3-belirsizliklerin-giderilmesi

Belirsizliklerin Giderilmesi

108

LÝMÝTTE BELÝRSÝZLÝKLERÝNGÝDERÝLMESÝ

Limit iþlemini yaparken deðiþkenin yerinedeðerini koyduðumuzda,

belirsizliklerinden herhangi biri meydanageliyorsa aþaðýda vereceðimiz yöntemlerleönce fonksiyon belirsizliklerinden kurtarýlýrdaha sonra limit alýnýr.

1) BELÝRSÝZLÝK HALÝ

kesirli fonksiyonun pay ve paydasý çarpan-larýna ayrýlýr ve sadeleþtirme iþlemi yapýla-rak limit alma iþlemine devam edilir.

Örnek 1

Örnek 2

Örnek 3

limiti kaçtýr?

Çözüm

Örnek 4

limiti kaçtýr?

Çözüm

Örnek 5

limiti kaçtýr?

Çözüm

x yerine deðiþkeni koyduðumuzda % belir-sizliði vardýr. Bu haliyle çarpanlarýna daayrýlmýyor. O halde pay ve paydasýný kök-ten kurtaracak þekilde geniþletelim

x2 − y2 = (x – y)(x + y)

özdeþliðiden yararlanmalýyýz.

→

⎛ ⎞− −⎜ ⎟−⎝ ⎠x 6

x 2 2lim

x 6

→ −

→ − → −

→ −

+ − += =

+ − − + − −

+ + − +=

+ −+ −

⎡ ⎤− − − +− + ⎣ ⎦= =− − −

+ += = = −

− −

3 3

2 2x 3

3 2

2x 3 x 3

22

x 3

2x 54 2( 3) 54 0lim

0x 2x 3 ( 3) 2( 3) 3

belirsizl i ði vardýr.

2(x 27) 2(x 3)(x 3x 9)l im lim

(x 3)(x 1)x 2x 3

2 ( 3) 3( 3) 92(x 3x 9)l im

x 1 3 1

2(9 9 9) 27 27dir.

4 2 2

→ −

⎛ ⎞+⎜ ⎟

+ −⎝ ⎠

3

2x 3

2x 54lim

x 2x 3

→

→ →

− − − −= =

+ −+ −

+ − += =

+ − +

+= =

+

2

2x 2

x 2 x 2

3x x 10 12 2 10 0lim

4 10 14 0x 5x 14

(3x 5)(x 2) 3x 5lim lim

(x 7)(x 2) x 7

3.2 5 11bulunur.

2 7 9

→

⎛ ⎞− −⎜ ⎟

+ −⎝ ⎠

2

2x 2

3x x 10lim

x 5x 14

→ −

→ − → −

+ + − += =

+ − +

+= = + = − + =

+

2

x 1

2

x 1 x 1

x 2x 1 1 2 1 0lim

x 1 1 1 0

(x 1)l im lim (x 1) 1 1 0

x 1

22

x 0

x 0 x 0

x 1

x 1 x 1

2

x 2

x 2 x 2

0 2.0x 2x 0* lim

x 0 0

x(x 2)l im lim(x 2) 0 2 2

x

x 1 1 1 0* lim

x 1 1 1 0

x 1lim lim 1 1

x 1

x 4 4 4 0* lim

x 2 2 2 0

(x 2)(x 2)l im lim (x 2) 2 2 4

(x 2)

→

→ →

→ −

→ − → −

→

→ →

++ = =

+= = + = + =

+ − += =+ − +

+= = =+

− −= =− −

− += = + = + =−

→= =

x a

f(x) f(a) 0l im ise

g(x) g(a) 0

00

∞∞∞ − ∞ ∞

∞00

, , , 0. , 1 , 00


Örnek 6

limiti kaçtýr?

Çözüm

Örnek 7

limiti kaçtýr?

Çözüm

Örnek 8

m nin deðeri kaçtýr?

