3 힘과 직선운동

이 사진은 벼룩 “브루투스[Brutus]”가 장난감 수레를 끄는 것을 보여준다. 1996년과 1997년에 콜롬비아의 현대 예술가 “카르도소[Maria Fernanda Cardoso]”는 소리와 이산화탄소로 브루투스를 꼬여 뛰어오르게 했다. 영상자료를 보면 브루투스가 뛰어오를 때, 기차는 약 1 센티미터쯤 흔들린다. 장난감 차의 질량이 벼룩 보다 160,000배 큰 것을 생각하면 그것은 엄청난 묘기이다.

벼룩은 어떻게 자기 질량의 160,000배나 되는 것을 끌고 갈 수 있을까?

3-1 가속의 원인?

동역학(Dynamics) - 무엇이 물체의 속도를 변화시키는가?

3-2 뉴턴 법칙

궤도 위를 굴러 가는 수레와 양탄자 위를 미끄러지는 플라스틱 통

생각 3-1 (a) 수레가 거친 양탄자 위를 굴러가 완전히 서는데 몇 초나 걸리는가? (b) 수레가 t=0.0초에 속력 0.8 m/s로 매끄러운 궤도 위를 굴러간다면, 양탄자 위를 굴러가는 수레가 완전히 설 때, 그 수레의 속력은 처음 속력의 몇 %인가?

물음: 어떤 물체를 가만히 내버려 두면 어떻게 될까?

뉴턴 제1법칙: 아무 힘도 받지 않는 물체를 생각하자. 그 물체가 서 있었다면, 계속 서 있을 것이고,

움직이고 있었다면, 같은 속도로 계속 움직일 것이다.

힘: 힘은 물체의 속도를 변하게 하는 것이다.

관성 기준틀: 뉴턴 제1법칙이 성립하는 기준틀

생각 3-2(a) 여러분이 “가만히” 있었던 비관성 기준틀을 설명하라. (b) 무엇을 살펴보면 우리가 있는 기준틀이 비관성 기준틀이라고 결론지을 수 있는가?

3-3 힘 하나와 직선 방향 가속

관찰: 물체에 일정한 힘을 주면 그 물체는 직선을 따라 일정한 가속도로 움직이며, 가속도의 방향은 힘의 방향과 같다.

※ 물체에 일정한 힘을 주면 그 물체는 직선을 따라 일정한 속도로 움직인다?

생각 3-3(a) 물체에 일정한 힘을 주었는데도 그것이 가속되지 않았던 경험을 설명하여라. (b) 물체에 일정한 힘을 줄 때 그것이 가속되었던 상황을 설명하여라. 주의: 주위의 물체로 실험 해 보라.

3-4 힘 재기

힘의 표준 단위: 힘 1 뉴턴(Newton) = 질량 원기(1 kg)에 가속도 1 ms을 주는데 필요한 힘.

재는 방법의 보기:

마찰이 적은(자유로이 움직일 수 있는) 1 kg 수레를 당겨 가속도가 1 ms가 되게 할 때의 끄는 힘.

힘을 재는 장치

생각 3-4

고무줄은 보통 후크 법칙을 따르지 않지만, 탄성 한계 안에서는 힘을 재는데 쓸 수 있다. 오른쪽 그림과 같은 눈금이 매겨진 용수철 저울을 써서 고무줄의 탄성으로 힘을 재는 장치를 만드는 방법을 설명하라.

현대적인 전자 저울고전적인 양팔 저울

3-5 질량의 정의와 측정

질량(물질의 양)을 재는 방법 = 표준 질량과 물체의 질량을 비교함

l 중력 질량 재기 - 어떤 물체를 들어 올리는데 힘이 얼마나 드는가? (어떤 물체를 지구가 얼마나 세게 끌어당기는가?)

물체의 중력 질량 = 질량표준이 받는 중력물체가 받는 중력

l 관성 질량 재기 - 어떤 물체를 가속시키는데 힘이 얼마나 드는가?

물체의 관성 질량 = 물체의 가속도물체가 받는 힘

3-6 하나의 힘에 관한 뉴턴 제2법칙

하나의 힘에 관한 뉴턴 제2법칙: 어떤 물체가 힘을 하나 받을 때, 그 물체는 힘의 방향으로 가속된다. 가속도의 크기는 힘의 크기를 물체의 질량으로 나눈 값이다.

또는

1 뉴턴의 국제단위 1 N = (1 kg)(1 m/s) = 1 kg․m/s

l 기차를 끄는 벼룩: 벼룩이 어떻게 자기 질량의 160000배나 되는 수레를 끌 수 있는가????

