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9.- DINMICA DE LA PARTCULA 9.1.- Introduccin: La partcula, o punto material, es la idealizacin ms simple de la mecnica, definindose como un punto dotado de masa. Por lo general se puede emplear este modelo cuando las dimensiones de un cuerpo sean lo suficientemente pequeas como para suponer toda su masa concentrada en un punto. Sin embargo, el criterio del tamao pequeo no es siempre suficiente para establecer la validez de esta idealizacin. El modelo del punto material puede ser inadecuado en algunas situaciones, aunque las dimensiones del cuerpo sean pequeas. Para ilustrar esta afirmacin, supongamos como ejemplo la cada de una bolita pequea por un plano inclinado bajo dos hiptesis distintas:

En la figura, una bolita cayendo por un plano inclinado, en las hiptesis de rodadura perfecta o deslizamiento sin rodadura 1) Rodando sin deslizar. Planteamos la conservacin de la energa al bajar una altura h. Para ello se tiene en cuenta la energa cintica correspondiente a una esfera rodando, sumando el trmino correspondiente a la traslacin del centro de masa, y el de rotacin como slido rgido:

ghghv

R

vmRmvmgh

195,17

10

2

22

5

1

2

1

2

1

2) Deslizando sin rodar. En esta hiptesis slo hay energa cintica de traslacin:

2

2

1mvmgh

ghghv 414,12

2

En este segundo caso, que sera el correspondiente a la idealizacin como partcula, la velocidad de cada resulta ser un 18,32% mayor. Esta diferencia se manifiesta independientemente del tamao de la bolita, por pequea que sta sea. Baste este ejemplo para hacer notar que el concepto de partcula es una idealizacin, no necesariamente vlida en todos los casos aunque el cuerpo sea pequeo. Sin embargo, el modelo del punto material es una idealizacin sumamente til, ya que en muchos casos se pueden estudiar independientemente el movimiento de traslacin de un cuerpo (traslacin del centro de masas), y el movimiento de rotacin del mismo (alrededor del centro de masas). Tambin es til para aplicar los mtodos de la mecnica a partes elementales de sistemas mayores (partculas de un sistema, elementos diferenciales de volumen en un medio continuo, etc.). As, en este captulo se exponen los teoremas generales y se desarrollan los mtodos de clculo que ms tarde se generalizarn a sistemas de varias partculas. 9.2. Principios y teoremas generales 9.2.1. Cantidad de movimiento Se llama cantidad de movimiento1 (p) de una partcula a

p = m v

El principio de la cantidad de movimiento se deduce como consecuencia directa de la segunda ley de Newton (apto 1.4):

pmvdt

dF

En el caso usual de que la masa de la partcula no vare2, se obtiene la expresin

clsica de la ley fundamental de la dinmica (1.2), Fuerza = masa aceleracin:

2

2..

dr

rdmrmmaF

Conviene recordar que, en esta expresin, F representa la resultante de todas las fuerzas aplicadas sobre la partcula. Se deben incluir, mediante suma vectorial, tanto las fuerzas activas como las reacciones de apoyo o reacciones del medio. Cuando la fuerza total se anula, se obtiene el correspondiente teorema de conservacin:

si F = 0; p = cte

Por lo tanto, el movimiento de una partcula aislada es tal que se conserva su cantidad de movimiento; es decir, su velocidad se mantiene constante, describiendo un movimiento rectilneo uniforme.

1En Ingls se emplea el trmino linear momentum o simplemente momentum, por lo que algunos autores emplean el

trmino momento lineal (traduccin literal del ingls) en lugar de cantidad de movimiento.

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9.3.- Ecuaciones escalares bsicas del movimiento: 9.3.1- Ecuacin de posicin: Recordemos adems que la ecuacin de posicin est dada por la siguiente expresin cuadrtica

221 attvxx

oo

Donde x: es la posicin como funcin del tiempo (t) x0: es la posicin inicial del mvil en t=0 v0: es la velocidad inicial del mvil en t=0 a: es la aceleracin del mvil y no depende del tiempo, por lo tanto, se le considera constante. t: intervalo de tiempo durante el cual un mvil es observado en su comportamiento 9.3.2.- Ecuacin de velocidad Si derivamos la posicin respecto de la variable independiente (t) obtenemos la ecuacin de velocidad

atov

atdt

dtov

dt

d

ox

dt

d

attov

ox

dt

dx

dt

d

0

221

221)(

Si observamos la expresin obtenida nos resulta que es la velocidad instantnea, o tambin llamada, la velocidad como funcin del tiempo, por lo tanto

