:
(7 + 5 + 8) - (2 + 4 + 6) 20 - 12 8
signos diferentes se restan
2. Calcula: 27 3 + 8 - 16 4 - 4 x 2 s i n o h a y p a r n t e s i s , l a s
multiplicaciones y las divisiones deben realizarse en primer lugar.
Resolucin
9 + 8 - 4 - 8 17 - 12 5
3. Reduce: 18 (5 + 4) + 6 x (4 - 2) - 10 los parntesis condicionan el orden
de las operaciones.
-
135
1) Calcula: -8 + 7 + 12 - 15 + 20
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
10) Calcula: 6 x 9 2 - 5 x 16 4
a) 8 b) 6 c) 10d) 12 e) 7
Nivel I
Nivel II
16) Calcula: 50 - {(6 - 1)8 4 x 3 + 16
(10 - 2)} - 5
a) 8 b) 13 c) 10d) 16 e) 2
Resolucin:
18 9 + 6 x 2 - 10 2 + 12 - 10 14 - 10 4
4. Reduce: 20 - 4 x [15 - (7 - 4 2) - 3]
efectuando operaciones dentro del parntesis.
Resolucin:
20 - 4 x [15 - (7 - 2) - 3] 20 - 4 x [15 - 5 - 3]Efectuando el corchete:
20 - 4[7] 20 - 28
-8
5. Efecta: 3{2[41 - (20 4)] 9} - [(62 - 29)
11 + 2(45 - 27) 3] efectuando operaciones dentro del parntesis.
Resolucin:
3{2[41 - 5] 9} - [33 11 + 2(18) 3] 3{2[36] 9} - [3 + 36 3] 3{72 9} - [3 + 12] 3{8} - 15 24 - 15 9
2) Calcula: -10 + 8 - 7 + 10 - 25
a) 20 b) -20 c) -24 d) -22 e) 22
3) Calcula: +20 - 15 + 18 - 7 + 32 - 8
a) 30 b) 40 c) 50 d) 45 e) 35
4) Calcula: -25 + 32 - 40 + 28 - 35
a) -20 b) -40 c) -30 d) 35 e) -35
5) Calcula: -30 - 15 + 22 - 10 + 14 - 12
a) 30 b) -31 c) 31 d) 32 e) -32
6) Calcula: 8 + 12 x 3 - 24 3
a) 30 b) 40 c) 36 d) 38 e) 32
7) Calcula: 20 - 8 x 2 - 1 + 5 x 4
a) 23 b) 25 c) 21 d) 24 e) 27
8) Calcula: (9 x 6 + 6 - 15) (4 x 5 4)
a) 10 b) 8 c) 9 d) 7 e) 6
9) Calcula: 64 2 2 2 + 36 9 x 5
a) 28 b) 30 c) 32 d) 26 e) 34
11) Calcula: {(4 + 2) - 7 x 2 + (5 x 2 + 1) - 1}
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
12) Calcula:
8 + {9 - [6 - (5 - 4)]} + 14 - 11 - {7 - 1}
a) 1 b) 3 c) 9d) 12 e) 15
13) Calcula: (12 - 15)(-6) + (18 - 13)(-8)
- [(12 - 16)]
a) 62 b) 63 c) 64d) 65 e) 66
14) Calcula: 6 x 8 + 40 4 + 32 {(224
7) - 1}
a) 45 b) 58 c) 60d) 64 e) 71
15) Calcula: 88 [5 x 3 - 2 + 5(3 - 2) + 4]
+ 2
a) 4 b) 6 c) 7d) 8 e) 10
17) Calcula: (8 - 1) - (16 - 9) + 4 - 1 + 9 - 6 +
(11 - 6) - 5
a) 8 b) 4 c) 6d) 10 e) 12
18) Calcula: (15 - 2)4 + 3(6 3) - 18
(10 - 1)
a) 55 b) 56 c) 58d) 59 e) 60
-
136
19) Calcula: 68 - 6 x 7 + (39 + 5 - 2) 7
- 7 x 2 + 8
a) 68 b) 26 c) 40d) 48 e) 54
20) Calcula: [(9 - 4) 5 + (10 - 2) 4] +
9 x 6 18 + 2
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
* Completa el recuadro:
21) 64 2 2 2 + = 10
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
22) 3 x x 2 + 15 5 - 2 = 25
a) 4 b) 6 c) 5d) 7 e) 10
23) 24 x 6 x 9 - 7 x 3 = 141
a) 4 b) 6 c) 5d) 8 e) 10
24) 24 x 6 8 x - 240 6 2 x 10 25 = 10
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
* Qu smbolos completan los casilleros vacos?
25) 9 3 1 2 8 = 11
a) +; -; ; x d) x; -; x; +b) x; x; -; x e) +; -; +; -c) ; -; x; -
26) 21 (8 6) 3 2 5 = 4
a) +; x; -; x; + b) +; x; -; ;+c) x; -; ; -; xd) ; +; -; x; -e) +; -; x; ;+
27) 25 5 10 2 4 3 = 12
a) +; x; -; x; - b) ; -; +; x; +c) ; -; ; +; xd) x; -; ; +; -e) ; +; -; x; -
* La lista de nmeros que al ocupar los lugares vacos completen correctamente la operacin es:
28) + ( + - ) - = 29
a) 10; 6; 6; 4; 30b) 8; 3; 12; 5; 9c) 20; 10; 6; 4; 8d) 25; 3; 16; 11; 4e) 19; 14; 17; 6; 5
29) x + - x = 26
a) 2; 12; 15; 3; 9b) 15; 3; 22; 18; 3c) 7; 7; 13; 3; 12d) 5; 4; 27; 8; 5e) 6; 9; 11; 22; 2
30) ( x - ) = 3
a) 8; 2; 2; 5; 1b) 3; 4; 5; 2; 3c) 7; 3; 6; 2; 6d) 7; 4; 5; 2; 1e) 6; 3; 5; 7; 2
Nivel III
31) Efecta: -6 + 8 (-2) . (-3)
a) -6 b) -4 c) 4d) 6 e) 12
32) Calcula: -5 + 7 - (-8) . 2 (-4)
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
33) Calcula: 18 [-5 + (-3 . 2 + 5)]
a) -3 b) -2 c) 2d) 3 e) 1
34) Calcula: 7 - [5 . 4 - 20 (-5) + 7 - 40
(-8) - 9]
a) -10 b) -16 c) -20d) -24 e) 30
35) Calcula: 40 (-8) . (-6) (-6 - 4) - 50
(-5)(-2) (-5)
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
36) Calcula: 3 + 4 [8 . {4 - (9 + 3) 6}]
a) 61 b) 63 c) 65d) 67 e) 69
37) Calcula: -3 - 4 - [8 . (-3 - 1) (-2) + (-7)]
a) -12 b) -14 c) -16d) -18 e) -20
38) Calcula: -20 - [-3 - {20 - (6 (-3) - 7)}
- 2]
a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 18
39) Calcula: 5 . 4 (-2) (-5) . 3
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
40) Calcula: 9 - {8 - [7 - 20 . (-2) (-8) -
(-12 + 7) . 3]}
a) 18 b) 16 c) 14d) 12 e) 10
-
137
41) Calcula: -1 - [-2 - (-3 + 4(-5) - 6 . (7))]
a) -62 b) -63 c) -64d) -65 e) -66
42) Calcula: {[20 (10 - 15) + 2] - [15
(7 - 10) . (-2 + 5)]}
a) 7 b) 9 c) 11d) 13 e) 15
43) Calcula: -13 - [6 (-2) + (-25) (-5) - 7]
a) -2 b) -4 c) -6d) -8 e) -10
44) Calcula: -15 + [-3 - {20 - (6 (-3) - 7)} -2]
a) -49 b) -50 c) -51d) -52 e) -53
46) Calcula: (12 6) + 5(12 3) +
(-14) (-2) . 5
a) 55 b) 56 c) 57d) 58 e) 59
47) Calcula: (6 + 7) . (-15) (-3) . (2) -
[7 - 7(5) + 21]
a) 135 b) 137 c) 139d) 141 e) 143
48) Calcula: [{4 + 3(5 - 8) + 4} + 2]
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
49) Calcula: {(4 + 2) - 7(2) + [5(2) + 1] - 1}
a) 2 b) 1 c) 0d) 1 e) -2
50) Calcula: (3 - 5) + (-16) (-2) + 5
- {(4 + 2) - 8}
a) 15 b) 14 c) 13d) 12 e) 11
45) Calcular: -7 + [(-10) (-2) - {3 - (2 - 8)}]
En la c ivi l izacin m e s o p o t m i c a e n c o n t r a m o s l o s primeros sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas; pero s in duda la g r a n a p o r t a c i n algebraica babilnica se centra en el campo de la potenciacin y en la resolucin d e e c u a c i o n e s cuadrticas, tanto es as que llegaron a la solucin para ecuaciones de la forma ax2 + bx + c y tambin mediante el cambio de variable t = ax. Efectuaron un sinfn de tabulaciones que utilizaron para facilitar el clculo, por ejemplo de algunas ecuaciones cbicas. El dominio en esta materia era tal, que incluso desarrollaron algoritmos para el clculo de sumas de progresiones, tanto aritmticas como geomtricas.
Su capacidad de abstraccin fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen como ecuaciones diofnticas, algunas de las cuales estn ntimamente unidas con conceptos geomtricos.
45) Calcula: -7 + [(-10) (-2) - {3 - (2 - 8)}]
a) -8 b) -9 c) -10d) -11 e) -12
-
138
Ejemplos:
Ejemplos:
Ejemplos:
(5)(5)(5) ... (5) = (5)20
20 factores
(m)(m)(m) ... (m) = (m)15
15 factores
As tambin, tenemos:
410 = (4)(4)(4) ... (4) 10 factores
a33 = (a)(a)(a) ... (a) 33 factores
Potenciacin I
Es aquella operacin matemtica en la cual dados dos nmeros a (base) y otro entero positivo n (exponente), se define p como la potencia ensima de a.
an = P
Exponente
PotenciaBase
Ejemplos:
34 = 81 53 = 125
* Base : 3 * Base : 5* Exponente : 4 * Exponente : 3* Potencia : 81 * Potencia : 125
Exponente Natural
Exponente Cero
a0 = 1 a 0
(5)0 = 1 (1/2)0 = 1
(-8)0 = 1 ( 3)0 = 1
Teoremas
M U L T I P L I C A C I N D E POTENCIAS DE IGUAL BASE
am . an = am+n
Se tiene:am . an = (a . a . a . ... . a) (aaa ... a)
m factores n factores
Contando el total de factores:am . an = (a . a . a . ... . a . a)
m + n factores
Expresando como potencia:am . an = am+n
Demostracin:
* 35 . 33 = 35+3
* m12 . m5 = m12+5
* 6a . 64 = 6a+4
Pero tambin:
mm+2 mm . m2
2a+7 = 22 . 27
POTENCIA DE UN PRODUCTO
(ab)m = am . bm
Se tiene:(ab)m = (ab)(ab)(ab) ... (ab)
m factores
Asociando los factores iguales:(ab)m = (aaa ... a) (bbb ... b)
m factores m factores
Representando como potencia:(ab)m = am . bm
Demostracin:
(5a)4 = 54 . a4
(3 . 8)a = 3a . 8a
Pero tambin:
35 . p5 = (3p)5
73 . 53 = (7 . 5)3
POTENCIA DE POTENCIA
(am)n = amn
Se tiene:(am)n = am . am . am . ... am
n factores
Por la multiplicacin de potencias de igual base: n factores
(am)n = am+m+m+...+m
Demostracin:
Ejemplos:
a . a . a . ... . a . a = an
n factores
-
139
Ejemplo:
Ejemplos:
reemplazando:(2)(2)(2) ... (2) - (23)2
6 factores 26 - 26 64 - 64 0 (cero)
de donde:(am)n = amn
(a3)4 = a3(4) = a12
(m5)n = m5n
Pero tambin:
a6 = a3(2) = (a3)2
m4p = (m4)p
LEY DE SIGNOS
Ejemplo:
(-4)3 = (-4)(-4)(-4) = -64
Principales Potencias
POTENCIAS DE DOS
21 = 2 26 = 64 22 = 4 27 = 128 23 = 8 28 = 256 24 = 16 29 = 512 25 = 32 210 = 1024
POTENCIAS DE TRES
31 = 3 34 = 81 32 = 9 35 = 243 33 = 27 36 = 729
POTENCIAS DE CINCO
51 = 5 53 = 125 52 = 25 54 = 625
POTENCIAS DE SIETE
71 = 7 73 = 343 72 = 49
1. Calcula: 50 + 23 + (22)2
Resolucin:
* 50 = 1 exponente cero* 23 = 8 exponente natural* (22)2 = 24 potencia de potencia
reemplazando:50 + 23 + 24
1 + 8 + 16
25
2. Reduce: (2)(2)(2) ... (2) - (23)2
6 factores
Resolucin:
* (2)(2) ... (2) = 26 6 factores* (23)2 = 26
exponente natural
potencia de potencia
3. Reduce: (3)(3)(3)(3) - (2)(2)(2)(2)(2)(2) 4 factores 6 factores
Resolucin:
Expresamos como potencia:34 - 26
81 - 64 17
4. Calcula: (-23)2 + (-22)3
Resolucin:
* (-23)2 = +(23)2
* (-22)3 = -(22)3
reemplazando:+(23)2 - (22)3
por potencia de potencia:26 - 26
64 - 64 0 (cero)
Exponente par
Exponente impar
5. Un cubo mgico tiene tres capas con tres lneas de tres cubos cada una. Cuntos cubos tiene en total?
Resolucin:
De la figura:* Cada fila tiene 3 cubos, entonces en
tres filas habr 3(3) = 9 cubos.* Cada capa tiene 9 cubos,
entonces en tres capas habr 3(9) = 27 cubos.
