3. allgemeine kraftsystemewandinger.userweb.mwn.de/la_tmet/v1_3.pdf · prof. dr. wandinger 1....

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-1 3. Allgemeine Kraftsysteme 3.1 Parallele Kräfte 3.2 Kräftepaar und Moment 3.3 Gleichgewicht in der Ebene

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-1

3. Allgemeine Kraftsysteme

3.1 Parallele Kräfte

3.2 Kräftepaar und Moment

3.3 Gleichgewicht in der Ebene

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-2

3.1 Parallele Kräfte

● Bei parallelen Kräften in der Ebene schneiden sich die Wirkungslinien nicht.

● Beispiel: Waage

● Fragen:– Lassen sich die beiden Kräfte zu einer resultierenden Kraft

zusammenfassen?– Wo liegt der Angriffspunkt der resultierenden Kraft?– Wo muss die Waage gelagert werden, damit sie im Gleich-

gewicht ist?

G1

G2

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-3

3.1 Parallele Kräfte

● Lösung:– Der Balken der Waage

wird freigeschnitten.

– Es wird eine Gleichge-wichtsgruppe hinzuge-fügt.

● Der Betrag der Kraft K ist beliebig.

● Die Wirkungslinien sind senkrecht aufeinander.

G1

G2

G1

G2

K K

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-4

3.1 Parallele Kräfte

– Die Wirkungslinien der Teilresultierenden R1 und R

2

schneiden sich.

G1

G2

K K

R1

R2

R1

R2

R

R=R1R2=G1−KG2K

=G1G2

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-5

3.1 Parallele Kräfte

– Aus folgt:– Für den Betrag gilt:– Geometrie:

R=G1G2 R ∥ G1 ∥ G2R=G1G2

a2

a1

aG

1G

2

K Kβα

h

tan= ha1=G1K

tan= ha2=G2K

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-6

a1 =G2

G1G2a

a2 =G1

G1G2a

3.1 Parallele Kräfte

– Hebelgesetz von Archimedes:

– Berechnung der Abstände:

ha1=G1K

h K=a1G1

ha2=G2K

h K=a2G2

a1G1=a2G2

a1 a2 = aa1G1 − G2a2 = 0 ∣

⋅G2⋅1 ∣⋅G1⋅−1

a1 G1G2 = aG2a2 G1G2 = aG1

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-7

3.1 Parallele Kräfte

● Ergebnis:

a2

a1

a

G1

G2

G1 + G

2

a1 =G2

G1G2a

a2 =G1

G1G2a

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-8

3.2 Kräftepaar und Moment

● Kräftepaar:– Ein Kräftepaar ist ein Paar paralleler

Kräfte, die entgegengesetzt gleich groß sind.

– Der Abstand a der Wirkungslinien wird senkrecht zu den Wirkungslinien gemessen.

– Beispiele:● Lenkrad● Schraubenschlüssel

F

a

F

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-9

3.2 Kräftepaar und Moment

– Für jede Gleichgewichts-gruppe sind die Wirkungs-linien der resultierenden Kräfte parallel.

– Ein Kräftepaar kann nicht durch eine resultierende Kraft ersetzt werden.

F

F

K

K

R

R

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-10

3.2 Kräftepaar und Moment

– Das Kräftepaar (F, a) versucht, den Körper zu drehen.– Damit der Körper im Gleichgewicht ist, muss ein zweites

Kräftepaar (G, b) am Körper angreifen.

c

b

a

F

F

G

G

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-11

3.2 Kräftepaar und Moment

– Gegeben: Kräftepaar (F, a) und Abmessungen b und c– Gesucht: Kraft G für Gleichgewicht– Lösung:

● Die beiden nach oben zeigenden Kräfte lassen sich zu einer Kraft R zusammenfassen:

d

c b F

G

R

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-12

3.2 Kräftepaar und Moment

● Aus dem Hebelgesetz folgt für den Abstand d:

● Ebenso lassen sich die nach unten zeigenden Kräfte zu einer Kraft R zusammenfassen:

d=G

GFbc

R

Ra - c

d - c

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-13

3.2 Kräftepaar und Moment

● Damit Gleichgewicht herrscht, müssen die beiden Kräfte am gleichen Angriffspunkt angreifen.

● Aus dem Hebelgesetz folgt:

● Einsetzen für d ergibt:

● Ergebnis:

d−c=F

GFa−c

GGF

bc −c=F

GFa−c G bc −GF c=F a−c

Gb=F a G=Fab

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-14

3.2 Kräftepaar und Moment

● Moment:– Die Wirkung eines Kräftepaares (F, a) hängt nur von der

Größe

ab.– Diese Größe wird als Moment bezeichnet.– Zusätzlich ist der Drehsinn zu beachten:

● positiv entgegen dem Uhrzeigersinn (linksdrehend)● negativ im Uhrzeigersinn (rechtsdrehend)

M=F⋅a

+ -

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-15

3.2 Kräftepaar und Moment

– Die Wirkung eines Kräftepaares auf einen starren Körper hängt nicht davon ab, wo das Kräftepaar angreift.

a

F

Fa

F

F

M M

=

=

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-16

3.2 Kräftepaar und Moment

● Parallelverschiebung einer Kraft:– Gegeben ist die Kraft F mit

Wirkungslinie durch Punkt A– Gesucht ist die Kraft F mit

Wirkungslinie durch Punkt B sowie das Moment, so dass die Wirkung die gleiche ist.