atvv

atvxdt

d

o

o

)(

9.3.3.- La aceleracin Si derivamos la velocidad respecto de la variable independiente (t) obtenemos la aceleracin

a

a

atdt

d

ov

dt

d

atov

dt

dv

dt

d

0

)(

Por lo tanto, la aceleracin es:

xdt

dv

dt

da

2

2

4

9.4.- La Friccin dinmica O friccin en movimiento, fue abordada en el captulo 7 9.5.- Trabajo y Energa Trabajo mecnico y energa El concepto de trabajo mecnico en la vida diaria es muy intuitivo. Cuando una persona sube un objeto pesado desde la calle hasta un edificio, efecta un trabajo. En el lenguaje corriente, la realizacin de un trabajo se relaciona con el consumo de energa. As, los conceptos de trabajo y energa aparecen identificados no slo en las teoras fsicas, sino tambin en el lenguaje coloquial. Fuerza y trabajo mecnico El concepto de trabajo mecnico aparece estrechamente vinculado al de fuerza. De este modo, para que exista trabajo debe aplicarse una fuerza mecnica a lo largo de una cierta trayectoria. En trminos fsicos, el trabajo W se define como el producto escalar de la fuerza aplicada por la distancia recorrida. En trminos fsicos, el trabajo W se define como el producto escalar de la fuerza aplicada por la distancia recorrida.

cos dFdFW

donde es el ngulo que forman la direccin de la fuerza y el desplazamiento. As pues, el trabajo es una magnitud escalar, que alcanza su valor mximo cuando la fuerza se aplica en la direccin y el sentido del movimiento. De la definicin anterior se deduce que las fuerzas aplicadas perpendicularmente a la direccin del movimiento producen un trabajo nulo.

El trabajo para mover un cuerpo depende de la fuerza aplicada sobre el objeto y de la distancia recorrida. En la figura, se obtiene el mismo trabajo empujando el cuerpo oblicuamente por la plataforma que con ayuda de una polea. Trabajo de una fuerza variable Con frecuencia, la fuerza que produce un trabajo es variable durante el tiempo de aplicacin, ya sea porque se alteran su mdulo, su direccin o su sentido. Para calcular el valor de este trabajo se utiliza una integral extendida a todo el recorrido.

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dttFW )( El valor del trabajo puede obtenerse tambin mediante una representacin grfica con el valor de la fuerza en el eje de ordenadas y la distancia en el eje de abscisas.

(a) Trabajo de una fuerza variable, determinado como el rea comprendida entre la curva y el eje de abscisas. (b) Trabajo de una fuerza constante para todo el recorrido. Concepto de energa La realizacin de trabajo puede verse tambin como un consumo de energa. No obstante, la nocin de energa es ms amplia que la de trabajo. Aunque, genricamente, se define energa como la capacidad de un cuerpo para realizar trabajo, tambin comprende el calor, o transferencia de energa de un sistema material a otro, como una de sus manifestaciones ms comunes. Por tanto, el trabajo y el calor son dos manifestaciones posibles de la energa.

Un muelle estirado y un cuerpo sostenido sobre una superficie pueden realizar trabajo, al comprimirse o caer al suelo. Ambos son ejemplos de sistemas provistos de energa susceptible de convertirse en trabajo. Relacin entre energa y trabajo El trabajo es una manifestacin de la energa. Ahora bien, por su definicin, el trabajo es una magnitud escalar que atendiendo a la disposicin de la fuerza y el desplazamiento puede ser positiva, negativa o nula:

Cuando el trabajo es positivo, se dice que la fuerza inductora ha aportado energa. As sucede cuando se comprime un muelle o se levanta un peso.

Si el trabajo es negativo, la fuerza ha absorbido energa (por ejemplo, al soltar un muelle o dejar caer un objeto).

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Si el trabajo es nulo, no existen variaciones en el balance energtico del sistema.

Ejemplo de trabajo nulo, donde el cuerpo se desliza por una superficie horizontal que es perpendicular al peso (en el ejemplo, esta fuerza ni absorbe ni aporta energa).

Energa Mecnica (Em) Energa Mecnica (Em) = Trabajo (W) + Energa Cintica (Ec) + Energa Potencial (Ep)

Resumiendo: Em = W + Ec + Ep

Por extensin

mghmvFdEM

221

Ley de Conservacin de la Energa Mecnica Algunos alcances previos

1) Entendido que el Trabajo es una forma de Energa, esta es una concepcin posterior al ttulo de esta ley de la fsica.