Çözüm

Verilen ifadenin limiti bir reel sayýya eþitolduðuna göre, paydasý sýfýr olan kesrinpayýda sýfýr olmalý ve sadeleþmelidir.

Buna göre

olduðu bilinmektedir.

x2 + mx – 10 = (x – 2)(x + 5)

x2 + mx – 10 = x2 + 3x – 10

Örnek 9

limiti kaçtýr?

Çözüm

x2

x2

2

x2

2

x2

x2

1 sin1 sin x 1 1 02limcos x 0 0cos

2

1 sin x 1 sin xl im .

cos x 1 sin x

1 sin xl im

cos x (1 sin x)

cos xlim

cos x (1 sin x)

coscos x 2lim1 sin x 1 sin

2

0 00 bulunur.

1 1 2

π→

π→

π→

π→

π→

π−− −= = =π

⎛ ⎞− += ⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

π⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ π+⎝ ⎠ +

= = =+

π→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠x

2

1 sin xlim

cos x

⇒ =m 3 bulunur.

→

−x 2

(x 2lim

+−) (x 5)

(x 2 →= +

= + =

x 2l im (x 5)

)

2 5 7

2

x 2

x mx 10lim 7 ise

x 2→

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

→

→

→

→

− − − −= =

− −

− −=

− −

− +=

− −

= − + = − + = −

x 16

2

x 16

x 16

x 16

x x 12 16 16 12 0lim

04 x 4 16

x x 12lim

( x 4)

( x 4)( x 3)l im

( x 4)

l im ( x 3) ( 16 3) 7

→

⎛ ⎞− −⎜ ⎟−⎝ ⎠x 16

x x 12lim

4 x

→

→

→

→

− −= =

− − − −

− + −=

− − + −

− + −=

− −

= + − = + −

= + = + =

2 2

2 2x 3

2 2

2 2x 3

2 2

2 2 2x 3

2 2

x 3

9 x 9 3 0lim

02 x 5 2 3 5

(9 x )(2 x 5 )l im

(2 x 5 )(2 x 5)

(9 x )(2 x 5 )l im

2 ( x 5 )

l im (2 x 5 ) 2 3 5

2 4 2 2 4

→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠− −

2

2x 3

9 xlim

2 x 5

→

→

→

− − − +− − +

− −=

− − +

−=

x 6

2 2

x 6

x 6

( x 2 2) ( x 2 2)l im .

(x 6) ( x 2 2)

( x 2) 2lim

(x 6)( x 2 2)

x 6lim

−(x 6) − +

= = =− + +

( x 2 2)

1 1 146 2 2 4 2

109


110

Örnek 10

limiti kaçtýr?

Çözüm


ifadesinin limiti araþtýrýlýrken önce p(x) poli-nomunun derecesi belirlenir.

i) p(x) in derecesi çift ise;

ii) p(x) in dercesi tek ise

Örnek 1

daha fazla açýklamak gerekirse,

Uyarý :

olmak üzere

belirsizliklerinden biri varsa belirsizliðivardýr denir.

Bu tür belirsizlikler dizilerde limit konusun-da incelenmiþti.

Örnek 2

limiti kaçtýr?

Çözüm

içinde soru çözüldüðünde sonu-cun ayný olduðunu görürüz.

Örnek 3

limiti kaçtýr?

Çözüm

→ −∞

→ −∞

⎛ ⎞− −∞ ∞= =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∞ ∞− +

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠=

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

2x

x

2

3x 5lim

x x 2

5x. 3

xl im

1 2x. x

x x

→− ∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠− +2x

3x 5lim

x x 2

→ −∞x

→ ∞

→ ∞

− + ∞→

∞+

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

=⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

− +∞ ∞= = =+

∞

2

2x

22

x 2

2x x 3lim

x 2x

1 3x 2

x xlim2

x 1x

1 32 2

22 11

→ ∞

⎛ ⎞− +⎜ ⎟

+⎝ ⎠

2

2x

2x x 3lim

x 2x

∞∞

→

∞= ∞ = = ∞

∞

+∞ −∞+∞ −∞x a

A A, 0 ,

0 A

f ( x )l im ifadesinde ,

g( x )

