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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-1
3. Allgemeine Kraftsysteme
3.1 Parallele Kräfte
3.2 Kräftepaar und Moment
3.3 Gleichgewicht in der Ebene
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-2
3.1 Parallele Kräfte
● Bei parallelen Kräften in der Ebene schneiden sich die Wirkungslinien nicht.
● Beispiel: Waage
● Fragen:– Lassen sich die beiden Kräfte zu einer resultierenden Kraft
zusammenfassen?– Wo liegt der Angriffspunkt der resultierenden Kraft?– Wo muss die Waage gelagert werden, damit sie im Gleich-
gewicht ist?
G1
G2
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-3
3.1 Parallele Kräfte
● Lösung:– Der Balken der Waage
wird freigeschnitten.
– Es wird eine Gleichge-wichtsgruppe hinzuge-fügt.
● Der Betrag der Kraft K ist beliebig.
● Die Wirkungslinien sind senkrecht aufeinander.
G1
G2
G1
G2
K K
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-4
3.1 Parallele Kräfte
– Die Wirkungslinien der Teilresultierenden R1 und R
2
schneiden sich.
G1
G2
K K
R1
R2
R1
R2
R
R=R1R2=G1−KG2K
=G1G2
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-5
3.1 Parallele Kräfte
– Aus folgt:– Für den Betrag gilt:– Geometrie:
R=G1G2 R ∥ G1 ∥ G2R=G1G2
a2
a1
aG
1G
2
K Kβα
h
tan= ha1=G1K
tan= ha2=G2K
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-6
a1 =G2
G1G2a
a2 =G1
G1G2a
3.1 Parallele Kräfte
– Hebelgesetz von Archimedes:
– Berechnung der Abstände:
ha1=G1K
h K=a1G1
ha2=G2K
h K=a2G2
a1G1=a2G2
a1 a2 = aa1G1 − G2a2 = 0 ∣
⋅G2⋅1 ∣⋅G1⋅−1
a1 G1G2 = aG2a2 G1G2 = aG1
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-7
3.1 Parallele Kräfte
● Ergebnis:
a2
a1
a
G1
G2
G1 + G
2
a1 =G2
G1G2a
a2 =G1
G1G2a
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-8
3.2 Kräftepaar und Moment
● Kräftepaar:– Ein Kräftepaar ist ein Paar paralleler
Kräfte, die entgegengesetzt gleich groß sind.
– Der Abstand a der Wirkungslinien wird senkrecht zu den Wirkungslinien gemessen.
– Beispiele:● Lenkrad● Schraubenschlüssel
F
a
F
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-9
3.2 Kräftepaar und Moment
– Für jede Gleichgewichts-gruppe sind die Wirkungs-linien der resultierenden Kräfte parallel.
– Ein Kräftepaar kann nicht durch eine resultierende Kraft ersetzt werden.
F
F
K
K
R
R
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-10
3.2 Kräftepaar und Moment
– Das Kräftepaar (F, a) versucht, den Körper zu drehen.– Damit der Körper im Gleichgewicht ist, muss ein zweites
Kräftepaar (G, b) am Körper angreifen.
c
b
a
F
F
G
G
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-11
3.2 Kräftepaar und Moment
– Gegeben: Kräftepaar (F, a) und Abmessungen b und c– Gesucht: Kraft G für Gleichgewicht– Lösung:
● Die beiden nach oben zeigenden Kräfte lassen sich zu einer Kraft R zusammenfassen:
d
c b F
G
R
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-12
3.2 Kräftepaar und Moment
● Aus dem Hebelgesetz folgt für den Abstand d:
● Ebenso lassen sich die nach unten zeigenden Kräfte zu einer Kraft R zusammenfassen:
d=G
GFbc
R
Ra - c
d - c
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-13
3.2 Kräftepaar und Moment
● Damit Gleichgewicht herrscht, müssen die beiden Kräfte am gleichen Angriffspunkt angreifen.
● Aus dem Hebelgesetz folgt:
● Einsetzen für d ergibt:
● Ergebnis:
d−c=F
GFa−c
GGF
bc −c=F
GFa−c G bc −GF c=F a−c
Gb=F a G=Fab
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-14
3.2 Kräftepaar und Moment
● Moment:– Die Wirkung eines Kräftepaares (F, a) hängt nur von der
Größe
ab.– Diese Größe wird als Moment bezeichnet.– Zusätzlich ist der Drehsinn zu beachten:
● positiv entgegen dem Uhrzeigersinn (linksdrehend)● negativ im Uhrzeigersinn (rechtsdrehend)
M=F⋅a
+ -
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-15
3.2 Kräftepaar und Moment
– Die Wirkung eines Kräftepaares auf einen starren Körper hängt nicht davon ab, wo das Kräftepaar angreift.
a
F
Fa
F
F
M M
=
=
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-16
3.2 Kräftepaar und Moment
● Parallelverschiebung einer Kraft:– Gegeben ist die Kraft F mit
Wirkungslinie durch Punkt A– Gesucht ist die Kraft F mit
Wirkungslinie durch Punkt B sowie das Moment, so dass die Wirkung die gleiche ist.
A
Ba
F
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-17
3.2 Kräftepaar und Moment
– Am Punkt B wird eine Gleichge-wichtsgruppe mit Betrag F hinzuge-fügt.