2) La ley de conservacin de la energa corresponde con el mismo enunciado a la 1 Ley de la Termodinmica.

3) El trabajo es una forma de la energa mecnica Enunciado: La energa mecnica no se crea ni se destruye, solo se transforma. En un sistema de fuerzas conservativas (sin roce por ejemplo) la energa mecnica se conserva, es decir, en dos puntos cualquiera llamados arbitrariamente 1 y 2, se cumple que Em1 = Em2 El hecho que se conserve la energa mecnica, significa que los distintos trminos que integran la ecuacin varan; cada una de las tres formas de energa lo hace por separado, sin embargo, a suma permanece constante.

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21 MMEE

22

221

2212

121

11mghmvdFmghmvdF

Esta formulacin es apta para distribuciones discretas y continuas de masas Los siguientes vnculos muestra una animacin sobre el tema http://phet.colorado.edu/es/simulation/energy-skate-park http://phet.colorado.edu/es/simulation/the-ramp 9.6.- Pndulo simple PNDULO: Llamamos pndulo a todo cuerpo que puede oscilar con respecto de un eje fijo.

Pndulo simple, matemtico o ideal: Se denomina as a todo cuerpo de masa m (de pequeas dimensiones) suspendido por medio de un hilo inextensible y sin peso. Estas dos ltimas condiciones no son reales sino ideales; pero todo el estudio que realizaremos referente al pndulo, se facilita admitiendo ese supuesto. Pndulo fsico: Si en el extremo de un hilo suspendido sujetamos un cuerpo cualquiera, habremos construido un pndulo fsico. Por esto, todos los pndulos que se nos presentan (columpios, pndulo de reloj, una lmpara

suspendida, la plomada) son pndulos fsicos. Oscilacin - Amplitud - Perodo y Frecuencia: A continuacin estudiaremos una serie de procesos que ocurren durante la oscilacin de los pndulos y que permiten enunciar las leyes del pndulo. Daremos previamente los siguientes conceptos: Longitud del pndulo (l) es la distancia entre el punto de suspensin y el centro de gravedad del pndulo. Oscilacin simple es la trayectoria descrita entre dos posiciones extremas (arco AB). Oscilacin completa o doble oscilacin es la trayectoria realizada desde una posicin extrema hasta volver a ella, pasando por la otra extrema (arco ABA). Angulo de amplitud o amplitud (alfa) es el ngulo formado por la posicin de reposo (equilibrio) y una de las posiciones extremas.

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Perodo o tiempo de oscilacin doble (T) es el tiempo que emplea el pndulo en efectuar una oscilacin doble. Tiempo de oscilacin simple (t) es el tiempo que emplea el pndulo en efectuar una oscilacin simple. Elongacin (e). Distancia entre la posicin de reposo OR y cualquier otra posicin. Mxima elongacin: distancia entre la posicin de reposo y la posicin extrema o de mxima amplitud. Frecuencia (f). Es el nmero de oscilaciones en cada unidad de tiempo.

f=nmero de oscilaciones/tiempo Relacin entre frecuencia y periodo T = perodo; f = frecuencia Supongamos un pndulo que en 1 s cumple 40 oscilaciones. En consecuencia: 40 oscilaciones se cumplen en 1s, por lo que 1 osc. se cumple en T=1/40 s (periodo) . Obsrvese que: el perodo es la inversa de la frecuencia. En smbolos:

T=1/f y f=1/T

Dinmica de un sistema de partculas Momento lineal e impulso El momento lineal de una partcula de masa m que se mueve con una velocidad v se define como el producto de la masa por la velocidad p=mv Se define el vector fuerza, como la derivada del momento lineal respecto del tiempo

La segunda ley de Newton es un caso particular de la definicin de fuerza, cuando la masa de la partcula es constante.

Despejando dp en la definicin de fuerza e integrando

A la izquierda, tenemos la variacin de momento lineal y a la derecha, la integral que se denomina impulso de la fuerza F en el intervalo que va de ti a tf.

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Para el movimiento en una dimensin, cuando una partcula se mueve bajo la accin de una fuerza F, la integral es el rea sombreada bajo la curva fuerza-tiempo.