≠A 0

→ −∞

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= −∞ + + = −∞ = −∞⎜ ⎟⎝ ⎠∞ ∞

53 5x

3 4lim x 2

x x

3 42 .2

→ −∞ → −∞+ + = = −∞5 2 5

x xl im ( 2x 3x 4 ) l im 2x

→ +∞ → −∞= +∞ = −∞

x xl im p( x ) , l im p( x )

xl im p( x )→ ∞

= +∞∓

xl im p( x )→ ∞∓

∞∞∞∞

2

x 3

2

2x 3 x 3

t 0

sin( x 9 ) ( x 3 )l im .

( x 3 ) ( x 3 )

sin( x 9 )l im . l im ( x 3 )

x 9

sin tl im .( 3 3 )

t

1 . 6 6 bulunur.

→

→ →

→

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠

−= +

−

= +

= =

→

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠

2

x 3

sin(x 9)l im

x 3


içinde soru çözüldüðünde sonu-cun ayný olduðunu görürüz.

Örnek 4

limiti kaçtýr?

Çözüm

için soru çözüldüðünde sonucun

olduðunu görürüz.

Sonuç :

þeklinde bir limit alýnýrken aþaðýdaki pratikkural test sorularýnda kullanýlabilir. Bukural yukarýdaki üç örnek incelendiðindeortaya çýkan bir sonuçtur.

i) p>q ise limit

ii) p=q ise limit

iii) p<q ise limit sýfýrdýr.

Örnek 5

limiti kaçtýr?

Çözüm

Örnek 6

Çözüm

332

22

32

2

22x 1 x 8

xf( x )

3 2x 4

x x

22x 1 x. 8

x dir.3 2

x . 4x x

⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟

⎝ ⎠=⎛ ⎞

+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + −=

+ −

→ ± ∞ ∞ ∞x iç in / º ekl inde bir belirs iz l ik var d ýr.

→ +∞ → −∞

+ + −=

+ −

= =

3 3

2

x x

2x 1 8x 2xf( x )

4x 3x 2

lim f( x ) ? , l im f( x ) ?

2 2

x

22

x

2

x

2

x

2x x 1 3lim

x 3 3

12x x 1

xlim

x 3

12x x . 1

xlimx 3

1x 2 1

xlim

3x 1

x

12 1

2 13

3 11

( x iç in x x oldu ðunu hatýr layýnýz.)

→ ∞

→ ∞

→ ∞

→ ∞

+ − ∞ + ∞ − ∞= =+ ∞ + ∞

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠=+

+ −=

+

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

+ −+∞= = =

+∞

→ ∞ =

→ ∞

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

2

x

2x x 1lim

x 3

adir.

b

∞

→ ∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟

+⎝ ⎠∓

p

qx

a x ......l im

b x ......

−∞

→ −∞x

→ ∞

→ ∞

− ∞=

∞+

=

3

2x

2

x

x 4xlim

x 5

xlim

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

2

4x

x

x⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

∞ − ∞ −∞= = = ∞++

∞

25

1x

40

5 1 01

→ ∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟

+⎝ ⎠

3

2x

x 4xlim

x 5

→ +∞x

53 3 0

1 1 0 0

30 dýr.

− −−∞= =−∞ + +−∞ − +

−∞ ∞

= =−∞

111


112

Buna göre,


limitinde belirsizliði

vardýr.

i) Ýki ayrý kesir l i i fade varsa paydalarýeþitlenerek tek kesir haline getirilir.

ii) Köklü ifade varsa bunu rasyonel yapacakgeniþletmeler yapýlýr.

iii) Tanjant veya kotanjant ifadeleri varsa, ye-rine sinüs ve kosinüs cinsinden eþitlikleriyazýlýr.

i, ii, iii ifadeleri uygulandýðýnda be-

l irsizl iði veya belirsizl iklerinden

birine dönüþtürülerek limit alma iþleminebu belirsizlikelerde uyguladýðýmýz kurallaruygulanýr.