A

Ba

F

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-17

3.2 Kräftepaar und Moment

– Am Punkt B wird eine Gleichge-wichtsgruppe mit Betrag F hinzuge-fügt.

– Das Kräftepaar (F, a) entspricht dem Moment

– MB ist das Moment der Kraft F um

den Bezugspunkt B.

A

Ba

F

F

F

A

B

F

MB

M B=a F

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-18

3.2 Kräftepaar und Moment

● Beispiel: Kurbeltrieb

a

L

rφ α

β

γ

A F

MA

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-19

3.2 Kräftepaar und Moment

– Gegeben:● Pleuellänge L = 9cm = 9∙10-2m● Kurbelradius r = 3cm = 3∙10-2m● Kurbelstellung φ = 50°● Pleuelkraft F = 5kN = 5∙103N

– Gesucht:● Moment M

A der Kraft F um den Bezugspunkt A

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-20

3.2 Kräftepaar und Moment

– Lösung:● Sinussatz:

● Zahlenwerte:

sinr

=sinL

sin= rLsin

=180°−=180°−180°−−=

a=r sin=r sin

M A=F⋅a=F r sin

sin=39sin 50°=0,2553 =14,794°

M A=5⋅103N⋅3⋅10−2m sin 50°14,794° =135,72Nm

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-21

3.2 Kräftepaar und Moment

● Berechnung aus den kartesischen Kompo­nenten der Kraft:

Fx

Fy

F

xP

yP

x

y

MO

O

PMO=xP F y− yP F x

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-22

3.2 Kräftepaar und Moment

● Beispiel: Kurbeltrieb

Lr

φ α

β

A

FM

A

x

y

b

Fy

Fx

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-23

3.2 Kräftepaar und Moment

Sinussatz:bsin

=Lsin

b=L sinsin

F y=F sin=FrLsin

M A=b F y=Lsin sin

⋅F rLsin=F r sin

sin=sin 180°−−=sin

M A=F r sin

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-24

3.3 Gleichgewicht in der Ebene

● Alle am starren Körper angreifenden Kräfte können in Gedanken an einen beliebig gewählten Bezugspunkt B verschoben werden.

● Dabei müssen die Momente der Kräfte um den Be-zugspunkt B berücksichtigt werden.

● Der Körper ist im Gleichgewicht, wenn– die Resultierende aller Kräfte am Bezugspunkt B

verschwindet,– die Summe der Momente aller Kräfte um den Bezugspunkt

B verschwindet.

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-25

3.3 Gleichgewicht in der Ebene

● Gleichgewichtsbedingungen:

∑ F x = 0

∑ F y = 0

∑ MB = 0

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-26

3.3 Gleichgewicht in der Ebene

● Beispiel 1a:– Gegeben:

● F = 1000N ● α = 60°● a = 3m, b = 1m, c = 1m

– Gesucht:● A

x , A

y , B

y

a

b α

Ax

Ay

By

A B

x

yF

c

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-27

3.3 Gleichgewicht in der Ebene

– Lösung:

∑ F x=0 : −F cosAx=0

∑ F y=0 : −F sinA yB y=0

∑M A=0 : c F cos−bF sina B y=0

∑ F x=0 Ax=F cos

∑M A=0 B y=F⋅bsin−c cos

a

∑ F y=0 A y=F sin−B y

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-28

3.3 Gleichgewicht in der Ebene

– Zahlenwerte:

Ax=1000N⋅cos60°=500N

B y=1000N⋅1m⋅sin 60°−1m⋅cos60°

3m=1000N⋅0,1220=122,0N

A y=1000N⋅sin 60° −122,0N=866,0N−122,0N=744,0N

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-29

3.3 Gleichgewicht in der Ebene

● Alternative Gleichungen 1:– 1 Kraftgleichung und 2 Momentengleichungen um ver-

schiedene Bezugspunkte– Die Verbindungslinie der Bezugspunkte darf nicht senkrecht

auf der Richtung für die Kräftegleichung stehen.

A B A B

Falsch:

Σ M(A)

Σ M(B)

Σ M(A)

Σ M(B)

Σ F Σ F

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-30

3.3 Gleichgewicht in der Ebene

● Alternative Gleichungen 2:– 3 Momentengleichungen um verschiedene Bezugspunkte– Die 3 Bezugspunkte dürfen nicht auf einer Geraden liegen.

A B A B

Falsch:

Σ M(A)

Σ M(B)

Σ M(A)

Σ M(B)

Σ M(C)

C

C

Σ M(C)

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-31

3.3 Gleichgewicht in der Ebene

● Beispiel 1b:

a

b α

Ax

Ay

By

A B

x

yF

c ∑ F x=0 : −F cosAx=0

∑M A=0 : c F cos−bF sina B y=0

∑M B=0 : −a Ayc F cosa−b F sin =0

A y=F [1−ba sin cacos]

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-32

3.3 Gleichgewicht in der Ebene

● Beispiel 2: Seil über reibungsfrei gelagerte Rolle– Gegeben:

● Radius r● Winkel α und β

● Seilkraft S1

– Gesucht:● Seilkraft S

2

● Lagerkräfte Ax, A

y

S1

S2

Ay

Ax

rβ α

A

x

y

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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-33

3.3 Gleichgewicht in der Ebene

– Lösung:

∑M A=0 : r S2−r S1=0 S2=S1

∑ F x=0 : −S2cosAxS1cos=0

Ax=S1 cos−cos

∑ F y=0 : −S2sinA y−S1sin=0

A y=S1 sinsin