3 clase respuesta en frecuencia de los sistemas lineales e...

Análisis de Señales en Geofísica

3° Clase

Respuesta en Frecuencia

de los Sistemas Lineales e

Invariantes

Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas,

Universidad Nacional de La Plata, Argentina

Respuesta en

Frecuencia de los SLI

2

Funciones y Valores Propios

Definición:

Diremos que una función es una función propia de un sistema lineal e invariante

si cuando excitamos el sistema con esta función nos responde entregándonos la misma

función pero escala

n

n

x

x

da con un factor , este factor de escala es llamado valor

propio del sistema:

Ejemplo:

n n n n

t

x S y S x x

de

dt

t tde e

dt

Respuesta en


3

Respuesta en Frecuencia

Excitemos un SLI de respuesta impulsiva , con una función exponencial

compleja:

*

Llamaremos respuesta en frecuencia ( ) de los SLI a:

n

i n ki n i n i n i k

n n n n k k

k k

h

x e h y h e h e e h e

H

( )

( )

Es decir que la función exponencial compleja es una función propia de los SLI

y su valor propio as

i k

k

k

i n i n

n

H h e

e h H e

ociado es la respuesta en frecuencia ( ).H

Respuesta en


4

Propiedades de H(ω)

Es una función continua de la frecuencia angular digital .

Es una función periódica de la frecuencia de período 2 .

Está completamente determinada por la respuesta impulsiva del

sistema lineal

e invariante.

La respuesta impulsiva del sistema puede ser invertida a partir de

ella, es decir que define perfectamente al sistema.

Por lo general tomará valores complejos, es decir que introd

ucirá

cambios de escala y corrimientos de fase.

Respuesta en


5

Relación con la Transformada Z

La transformada Z de la respuesta impulsiva está dada por:

( )

Si evaluamos ( ) sobre el círculo unidad , obtenemos:

n

k

k

k

i

h

H z h z

H z z e

( ) ( )

Es decir que la respuesta en frecuencia ( ) de un SLI es la transformada Z

de su respuesta impulsiva evaluada sobre el círculo unidad. Esto significa que

la respuesta en

i i k

k

k

H e h e H

H

frecuencia ( ), es también una transformada que va del

dominio discreto del tiempo al dominio continuo de las frecuencias, y como

veremos más adelante, es una de las cuatro formas de la transformada

H

de Fourier.

Respuesta en


6

Ejemplo 1:

11 13

1 11 13 3

Suavicemos una señal aplicándole un filtro de 3 puntos:

Tomemos transformada Z:

( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )

Evaluemos

n

n n n n

x

y x x x

Y z zX z X z z X z z z X z

1 13 3

está expresión sobre el círculo unidad:

( ) 1 ( ) 1 2cos( ) ( )

La respuesta en frecuencia del sistema, también llamada función de transferencia,

está dada por:

i iY e e X X

1 23 3

( ) ( ) + cos

( )

YH

X

Respuesta en


7

Ejemplo 1:

1 23 3

( ) cosH

23 ω

H(ω)

Respuesta en


8

Ejemplo 2:

11 14

1 11 14 4

Suavicemos la señal con un filtro de 3 puntos diferente:

2

Tomemos transformada Z:

( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )

Evalue

n

n n n n

x

y x x x

Y z zX z X z z X z z z X z

1 13 4

mos está expresión sobre el círculo unidad:

( ) 2 ( ) 2 2cos( ) ( )

La función de transferencia de este nuevo filtro está dada por:

( ) ( )

( )

i iY e e X X

YH

X

1 12 2

+ cos

Respuesta en


9

Ejemplo 2:

1 12 2

( ) cosH

( )H

Respuesta en


10

Respuesta en frecuencia del operador

integración:

( ) ( ) ( )

1

1 ( )

Es decir que la respuesta en frecuencia del operador exacto de integración

introdu

i ti t i t

t t t

exacto

ex e dt y e dt x

i i

Hi

ce un factor de escala inversamente proporcional a la frecuencia y un

atraso de la fase de 90°.

Respuesta en


11

Transformada Z de la regla del

trapezoide:

11 12

12

La regla del trapezoide se define del siguiente modo:

Tomamos transformada Z:

( ) ( ) ( ) ( )

La función de transferencia es:

n n n ny y x x

Y z zY z X z zX z

( ) 1 1 ( )

( ) 2 1

Está es la transformada Z del operador de la regla del trapezoide,

y como veremos está estrechamente relacionada a lo que se denomina

op

trapezoide

Y z zH z

X z z

erador bilineal.

Respuesta en


12

Respuesta en frecuencia de la regla

del trapezoide:

2 2

2 2

( ) 1 1 ( )

( ) 2 1

Evaluamos la transformada Z sobre el círculo unidad :

1 1 1 1 ( )

2 1 2

trapezoide

i

i ii

trapezoide i i i

Y z zH z

X z z

z e

e e eH

e e e

2

2

cos 1cotg

2 sin 2 2

1En las bajas frecuencias, cuando 0, ( ) , es decir que la regla

del trapezoide es una buena aproximación de baja frecuencia.