Örnek 1

limiti kaçtýr?

Çözüm

Örnek 2

limiti kaçtýr?

Çözüm

Örnek 3

limiti kaçtýr?

Çözüm

Verilen ifadenin eþleniði ile payýný ve paydasýný çarparak ifadeyi rasyonel yapalým.

→ ∞⎛ ⎞+ − = ∞ − ∞⎝ ⎠

2

xl im x x x

→∞⎛ ⎞+ −⎝ ⎠

2

xl im x x x

→

→

→ →

⎛ ⎞− = − = ∞ − ∞⎜ ⎟⎝ ⎠− − −

⎡ ⎤+= −⎢ ⎥+ − + −⎣ ⎦

+ − −= =

+ −

2x 3

x 3

x 3 x 3

1 5 1 5lim

x 3 0 0x x 6

x 2 5lim

( x 2)( x 3 ) ( x 2)(x 3 )

x 2 5 x 3lim lim

( x 2)( x 3 ) + −( x 2)( x 3 )

→= = =

+ +x 3

1 1 1lim

x 2 3 2 5

→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠− − −2x 2

1 5lim

x 3 x x 6

→

→

→

→

⎛ ⎞− = − = ∞ − ∞⎜ ⎟⎝ ⎠−−

⎡ ⎤+= −⎢ ⎥− + − +⎣ ⎦

− −=− +

− −=

2x 2

x 2

x 2

x 2

4 1 4 1lim

x 2 0 0x 4

4 x 2lim

( x 2)( x 2) ( x 2)(x 2)

4 x 2lim

( x 2)( x 2)

( x 2)l im

−( x 2) →

−=

++

−= = −

+

x 2

1lim

x 2( x 2)

1 12 2 4

→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠−−2x 2

4 1lim

x 2x 4

∞∞

00

∞ − ∞

∞ − ∞[ ]→ ∞

−xl im f( x ) g( x )

∞ − ∞

32

x x

2

32

x

2

3

32

x x

2

3

22x 1 x. 8

x* lim f( x ) l im3 2

x. 4x x

1 2x 2 8

x xlim

3 2x 4

x x

2 0 8 0 2 22

24 0 0

1 2x 2 8

x x* lim f( x ) l im

3 2x. 4

x x

2 0 8 0 2 22

21 4 0 0

→ ∞ → ∞

→ ∞

→ −∞ → −∞

+ + −=

+ −

⎡ ⎤+ + −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦=+ −

+ + − += = =+ −

⎡ ⎤+ + −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦=− + −

+ + − += = = −−− + −

Ayrýca x iç in , x x

x iç in , x x dir.

→ ∞ =

→ −∞ = −


Uyarý :

Gerçekten,

Örnek 4

limiti kaçtýr?

Çözüm I. Yol:

II. Yol:

Örnek 5

limiti kaçtýr?

Çözüm

→ ∞

→ ∞ ∞ − ∞

⎛ ⎞+ − −⎝ ⎠2 2

x

x iç in belirs iz l i ði var dýr.

l im 2x x 2x 3

→∞⎛ ⎞+ − −⎝ ⎠

2 2

xl im 2x 2x 2x 3

→ ∞ → ∞

→ ∞ → ∞

⎡ ⎤⎛ ⎞− + = − +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦

−⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − − = − =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2

x x

x x

5l im x x 5x lim x 1 . x

2.1

5 5 5lim x x lim dir.

2 2 2

2 2

2x

2 2

x

x

x

x iç in belirs iz l i ði var dýr.

x x 5x x x 5xlim

x x 5x

x ( x 5x )l im

5x x 1

x

5x 5lim

1 15x 1 1

x

5 5lim dir.