En muchas situaciones fsicas se emplea la aproximacin del impulso. En esta aproximacin, se supone que una de las fuerzas que actan sobre la partcula es muy grande pero de muy corta duracin. Esta aproximacin es de gran utilidad cuando se estudian los choques, por ejemplo, de una pelota con una raqueta o una pala. El tiempo de colisin es muy pequeo, del orden de centsimas o milsimas de segundo, y la fuerza promedio que ejerce la pala o la raqueta es de varios cientos o miles de Newton. Esta fuerza es mucho mayor que la gravedad, por lo que se puede utilizar la aproximacin del impulso. Cuando se utiliza esta aproximacin es importante recordar que los momentos lineales inicial y final se refieren al instante antes y despus de la colisin, respectivamente. Conservacin del momento lineal de un sistema de partculas Considrese dos partculas que pueden interactuar entre s pero que estn aisladas de los alrededores. Las partculas se mueven bajo su interaccin mutua pero no hay fuerzas exteriores al sistema.

La partcula 1 se mueve bajo la accin de la fuerza F12 que ejerce la partcula 2. La partcula 2 se mueve bajo la accin de la fuerza F21 que ejerce la partcula 1. La tercera ley de Newton o Principio de Accin y Reaccin establece que ambas fuerzas tendrn que ser iguales y de signo contrario. F12 +F21 =0

Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las partculas

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El principio de conservacin del momento lineal afirma que el momento lineal total del sistema de partculas permanece constante, si el sistema es aislado, es decir, si no actan fuerzas exteriores sobre las partculas del sistema. El principio de conservacin del momento lineal es independiente de la naturaleza de las fuerzas de interaccin entre las partculas del sistema aislado

m1u1+m2u2=m1v1+m2v2 Donde u1 y u2 son las velocidades iniciales de las partculas 1 y 2 y v1 y v2 las velocidades finales de dichas partculas. Colisiones Se emplea el trmino de colisin para representar la situacin en la que dos o ms partculas interaccionan durante un tiempo muy corto. Se supone que las fuerzas impulsivas debidas a la colisin son mucho ms grandes que cualquier otra fuerza externa presente. El momento lineal total se conserva en las colisiones. Sin embargo, la energa cintica no se conserva debido a que parte de la energa cintica se transforma en energa trmica y en energa potencial elstica interna cuando los cuerpos se deforman durante la colisin. Se define colisin inelstica como la colisin en la cual no se conserva la energa cintica. Cuando dos objetos que chocan se quedan juntos despus del choque se dice que la colisin es perfectamente inelstica. Por ejemplo, un meteorito que choca con la Tierra. En una colisin elstica la energa cintica se conserva. Por ejemplo, las colisiones entre bolas de billar son aproximadamente elsticas. A nivel atmico las colisiones pueden ser perfectamente elsticas.

La magnitud Q es la diferencia entre las energas cinticas despus y antes de la colisin. Q toma el valor de cero en las colisiones perfectamente elsticas, pero puede ser menor que cero si en el choque se pierde energa cintica como resultado de la deformacin, o puede ser mayor que cero, si la energa cintica de las partculas despus de la colisin es mayor que la inicial, por ejemplo, en la explosin de una granada o en la desintegracin radiactiva, parte de la energa qumica o energa nuclear se convierte en energa cintica de los productos. Coeficiente de restitucin Se ha encontrado experimentalmente que en una colisin frontal de dos esferas slidas como las que experimentan las bolas de billar, las velocidades despus del choque estn relacionadas con las velocidades antes del choque, por la expresin

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donde e es el coeficiente de restitucin y tiene un valor entre 0 y 1. Esta relacin fue propuesta por Newton y tiene validez solamente aproximada. El valor de uno es para un choque perfectamente elstico y el valor de cero para un choque perfectamente inelstico. El coeficiente de restitucin es la razn entre la velocidad relativa de alejamiento, y la velocidad relativa de acercamiento de las partculas. El centro de masa. El Sistema de Referencia del Centro de Masa (sistema-C) es especialmente til para describir las colisiones comparadas con el Sistema de Referencia del Laboratorio (sistema-L) tal como veremos en prximas pginas. Movimiento del Centro de Masas En la figura, tenemos dos partculas de masas m1 y m2, como m1 es mayor que m2, la posicin del centro de masas del sistema de dos partculas estar cerca de la masa mayor.