De donde se tiene:(3)(3)(3) = 33 = 27 cubos
3 cubos3 lneas
3 capas
4. (-)impar = -
(Exponente impar)
Base negativa
Ejemplo:
(+6)3 = (+6)(+6)(+6) = +216
3. (+)impar = +
(Exponente impar)
Base positiva
Ejemplo:
(+5)4 = (+5)(+5)(+5)(+5) = +625
1. (+)par = +
(Exponente par)
Base positiva
2. (-)par = +
(Exponente par)
Base negativa
(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = +81
-
140
1) Calcula: 25 + 24 + 23
a) 50 b) 52 c) 54 d) 56 e) 58
8) Calcula: (-3)4 + (-4)3 + (4)(3)
a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12
10) Calcula: (-5)3 - (-11)2 + 33
a) 31 b) 29 c) 27d) 25 e) 23
Nivel I
Nivel II
16) Calcula: (-4)2 + (-3)3 + (-2)4
a) 5 b) 7 c) 9d) 11 e) 13
2) Calcula: 26 + 62 + 2(-6)
a) 86 b) 88 c) 90 d) 92 e) 94
3) Calcula: (2)(2) ... (2) - 43
6 factores
a) -4 b) -2 c) 0 d) 2 e) 4
4) Calcula: (2)(2) ... (2) + (-3)5
8 factores
a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19
5) Calcula: 34 + (-3)(-4) + (-4)3
a) 23 b) 25 c) 27 d) 29 e) 31
6) Calcula: (-2)8 + (-3)5
a) 13 b) 11 c) 9 d) 7 e) 5
7) Calcula: 30 + 31 + 32 + 33
a) 36 b) 38 c) 40 d) 42 e) 44
9) Calcula: (-2)6 + (-6)2 - 34
a) 11 b) 13 c) 15d) 17 e) 19
11) Calcula: (2)(2) ... (2) + (-5)3
7 factores
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
12) Calcula: 35 - 44 + 23
a) -3 b) -5 c) -7d) -9 e) -11
13) Calcula: 42 - 33 + 24
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
14) Calcula: -25 + 43 - 61
a) 24 b) 26 c) 28d) 30 e) 32
15) Calcula: 26 - 34 + 42
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
17) Calcula: (-8)2 + (-2)5 + (-3)3
a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11
18) Calcula: (-1)6 + 24 - 32 - 40
a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11
19) Calcula: 72 - 62 + 52 - 42
a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24
20) Calcula: 30 - 43 + 26
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
21) Calcula: (-6)2 + (-5)2 + (-4)3
a) -1 b) -3 c) -5d) -7 e) -9
-
141
22) Calcula: {25 + (-3)3 + 41}2
a) 3 b) 9 c) 27d) 81 e) 243
Nivel III
31) Calcula: (-5)3 + (-4)2 + (-3)1 + (-2)0
a) -111 b) -112 c) -113d) -114 e) -115
23) Calcula: (2)(2) ... (2) + (-6)3
8 factores
a) 36 b) 40 c) 44d) 48 e) 52
24) Calcula: (-11)2 - (-9)2 - (-7)2
a) -9 b) -7 c) -5d) -3 e) -1
25) Calcula: 26 - 34 + 62 - 70
a) 18 b) 16 c) 14d) 12 e) 10
26) Calcula: (-2)7 - (-5)3
a) -3 b) -2 c) -1d) 0 e) 1
27) Calcula: 25 - 44 + 63
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
28) Calcula: 34 + (-2)5 - 72
a) -2 b) -1 c) 0d) 2 e) 1
29) Calcula: (33 - 25)2 + (52 - 33)2
a) 25 b) 27 c) 29d) 31 e) 33
30) Calcula: {(-7)2 - (34 - 62)}2
a) 2 b) 4 c) 9d) 16 e) 25
32) Calcula: {(-4)2 + (-2)4 + (-3)3 + 50}2
a) 4 b) 16 c) 25d) 36 e) 49
33) Calcula: -(-3)2 + (-4)3 - (-2)4
a) -87 b) -88 c) -89d) -90 e) -91
34) Calcula: (-3)4 + (-4)3 - (-5)0
a) 22 b) 23 c) 24
d) 25 e) 26
35) Calcula: 23 + 34 - 52 - 43
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
36) Calcula: 22 + 23 + 24 + (-3)3
a) -1 b) 0 c) 1d) 2 e) 3
37) Calcula: 53 - (32 + 33 + 34)
a) 22 b) 24 c) 23
d) 25 e) 20
38) Calcula: (-2)2 + (-3)2 + (-4)2 + (-5)2 -
72
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
39) Calcula: 13 + 23 + 33 + 43 - 102
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
40) Calcula: 25 + (-5)2 + 23 + (-3)2
a) 70 b) 72 c) 74d) 76 e) 78
41) Calcula: 27 + (-7)2 - 132
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
42) Calcula: 44 + 33 + 22 - 172
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
43) Calcula: 62 + 26 + 32 + 23 - 112
a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5
44) Calcula: (3 + 2)2(1) + (4 + 1)(4-1) +
(3 - 1)(3+1)
a) 156 b) 160 c) 166d) 168 e) 170
45) Calcula:
a) 16 b) 32 c) 64d) 128 e) 256
(52 + 42 - 23)2
(23 + 32 - 42)10
-
142
46) Calcula: (-9)2 + (-3)4 - 53 - 62
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
47) Calcula: (-3)3 + (-5)2 + (-4)2
a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15
48) Calcula: ((-2)3)2 + ((-3)2)2 - 102
a) 41 b) 42 c) 43d) 44 e) 45
49) Calcula: 63 + (-5)3 + (-4)3 + (-3)3
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
50) Calcula: 22 - 32 + 42 + 52 - 62
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
Sabes contar hasta un googol?
Diras que cien es un nmero grande? Qu diras de mil? Y de un milln? Estos nmeros pueden parecer grandes hasta que no descubras al Googol. Pero hagas lo que hagas, no intentes contar hasta un Googol!
45) Calcular: -7 + [(-10) (-2) - {3 - (2 - 8)}]
a) -8 b) -9 c) -10d) -11 e) -12
3
= 8
Luego : 3 8 = 2
2 . 2 . 2 = 8raz
En busca del Origen
Cul es el origen del hombre? Segn la teora de la evolucin los protohomnidos.
raz
Cul es el origen del 8 si el exponente es 3?
Pues 2, porque:
-
143
Ejemplos:
Ejemplos:
Potenciacin II
a-n = =
= am-nam
an
a . a . a . ... a . a . a . ... a . aa . a . a . ... a . a
am
an
2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 22 . 2 . 2 . 2
Demostracin:
27
24=1
3( )
m
( )ab = ( )ab ( )ab ( )ab ... ( )ab
m
m
5
3
-2
( )15-5
( )
1. Calcula:
Resolucin:
2. Calcula:
Ejemplos:
25
23+ +50( )13
-2
210
27
39
36
* = 210-7 = 23 (propiedad)
* = 39-6 = 33 (propiedad)
Reemplazando:
23 + 33
8 + 27 35
210
2739
36+
210
2739
36+
1m
= m5
= 52 = 25
Ejemplo:
Nota
-n
( )1a = an
( )14 =143
=1
64
( )23 =25
35=
32243
Nota
m
( )1a =1
am
( )ab = a . a . a . ... . a . a . ab . b . b . ... . b . b . bm factores
m factores
( )ab =am
bm
m factores
am
bm( )ma
b=
2
7 factores
4 factores
= 23
3 . 3 . 3 . 3 . 33 . 3 . 3
35
33=
5 factores
3 factores
= 32
=
m factores
n factores
a . a . a . ... a . aa . a . a . ... a . a
am
an =
m factores
n factores
Demostracin:
1a
1an ( )
( n
) siendo: a 0
Exponente Negativo
Teoremas
DIVIS IN D E POT ENCIAS DE IGUAL BASE
Se tiene:
Reduciendo factores comunes:(m > n)
Expresando los factores que quedan:
= a . a . a . ... a . a m - n factores
a potencia:
= am-n l.q.q.dam
an
am
an
POTENCIA DE UN COCIENTE
Asociando convenientemente:
Expresando como potencia:
l.q.q.d
19
15
3-2 = =
5-1 = = 151
-
144
Nivel I
Resolucin:
25
23
* = 32
* 50 = 1
* = 22
Reemplazando:
32 + 1 + 22
9 + 1 + 4 14
( )13-2
exponente negativo
exponente cero
propiedad
25
23+ +50( )13
-2
3. Calcula: +( ) ( )13 ( )120-11
4
-2
+
Resolucin:
Aplicando exponente negativo:
42 + 31 + 1 16 + 3 + 1 20
+( ) ( )13 ( )120-11
4
-2
+
4. Calcula:
Resolucin:
Aplicando divisin de potencias de igual base:
212-8 + 310-8 + 48-8
24 + 32 + 40
16 + 9 + 1 26
+212
28+
310
3848
48
5. Reduce:
Resolucin:
Reemplazando:
( )232
( )234
( )326
( )232
( )234
( )236
= ( )232+4
=
( )236
( )326
26
3636
26.