1 1 2

→ ∞

→ ∞

→ ∞

→ ∞

→ ∞ ∞ − ∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ +

− +=

+ +

− −= =⎛ ⎞ +

+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

−= = −+

→∞− +2

xl im x x 5x

→ ∞ → ∞

→ ∞

→ ∞

= +

=

= +

2m m

m

m

nlim a m . lim 1

m

lim a m .1

blim a x d ýr.

2a

2 2

2 22

2 2

2 2

2

2 2

x m

2m

b cax bx c a x x

a a

b b b ca . x x

a a4a 4a

b 4ac ba . x

2a 4a

b 4ac bx m , n dersek,

2a 4a

lim ax bx c lim a m n

nlim a m . 1

m

→ ∞ → ∞

→ ∞

⎛ ⎞+ + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + − +

−⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

−+ = =

⎛ ⎞+ + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

x

x

xl im

1x 1 x

x

xlim

→∞

→∞

=+ +

=

x

x

11 1

x

1lim

11 1

x

1 1 11 1 21

1 1

→∞

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=+ +

= = =+

+ +∞

2 2

2x

2 2

x 2

x x x x x xlim

x x x

x x xlim

1x 1 x

x

→ ∞

→ ∞

⎛ ⎞⎛ ⎞+ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ +

+ −=⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

113

limitini kýsa yoldan bulma

2

x x

blim ax bx c lim a x d ýr.

2a→ ∞ → ∞

⎛ ⎞+ + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

→ ∞+ +2

xl im ax bx c


114

Örnek 6

limiti kaçtýr?

Çözüm

Örnek 7

limiti kaçtýr?

Çözüm


limitinde deðiþkeni fonksi-

yonda yerine yazdýðýmýzda þeklinde

bir belirsizlik oluþuyorsa, fonksiyonlardan

uygun olaný pay ve paydaya dahil edilerek

veya belirsizlik türünden birine dö-

nüþtürülürse bilinen yoldan limiti alýnýr.

Örnek 1

limitini bulunuz.

Çözüm

Örnek 2

limitini bulunuz.

Çözüm

Örnek 3

limiti kaçtýr?→ ∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠x

2l im x.sin

x

[ ]→ π

→ π

→ π

→ π

→ π → π

π − = ∞

⎡ ⎤= π −⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤π −= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤π −= ⎢ ⎥π −⎣ ⎦

π −=

−

= π = − = −

x

x

x

x

x x

l im ( x ) .cot an x 0.

cos xlim ( x ).

sin x

xlim .cos x

sin x

xlim .cos x

sin( x )

xl im . l im cos x

sin(n x )

1 . cos 1 . 1 1

[ ]→π

π −xl im ( x ).cot an x

2

2 2x x

2

2x

1 xl im x . l im

x 3x x 3x

xlim 1 1

x 3x

→ ∞ → ∞

→ ∞

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

= = =+

2x

1l im x .

x 3x→ ∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

∞∞

00

∞0.

[ ]→

−x al im f( x ) g( x )

∞0.

→

−= = =+ +x 0

sin x 0lim 0

cos x 1 1 1

x x 0

x 0

2

x 0

2

x 0

x iç in º eklinde bir belirsizl ik var.

cos x 1 cos x 1 0lim lim

sin x sin x sin x 0

belirsizl i ðine dönüþmüþ olur.

( cos x 1)(cos x 1)l im

sin x.(cos x 1)

cos x 1lim

sin x.(cos x 1)

sin xlim

sin x.(cos x 1)

→ ∞ →

→

→

→

→ ∞ ∞ − ∞

⎛ ⎞ −− = →⎜ ⎟⎝ ⎠

− +=

+

−=+

−=+

→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠x 0

1 1lim

tan x sin x

( )

2

x

x

x

x

l im x 4x 5 x 1

4lim 1 x x 1

2.1

lim ( x 2 x 1)

l im 1 1 bulunur.

