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3. DER NATURLICHE LOGARITHMUS
ln
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Der naturliche Logarithmus
ln(x)
betrachtet als Funktion in x, ist die
Umkehrfunktion
der Exponentialfunktion exp(x). Das bedeutet, fur reelle Zahlena und b gilt
b = ln(a) ⇔ a = exp(b)
Dazu muss a > 0 sein (weil die Exponentialfunktion nur positiveWerte annimmt).
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Graphische Darstellung von exp(x):
1
1b
e
a
exp(0) = 1
exp(1) = e
exp(b) = a
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Ubergang zur Umkehrfunktion: Vertauschen von a und b:
b a
a
b
Spiegeln an der Geraden y = x,
der Winkelhalbierenden
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Graphische Darstellung von ln(x):
1
1 ea
b
exp(0) = 1
exp(1) = e
ln(1) = 0
ln(e) = 1
ln(a) = b
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Einsetzen der beiden Gleichungen
b = ln(a) und a = exp(b)
ergibt
a = exp(ln(a))
und umgekehrt b = ln(exp(b)).
Es ist also ln(a) fur a > 0 genau die Zahl, die die Gleichung
a = exp(x)
auflost.
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Auflosung der Gleichung exp(x) = a mit Losung ln(a):
ln(a)
a
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Was ergibt die Multiplikativitat der Exponentialfunktion fur den
Logarithmus?
Wir erinnern uns an diese Eigenschaft:
a1 = exp(b1) , a2 = exp(b2) , a = exp(b1 + b2) ⇒ a = a1a2
Oder mittels Umkehrfunktion
ln(a) = b1 + b2 = ln(a1) + ln(a2)
und Multiplikativitat
∣∣∣∣ln(a1a2) = ln(a1) + ln(a2)
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Genau fur diese Gleichung ln a1a2 = ln a1 + ln a2 hat 1614 der
Schotte John Napier und etwas spater der Schweizer Jost Burgi
die Logarithmen erfunden. Sie ist die Grundlage des Rechen-
schiebers (das Lineal des Ingenieurs):
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Logarithmische Skalen:
Exponentielles Wachstum y = ceax ist graphisch kaum erfassen,
wenn x uber einen weiten Bereich variiert. Viel besser tragt man
dann ln y gegen x ab, weil eine Geradengleichung entsteht:
ln y = ax + b , mit b = ln c
Beispiel: Moore’sches”
Gesetz“:
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Moore’s Law:
”Ca. alle 2 Jahre verdoppelt sich die Anzahl von Transistoren pro
Computerchip.“
Transistoren pro Computerchip auf normaler Skala:
1970 2006
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und mit logarithmischer Skala:
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Die Silouette des Eiffelturms:
0 50 100 150 200 250 300
5
10
20
304050
Hohe von der Spitze gemessen.
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Auswertung der Gleichung ln a1a2 = ln a1 + ln a2.
Fur b > 0 und naturliche Zahlen m, n gilt
ln 1 = 0 , also ln a0 = 0 ln a
ln am = ln(a · · · a) = ln a + · · ·+ ln a , also ln am = m ln a
ln a = ln(
n√
a)n
= n ln a1/n , also ln a1/n = 1n ln a
0 = ln 1 = ln(a · a−1) = ln a + ln a−1 , also ln a−1 = − ln a
Insgesamt fur rationale Zahlen r = ±mn
ln ar = r ln a
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Die Gleichung
∣∣∣∣ln ab = b ln a
macht also Sinn fur alle reellen Zahlen b. In der Mathematik
wird sie deswegen, aufgelost nach ab, als Definitionsgleichung
der Potenz benutzt (denn ab ist fur beliebiges b ja noch gar nicht
definiert!):
ab := exp(b ln a)
fur reelle Zahlen a > 0 und b. Die Schreibweise := weist darauf
hin, dass es sich um eine Definitionsgleichung handelt: Die rechte
Seite definiert die linke.
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Doppelt-logarithmische Skalen
Graphische Darstellung von Potenzgesetzen:
Folgen Daten einer Gleichung y = cxa, so ist es oft gunstig, ln y
gegen ln x aufzutragen, denn dann entsteht die Geradengleichung
ln y = a ln x + b , mit b = ln c
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Beispiel: Die Stoffwechselrate bei Tieren,”
Kleibers Gesetz“
Steigung a = 3/4.
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Die Ableitung des Logarithmus:
y = ln(x)
x
y
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Die Ableitung des Logarithmus:
y = ln(x)
x
y?
?
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Die Ableitung des Logarithmus:
y = ln(x)
x = exp(y)x
y
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Die Ableitung des Logarithmus:
y = ln(x)
x = exp(y)
exp′(y) = exp(y) = x = x/1
x
y
1
x
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Die Ableitung des Logarithmus:
y = ln(x)
x = exp(y)
exp′(y) = exp(y) = x
1
x
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Die Ableitung des Logarithmus:
y = ln(x)
x = exp(y)
exp′(y) = exp(y) = x
ln′(x) = 1/x
1
x
1
x
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∣∣∣∣∣∣∣ln′(x) =1
x
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Logarithmen zur Basis 2
Wir erinnern uns: Der naturliche Logarithmus ln x ist die Um-
kehrfunktion der e-Funktion ex.
Die Funktion log2 x, der Logarithmus zur Basis 2, ist analog
definiert als die Umkehrfunktion von 2x. Also
b = log2 a ⇔ a = 2b
oder auch
a = 2log2 a
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Aus a = 2log2 a folgt durch Logarithmieren ln a = log2 a ln 2, also
log2 a =ln a
ln 2
Der Logarithmus zur Basis 2 unterscheidet sich also nur um
den Faktor 1/ ln 2 ≈ 1, 443 vom naturlichen Logarithmus. Da-
her ubertragen sich Rechenregeln ohne weiteres vom einen zum
anderen Logarithmus:
log2 1 = 0 , log2 ab = log2 a + log2 b , log2 ab = b log2 a
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Prinzipiell macht es also keinen wesentlichen Unterschied, mit
welchem Logarithmus man rechnet. Hat man es mit 2er-Potenzen
zu tun, so ist der Zweierlogarithmus angenehmer:
log2 1 = 0 , log2 2 = 1 , log2 4 = 2 , log2 8 = 3 , · · ·
Der naturliche Logarithmus hat die einfachere Ableitung 1/x.
Bemerkung: Entsprechend verhalt es sich mit log10 x, dem Loga-
rithmus zur Basis 10, der Umkehrfunktion von 10x, und allgemein
mit logb x, dem Logarithmus zur Basis b > 0, der Umkehrfunktion
von bx.
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Logarithmus zur Basis 2 im Vergleich zum naturlichen Logarith-
mus:
2
1
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Zum Merken:
Der naturliche Logarithmus ln x und der Zweierlogarithmus log2 x
sind fur positive Zahlen definiert, sie sind die Umkehrfunktionen
von exp(x) und 2x:
exp(ln x) = eln x = x , 2log2 x = x
Die Rechenregeln sind (fur beliebige Basen)
log 1 = 0 , log ab = log a + log b , log ab = b log a
Die Logarithmen zu zwei verschiedenen Basen unterscheiden sich
nur durch einen Faktor, also nicht wesentlich voneinander. Der
naturliche Logarithmus ist durch die einfache Form seiner Ablei-
tung ausgezeichnet:
ln′(x) =1
x