26
2636
36. = 20 . 30 = (1)(1) = 1
Apl icando potencia de un cociente:
Asociando:
1) Reduce:
a) 8 b) 16 c) 32 d) 64 e) 128
(2)(2)(2) ... (2)(2)(2)(2)(2) ... (2)(2)
16 factores
20 factores
2) Efecta:
a) 35 b) 36 c) 37 d) 38 e) 39
315
312213
210+ + 1
3) Reduce:
a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13
( )14 ( )13 ( )12-4-3
- -
4) Efecta:
a) 27 b) 29 c) 31 d) 33 e) 35
216
214314
312+
412
410+
5) Reduce: (23)4 - (26)2 + (21)9
a) 128 b) 256 c) 512 d) 64 e) 16
6) Efecta:
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
( )12 ( )14 ( )16-3-4
- +
7) Calcula: 4-1 + 2-1 + 1-1 + 4-1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
8) Efecta:
a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256
+( ) ( )14-21
2
-4
+ 10
9) Reduce: 60 + 4-1 + 2-1 + 2-2
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16
-2
-5
-
145
10) Calcula:
a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32
28
82
11) Calcula:
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
49
46218
212-
12) Reduce:
a) 56 b) 66 c) 76d) 7 e) 2
24 . 36
22 . 34+ 5
5 . 66
54 . 65
13) Efecta:
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
316
312- 9
14
912+ 120
14) Calcula:
a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11
-( ) ( )12-51
8
-2
- 33
Nivel II
16) Calcula: ((-1)3)2 + (22)2 - 32 - 50
a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11
-( ) ( )14-31
3
0
+ (23)2
15) Reduce:
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
17) Efecta:
a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32
218
214416
413- 8
14
812+
18) Reduce:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
(2)(2) ... (2)(2)(2) ... (2)
12 factores
17 factores
- (3)(3)(3) ... (3)(3)(3)(3) ... (3)
15 factores
18 factores
19) Calcula: ((32 - 23)2)4
a) 1 b) 2 c) 4d) 8 e) 64
20) Efecta: (32)3 + (24)2 - (33)2
a) 16 b) 32 c) 64d) 128 e) 256
21) Calcula:
a) 3 b) 9 c) 18d) 24 e) 36
+( ) ( )16-31
2
-8
72 -
22) Efecta:
a) -25 b) 25 c) 125d) -125 e) 250
(-5)(-5) ... (-5)(-5)(-5) ... (-5)
18 factores
20 factores
23) Reduce:
a) 1 b) -1 c) 0d) 2 e) 3
( )136
( )19-3
+ (27)0
24) Calcula:
a) 1 b) 17 c) 13d) 9 e) 11
+-3 -2
( )13-( )12-
25) Efecta: (22)(22) ... (22) - (25)2 + 50
5 factores
a) -1 b) 0 c) 1d) 2 e) 5
26) Calcula:
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
(22)3
(23)2- (23)2 + (22)3
27) Reduce:
a) -1 b) -3 c) -5d) -7 e) -9
+( ) ( )15-21
6
-2
+ (-22)3
28) Efecta:
a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 14
(63)4
(62)6+ + 23(2
6)4
(28)3
29) Calcula:
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
515
512( )15
-2
- (42)(32)+
30) Efecta: (32)2 - (23)2 - (41)2
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
Nivel III
31) Reduce:
(4-1 + + 2-1 + 1)3
a) 1 b) 8 c) 27d) 64 e) 125
14
-
146
32) Efecta:
a) 1 b) 8 c) 27d) 64 e) 125
{ }3
( )16 ( )15 ( )
13
-3-1-1+ -
33) Reduce:
a) 3 b) 9 c) 2d) 4 e) 5
{ }1/2
( )14 ( )12 ( )
13
-2-3-3+ +
34) Reduce:
a) 20 b) 4 c) 8d) 64 e) 1024
{ }10
( )15 ( )15 ( )
17
-2-2-2+ -
35) Efecta: (23)(23) ... (23) - (22)(22) ... (22) + 23 6 factores 9 factores
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
36) Efecta:
a) 0 b) 1 c) 2d) 4 e) 8
37
33210
24- - 42
37) Reduce:
a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16
{ }( )13-4
( ) ( )13 ( )14
-3-212
-3
{ }++21+ + 12 -
38) Calcula:
a) 20 b) 21 c) 23
d) 26 e) 210
{ }10-2
( )-2 -2-2
+ ( )15 ( )17( )
14
-+13
39) Calcula:
a) 4 b) 9 c) 16d) 81 e) 625
4
{ }-2
( )-2 -2
+ ( )16( )14+
13( )
12
-6-
40) Reduce:
a) 4 b) 8 c) 16d) 9 e) 81
{ }2-2
( )-2 -4-2
+ ( )16 ( )13( )
15
-+14
41) Reduce:
a) 1 b) 8 c) 27d) 64 e) 125
{ }3
( )19 ( )17 ( )
15
-3-2-2+ -
42) Efecta:
a) 25 b) 36 c) 49d) 64 e) 100
{ }2
( )13 ( )12 ( )
13
-4-6-3+ -
43) Efecta:
a) 1 b) 9 c) 25d) 81 e) 121
{ }2
( )113 ( )16 ( )
16
-3-2-2+ -
44) Reduce:
a) 8 b) 27 c) 64d) 125 e) 216
{ }3
( )113( )15
-3 -2
( )117-2
+ -
45) Calcula:
a) -4 b) 4 c) 2d) -8 e) 8
( )112-2
( )14 ( )16-3-3
-+
46) Calcula:
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
{ }-4
( )-2
+( )16+13
-( ) ( )110-21
15
47) Reduce:
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
( )16 ( )13
-2-3
( )115-2
+ -
48) Calcula:
a) 22 b) 23 c) 24
d) 25 e) 26
-3-3
( )113 ( )0
( )1214 ( )
16+
- -
49) Reduce:
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
( )112 ( )115 ( )119-2
+ -
50) Calcula:
a) 4 b) 25 c) 36d) 49 e) 64
{ }2
( )114 ( )16
-2-2
( )115-2
+ -
De los tres pueblos orientales (chino, indio y rabe) que influyeron en el progreso de las matemticas, fueron los indios los ms importantes en aportaciones originales. Conservaron los trabajos de los griegos, inventaron el sistema de numeracin decimal, el uso del cero como smbolo operatorio, establecieron diferencias entre nmeros enteros positivos y negativos, que interpretaron como rditos y dbitos.
74 2
103 102 101 100
Multiplicador(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
Potencia de 10
Peso 1Peso 10Peso 100Peso 1000
3
-2-2
-2
-2
-
147
Repaso
Nivel II
18) Calcula: (-3)3 + 43 + 53 + (-6)3
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
17) Calcula: 33 + (-5)2 - (-7)2
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
16) Reduce: -(-3)3 + 52 - 72
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
15) Calcula: (-2)4 + (-4)3 + (-6)2
a) -12 b) -10 c) -8d) -6 e) -4
14) Calcula: (-3)4 + (-4)3 - (-5)2
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
13) Calcula: 23 - 44 + 35
a) -3 b) -5 c) -7d) -9 e) -11
12) Calcula: (-23)2 - 52 + (-3)3
a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 14
11) Efecta: (2)(2) ... (2) - (23)3
9 factores
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
10) Calcula: (-5)(-4) - 3 - [(-6)(2) - 8] +
(-2)(-9)
a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18
9) Calcula: -(-2)(-3)(-4) - (-3)(-2)(-1) +
(21 - 15)(-8)
a) -14 b) -15 c) -16 d) -17 e) -18
8) Calcula: (12 - 15)(-6) + (18 - 13)(-8) -
[(12 - 16)]
a) 62 b) 63 c) 64 d) 65 e) 66
7) Calcula: ( - 3 ) ( - 2 ) + ( 5 - 1 1 ) ( - 2 ) +
(13 - 9)(-5) + 19
a) 31 b) 30 c) 29 d) 28 e) 27
6) Calcula:
8 + {9 - [6 - (5 - 4)]} + 14 - 11 - {7 - (3 - 2)}
a) 1 b) 3 c) 9 d) 12 e) 15
5) Calcula: (6 + 7) x 2 - {(5 + 8) - 6 x 4 +
18}
a) 19 b) 18 c) 17 d) 16 e) 15
4) Calcula: (4 + 3) x (3 + 2) - {(5 x 7) +
3}
a) -5 b) -4 c) -3 d) -2 e) -1
3) Calcula: {(4 + 2) - 7 x 2 + (5 x 2 + 1) - 1}
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2) Calcula: (4 2) + 5(8 2) + 7 x 5
a) 53 b) 55 c) 57 d) 59 e) 61
1) Calcula: (5 + 4) 3 + (8 - 4) 2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Nivel I
-
148
Nivel III
31) Calcula: (-1)(-2)(-3) + (-1)4(-2)2 +
(-1)6(-3)2
a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9
19) Efecta: -32 + (-7)2 + (-9)2 - 112
a) -3 b) 0 c) 3d) -6 e) 9
20) Reduce: (-3)2 + (-4)3 + (-5)4
a) 540 b) 550 c) 560d) 570 e) 580
21) Calcula: (-2)4 + (-3)3 + (-4)2 + (-5)1
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
22) Efecta:
a) -3 b) -2 c) -1d) 0 e) 1
-( ) ( )15-31
3
-5- ( )111
-2
23) Efecta:
a) 14 b) 16 c) 18d) 20 e) 22
+( ) ( )14-1
( )13 ( )12-3-21
5
0
+ +
24) Reduce:
a) -20 b) -22 c) -24d) -26 e) -28
( )12 ( )16 ( )18-2-3-8
- -
25) Calcula:
a) -20 b) -10 c) 0d) 10 e) 20
( )110-2
- ( )16 ( )14-3-2
-
26) Reduce: (-1)3 + (-2)2 + (-35)2 + (-32)5
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
27) Calcula: (-7)0 + (-5)3 - (-2)7
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
28) Efecta:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
( )111-2
( )( )110-2 1
4
-2- -
29) Calcula: (-5)2 - 40 - (-3)2 + (-2)0
a) 4 b) 9 c) 16d) 20 e) 22
30) Reduce: (22)-1 + (4-1)1 + (2-1)-1
a) 2 b) 1 c) 0d) -1 e) -2
32) Calcula: [(-16) (-2) + 8] + (-2)3 +
(-3)2
a) 12 b) 14 c) 15d) 16 e) 17
33) Calcula: [(-12) (-4)(5) + 1] +
(-3)3 + (-4)2
a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1
34) Calcula:
+ + (-2)(-3) 6 + 3
a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 18
( ) ( )- 14- 12-3
35) Calcula: (-2)(-3)(-4) + (-2)3 + (-3)3 + (-4)2
a) -25 b) -26 c) -27d) -28 e) -29
36) Calcula: (-3)(-5) + (-2)5 - (-3)3 +
(-1) (-2)(-3)
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
37) Calcula:
+ + (-2)(-3)(-4)
a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1
(-2)8
(-2)4(-3)7
(-3)5
38) Calcula:
+ + (-2)0 - (-4)0
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
(-2)4
(-4)2(-2)6
(-4)3
39) Calcula:
a) 16 b) 8 c) 4d) 2 e) 1
216 . 44
88
40) Calcula: (-2)2 + (-4)2 + (-6)2 + (-8)2
+ (-10)0
a) 82 b) 92 c) 102
d) 112 e) 122
41) Calcula: (24) (-8) - {(-5)0 -
[(-12) 3 + 5] - 3}
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
-2
-
149
42) Calcula: (-3)3 + (-4)2 - (-2)5 + (-1)8 - (-5)2
a) -5 b) -4 c) -3d) -2 e) -1
43) Calcula: {[(2)(-3) + 4](-5) - 6}(-2) + 12
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
44) Calcula: (-3)4 + (-5)3 + (-7)2 + (-9)1
a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5
45) Calcula:
a) 330 b) 331 c) 332d) 333 e) 334
39
3447
4455
53+ +
46) Calcula: [{(-20) (4) + 3}(-4) + 8]2
a) 81 b) 144 c) 196d) 225 e) 256
47) Calcula:
[{(-36) (-9) + (20) (-4)} 10 - (15) (-5)]2
a) 25 b) 36 c) 49d) 64 e) 81
48) Calcula: {(-10)2 + (-2)3 + (-3)3 + (-4)3}6
a) 1 b) 8 c) 32d) 64 e) 256
49) Calcula: {(-4)1 + (-3)3 + (-2)5}7
a) 1 b) 8 c) 32d) 128 e) 512
50) Calcula: 73 + (-5)1 + (-4)3 + (-3)5
a) 30 b) 31 c) 32d) 33 e) 34
Todos los habitantes de la Tierra somos primos
Para demostrar este hecho, basta con calcular nuestros antepasados de la siguiente manera. Yo tengo 2 padres, 4 abuelos, 8 bisabuelos, 16 tatarabuelos, y as sucesivamente, de tal forma que si la distancia entre generaciones es de unos 20 aos, y nos remontamos unos 1000 aos hacia atrs, veremos que han transcurrido 50 generaciones. Siguiendo nuestro rbol genealgico encontraremos 250 = 1 125''899 906'842 624 ascendientes directos, en esa generacin. Sabemos que la poblacin de la Tierra era mucho menor a esa cantidad, por lo que podemos concluir que no slo nuestros tatara...tatarabuelos estaban emparentados entre s, sino que compartimos ascendientes con todos los habitantes de la Tierra.
Si en este momento te propusieras a contar hasta un googol, segundo a segundo sin parar ni para comer ni dormirnunca acabaras!, pues tu tiempo de vida sera demasiado corto. Pero si tu hijo, tu nieto, tu bisnieto, tu tataranieto y asi hasta cien generaciones en el futuro siguieran la misma empresa, desde el da de tu muerte y en las mismas condicionestampoco acabaran!
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150
Ejemplos:
Ejemplos:
Ecuaciones Exponenciales
Son aquellas ecuaciones en donde la incgnita aparece formando parte del exponente.
5x = 125 ; 812x+1 = 9x-1
Observa que en ambos casos la incgnita aparace en el exponente de ambas igualdades.
Teoremas Si se tiene la igualdad de dos potencias de la misma base, entonces necesariamente sus exponentes tienen que ser iguales.
ax = ay x = ysiendo: a R+ - {1}
3x = 32 x = 2
5x-1 = 56 x = 7
1. Resuelve: 2x = 256
Resolucin:
Debemos expresar 256 como una potencia de base (2).
2x = 256 2x = 28
Aplicando el teorema, tenemos:2x = 28 x = 8
Bases iguales
2. Resuelve: 3x = (81)5
Debemos expresar 81 como una potencia de base (3).