다리의 힘 ∝ (다리의 지름)

몸의 질량 ∝ (몸 크기)

가속도 ∝ (다리의 지름)/(몸 크기) 사람의 가속도 ∝ (0.1 m)/(1 m) ∝

벼룩의 가속도 ∝ (0.1 mm)/(1 mm) ∝

생각 3-5

썰매에 앉은 학생이 왼쪽으로 26N의 수평방향 힘을 받아 0.42 m/s으로 가속된다.

(a) 힘과 가속도의 대한 식을 벡터 기호와 단위벡터를 써서 나타내라.

(b) 학생과 썰매의 질량의 합은 얼마인가?

(c) 학생과 썰매의 질량을 kg 눈금이 달린 저울을 써서 쟀다. 저울에서 얼마를 읽었겠는가?

생각 3-6

위에서 얻은 답을 생각하자. (a) 앞에서 잰 두 질량 가운데 관성질량을 얻은 것이 (b)인가 (c)인가? 설명하여라. (b) (c)에 대해 답할 때 어떤 가정을 했는가?

따라 3-1

질량 m = 8.0×10 kg인 차를 힘 F = 2.0×10 N로 1.0 m 끌었을 때의 속력?

풀이

운동의 특성: 등가속 운동 (일정한 힘을 주었으므로)

=

=× kg

× kg⋅ms = 2.5×10 m/s (1)

= (2)

= = 1.0 m (3)

(2)에서 만 알면 를 구할 수 있다.

(3)에서

(3‘)

(3‘)을 (2)에 넣으면

= =

= = ⋅

= ⋅ m ⋅

× kg× kg⋅ms

= 0.22 m/s

3-7 한 방향의 힘 더하기

힘을 받는 수레(0.5 kg)의 운동

1. 오른쪽(+쪽)으로 4.0 N의 힘으로 끌면,

+8.0 m/s으로 가속된다.

2. 크기가 같고 방향이 반대인 힘을 함께 주면,

서 있던 것은 서 있고, 가던 것은 같은 속력으로 간다.

알짜

= = i = [+4.0 N + (-4.0) N]i = 0

3. 두 사람이 각각 2.0 N의 힘으로 같은 쪽으로 끌면,

+8.0 m/s으로 가속된다.

알짜

= = (+2.0 N + 2.0 N)i = 4.0 Ni

[한 사람이 4.0 N의 힘으로 끌 때와 효과가 같다.]

힘의 중첩 원리물체가 여러 힘을 동시에 받을 때, 그 물체의 가속도는 낱낱의 힘을 벡터 덧셈한 “알짜힘[net force]”과 똑같은 힘 하나를 받을 때와 같다.

알짜

⋯

뉴턴 제1법칙과 제2법칙물체가 여러 힘을 동시에 받을 때, 알짜힘에 대해 뉴턴 제1법칙과 제2법칙이 성립한다.

여러 힘을 동시에 받는 물체의 가속도를 구하는 방법

1. 힘-물체 그림을 그린다.

2. 알짜힘을 구한다.

3.

알짜

생각 3-8: 오른쪽 그림처럼 마찰 없는 궤도 위에서 움직이는 수레가 두 수평방향의 힘을 받는다. 다음 상황에서 이 수레가 받는 또 다른 힘 의 크기와 방향?

(a) 수레가 서 있다. (b) 수레가 일정한 속력 5 m/s로 왼쪽으로 움직인다.

생각 3-8: 아래 그림은 수레가 두 힘을 받아 마찰 없는 궤도를 따라 가속되는 것을 위에서 본 모습이다.

(a) 수레가 받는 알짜힘과 (b) 수레의 가속도의 크기가 큰 것부터 차례로 늘어놓아라.

따라 3-2

질량 m = 2.0 kg인 통이 세 힘 , , 를 받아 쪽으로 3.0 m/s으로 가속된다.

= 10 N, = 20 N, ?

풀이쪽으로 좌표축을 그리면 운동방정식은 다음과 같은 꼴이다:

알짜 i i

가속도 와 질량 , , 를 아니까 는 다음과 같이 구한다:

= - - = (2.0 kg)(3.0 m/s) - (-10 N) - (20 N) = -4 N

3-8 모든 힘은 상호작용의 결과

근본적인 힘: 중력, 전자기력, 약한 핵력, 강한 핵력

[핵력은 핵 속( m 정도)에서만 작용.]

나날이 보고, 느끼는 힘의 근원은 중력과 전자기력

접촉력: 물체가 맞닿을 때 주고받는 힘

장력: 줄을 통해 주고받는 힘

생각 3-9: 오른쪽 그림에서 수레와 통 모두 질량이 0.5 kg이다. (a) 양탄자 위의 통의 가속도는 얼마인가? (b) 궤도 위의 수레의 가속도는 얼마인가? 부호는?

생각 3-10: 위의 문제에서 (a) 물체의 속력이 느려지는 동안 받는 마찰력은 일정한가 아니면 변하는가? 근거를 설명하라. (b) 통이 양탄자와 주고받는 마찰력의 크기는 얼마인가? (c) 수레가 받는 궤도 및 양탄자와 주고받는 마찰력의 크기는 얼마인가? 그 방향은 어느 쪽인가?