Calculemos el cociente entre la respuesta

i i

Hi

en frecuencia del trapezoide y la

respuesta en frecuencia del operador exacto:

1cotg

( ) 2 2 cotg

1( ) 2 2

trapezoide

exacto

H i

H

i

Respuesta en


13

Cocientes de las respuestas en frecuencia de

trapecio, Simpson y Tick, con la respuesta exacta:

11 12

12 1 23

2 1 2

Trapecio:

( )

Simpson:

( 4 )

Tick:

0.3584 1.2832 0.3584

n n n n

n n n n n

n n n n n

y y x x

y y x x x

y y x x x

Respuesta en


14

Respuesta en frecuencia del operador

derivación:

( ) ( ) ( )

( )

Es decir que la respuesta en frecuencia del operador exacto de derivación

introduce u

i t i t i t

t t t

exacto

d dx e y e i e i x

dt dt

H i

n factor de escala directamente proporcional a la frecuencia y un

adelanto de la fase de 90°.

La respuesta en frecuencia del operador exacto de derivación es la inversa de

la respuesta en frecuencia del operador exacto de integración.

Respuesta en


15

Diferencias de Primer Orden

11 12

Es posible aproximar una derivada en forma discreta utilizando la diferencia

central de primer orden:

( ) diferencia central de primer orden

Este operador u

n n ny x x

tiliza dos muestras no consecutivas para aproximar la derivada.

Es claro que si utilizamos dos muestras consecutivas, podríamos obtener una

mejor aproximación de la derivada. Existen dos posiblidades:

f

1

b

1

diferencia de primer orden hacia adelante

diferencia de primer orden hacia atrás

El problema es que ambas a

n n n n

n n n n

y x x x

y x x x

1 12 2

proximaciones introducen un corrimiento en tiempo de

media muestra respecto de la posición correcta de la salida e , este

corrimiento en tiempo corresponde a un corrimiento lineal de la f

n ny y

ase que alcanza los

90° cuando .

Respuesta en


16

Diferencias de Orden Superior

Repetidas aplicaciones de las diferencias de primer orden pueden utilizarse para obtener

diferencias de orden superior y aproximar de manera discreta derivadas de orden superior.

Por ejemplo:

12

12

12

f

1

b

1

2 f b

1 1 1 1

f 3 3 2 2

1 2 1

( ) 2

2

n n nn

n n nn

n n n n n n n n n n

n n n n nn

x x x x

x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x

12

1 1

2 1 1

b 3 3 2 2

1 1 1 1 2

1 1 2

2

3 3

2 2

3 3

n n n n

n n n n

n n n n n n n n nn

n n n n

x x x x

x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x

3 f 3 b 31 12 1 1 22 2

4 f 3 b 3

2 1 1 1 1 2

2 1 1

2 2 2

3 3 3 3

4 6 4

n n n n n n n n

n n n n n n n n n n n

n n n n

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

x x x x

2nx

Respuesta en


17

Respuesta en frecuencia de la diferencia

de primer orden hacia adelante:

f

1

1

Tomamos transformada Z:

( ) 1 ( )

La función de transferencia está dada por:

n n n ny x x x

Y z z X z

1

2 31 12 6

( ) ( ) 1

( )

Evaluando sobre el círculo unidad , obtenemos:

( ) 1

diferencia

i

i

diferencia

Y zH z z

X z

z e

H e i i

El cociente entre la respuesta en frecuencia de la diferencia de primer orden hacia adelante

y la respuesta en frecuencia del operador exacto es:

diferenciaH 2( ) 1

1( ) 2 6

i

exacta

ei

H i

Respuesta en


18

Cociente de la respuesta en frecuencia de la diferencia de

primer orden hacia adelante con la respuesta exacta:

10

( )20 log

( )

diferencia

exacta

HdB

H

Respuesta en


19

Desarrollo en Serie del Logaritmo

2 3 4

0

Hagamos uso de la conocida serie geométrica:

1 1 , 1

1

Integramos ambos miembros:

n

n

z z z z z zz

0

1

0 1

1

1

1

ln(1 )1

ln(1 )

ln

n

n

n n

n n

n

n

dz z dzz

z zz

n n

zz

n

1

1

1

1

( 1)(1 )

( 1) ( 1) ln( )

n n

n

n n

n

zz

n

zz

n

Respuesta en


20

Desarrollo en Serie del Logaritmo

Para obtener una convergencia más rápida del desarrollo en serie del logaritmo

hacemos el siguiente cambio de variables:

1 1 ,

1 1

w zz w

w z

2 4 6 8

3 5 7

1 1 1 1 1 ln( ) ln 2 1

1 3 5 7 9

1 2 1 2 1 2 1 ln( ) 2

1 3 1 5 1 7 1

wz w w w w w

w

z z z zz

z z z z

Respuesta en


21

Desarrollo en Serie de la exponencial

2 3 4

2 3 4

2 3 4

2

2

1 1 1 1

2! 3! 4!

1 1 1

2! 3! 4!