3x = (81)5 3x = (34)5
Aplicando la propiedad potencia de potencia, tenemos:
3x = 34(5) 3x = 320
Aplicando el teorema, tenemos:3x = 320 x = 20
Bases iguales
3. Resuelve: 5x = (25)6(625)3
Resolucin:
Debemos expresar 25 y 625 como potencias de base (5).
5x = (52)6 (54)3
potencias de igual base
Aplicando la propiedad potencia de potencia, tenemos:
5x = 512 . 512
por la propiedad multiplicacin de bases iguales, se tiene:
5x = 524 x = 24 Bases iguales
4. Resuelve: 9x-1 = 3x+1
Resolucin:
Debemos expresar 9 como una potencia de (3).
9x-1 = 3x+1 (32)x-1 = 3x+1
Aplicando la propiedad potencia de potencia:
32x-2 = 3x+1 2x - 2 = x + 1Bases iguales x = 3
5. En el distrito de San Miguel se detecta una bacteria que tiene la propiedad de dividirse en dos cada da que pasa. Si se ha detectado la presencia de 8192 bacterias, cuntos das han transcurrido desde que apareci?
Resolucin:
1.er da 1 bact.
2 da 2 bact.
3.er da 4 bact.
x da 8192 bact.
De la figura:
1.er da 1 bact. = 20
2 da 2 bact. = 21
3.er da 4 bact. = 22 : : x da 8192 bact. = 2x-1
De donde: 2x-1 = 8192 2x-1 = 213
x - 1 = 13 x = 14
\ han transcurrido 14 das.
Sugerencia
Para resolver los ejercicios de este captulo se recomienda lograr en ambos miembros bases iguales.
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151
1) 2x = 128
x = _____
Nivel I
* Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones exponenciales.
2) 3x = 343
x = _____
3) 4x = 256
x = _____
4) 5x = 625
x = _____
5) 6x = 216
x = _____
6) 2x = (8)5
x = _____
7) 3x = (81)3
x = _____
8) 4x = (64)5
x = _____
9) 5x = (625)4
x = _____
10) 6x = (36)6
x = _____
12) 2x = (4)(8)(64)
x = _____
13) 4x = (16)3 (4)
x = _____
14) 5x = (25)3 (125)2
x = _____
15) 2x = (4)3 (8)2
x = _____
11) 3x = (3)(9)(27)
x = _____
Nivel II
16) 6x = (6)5 (36)3
x = _____
17) 2x-3 = 64
x = _____
18) 3x+1 = 243
x = _____
19) 4x-2 = (64)3
x = _____
20) 22x = (16)5
x = _____
21) 4x-1 = 2x+1
x = _____
22) 92x+1 = 39
x = _____
23) 27x+3 = 34
x = _____
24) 42x+1 = 8x+2
x = _____
25) 2x . 2x+3 = 128
x = _____
26) 32x . 3x+2 = 243
x = _____
27) 2x . 4x = 64
x = _____
28) 2x+3 . 2x+2 = 128
x = _____
29) 9x+5 = 3x . (81)
x = _____
30) 4x+3 . 2x+1 = 1024
x = _____
Nivel III
-
152
31) Claudia divide una hoja de cuaderno en dos partes, luego junta los pedazos y los corta en dos. Si este procedimiento lo realiza varias veces, cuntas veces realiz esta operacin sabiendo que en el ltimo corte obtuvo 256 pedazos de papel?
32) Se descubri que si se deja caer desde una determinada altura una esfera de volumen V, se divide en dos esferas de volumen mitad, y luego stas al caer al siguiente escaln se vuelven a dividir cada una en dos y as sucesivamente. Si en el ltimo escaln se observ que haban 1024 esferas, de cuntos escalones consta la escalera de donde se dej caer la esfera?
33) Determina el valor de x si ambas figuras tienen la misma rea.
A
512
22x+1 A
1024
4x
8xcm 4x cm
2xcm
34) Se tiene una caja de volumen 4096 cm3 y de dimensiones que se muestran en la figura. Determina la altura de la caja.
35) Sabiendo que en el planeta X existe la siguiente equivalencia numrica 210 ~ 103, a qu potencia de 10 equivale 260?
36) Resuelve: 92x+1 = 33x+10
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
37) Resuelve: 82x-1 = 32x+1
a) 1 b) 2 c) 4d) 6 e) 8
38) Resuelve: 252x-3 = 125x+2
a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16
39) Resuelve: 2x . 2x+1 . 2x+3 = 16x+9
a) -30 b) -31 c) -32d) -33 e) -34
43) Resuelve: 4x . 4x+1 = 2x+3 . 2x+5
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
41) Resuelve: 273x+2 = 812x+3
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
42) Resuelve: 128x+1 = 82x+5
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
40) Resuelve: 3x . 3x+1 . 3x+2 . 3x+3 = 243x+2
a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5
44) Resuelve: 2x+1 . 4x = 2x+3 . 8x+5
a) -20 b) -19 c) -18d) -17 e) -16
45) Resuelve: 22x+3 . 4x+2 = 8x+1
a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5
46) Resuelve: 24x+1 . 42x+1 = 83x+2
a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5
47) Resuelve: 32x+3 . 94x+1 = 276x-1
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
48) Resuelve: 23x+1 . 4x+1 . 2x+3 = 128x-1
a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14
49) Resuelve: 2x+8 = 8x+2
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
50) Resuelve: 4x-3 = 8x-5
a) 1 b) 4 c) 9d) 16 e) 25
Qu tan grande es un Milln?
La palabra milln significa un millar de miles. Un milln se representa con el siguiente nmero 1 000 000 que con ayuda de los exponentes, abreviadamente se escribe 106.Si deseas percibir las dimensiones verdaderas de un milln, imagina lo siguiente: Caminando un milln de pasos
en una misma direccin, te alejaras 600 kilmetros. De Lima a Trujillo hay un milln de pasos aproximadamente.
Un milln de hombres alineados en una sola fila, hombro con hombro, se extenderan 250 km.
-
153
Expresiones Algebraicas
Todo aquello que no cambia.
Trminos AlgebraicosI. CONSTANTE
El nmero de das en una semana. El nmero de departamentos del Per. Las dimensiones de esta hoja. El nmero de dedos en tu mano.
Generalmente las constantes se representan con nmeros. As, los das de la semana son 7 y las dimensiones de esta hoja son 210 x 297 mm.
Ejemplos:
Todo aquello que cambia o vara.
II. VARIABLE
El nmero de personas en el Per. La cantidad de estrellas en el universo. El tiempo. La temperatura.
Generalmente las variables se representan con letras.
As, el nmero de personas en el Per se puede representar mediante la letra x, indicando de esta manera que es una cantidad que cambia con el transcurso del tiempo.
Ejemplos:
E x i s t e n c o n s t a n t e s q u e s u e l e n r e p r e s e n t a r s e con letras, una de stas es e l nmero (pi del alfabeto griego). Aparece espontneamente y en los lugares ms inesperados. Por ejemplo, la probabilidad de que dos enteros positivos cualesquiera sean primos entre s es 6/2. El valor aproximado de es 3,14; pero, en realidad, la expans in dec imal es infinita y no sigue ninguna pauta conocida. En 1949 John von Neumann utiliz la computadora electrnica ENIAC para calcular las primeras 2037 cifras decimales de . En 1986 David M. Bailey extrajo 29 360 000 cifras en un Cray2 de la Nasa. En 1989 el matemtico Gregory Chudnovsky utiliz dos supercomputadoras para calcular ms de mil millones de dgitos.Con 39 cifras basta para calcular la longitud de una circunferencia que abarque todo el universo con un error menor que el radio de un tomo de hidrgeno. Por qu entonces calcular pi con tantas cifras? La respuesta es sencilla: una computadora, como toda mquina, debe ser probada en
Importante
En la naturaleza existen muchos ejemplos de variable. La presin atmosfrica y el tiempo medidos por el barmetro y el reloj de arena, mostrados en la figura, son algunos de stos.
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154
Albert Einstein, fsico y matemtico, public en 1916 la Teora general de la relatividad. En ella demostr que la velocidad de la luz (300000 km/s en el vaco) es la nica constante en el universo, es decir, mientras todo cambia, la velocidad de la luz, representada por la letra c, permanece invariable.
Es una expresin matemtica que une a las constantes y a las variables mediante la operacin de multiplicacin.
III. TRMINO ALGEBRAICO
Multipliquemos la constante 7 con la variable x, as:
7x Esta expresin matemtica se llama
Trmino Algebraico.
Ejemplos:
Partes de un Trmino Algebraico
3) Completa el siguiente cuadro:
Trmino Algebraico
Parte Constante
Parte Variable
3x
x
5x3
-2x2y
x3yz2
2) Representa mediante trminos algebraicos las siguientes proposiciones:
a) La edad de una persona. _______
b) El doble del nmero de personas en el mundo.
_______
c) El triple del nmero de pasajeros que suben a un autobs. _______
d) Menos el doble de la altura de un rbol. _______
Nivel I
1) R e l a c i o n a l a s s i g u i e nte s proposiciones con su respectiva constante.
a) La cantidad de meses de un ao.
b) Los colores del semforo. c) Das de la semana. d) Las vocales.
( ) 7 ( ) 5( ) 12( ) 3
Ten en cuenta
Una constante tambin s e co n s i d e ra t r m i n o algebraico.
Ejemplo:
7 ; ; 2 son trminos algebraico
Generalmente las variables tienen nmeros escritos en la parte superior derecha, stos reciben el nombre de exponentes.
Ejemplo:
4x 7
Los exponentes de las variables deben ser siempre nmeros racionales.
Ejemplo:
2x 3
5x 2
7x
3x
6x 3
Luego, la ltima expresin no es un trmino algebraico.
Un trmino algebraico puede tener ms de una variable.
Ejemplo: 7x3y4
Exponente
-12
Nmero Racional
Nmero Racional
34
Nmero Racional
34
- Nmero Racional
Nmero Irracional
Ejemplos:
Un trmino posee generalmente 2 partes:
Parte Constante. Parte Variable.
5 x7y4
Parte Parte Constante Variable
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155
4) Cuntas de las siguientes proposiciones son verdaderas?
I. L o s n m e r o s s o n constantes.
II. Las variables se representan con nmeros.
III. 5 es una variable.
a) I y III d) Slo IIIb) Slo II e) Ningunac) Slo I
5) Utilizando trminos algebraicos representa las siguientes proposiciones:
a) Dos veces el nmero de postulantes a la universidad. __________
b) Cinco veces el dinero que gast. __________
c) Menos tres veces el nmero de colegios del Per.
__________
d) Menos ocho veces el rea de un cuadrado. __________
6) Encierra con un crculo las constantes y con un tringulo las variables en 2 ; 4 ; ; 7 ; y ; 1.
7) Cuntas constantes enteras existen desde el 4 hasta el 10 inclusive?
a) 5 b) 3 c) 4d) 7 e) 6
8) Segn el abecedario, cuntas variables existen desde la E hasta la K inclusive?
a) 10 b) 7 c) 5d) 6 e) 4
9) Encierra en un crculo los trminos algebraicos. Cuntos son?
2x2 3x1/2 7x 2 4x0,3 3x9
2x-2 2x-1/2 -2x3 -12x7 3x 3
a) 3 b) 4 c) 5d) 8 e) 7
10) Indica en los siguientes casos, cules son trminos semejantes? Coloca s o no.
x2; 2x2 ; _________ son trminos semejantes.
3x3; 2x3 ; _______ son trminos semejantes.
7x5; 5x7 ; _________ son trminos semejantes.
3y5x2; 2x2y5; ______ son trminos semejantes.
3xy; 7xy ; ________ son trminos semejantes.
5x2y; 2xy2; _______ son trminos semejantes.
11) Cu l d e l a s s i g u i e n t e s expresiones no es un trmino algebraico? Por qu?
a) 7x-2 d) 5 + x5
b) -zywabpq e) -x-1c) 24799x2y5
12) Completa la siguiente tabla:
Trmino Algebraico
Parte Constante
Parte Variable Exp.
5x-9y2
4x-1wz3
-25x3y8w-4
-14x-4w5z3
13) Se busca un trmino algebraico donde la parte constante sea el doble del exponente de su parte variable. De los siguientes, cul cumple con la condicin?
a) 4x3 b) 8w5 c) 10z4
d) 12y8 e) 14m7
14) Cuntos trminos algebraicos con parte variable x2w5 existen, tal que su parte constante sea un nmero par de una cifra? Da por respuesta aquel trmino donde la suma de su parte constante con los exponentes de la parte variable sea mxima.
a) 15 b) 17 c) 16d) 14 e) 18
15) R elac iona las s iguientes relaciones con su respectiva constante.
a) El nmero de das del mes de agosto.
b) El nmero de estaciones del ao.
c) La cantidad de campanadas de un reloj al medioda.
d) La cantidad de sentidos en el ser humano.