En general, la posicin rcm del centro de masa de un sistema de N partculas es

La velocidad del centro de masas vcm se obtiene derivando con respecto del tiempo

En el numerador figura el momento lineal total y en el denominador la masa total del sistema de partculas. De la dinmica de un sistema de partculas tenemos que

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El centro de masas de un sistema de partculas se mueve como si fuera una partcula de masa igual a la masa total del sistema bajo la accin de la fuerza externa aplicada al sistema. En un sistema aislado Fext=0 el centro de masas se mueve con velocidad constante vcm=cte. El Sistema de Referencia del Centro de Masas Para un sistema de dos partculas

La velocidad de la partcula 1 respecto del centro de masas es

La velocidad de la partcula 2 respecto del centro de masas es

En el sistema-C, las dos partculas se mueven en direcciones opuestas. Momento lineal Podemos comprobar fcilmente que el momento lineal de la partcula 1 respecto al sistema-C es igual y opuesto al momento lineal de la partcula 2 respecto del sistema-C p1cm=m1v1cm p2cm=m2v2cm p1cm=-p2cm Energa cintica La relacin entre las energas cinticas medidas en el sistema-L y en el sistema-C es fcil de obtener

El primer trmino, es la energa cintica relativa al centro de masas. El segundo trmino, es la energa cintica de una partcula cuya masa sea igual a la del sistema movindose con la velocidad del centro de masa. A este ltimo trmino, se le denomina energa cintica de traslacin del sistema. En un sistema de partculas podemos separar el movimiento del sistema en dos partes:

el movimiento de traslacin con la velocidad del centro de masa el movimiento interno relativo al centro de masas.

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En las siguientes pginas, mostraremos la importancia de centro de masas en la descripcin del movimiento de un sistema de dos partculas que interactan a travs de un muelle elstico. Energa de un sistema de partculas Supongamos que la partcula de masa m1 se desplaza dr1, y que la partcula de masa m2 se desplaza dr2, como consecuencia de las fuerzas que actan sobre cada una de las partculas.

El trabajo realizado por la resultante de las fuerzas que actan sobre la primera partcula es igual al producto escalar (F1+F12)dr1 Del mismo modo, el trabajo realizado por la resultante de las fuerzas que actan sobre la partcula de masa m2 ser (F2+F21)dr2

Teniendo en cuenta que el trabajo de la resultante de las fuerzas que actan sobre una partcula modifica la energa cintica de la partcula, es decir, la diferencia entre la energa cintica final y la inicial.

Sumando miembro a miembro, podemos escribir el trabajo como suma del trabajo de las fuerzas exteriores ms el trabajo de las fuerza interiores o de interaccin mutua. Se tiene en cuenta que las fuerzas interiores F12=-F21 son iguales y de sentido contrario

Las fuerzas interiores F12 y F21 realizan trabajo siempre que haya un desplazamiento relativo de la partcula 1 respecto de la 2, ya que dr1-dr2=d(r1-r2)=dr12 Normalmente, la fuerza F12 es conservativa (es de tipo gravitatorio, elctrico, muelle elstico, etc.) El trabajo de una fuerza conservativa es igual a la diferencia entre la energa potencial inicial y final.

Denominando trabajo de las fuerzas exteriores a la suma

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Tendremos

Entre parntesis tenemos una cantidad que es la suma de la energa cintica de las dos partculas que forman el sistema y de la energa potencial que describe la interaccin entre las dos partculas. A esta cantidad la denominamos energa U del sistema de partculas.

Wext=Uf-Ui El trabajo de las fuerzas exteriores es igual a la diferencia entre la energa del sistema de partculas en el estado final y la energa del sistema de partculas en el estado inicial. Para un sistema de dos partculas, hay una sola interaccin de la partcula 1 con la 2 descrita por la fuerza interna conservativa F12 o por la energa potencial Ep12. La energa del sistema U se escribe

Para un sistema formado por tres partculas hay tres interacciones, de la partcula 1 con la 2, la 1 con la 3 y la 2 con la 3, descritas por las fuerzas internas conservativas F12, F23, F13 o por sus correspondientes energas potenciales. La energa del sistema es

Sistema aislado Para un sistema aislado, Fext=0, el trabajo Wext de las fuerzas exteriores es cero, la energa U del sistema de partculas se mantiene constante. Para un sistema de dos partculas cuya interaccin mutua est descrita por la energa potencial Ep12.

La fuerza exterior Fext es conservativa El trabajo de la fuerza exterior es igual a la diferencia entre de energa potencial inicial y la final

Wext=Epi-Epf Tenemos por tanto que Ui+Epi=Uf+Epf = cte Para un sistema de dos partculas bajo la accin de la fuerza conservativa peso, la conservacin de la energa se escribir