1 1 1

2! 3! 4!

11

2 2! 2

i

i

i

i

i

e

ie i

ie i

ie

e

e

2 3 4

2 3 4

1

3! 2 4! 2

1 11

2 2! 2 3! 2 4! 2

i

ii

Respuesta en


22

La Transformación Bilineal

Las operaciones de derivacion e integración están definidas en un dominio continuo.

Queremos encontrar un operador que aplicado en el dominio de los tiempos discretos

sea equivalente a multiplicar o dividir por en el dominio de las frecuencias.

La dificultad del problema radica esencialmente en la no simplicidad de la relación

que vincula a las variables y , esta relación está definida por:

i

z

ln( )

Ir desde el dominio de los tiempos discretos al dominio de la transforma

iz e

i z

da Z es simple

e inmediato. Pero ir desde el dominio de la respuesta en frecuencia al dominio de los

tiempos discretos, pasando por el dominio de la transformada Z, es una tarea compleja

que requerirá de algún tipo de aproximación.

Respuesta en


23


2

2

2

Para encontrar las aproximaciones buscadas, hacemos un desarrollo en serie de la

exponencial compleja y truncamos en el segundo término:

11

2 2! 2

1

i

i

i

i ie

z ee

i

2

3

12

1 122 2! 2

Análogamente, hacemos un desarrollo en serie del logaritmo natural y truncamos

también en el segundo término:

1 2 1 ln ln( ) 2 2

1 3 1

i

i

ii

z z zi e z

z z

1

1z

Respuesta en


24


Estas expresiones aproximadas que vinculan la variable y la variable son conocidas

como Transformación Bilineal:

112 2 1

12

E

z

iz

z iz

i

sta transformación se utiliza para aproximar derivadas e integrales por medio de un

desarrollo en serie truncado de las relaciones entre y .z

Respuesta en


25


Veamos como podemos interpretar la utilización de la Transformación Bilineal para aproximar la

derivada:

∆𝑏 𝑥𝑛 = 𝑦𝑛−

12= 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1

𝑦𝑛−

12=1

2𝑦𝑛 + 𝑦𝑛−1

1

2𝑦𝑛 + 𝑦𝑛−1 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1

1

2𝑌 𝑧 + 𝑧𝑌 𝑧 = 𝑋 𝑧 − 𝑧𝑋 𝑧

1

2𝑌 𝑧 1 + 𝑧 = 𝑋 𝑧 1 − 𝑧

𝐻 𝑧 =𝑌 𝑧

𝑋 𝑧= 2

1 − 𝑧

1 + 𝑧

La Transformación Bilineal tiene una respuesta en amplitud muy superior a la de las diferencias

de primer orden para frecuencias extremadamente bajas y tiene una respuesta en fase exacta para

todas las frecuencias a expensas de una paupérrima respuesta en amplitud para las frecuencias

más altas.

Respuesta en


26

La TB preserva las propiedades de

causalidad, estabilidad y fase mínima

Se puede demostrar que si un sistema analógico es causal y estable, el

sistema discreto que se obtiene aplicando la Transformación Bilineal

también será causal y estable.

Asimismo, si el sistema analógico original es de fase mínima, la

Transformación Bilineal preservará dicha propiedad, de tal forma

que el sistema discreto obtenido también será de fase mínima.

Una ecuación diferencial estable, convertida en una ecuación de

diferencias utilizando la Transformación Bilineal, también tendrá una

solución discreta estable. Esto no siempre es así cuando la ecuación se

discretiza utilizando diferencias hacia adelante o hacia atrás.

Respuesta en Frecuencia de los SLI 27

La TB preserva las propiedades de

causalidad, estabilidad y fase mínima Si suponemos que la frecuencia puede tomar valores complejos,

estaríamos evaluando la transformada Z no solamente sobre el círculo

unidad sino sobre cualquier punto del plano complejo:

𝑧 = 𝑒−𝑖𝜔 = 𝑒−𝑖 𝑅𝑒 𝜔 +𝑖𝐼𝑚 𝜔 = 𝑒𝐼𝑚 𝜔 𝑒−𝑖𝑅𝑒 𝜔

Esta relación mapea el exterior del círculo unidad del plano Z en la mitad superior del plano w . Mientras que el interior del círculo unidad del plano

Z es mapeado en la mitad inferior del plano w. Observando la definición

de la transformación bilineal, puede verse que el mapeo que efectúa entre los planos Z y w, tiene las mismas características. Este hecho

extremadamente fortuito tiene como implicancia que la condición de fase

mínima es preservada por la transformación bilineal. Por ejemplo, que una

ecuación diferencial estable, convertida en una ecuación de diferencias

utilizando la transformación bilineal, también tendrá una solución digital

estable. Esto no siempre es así cuando se utilizan diferencias hacia adelante

o hacia atrás.

Respuesta en


28

Bibliografía:

Karl, John H. (1989), An introduction to Digital Signal

Processing, Academic Press, Chapter Three.

3 clase respuesta en frecuencia de los sistemas lineales e...

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