( ) 12( ) 5( ) 4( ) 31
Nivel II
16) Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) 2; 3 y 7 son constantes. ( )b) J; W y T son variables. ( )c) En el trmino algebraico:
2x3, la parte constante es 2 y la parte variable es x3.
( )d) 4x5 y 7x5 son trminos
semejantes. ( )
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156
Nivel III
31) Si Claudia divide una hoja de cuaderno en dos partes, luego junta los pedazos y los corta en dos. Este procedimiento lo realiza varias veces cuntas veces realiz esta operacin si en el ltimo corte obtuvo 256 pedazos de papel?
17) S e t i e n e l o s s i g u i e n t e s conjuntos:
Al unir con una flecha un elemento del conjunto A con algn elemento del conjunto B, cuntos trminos algebraicos puedes formar?
a) 6 b) 7 c) 9d) 10 e) 12
A2.3.7.
B.x2
.x4
.x7
18) Representa con ayuda de trminos algebraicos las siguientes frases:
a) El dinero de una persona.
b) El quntuple de la temperatura ambiental.
c) Siete veces la distancia de la Tierra al Sol.
d) Menos cuatro veces el tiempo transcurrido.
19) Completa el siguiente cuadro:
Trmino Algebraico
Parte Constante
Parte Variable
-4x
-x
8x5y2z
325x2wa
20) Cules de las siguientes proposiciones son falsas?
I. 3 es un trmino algebraico. II. 3 x 2y w e s u n t r m i n o
algebraico. III. x + 3 e s u n t r m i n o
algebraico.
a) Slo I b) Slo II c) Slo IIId) I y III e) I y II
21) Utilizando trminos algebraicos representa las siguientes proposiciones:
a) Menos cuatro veces el rea de un rectngulo.
b) Menos el doble del rea de un tringulo.
c) Menos tres veces el rea de un crculo.
d) El cudruple del rea de un cuadrado.
22) Cul de las siguientes expresiones es un trmino algebraico?
a) Slo I b) II y III c) Slo IId) I y III e) Todas
23) De las siguientes expresiones algebraicas:I. 2x + 7II. 2E + 7III. 2W - 7Cul representa mejor la frase: El doble de mi edad, aumentado en 7?
a) Slo I d) I y IIIb) Slo II e) I y IIc) II y III
24) Seala, cul de las siguientes expresiones no es algebraica?I. x3 + 2x2 + 4wII. x + x2 + x3 + x4 + x5 + ...III. 3wx2 - 2
a) I y III b) Slo III c) Slo Id) Todas e) Slo II
25) Si los trminos algebraicos 8xa+2 y -3x10 tienen el mismo exponente para su variable. Calcula el valor de a.
a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 15
26) Los trminos 16xy3b-1; 10xy11, presentan la misma parte literal, el valor de b es:
a) 8 b) 6 c) 4d) 7 e) 5
27) Los trminos: -36x4yb; -2xay3, tienen el mismo
exponente en sus variables x e y, respectivamente. Encuentra el valor de 2b + 3a.
a) 20 b) 22 c) 18d) 21 e) 25
28) Los trminos 14x2b-3y, 7x9y, presentan la misma parte literal, el valor de b es:
a) 4 b) 6 c) 5d) 8 e) 9
29) Dados 6xayb-5; -3x8ya+1, donde el exponente de x en el primer trmino excede en 2 unidades al exponente de x del segundo trmino y los exponentes de y en ambos trminos son iguales. Cul ser el valor de ab?
a) 80 b) 100 c) 120d) 150 e) 160
30) Dados 3xm+6yn-9; -3x9y4, donde el exponente de y del primer trmino excede en 3 unidades al exponente de y en el segundo trmino y los exponentes de x en ambos trminos son iguales. Cul ser el valor de 2m - n?
a) 80 b) 100 c) 120d) 150 e) 160
32) Dados los trminos: -3xa-1y5 ; 10x5-ay-b+7 si sus partes literales son idnticas,
determina ab.
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
-
157
33) Los siguientes trminos: T1 = ax
5ym-1 T2 = mx
b-2y7 T3 = bx
m-3y2a+1 tienen la misma parte literal,
determina: coef(T1) + coef(T2) + coef(T3)
a) 13 b) 16 c) 18d) 21 e) 23
34) Si los siguientes trminos tienen la misma parte literal:
T1 = ax2a+1y9
T2 = bx9y2b+13
reduce: T1 + T2.
a) 2x9y6 b) -2x9y9 c) 2x6y9d) -2x6y6 e) 2x9y9
35) Cuntas de las afirmaciones no son expresiones algebraicas?I. x 5 + 5 xII. x5 + 5x
III. 5/x + x/5IV. xy + yx
a) Ninguna b) 1 c) 2d) 3 e) Todas
36) De las siguientes expresiones, cul representa mejor la frase: un nmero aumentado en su tercera parte?I. x + 1/3 III. x - 1/3II. x + x/3 IV. x - x/3
a) Slo I b) Slo II c) Ningunad) I y III e) Todas
37) Si los siguientes trminos tienen idnticas partes literales:
T1 = abxa+1y3zc+2
T2 = bcx3yb+2z4
T3 = acx2b+1ya+1z2c
calcula: coef(T1) + coef(T3) - coef(T2)
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
38) Reduce los siguientes trminos de parte literal idntica:
axa-1 + bx5 + 3xb+3
a) 5 b) 7 c) 9d) 11 e) 13
39) Determina ab en los siguientes trminos de parte literal idntica:
ax3a+1y7 ; by3b+1x10
a) 2 b) 3 c) 5d) 6 e) 12
40) En el siguiente cuadro, determina cuntos trminos son racionales enteros.
a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6
3x-1 4x3 5x1/2
7x8 -1/2x-26x1/3 -2x-2 8x13
5x4
41) Reduce los siguientes trminos: axa+2 + bxb+3 - 5x4 + cxc-1 si todos los exponentes son iguales.
a) 2x4 b) 3x4 c) 4x4
d) 5x4 e) 8x4
42) Si todos los trminos se reducen a uno slo mxn-1 + 3x5 - nx2n+3, calcula mn.
a) 3 b) 6 c) 12d) 18 e) 21
43) Se desea que todos los trminos se reduzcan a uno solo.
T1 = 2mxm+2
T2 = 3nxn-1
T3 = mnx3
determina:
a) 17/4 b) 11/4 c) 9/4d) 15/4 e) 13/4
mn
nm
+
44) Si se cumple la siguiente identidad:
ax5 + bx2a+1 cxb-1
determina el valor de c.
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
45) Si se cumple la siguiente identidad:
mxm+1 + nya+1 3xb+1 + 5yn+3
determina mn - ba.
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
46) Si la suma de todos los exponentes de los siguientes trminos es 16.
T1 = ax2a-1
T2 = 2bx4b+5
T3 = 5x6
determina: coef(T1) + coef(T2) + coef(T3)
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
47) Al relacionar los siguientes trminos idnticos:I. xa+3y4 x5y5
II. xc+1y5 x3y8
III. x3yb+4 x6y4
determina a + b + c.
a) 7 b) 9 c) 11d) 13 e) 15
48) En el siguiente trmino algebraico su coeficiente es el doble de su exponente T = (c + 1)x(c-1) Determina el exponente del siguiente trmino algebraico.
E = (2c + 1)x3c+1
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
49) Si el coeficiente y el exponente del siguiente trmino son dos nmeros consecutivos:
T = (m + 1)x2m-1 Determina el valor de m.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) Ms de una es correcta
50) Si la suma del coeficiente y el exponente del siguiente trmino T = (m + 1)x(2m-5) es el menor nmero par positivo. Determina el exponente del trmino.
E = (2m - 1)x2m+1
a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11
-
158
Trminos Semejantes
Son aquellos trminos algebraicos que tienen la misma parte literal, siendo sus coeficientes valores arbitrarios.
Operaciones con Trminos Semejantes
ADICIN
Ejemplos:
SUSTRACCIN
Se suman sus coeficientes y se conserva su parte literal.
3x2 + 5x2 = (3 + 5)x2 = 8x2
+
Se restan sus coeficientes y se conserva su parte literal.
10m3 - 4m3 = (10 - 4)m3 = 6m3
-
Resolucin:
1. Determina el valor de m si ambos trminos son semejantes:
T1 = 4x2m-1; T2 = 1/3x
m+6
Por ser trminos semejantes su parte literal debe ser idntica en ambos trminos:
4x2m-1 semejantes xm+6
De donde sus exponentes tienen que ser iguales, as tenemos:
2m - 1 = m + 6 m = 7
13
2. Determina a y b si ambos trminos son semejantes:
T1 = 5xa-1y6; T2 = -10x
7yb+2
Resolucin:
Siendo trminos semejantes ambas partes literales deben ser idnticas:
5xa-1y6 semejantes -10x7yb+2
De donde los exponentes de la variable correspondiente tiene que ser iguales, as tenemos:
exponente de x a - 1 = 7 a = 8 exponente de y b + 2 = 6 b = 4
3. Determina n en la siguiente identidad: 6xn+1 + 3x4 9x4
Como se ha producido una reduccin de trminos, stos tienen que haber sido semejantes, entonces tienen la
Resolucin:
4. Reduce los siguientes trminos semejantes: 7xm+3 + mx13 + 3x13.
Resolucin:
Como deben ser tr minos semejantes, su parte literal es idntica, as tenemos:
7xm+3 semejantes mx13
Entonces sus exponentes tienen que ser iguales:
m + 3 = 13 m = 10
Ahora reemplazando para reducir los trminos:
7x13 + 10x13 + 3x13 = 20x3
misma parte literal, es decir: 6xn+1 semejantes 3x4
De donde sus exponentes tienen que ser iguales:
n + 1 = 4 n = 3
5. En la siguiente adicin, determina el valor de m:
axa+b + bxb+c + cxa+c = mx6
Resolucin:
Se observa que hubo reduccin entonces todos son trminos semejantes, luego tenemos las siguientes igualdades:
a + b = 6 b + c = 6 a + b + c = 9 a + c = 6
reemplazando en la identidad: ax6 + bx6 + cx6 mx6
(a + b + c)x6 mx6
de donde: m = a + b + c m = 9
3x5 ; -8x5 ; x5 ; 2x5
son trminos semejantes porque tienen la misma parte literal
45
Observacin
Si en una reduccin de trminos semejantes los coeficientes no se pueden operar, se deben dejar expresados.
Ejemplo:ax3 + 4x3 = (a + 4)x3
mp3 - 10p3 = (m - 10)p3+
-
-
159
1) 3x2 + 5x2 + 7x2
Nivel I
* Reduce los siguientes trminos semejantes.
2) -9m5 - 11m5 - 13m5
3) 4x3 - 11x3 + 5x3
5) -5x5 + 8x5 - 2x5
4) 5m - 6a + 7m + 11a
6) 6mx + 5xm
7) 5x3p - 2px3 + 3x3p
8) 2(-3x) + 3(4(-2x))
9) 3(-4m) - 5(-3m)
10) -23xy + 32xy
11) Determina el valor de m si ambos trminos son semejantes: T1 = 7x
3m-1y5, T2 = -x8y5
12) Determina el valor de m si ambos trminos son semejantes: T1 = 8x
2m-1y4, T2 = 1/2x5ym+1
13) Determina el valor de m y n si ambos trminos son semejantes: T1 = 8x
4m+1y5, T2 = -3x9yn-2
14) Determina el valor de m y n si ambos trminos son semejantes: T1 = 5x
2m+3y3n-1, T2 = x7y8
15) Determina el valor de mn si ambos trminos son semejantes: T1 = 4x
5m-2ym+2n, T2 = x3y5
Nivel II
16) 3xm + 5x3 8xm
* Determina el valor de m en cada una de las siguientes identidades:
17) 4xm-1 + 7x5 11x5
18) 5x2m-1 + 8xm+12 mx25
19) 12x2m+1 + 7x11 19xm+6
20) 4x3m-2 - 3xm+4 x2m+1
21) 3xm+2 + mx5
* Reduce los siguientes trminos semejantes.