– Das Kräftepaar (F, a) entspricht dem Moment
– MB ist das Moment der Kraft F um
den Bezugspunkt B.
A
Ba
F
F
F
A
B
F
MB
M B=a F
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-18
3.2 Kräftepaar und Moment
● Beispiel: Kurbeltrieb
a
L
rφ α
β
γ
A F
MA
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-19
3.2 Kräftepaar und Moment
– Gegeben:● Pleuellänge L = 9cm = 9∙10-2m● Kurbelradius r = 3cm = 3∙10-2m● Kurbelstellung φ = 50°● Pleuelkraft F = 5kN = 5∙103N
– Gesucht:● Moment M
A der Kraft F um den Bezugspunkt A
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-20
3.2 Kräftepaar und Moment
– Lösung:● Sinussatz:
● Zahlenwerte:
sinr
=sinL
sin= rLsin
=180°−=180°−180°−−=
a=r sin=r sin
M A=F⋅a=F r sin
sin=39sin 50°=0,2553 =14,794°
M A=5⋅103N⋅3⋅10−2m sin 50°14,794° =135,72Nm
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-21
3.2 Kräftepaar und Moment
● Berechnung aus den kartesischen Komponenten der Kraft:
Fx
Fy
F
xP
yP
x
y
MO
O
PMO=xP F y− yP F x
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-22
3.2 Kräftepaar und Moment
● Beispiel: Kurbeltrieb
Lr
φ α
β
A
FM
A
x
y
b
Fy
Fx
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-23
3.2 Kräftepaar und Moment
Sinussatz:bsin
=Lsin
b=L sinsin
F y=F sin=FrLsin
M A=b F y=Lsin sin
⋅F rLsin=F r sin
sin=sin 180°−−=sin
M A=F r sin
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-24
3.3 Gleichgewicht in der Ebene
● Alle am starren Körper angreifenden Kräfte können in Gedanken an einen beliebig gewählten Bezugspunkt B verschoben werden.
● Dabei müssen die Momente der Kräfte um den Be-zugspunkt B berücksichtigt werden.
● Der Körper ist im Gleichgewicht, wenn– die Resultierende aller Kräfte am Bezugspunkt B
verschwindet,– die Summe der Momente aller Kräfte um den Bezugspunkt
B verschwindet.
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-25
3.3 Gleichgewicht in der Ebene
● Gleichgewichtsbedingungen:
∑ F x = 0
∑ F y = 0
∑ MB = 0
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-26
3.3 Gleichgewicht in der Ebene
● Beispiel 1a:– Gegeben:
● F = 1000N ● α = 60°● a = 3m, b = 1m, c = 1m
– Gesucht:● A
x , A
y , B
y
a
b α
Ax
Ay
By
A B
x
yF
c
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-27
3.3 Gleichgewicht in der Ebene
– Lösung:
∑ F x=0 : −F cosAx=0
∑ F y=0 : −F sinA yB y=0
∑M A=0 : c F cos−bF sina B y=0
∑ F x=0 Ax=F cos
∑M A=0 B y=F⋅bsin−c cos
a
∑ F y=0 A y=F sin−B y
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-28
3.3 Gleichgewicht in der Ebene
– Zahlenwerte:
Ax=1000N⋅cos60°=500N
B y=1000N⋅1m⋅sin 60°−1m⋅cos60°
3m=1000N⋅0,1220=122,0N
A y=1000N⋅sin 60° −122,0N=866,0N−122,0N=744,0N
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-29
3.3 Gleichgewicht in der Ebene
● Alternative Gleichungen 1:– 1 Kraftgleichung und 2 Momentengleichungen um ver-
schiedene Bezugspunkte– Die Verbindungslinie der Bezugspunkte darf nicht senkrecht
auf der Richtung für die Kräftegleichung stehen.
A B A B
Falsch:
Σ M(A)
Σ M(B)
Σ M(A)
Σ M(B)
Σ F Σ F
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-30
3.3 Gleichgewicht in der Ebene
● Alternative Gleichungen 2:– 3 Momentengleichungen um verschiedene Bezugspunkte– Die 3 Bezugspunkte dürfen nicht auf einer Geraden liegen.
A B A B
Falsch:
Σ M(A)
Σ M(B)
Σ M(A)
Σ M(B)
Σ M(C)
C
C
Σ M(C)
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-31
3.3 Gleichgewicht in der Ebene
● Beispiel 1b:
a
b α
Ax
Ay
By
A B
x
yF
c ∑ F x=0 : −F cosAx=0
∑M A=0 : c F cos−bF sina B y=0
∑M B=0 : −a Ayc F cosa−b F sin =0
A y=F [1−ba sin cacos]
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-32
3.3 Gleichgewicht in der Ebene
● Beispiel 2: Seil über reibungsfrei gelagerte Rolle– Gegeben:
● Radius r● Winkel α und β
● Seilkraft S1
– Gesucht:● Seilkraft S
2
● Lagerkräfte Ax, A
y
S1
S2
Ay
Ax
rβ α
A
x
y
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-33
3.3 Gleichgewicht in der Ebene
– Lösung:
∑M A=0 : r S2−r S1=0 S2=S1
∑ F x=0 : −S2cosAxS1cos=0
Ax=S1 cos−cos
∑ F y=0 : −S2sinA y−S1sin=0
A y=S1 sinsin