→ −∞

→ −∞

→ −∞

→ −∞

⎛ ⎞+ + + + = ∞ − ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= − − + +

= − = −

→−∞⎛ ⎞+ + + +⎝ ⎠

2

xl im x 4x 5 x 1

→ ∞ → ∞

→ ∞

→ ∞

= + − −

⎡ ⎤= + − +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= + − =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2

x x

x

x

l im 2x 2x lim 2x 3

2 0lim 2 x 2 x

2.2 2.2

2 2lim 2 x 2 x bulunur.

2 2


Çözüm


Bu belirsizlik türü dizilerde limit konusundageniþ bir þekilde anlatýlmýþtýr.

Aþaðýdaki özelliklerden yararlanýlarak ör-nekler yapalým.

i)

ii)

iii)

Örnek 1

limiti kaçtýr?

Çözüm

Örnek 2

limitini bulunuz.

Çözüm

Örnek 3

limiti kaçtýr?

Çözüm

ifadesinde için belirsizliði var-dýr, yukarýdaki kural gereðince

Örnek 4

limiti kaçtýr?

Çözüm

için belirsizliði vardýr.

− −→ ∞

−⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟⎝ ⎠+

2.33x61

x

2lim 1 e e

x 2

∞1→ ∞x

→ ∞ → ∞

+ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ +

3x 3x

x x

x 2 2 2lim lim 1

x 2 x 2

→ ∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠+

3x

x

xlim

x 2

+

→ ∞

⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟⎝ ⎠+

4.22x 381

x

4lim 1 e e

x 3

∞1→ ∞x

+ +

→ ∞ → ∞

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ +

2x 3 2x 3

x x

x 3 4 4lim lim 1

x 3 x 3

+

→ ∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠+

2x 3

x

x 7lim

x 3

→ ∞

⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

5x3.5 15

x

3l im 1 e e

x

→ ∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

5x

x

3l im 1

x

→ ∞ → ∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟∞⎝ ⎠

x

x x

1 1lim 1 . l im 1

x x

1e . 1 e . 1 e

→ ∞

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

x

x

1 1lim 1 . 1

x x

+

→ ∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

x 1

x

1lim 1

x

+

→ ∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠+

a.ppx qb

x

alim 1 e

bx c

( )1x

x 0l im 1 x e→

+ =

→ ∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

x

x

1l im 1 e

x

∞1

→ ∞ →

=

⎛ ⎞⎜ ⎟

= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

x h 0

1h dönüº ümü yapal ým. Buna göre;

x

2sin sin 2hxlim lim 2

1 hx

x

x

2lim x.sin .0

x

2 2sin sin sin0 0xlim

1 1 0 0x

1O halde; x iç in 0 oldu ðundan

x

→ ∞

→ ∞

⎛ ⎞ = ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟ ∞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ∞⎝ ⎠

→ ∞ →

115


116

Örnek 5

limiti kaçtýr?

Çözüm

için belirsizliði vardýr.

Formül gereðince;

Karýþýk Örnekler

a) limiti kaçtýr?

Çözüm

b) limiti kaçtýr?

Çözüm

c) limiti kaçtýr?

Çözüm

d) limiti kaçtýr?

Çözüm

e) limiti kaçtýr?