22) 7x2m+1 - mx7
23) 3mxm-2 + (m + 1)x3
24) 5x2m-1 + mxm+4
25) axb + bxa + 3x3
26) Reduce: 3(2m3)2 - 5(-m2)3
a) 11m3 b) m3 c) 8m3
d) -11m3 e) 17m6
27) Dados los trminos semejantes: T1 = 3x
5m-1y5, T2 = 2x14y7n-2
determina m + n.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
28) Reduce los trminos semejantes: T1 = 2x
3m+1y4, T2 = mnx10y5n-1.
a) 5x10y4 d) -4x10y4b) 4x10y4 e) x10y4
c) 3x10y4
29) Determina el valor de m en la siguiente identidad:
3mx2m+3 + mxm+7 16x3m-1
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
30) Reduce los siguientes trminos semejantes:
nxm-1 + mxn+1 + mnx3
a) 14x3 b) 12x3 c) 8x3
d) -12x3 e) -8x3
Nivel III
31) Siendo: A = 2mxm+2 . y3m+n
B = 3nx3n-2 . y4m-8
trminos semejantes, calcula A - B y seale su coeficiente.
a) 28 b) 18 c) 10d) 20 e) N.A.
32) Siendo: A(x, y) = mxm+3y2m+n
B(x, y) = nx2n-1y3m+1
trminos semejantes, da su suma.
a) 6x5y7 b) 8x7y5 c) 9x7y5
d) 5x5y7 e) 10x5y7
-
160
33) Sabiendo que a, b y c son constantes y que los siguientes trminos:
a2(b - 2)xa+5yc+2zb+4
c2(a - 2)x10-by10-az7-c son semejantes. Calcula la suma
de los coeficientes.
a) 27 b) 63 c) -23d) -67 e) -75
34) Si: 4mx2n-1 + 3xp-1 = 15x3, halla m + n + p.
a) 9 b) 4 c) 3d) 7 e) 1
35) Si: (b3 - 7)xn + x8 = 21x3m+2, halla m . n + b.
a) 13 b) 48 c) 19d) 20 e) N.A.
36) Si: P(x, y) = 4zx3+nym
Q(x, y) = 8x10y6-2m, halla z2 + m + n2 si: P + Q = 12x10ym
a) 49 b) 50 c) 51d) 52 e) 53
37) Dados los trminos: R = (a3 - 1)xayb
T = a2b3x3by2a-10
son semejantes. Halla a + b.
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
38) Dado: P = 4mxa+3yb2-1
Q = 3abx5ya3
si 2P + Q es 26x2a+1 y2b+2, halla (a + b)m
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
39) Con los datos anteriores, halla (P - Q)m y seala el coeficiente.
a) -18 b) 18 c) 20d) -14 e) N.A.
40) Dados los trminos algebraicos: A = mxm+3y2m+n
A = mx2n-1y12
halla m + n.
a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12
41) Halla la suma de coeficientes de los trminos semejantes:
t1 = 3b2x2a-10yb-1
t2 = -2axa-4y
a) -1 b) 0 c) 8d) 4 e) 24
42) Reduce: P(x) = 5x2 + m2xa-1 + 2axm
a) 15x2 b) 8x3 c) 9x2
d) 10x3 e) 10x2
43) Sean los trminos semejantes: t1 = 3ax
2a-1yb-3
t2 = 4bxa+3y2b-9
calcular a + b
a) 2 b) -2 c) 10d) 16 e) 14
44) Calcula a2 + b2, dados los trminos
semejantes: t1 = 3ax
2a-bya+3
t2 = a2xa+3y2b+3
a) 60 b) 45 c) 74d) 13 e) 89
45) Si los trminos: t1 = 2x
a+1xa+2yb-4
t2 = 3xa+3ya+3xy
sumados se pueden reducir a uno solo, calcula ab.
a) 12 b) 48 c) 44d) 16 e) 8
46) Sean los trminos semejantes: t1 = ax
m ; t2 = bxn ; t3 = cx
p
si t1 + t2 = abxp
t1 + t3 = acxn
t2 + t3 = bcx
calcula:
a) 1 b) 2 c) 3d) 3/2 e) 2/3
ab + ac + bcabc
47) Se realiza las siguientes sumas de trminos semejantes:
axm + bxn = abcxp
axn + cxp = 2abcxm
bxp + cxm = 3abcxn
calcula: E =
a) 3 b) 1 c) 1/3d) 3/2 e) 2/3
a + b + cabc
48) Si al multiplicar: t1 = x
m/nyn/m ; t2 = xp/qyqm/np se
obtuvo xy, entonces al sumar los trminos semejantes
t3 = x2k-3; t4 = x
k+3
se obtendr:
a) -x9 b) -2x9 c) -3x9
d) 0 e) x9
mq - nnp
np - mqmq
49) Si al efectuar:(1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ... + nxn-1)(x - 1)2 se obtiene mxn+1 - (2n - 7)xn + p,
calcula m + n + p.
a) 19 b) 13 c) 17d) 15 e) 14
50) Sean los trminos semejantes: t1 = 2
8ax5a-2y2b+3
t2 = 45b2x3a+4yb+7
calcula a - b.
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) N.A.
-
161
Multiplicacin Algebraica
Resolucin:
1. Multiplica los siguientes monomios: A = -5x3y7 y B = -4x3y4
Efectuando: AB = (-5x3y7)(-4x3y4)
por propiedad conmutativa:AB = (-5)(-4)(x3)(x3)(y7)(y4)
de donde:AB = 20x6y11
am . an = am+n
* 33 . 32 = 33+2 = 35
* 57 . 56 = 57+6 = 513
Saberes PreviosM U LT I P L I C A C I N D E P O T E N C I A S D E B A S E S IGUALES
(a . b)n = am . bn
POTENCIA DE UN PRODUCTO
* (2x)4 = 24x4 = 16x4
* (3m)5 = 35m5 = 243m5
(am)n = amn
POTENCIA DE POTENCIA
* (34)5 = 34(5) = 320
* (x3)6 = x3(6) = x18
Ley de Signos
A) MULTIPLICACIN
(+)(+) = (+) (+5)(+6) = +30 (-)(-) = (+) (-7)(-4) = +28 (+)(-) = (-) (+4)(-3) = -12 (-)(+) = (-) (-5)(+9) = - 45
B) POTENCIACIN
(+)par = (+) (+4)2 = +16 (-)par = (+) (-3)4 = +81 (+)impar = (+) (+5)3 = +125 (-)impar = (-) (-6)3 = -216
Monomio Es aquel polinomio constituido por un slo trmino.
- 5 x3y4
coeficiente parte literal
exponentessigno
M U LT I P L I C AC I N DE MONOMIOS
Para multiplicar monomios, primero se multiplican los coeficientes y luego se efectuan sus partes literales, as tenemos: (3x3y4)(-5x6y2)
aplicando la propiedad conmutativa:(3)(-5)(x3)(x6)(y4)(y2)
-15 x3+6 y4+2
de donde: -15x9y6
2. Al multiplicar los siguientes monomios (-4x3y6); (3x5y5) se obtuvo como producto mxa-1yb+3. Determina a + b + m.
Resolucin:
Segn lo enunciado, tenemos:(-4x3y6)(3x5y5) = mxa-1yb+3
efectuando el primer miembro de la identidad:
-12x8y11 mxa-1yb+3
identificando:a - 1 = 8 a = 9b + 3 = 11 b = 8 m = -12\ a + b + m = 5
3. Multiplica (-3x4y7)2 (-2x3y4)3
Determinemos cada parntesis:(-3x4y7)2 = 9x8y14(-2x3y4)3 = -8x9y12
reemplazando: (9x8y14) (-8x9y12)
por la propiedad conmutativa:(9)(-8)(x8)(x9)(y14)(y12)
de donde obtenemos: -72x17y26
Resolucin:
4. Al multiplicar los monomios ( - 3 x a + 1 y 5 ) ; ( 4 x 5 y b - 1 ) , s e obtuvo como producto mx2a-3y2b. Determina ab + m.
Segn lo enunciado:(-3xa+1y5)(4x5yb-1) mx2a-3y2b
efectuando el primer miembro de la identidad:
-12xa+6yb+4 mx2a-3y2b
identificando:2a - 3 = a + 6 a = 92b = b + 4 b = 4 m = -12\ ab + m = 9(4) - 12 = 24
Resolucin:
-
162
1) (-2x4) (3x6)
Nivel I
* Mult ipl ica los s iguientes trminos:
16) Efecta: (4x5y3)(-2x4y6)(-7x8y6)
a) 56x9y15 d) -56x20y15
b) 56x17y15 e) 56x17y14
c) -56x18y12
Nivel II
2) (4x5) (6x7)
3) (8x8) (5x10)
4) (-6x12) (3x20)
5) (-8x2y4) (-5x6y3)
6) (7x6y5) (-4x8y12)
7) (-6x9y10) (-2x8y12)
8) (-10x7z2y3) (-8x8z5)
9) (15x8y20z15) (-4x6y10z4)
10) (-12x4y8z10) (-5x5y9)
11) Multiplica: (2x2y3z4)(3x3y4z5)
a) 6x6y7z9 d) 6x5y7z9
b) 6x5y12z9 e) 6x6y8z10
c) 6x5y8z9
12) Multiplica: (-2x5y3)(-3y4z3)(-5x4z2)
a) 30x9y7z6 d) -30x8y8z5
b) -30x9y7z5 e) 30x6y8z5
c) 30x8y8z6
13) Multiplica: (-4m5n3)(3m3p4)(-2n6p5)
a) 24m5n9p9 d) 12m5n9p9
b) 24m8n9p4 e) 12m8n9p9
c) 24m8n9p9
14) Efecta: (-2x3y4)(-3x5y3)(-4x2y5)(-x4y2)
a) 12x14y14 d) 12x12y12
b) 24x14y14 e) 6x10y14
c) 24x12y12
15) Efecta: (-3x4y2)(-5x7y5)(6x8y6)
a) 90x19y10 d) -90x19y13
b) 90x19y13 e) 90x20y13
c) -90x19y12
17) Efecta: (8x7y2)(6x4y3)(5)
a) 48x11y4 d) 30x11yb) 240x11y6 e) 240x10y5
c) 240x11y5
18) Efecta: (-5x4y3)(4x2y6)(2x8y5)
a) 40x6y9 d) 40x14y14
b) -40x6y10 e) 8x14y14
c) -40x14y14
19) Efecta: (-8x5z5)(-4x3y5)(2x2z4y2)
a) 64x5z10 d) 64x10y7
b) 64x10z9 e) 64x10z9y7
c) 32x10z9
20) Efecta: (-10x8z6)(6x4y3)(-2x2y7)
a) 120x12z6 d) -120x12z6
b) 120x14z6 e) -20x14z6y9
c) 120x14z6y10
21) Efecta: (-4x3y6)2 (-3x2y5)3
a) -48x8y5 d) -432x10y20
b) -64x6y10 e) -432x12y25
c) -432x12y27
22) Efecta: (-5x4z2)2 (2x5z4)4
a) 400x23z10 d) 400x28z12
b) 400x28z15 e) 400x28z20
c) 400x28z16
23) Efecta: (-8x5y3z2)2 (2x6y4)2
a) 256x10y7 d) 128x10y15
b) 256x16y20 e) 128x22y14z5
c) 256x22y14z4
24) Efecta: (3x5y2)3 (4x6y4z2)3
a) 432x22y5 d) 1728x33y18
b) 432x6z6 e) 1728x33y18z6
c) 432x30y
25) Efecta: (5x2z6y3)2 (2x4z5y2)3
a) 200x16y12 d) 200x15y12
b) 200z27y12 e) 200x16z27y12
c) 200x16
-
163
Nivel III
39) Halla n si:
= x4
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
40) Calcula 2m + n si:
= x5y2
a) 5 b) 7 c) 9d) 11 e) 21/2
(x3+m) (y7-n)(x3-n) (y6+n)
30) Simplificar:
a) xy b) xay c) a+b xyd) xyb e) xa+1yb
a+b (xa)2 (yb)3
xa y2b
a-2 - b-2a xb a yb xa b y
45) Calcular: -7 + [(-10) (-2) - {3 - (2 - 8)}]
a) -8 b) -9 c) -10d) -11 e) -12
29) Simplifica:
E =
a) xy b) xayb c) xyab
d) xyab e) (xy)a+b
31) Si: P = 14x3y6 y Q = 7x5y8, halla P . Q ; PQ > 0
a) 2 x3y5 d) -7 2y7x4b) 7x4y7 e) 2x3y7
c) 7 2y7x4
Los matemticos alejandrinos Hern y Diofanto continuaron con la tradicin de Egipto y Babilonia, aunque el libro La aritmtica de Diofanto es de mayor nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difciles. Esta antigua sabidura sobre resolucin de ecuaciones encontr, a su vez, acogida en el mundo islmico, en donde se la llam ciencia de reduccin y equilibrio. (La palabra rabe al-jabr que significa reduccin, es el origen de la palabra lgebra). En el siglo IX, el matemtico Al-Jwarizmi escribi uno de los primeros libros rabes de lgebra, una presentacin sistemtica de la teora fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemtico egipcio Abu Kamil enunci y demostr las leyes fundamentales e identidades del lgebra, y resolvi problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.