3-9 중력과 자유 낙하 운동

중력 = 지구가 지면 가까이 있는 물체에 주는 힘 (공기 저항은 무시: 조건?)

l 중력 가속도 상수

중력을 받는 증거 - (등)가속 운동

= 9.8 m/s (물체의 질량, 밀도, 모양과 무관하다)

l 중력과 질량 다시 보기

용수철 저울로 잰 중력 중력 = g ⇒ g = 중력 = 9.8 N/kg (국소 중력 세기)

※ 무게(weight) = 물체가 받는 중력의 크기 = g ∝ (질량)

l 국소 중력의 성질

- 방향: 아래쪽(지구 중심쪽)이다.

- 크기: (관성) 질량에 비례한다.

- 시간 변화: 때에 따라 변하지 않는다.

- 위치 변화: 곳에 따라 조금 변하지만, 보통은 유효숫자 두 자리에서 같다.

l 운동학 방정식

중력

= -g j

생각 3-11: 위로 던져 올린 물체가 가장 높은 곳에서 운동방향을 바꿀 때, 그 순간속도는 0이다. 이것이 그곳에서 물체의 가속도가 0임을 뜻하는가? 이에 대한 답이 다음 두 가지와 어긋나지 않는지 설명하라: (a) 순간 속도와 순간 가속도의 정의; (b) 그림 3-29의 그림표.

생각 3-12: 표 2-1의 식을 중력을 받아 떨어지는 물체의 운동에 맞게 고치되, 축이 위를 향하게 좌표축을 잡아라.

※ 표 2-1 가속도가 일정한 운동의 방정식속도:

위치:

따라 3-3 모형 로켓(공기 저항 무시)

질령 0.5 kg인 로켓이 연료가 타는 6.0초 동안 위쪽 알짜힘 2.0 N을 받아 올라갔다가, 결국 떨어짐.

(a) 6.0초인 때의 로켓의 높이, 속도?

(b) 로켓의 최고 높이?

(c) 로켓이 받는 알짜힘: 연료를 다 태우고 계속 올라갈 때, 방향을 바꿀 때, 아래로 떨어질 때?

풀이

※ 운동 특성: 처음 6.0 초 등가속 운동(가속도 4.0 m/s), 그 다음 등가속 운동(가속도 g = -9.8 m/s).

(a) 높이: = = (0.5)(4.0 m/s)(6.0 s) = 72 m

속도: = = (4.0 m/s)(6.0 s) = 24 m/s

(b) 최고 높이: , 그곳에서의 속도 , 그곳에 간 때:

g ,

g

⇒ g

g

= (72 m) + (0.5)(24 m/s)/(9.8 m/s)

101 m

(c) 연료를 다 태운 뒤에는 중력만을 받음: F알짜 = mg = (0.5 kg)(-9.8 m/s) =-4.9 N (아래쪽)

3-10 뉴턴 제3법칙물체끼리 주고받는 힘 사이의 관계

l 정성적 고찰

뉴턴 제3법칙:

어떤 물체가 다른 물체에 힘을 주면/받으면, 다른 물체도 처음 물체에 힘을 준다/받는다.

두 힘은 크기는 같지만 방향은 반대이다: → →

l 접촉력의 실험적 확인

생각 3-13: 위 그림의 왼쪽 자석을 쇠고리로 바꾼다.(a) 쇠고리가 오른쪽 자석에 주는 힘과 오른쪽 자석이 쇠고리에 주는 힘을 비교하여라. (b) 뉴턴 제3법칙이 성립하는가?

따라 3-4

= 4.0 kg, = 6.0 kg, 밀기

= (20 N)i ; 마찰없는 표면

(a) 토막의 가속도 , ?

(b) →?

풀이

※ 와 의 가속도가 똑같다: ≡

(a) 밀기

= ⇒

밀기

kg kg Ni

(2.0 m/s) i

(b) →밀기

(6.0 kg)(2.0 m/s) i (12 N) i

따라 3-5

왼쪽 줄의 장력 ?

풀이※ 두 토막의 가속도가 똑같다.

운동 방정식: (35 N)i = (4 + )

= (4) = (28 N)i

따라 3-6

벽돌 무게 900 N; 사람 무게: 1200 N; 벽돌뭉치의 최대 가속도?

풀이

※ 밧줄의 장력은 1200 N을 넘지 못한다 = 사람은 밧줄에 1200 N 이상의 힘을 줄 수 없다.

벽돌이 받는 힘 알짜

= 밧줄최대 밧줄

중력 = (1200 N)j + (-900 N)j = (300 N)j

벽돌의 가속도 = 벽돌알짜

= Ng N

= g = 3.26 m/s