Çözüm

1/ x 1/ 0 hh 0x 0

1/ 0h 0

2 2lim lim

3 5 3 5

2lim

3 5

2 2 21 13 5 3 3

5

2 23 0 3

−− →→

−→

−∞

∞

⎛ ⎞=⎜ ⎟

+ +⎝ ⎠

=+

= = =+ + +

∞

= =+

1/ xx 0

2lim

3 5−→

⎛ ⎞⎜ ⎟

+⎝ ⎠

1 1xx

x

0

l im 5 3 1 5 3 1

15 1

3

11 1

3

1 0 1 2

−∞−∞→ −∞

∞

∞

⎛ ⎞⎜ ⎟+ + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + +

= + +

= + + =

1xx

xl im 5 3 1→ −∞

⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1x 2 2 h 2

h 0x 2

1h

h 0

10

h 0

l im 7 lim 7

lim 7

lim 7 7

1 10

7

− − −− →→

−→

−∞−→

∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

= =

= = =∞

1x 2

x 2l im 7 −

−→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

23 x

h 0x 3

2h

h 0

2lim 2 lim

3 (3 h)

l im 2 2

1 10

2

−+ →→

−∞−→

∞

=− +

= =

= = =∞

23 x

x 3l im 2 −

+→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

11x 0x 0

x 0l im 5 5 5 5

11 5 1

5

11 1 0 1

−

−→

−∞∞

⎛ ⎞⎜ ⎟+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + = +

= + = + =∞

1x x

x 0l im 5 5

−→

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

= =4.1

22e e bulunur.

∞1→ ∞x

+ +

→ ∞ → ∞

+

→ ∞

+ − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠−

x 5 x 5

x x

x 5

x

2x 3 2x 1 4lim lim

2x 1 2x 1

4lim 1

2x 1

+

→ ∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠−

x 5

x

2x 3lim

2x 1

ALIÞTIRMALAR 4 Belirsizliklerin Giderilmesi

117

1. limiti kaçtýr?

Cevap: −2

2. limiti kaçtýr?

Cevap: –1

3. limiti kaçtýr?

Cevap: –1–a

4. limiti kaçtýr?

Cevap: –2

5. limiti kaçtýr?

Cevap: 2

6. limiti kaçtýr?

Cevap:

7. limiti kaçtýr?

Cevap:

8. limiti kaçtýr?

Cevap: –16

9. limiti kaçtýr?

Cevap:

10. limiti kaçtýr?

Cevap: 5

→ ∞

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

2

x

3x 4x 1lim

x 1

13

→ ∞

+− +

2

2x

x 3xlim

3x x 7

→

−− −

2

x 1

x 1lim

17 x 4

12

→

⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2

x 0

x x 1 1lim

x

32

−

→ −

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠+ −2x 2

x 2lim

x 5 3

→

⎛ ⎞−⎜ ⎟

+ −⎝ ⎠

3

2x 2

x 8lim

x 2x 8

2

→

⎛ ⎞−⎜ ⎟

−⎝ ⎠

2

x 2

x 2lim

2 x

→ −

⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟+⎝ ⎠

2

x a

x (a 1)x alim

x a

→

⎛ ⎞− +⎜ ⎟−⎝ ⎠

2

x 2

x 5x 6lim

x 2

→ −

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠

2

x 1

x 1lim

x 1

ALIÞTIRMALAR 4 Belirsizliklerin Giderilmesi

118


Cevap:


Cevap:


Cevap:


Cevap: −3

15.

olduðuna göre a nýn deðeri kaçtýr?

Cevap: 4


Cevap:


Cevap:


Cevap: 6


Cevap: e


Cevap: e4

+

→ ∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠−

x 1

x

x 2lim

x 2

→ ∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠+

x2

x

2l im 1

x 2

→ −∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2

x

2 3lim x . tan .sin

x x

32

( )→x 0

l im sin3x.cot an2x

113

→ −∞⎛ ⎞+ + + −⎝ ⎠

2

xl im 3x 4 9x 2x 1

→ ∞+ + − − + =2 2

xl im x mx 3 x 2x 5 3

→ ∞⎛ ⎞− + −⎝ ⎠

2

xl im x 6x 1 x

18

→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠− −2x 4

1 8lim

x 4 x 16

13

→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠− + −2x 1

1 3lim

x 1 x x 2

23

−

→ −∞

+ + −+

2

x

x x 1 xlim

3x 2

3-belirsizliklerin-giderilmesi

Documents