(xn-4)3 . (x4n)2
(xn-2)4 . x6n
38) Al efectuar, seala el coeficiente del resultado ms los exponentes de las variables:
(-3x3y5)3 (-2xy3)
a) 20 b) -20 c) 26d) -26 e) N.A.
37) Simplifica: 4 (256x5)(6561x11)
a) 6x2 b) 3x3 c) 2x2
d) x2 e) 21x3
36) Al resolver: (4x3y)3 (-2xy3) mxayb, halla m + a2 + 3b.
a) -10 b) -28 c) 28d) 46 e) -22
35) Si: P = 4xay2b Q = 5xbya, entonces P . Q es:
a) 20xay2b
b) 20xbya
c) xayb
d) 20xa+by2(a+b) e) 20xa+bya+2b
34) Sabiendo que: m= xa; n = xb x2 = (mbna)c, halla (abc).
a) 1 b) 2 c) -1d) -2 e) 0
33) Halla 2Q/P.
a) 1/2 x2y2 b) 2x2y2 c) x2y2
d) x-2y-2 e) N.A.
32) Con los datos anteriores, halla: P2 . Q
a) 1372x11y20 d) 302y8x14
b) 1372x12y20 e) 1502x11y22
c) 1302x10y14
28) Resuelve: (121y2a) (4y6) = my4
halla m - a3.
a) 10 b) 16 c) 20d) 26 e) 30
27) Al efectuar: (7x3y2) (2xy)3 (b3 - 8)xayc, halla (a - b)c.
a) 32 b) 0 c) 1d) 105 e) N.A.
26) Al efectuar: (2mxayb)2 (2x3ayb-1) 32x5y14, halla m + a + b; m > 0
a) 4 b) 8 c) 12d) 16 e) N.A.
-
164
Multiplicacin Algebraica
Conocimientos Previos
1. Determina la suma de coeficientes del producto, al multiplicar:
(3x3 - 2x2)(-5x + 4x4)
Resolucin:
Aplicando la propiedad distributiva:(3x3)(-5x + 4x4) + (-2x2)(-5x + 4x4)
-15x4 + 12x7 + 10x3 - 8x6
\ Suma de coeficientes del producto:
-15 + 12 + 10 - 8 = -1
M U L T I P L I C A C I N D E P O T E N C I A S D E B A S E S IGUALES
* 33 . 32 = 33+2 = 35
* 57 . 56 = 57+6 = 513
am . an = am+n
POTENCIA DE UN PRODUCTO
* (2x)4 = 24 x4 = 16x4
* (3m)5 = 35 m5 = 243m5
(ab)m = am . bn
POTENCIA DE POTENCIA
* (34)5 = 34(5) = 320
* (x3)6 = x3(6) = x18
(am)n = amn
LEY DE SIGNOS
* (+5)(+6) = +30* (-7)(-4) = +28* (+4)(-3) = -12* (-5)(+9) = -45
a) Multiplicacin
(+) (+) = (+)( - ) ( - ) = (+)(+) ( - ) = ( - )( - ) (+) = ( - )
* (+4)2 = +16* (-3)4 = +81* (+5)3 = +125* (-6)3 = -216
b) Potenciacin
(+)PAR = (+)( - )PAR = (+)(+)IMPAR = (+)( - )IMPAR = ( - )
M U L T I P L I C A C I N D E MONOMIOS
Para multiplicar monomios, primero se multiplica los coeficientes y luego se efectan sus partes literales, as tenemos:
(3x3y4)(-5x6y2)
Aplicando la propiedad conmutativa:(3)(-5)(x3)(x6)(y4)(y2)
-15 x3+6 y4+2
De donde: -15x9y6
M U L T I P L I C A C I N D E U N MONOMIO POR UN POLINOMIO
Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva y luego se procede efectuando sus coeficientes y partes literales, as tenemos:
-5x4 (3x5 - 4x7)
Aplicando la propiedad distributiva:(-5x4)(3x5) + (-5x4)(-4x7)
-15x9 + 20x11
De donde:-5x4(3x5 - 4x7) = -15x9 + 20x11
M U L T I P L I C A C I N D E POLINOMIOS
Para multiplicar polinomios se aplica la propiedad distributiva, as tenemos:
(5x4 - 3x5)(-2x6 + 8x3)
A p l i c a n d o l a p r o p i e d a d distributiva:
(5x4)(-2x6 + 8x3) + (-3x5)(-2x6 + 8x3)
-10x10 + 40x7 + 6x11 - 24x8
2. Determina el mayor coeficiente del producto, al multiplicar:
(5x3 - 2x5)(-3x2 - 4x)
Resolucin:
Aplicando la propiedad distributiva:(5x3)(-3x2 - 4x) + (-2x5)(-3x2 - 4x)
-15x5 - 20x4 + 6x7 + 8x6
\ Mayor coeficiente: 8
-
165
Fue tan famoso el libro Kitab al-jabr wa al-muqabalah, la obra ms importante del matemtico rabe Al'Khwarizmi, que parte de su ttulo dio nombre a toda una disciplina matemtica: el lgebra. Al-jabr quiere decir as como restitucin, que es lo que se intenta hacer cuando se resuelve una ecuacin, restituir el valor de la incgnita. Si buscas esta palabra en el diccionario, encontrars que junto a su significado matemtico aparece otro desusado, el de arte de restituir a su lugar los huesos dislocados. Por eso algebrista era tanto el matemtico dedicado al lgebra como el cirujano que se dedicaba a colocar los huesos en su sitio. Una tercera acepcin de algebrista es la de alcahuete. Algo tendr que ver.
3. Determina la cantidad de trminos del producto, al multiplicar:
(3x5 + 6x4)(2x4 - 4x3)
Resolucin:
Aplicando la propiedad distributiva:(3x5)(2x4 - 4x3) + (6x4)(2x4 - 4x3)
6x9 - 12x8 + 12x8 - 24x7
Reduciendo trminos semejantes, tenemos: 6x9 - 24x7
\ # de trminos = 2
4. Determina el coeficiente del trmino de mayor exponente, al multiplicar:
(5m2 - 3m)(-2m3 + 7m4)
Resolucin:
Aplicando la propiedad distributiva:5m2(-2m3 + 7m4) + (-3m)(-2m3 + 7m4)
-10m5 + 35m6 + 6m4 - 21m5
Reduciendo trminos tenemos:35m6 - 31m5 + 6m4
\ Coef. del trmino de mayor exponente es 35.
Nivel I
1) Multiplica: -2m2n(-3mn + 4m3n2) y determina el coeficiente de
mayor valor del producto.
a) -8 b) 8 c) 6d) -6 e) -12
2) Multiplica: 14xy2(-2xy3 + 2x4y3) y calcula la suma de coeficientes
del producto.
a) -2 b) -14 c) 14d) 28 e) 0
3) Multiplica: -5m4(2m3 - 3m5) y determina el coeficiente del
trmino de mayor exponente.
a) -15 b) 15 c) 10d) -10 e) -5
4) Multiplica: 3x5(-2x3 + 5x4) y determina el coeficiente de
mayor valor.
a) -6 b) -3 c) -5d) 8 e) 15
5) Multiplica: -4y4(-7y3 + 3x3) y determina el coeficiente del
trmino que contiene a x.
a) 28 b) -28 c) -12d) 12 e) 16
6) Multiplica: -3x4(-x3 + y3 + z3) y deter mina la suma de
coeficientes del producto.
a) -9 b) -6 c) 0d) -3 e) 3
7) Multiplica: (3x + 4)(2x - 5) y determina el valor que no
contiene a x en el producto.
a) 10 b) -7x c) 6x2
d) -10 e) -20
8) Multiplica: (6x - 5)(-3x - 4) y determina el coeficiente del
trmino de exponente par.
a) -18x2 b) 18x2 c) -9xd) 9x e) 20
9) Multiplica: (x2 - 2x + 3)(-x + 3) y deter mina la suma de
coeficientes del producto.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
10) Multiplica: (-3x + 5)(-2x - 4) y determina el coeficiente del
trmino que no contiene a x en el producto.
a) 6 b) -6 c) 2d) -2 e) -20
11) Multiplica: (-5x + 3)(2x - 6) y determina el coeficiente del
trmino de menor exponente en el producto.
a) -10 b) -18 c) 36d) 24 e) 28
-
166
Nivel II
16) Multiplica: (3x2 - 2)(6x + 7) e identifica que trmino no se
encuentra en su producto.
a) 18x3 b) 21x2 c) 12xd) -12x e) -14
12) Multiplica: (3m3 - 6m)(-2m4 - 4m2) y determina la cantidad de
trminos del producto.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
13) Multiplica: (5m2 - 7m)(-2m4 + 3m2) y determina la suma de
coeficientes del producto.
a) -9 b) -10 c) -11d) -12 e) -13
14) Multiplica: (3m2 - 5m + 1)(-m + 4) y determina el coeficiente del
trmino de exponente uno al obtener su producto.
a) -20 b) -21 c) -22d) -23 e) -24
15) Multiplica: (2m - m2 + 3)(2 - m2) y determina la cantidad de
trminos de su producto.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
17) Multiplica: (5x2 + x)(3x3 - 1) e identifica un trmino del
producto.
a) -15x5 b) 3x4 c) 5x2
d) x e) 5x5
18) Multiplica: (7x + 3x2)(-2x5 - x3) y determina el coeficiente de
menor valor.
a) -14 b) -7 c) -6d) -16 e) -3
19) Multiplica: (8x3 - 5x)(-3x + 2) y determina la suma de coeficientes
de los trminos positivos.
a) -3 b) 3 c) 31d) 24 e) 28
20) Multiplica: (5x4 - 3x)(6x - 4x3) y determina la suma de coeficientes
de los trminos negativos.
a) 4 b) -4 c) 12d) 42 e) 32
21) Multiplica: (-3x3 + 5x)(4x - 3x4) y determina la suma de
coeficientes de los trminos de exponente par.
a) 8 b) -8 c) 2d) -2 e) -27
22) Multiplica: (-7x + 2x3)(-3x4 - x2) y determina la suma de coeficientes
de los trminos de exponente impar en el producto.
a) 18 b) 19 c) 20d) 21 e) 22
23) Multiplica: (9x - 2x2)(-5x + 6x3) y seala el coeficiente de mayor
valor.
a) 54 b) 64 c) 10d) 17 e) 8
24) Multiplica: (3mn - 2n)(-5m - 3mn) y determina el coeficiente de
mayor valor en el producto.
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
25) Multiplica: (2xy - 3x - 2y)(xy - x + y) e indica la cantidad de trminos
del producto.
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
26) Multiplica: (3x2 - 5x)(-2x3 + 2) y determina la suma de
coeficientes del producto.
a) -12 b) 20 c) -20d) 12 e) 0
27) Multiplica: (2x + 1)(x + 2) - 2(x + 1)(x + 1)
a) 5x b) 4x c) 3xd) 2x e) x
28) Multiplica: (3x + 1)(x + 3) - (3x + 2)(x + 2)
a) 2x + 1 b) 2x - 1 c) 2xd) 3x + 2 e) 3x - 2
29) Efecta: (3x + 1)(x + 4) - (3x + 2)(x + 2)
a) 5x b) 4x c) 3xd) 2x e) x
30) Efecta: 2(x + 1)(x + 5) - (2x + 5)(x + 2)
a) x b) 2x c) 3xd) 4x e) 5x
-
167
Nivel III
31) Al multiplicar: 4x2(3x2 - x + 5) se obtuvo
12xa - bxc + 20x2. Calcula a + b + c.
a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 15
32) Al multiplicar (x2 + 5)(x2 + 3) se obtuvo xm + nx2 + p. Calcula m + n + p.
a) 25 b) 26 c) 27d) 31 e) 32
33) Luego de multiplicar: (2x2 + 3)(2x2 + 1) se obtuvo
ax4 + bx2 + c. Calcula a + b + c.
a) 10 b) 11 c) 12d) 14 e) 15
34) Si (ax+1)(x+b)= 3x2 + mx + 2, calcula el valor de:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
a + m + b4
35) Al multiplicar: (m5 + 2)[m10 + 4 - 2m5] se
obtuvo ma + b. Calcula: a + b + 2
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
36) Si al multiplicar (x + 2)(x + 5) se obtuvo 1, calcula:
E = x2 + 7x + 5
a) -2 b) -4 c) 2d) 6 e) 3
37) Multiplica: (x3 + y2)(x6 + y4 - x3y2) - y6
a) y6 b) 2y6 c) x6
d) y9 e) x9
38) Multiplica: (5x + 2)(x + 3) - (5x + 1)(x + 6)
a) -2x b) -6x c) -8xd) -12x e) -14x
39) Efecta: 5(x + 1)(x + 3) - (5x + 3)(x + 5)
a) -6x b) -8x c) -xd) -2x e) 0
40) Efecta:
(x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + (x + 1)(x - 1)
a) x4 b) x2 c) x2 + 1d) x4 + 1 e) x4 + 2x2
42) Luego de multiplicar: (2x2 - 3)(9 + 6x2 + 4x4) indica
el nmero de trminos del producto.
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
41) Efecta: (2x + 5)(2x + 5) - (2x - 5)(2x - 5)
a) 10x b) 15x c) 20xd) 8x e) 40x
43) Efecta:
a) 2 b) 2a c) 4d) 4a e) a2
+1a
a +( ( 1aa +( ( 1aa -( (1a a-( (
44) Efecta:
(3x + 1)(4x + 2) - (2x - 1)(6x + 8)
a) 6 b) 2 c) 10d) 12 e) 4
45) Indica el nmero de trminos que se obtiene al multiplicar:
(xy - x + 2)(xy - y + 1)
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
46) Efecta:
(x + 1)(x + 2)(x + 3) - (x - 1)(x + 3)(x + 4)
a) 4x + 2 d) 3x + 8b) 6x + 18 e) 4x + 6c) 6x + 2
47) Efecta: A = (2x + 1)(x + 3) B = (x - 5)(x + 2) y calcula A - 2B.
a) 8x - 4 d) 13x + 23b) -2x + 7 e) -x - 9c) 2x - 5
48) Efecta:
a) 2 b) 4x c) 2yd) y/x e) 4
( ( (xy +xy + yx yx( -( ( (xy -xy - yx yx(
49) Efecta:
a) 1 b) 2 c) 0d) b/a e) 2b/a
1a
b+( (1b a-( (- 1a b-( (1b a+( (
50) Al efectuar (mx + 3)(x + 2n) se obtuvo 5x2 + ax + 12. Calcula el valor de a + 2.
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 7
-
168
Productos Notables I
1. Efecta: (x + 5)2
Resolucin:
Aplicando la identidad:(x + 5)2 = x2 + 2x(5) + (5)2
(x + 5)2 = x2 + 10x + 25
Son aquellos productos que se obtiene en forma directa sin la necesidad de aplicar la propiedad distributiva.
BINOMIO AL CUADRADO
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
A) (a + b)2 = (a + b)(a + b)
Por multiplicacin distributiva: (a + b)2 = a(a + b) + b(a + b)
Eliminando parntesis: (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2
Reduciendo trminos semejantes: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
B) (a - b)2 = (a - b)(a - b)
Por multiplicacin distributiva: (a - b)2 = a(a - b) - b(a - b)
Eliminando parntesis: (a - b)2 = a2 - ab - ab + b2
Reduciendo trminos semejantes: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Demostracin:
MULTIPLICACIN DE BINOMIOS SUMA POR DIFERENCIA
(a + b)(a - b) = a2 - b2
(a + b)(a - b) = (a + b)(a - b)
Demostracin:
Por multiplicacin distributiva: (a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b)
Eliminando parntesis: (a + b)(a - b) = a2 - ab + ab - b2
Reduciendo trminos semejantes: (a + b)(a - b) = a2 - b2
2. Reduce: E = (x + 3)2 - x(x + 6)
Resolucin:
A p l i c a n d o l a i d e n t i d a d y multiplicacin de expresiones, tenemos:
E = x2 + 2(3)x + (3)2 - x2 - 6x
Reduciendo trminos semejantes\ E = 9
3. Efecta: M = (x - 5)2 - x(x - 5) + 5x
Resolucin:
Aplicando la identidad y multiplicando las expresiones, tenemos:M = x2 - 2(x)(5) + (5)2 - x2 + 5x + 5xM = x2 - 10x + 25 - x2 + 5x + 5xReduciendo trminos semejantes
\ M = 25
Federico Villarreal, insigne hombre peruano, naci en Tcume, Lambayeque el 31 de agosto de 1850. Sus padres fueron Ruperto Villarreal y Manuela Villarreal. E l p r i m e r t r a b a j o d e investigacin realizado por Villarreal, a la edad de 23 aos, segn propias declaraciones, fue su mtodo de elevar un polinomio a una potencia como el descubrimiento capital del sabio y uno de los que le ha dado mayor prestigio como matemtico. Otros trabajos de investigacin que consagran a Villarreal como el ms grande matemtico de su poca son sus estudios sobre los efectos de refraccin, sobre el disco de los astros, su clasificacin de las curvas de tercer orden, sus estudios sobre los volmenes de poliedros regulares, su mtodo de integracin por traspasos y sus trabajos acerca de la teora de la flexin de las vigas y la resistencia de las columnas. Todos ellos representan sus ms importantes contribuciones al lgebra, la geometra, el clculo infinitesimal y la resistencia de materiales. En el campo de la geografa matemtica se han hecho clsicos sus trabajos acerca de la determinacin de meridianos y de coordenadas y altitudes, as como en la astronoma, sus esfuerzos por difundir en el Per las hiptesis de Wronski.
-
169
Nivel II
16) Efecta: (x + 4)2 - (x - 3)2 - 7
a) 10x b) 11x c) 12xd) 13x e) 14x
Nivel I
1) Efecta las multiplicaciones indicadas:
* (a + b)(a + b)* (x + y)(x + y)* (x + 1)(x + 1)* (a - b)(a - b)* (x - y)(x - y)* (x - 2)(x - 2)
10) Reduce: (x + 1)2 - (x - 1)2 + 3x
a) 7x b) 5x c) 3xd) x e) -x
2) Efecta:
* (x + a)2
* (m + 1)2
* (2x + 1)2
* (y - a)2
* (n - 1)2
* (3x - 1)2
3) Efecta las multiplicaciones indicadas:
* (a + b)(a - b)* (x + y)(x - y)* (x + 1)(x - 1)* (a + 2)(a - 2)* (m - 3)(m + 3)* (b - 5)(b + 5)
4) Efecta:
* (2x + 1)(2x - 1)* (3m - 2)(3m + 2)* (2x + 5)(2x - 5)* (x2 + 2)(x2 - 2)* (m3 - 1)(m3 + 1)* (p5 + 2)(p5 - 2)
5) Efecta: (x + 2)2 - 4(x + 1)
a) 2x b) 2x2 c) 0d) -2x e) x2
6) Efecta: (2x + 1)2 - 4(x2 + x + 1)
a) -5 b) -4 c) -3d) -2 e) -1
7) Efecta: 4x(x - 1) - (2x - 1)2
a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5
8) Efecta: (x + 1)(x - 1) - (x + 3)(x - 3)
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
9) Efecta: (2x + 3)(2x - 3) - (2x + 5)(2x - 5)
a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32
11) Efecta: (x + 4)2 - 8(x + 1) - x2
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
12) Efecta: (x - 5)2 + 10(x - 3) - x2
a) -5 b) -4 c) -3d) -2 e) -1
13) Efecta: (3x + 1)2 - 9x(x + 1) + 3x
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
14) Efecta: (x + 5)2 - (x + 3)2 - 4x
a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32
15) Efecta: (x - 3)2 - (x - 2)2 + 2x
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
17) Efecta: (x + 5)2 - (x - 2)2 - 14x
a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24
18) Efecta: (x + 6)2 - (x - 4)2 - 20(x + 1)
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
-
170
19) Efecta: (x + 3)2 - (x - 2)2 - 5(x + 1)
a) x b) 2x c) 3xd) 4x e) 5x
20) Efecta: (2x + 3)(2x - 3) - 4(x + 1)(x - 1)
a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5
21) Efecta: (2x + 1)(2x - 1) - 4(x + 2)(x - 2)
a) 11 b) 13 c) 15d) 17 e) 19
22) Efecta: (2x - 1)(2x + 1) - 4(x + 3)(x - 3)
a) 15 b) 20 c) 25d) 30 e) 35
23) Efecta: (x + 4)(x - 4) - (x + 5)(x - 5)
a) 1 b) 4 c) 9d) 16 e) 25
24) Efecta: (2x + 3)(2x - 3) - (x + 3)(x - 3)
a) x2 b) 2x2 c) 3x2
d) 4x2 e) 5x2
25) Efecta: (4x + 1)(4x - 1) - 16(x + 1)(x - 1)
a) 15 b) 14 c) 13d) 12 e) 11
26) Si a + b = 3 y ab = 2, calcula a2 + b2.
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
27) Si a - b = 7 y ab = 3, calcula a2 + b2.
a) 33 b) 44 c) 55d) 66 e) 77
28) Si a2 + b2 = 13 y a + b = 5, calcula ab.
a) 7 b) 6 c) 5d) 4 e) 3
29) Si a2 + b2 = 10 y a - b = 4, calcula ab.
a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5
30) Si a2 + b2 = 15 y a - b = 3, calcula ab.
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
Nivel III
31) Si a + b = 5 y ab = 8, calcula M = a2 + b2
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
32) Si a - b = 5 y ab = 12, calcula: Q = a2 + b2
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
33) Si a - b = 6 y ab = 14,
calcula: R =
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
a2 + b2
16
34) Si a + b = 7 y a2 + b2 = 17, calcula: N = ab
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
35) Si a2 + b2 = 22 y a - b = 2, calcula: P = ab
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
36) Si a - b = 2 y a = 2/b, calcula a2 + b2.
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 12
37) Si m - n = 3 y mn = 2m - 2n, calcula m2 + n2.
a) 15 b) 18 c) 21d) 31 e) 35
38) Efecta:
4 (x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1)+1
a) x b) x2 c) 2xd) 2x2 e) 4x
39) Efecta:
8 (b-1)(b2+1)(b4+1)(b+1)+1
a) b b) b2 c) b2-1d) b+1 e) b-1
40) Efecta:
4 (x+y)(x-y)(x4+y4)(x2+y2)+y8
a) x2 b) y2 c) y4
d) xy e) x2 + y2
41) Si x - y = 5 y x2 - y2 = 40, calcula el valor de x + y.
a) 6 b) 2 c) 8d) 4 e) 4 2
42) Efecta:
(m + n)(n - m)(m2 + n2) + m4
a) n b) m c) n + md) n2 e) m2
-
171
43) Si x + y = 3n y x2 - y2 = 12n, calcula x - y.
a) n b) 4n c) 8nd) 4 e) 2
44) Si m + 3n = 2a y m2 - 9n2 = 8a2, calcula 2m.
a) a b) 2a c) 3ad) 4a2 e) 6a2
45) Si m = n + 1, reduce:
4 (m+n)(m2+n2)(m4+n4)+n8
a) m b) 2m c) 2m2
d) n2 e) m2
46) Calcula:
4 1 + 8(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)
a) 81 b) 27 c) 9d) 33 e) 243
47) Efecta:
1 + 15(42 + 1)(44 + 1)
a) 16 b) 64 c) 256d) 128 e) 1024
48) Si a + b = 7 y ab = 1, calcula a - b.
a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 6
LA CALCULADORA POLINMICA
El objetivo de esta calculadora es proporcionar a los alumnos una herramienta que les permita comprobar por s mismos los clculos con polinomios que previamente han efectuado a mano. sta puede ser especialmente til cuando se aborda el aprendizaje de la factorizacin de polinomios, ya que aunque los alumnos aprenden pronto la tcnica (mtodo de Ruffini, clculo de races enteras, etc.), no acaban de creerse que esa factorizacin que han hallado sea realmente igual al polinomio de partida; de hecho es muy habitual que el alumno no escriba el signo de igualdad entre el polinomio y su factorizacin. La manera de evitar esta duda sera que el alumno comprobase siempre la factorizacin obtenida, efectuando las operaciones hasta obtener el polinomio propuesto, pero la mayora se desalienta ante e