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Matematica III
5 Esercitazioni di teoria delle code
© Politecnico di Torino Pagina 1 di 33 Data ultima revisione 29/06/01 Autori: Roberto Tadei,Guido Perboli
Politecnico di Torino CeTeM
3. Esercitazioni di Teoria delle code
Matematica III
5 Esercitazioni di teoria delle code
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Previsione degli effetti di una decisione
• Si individuano due tipologie di problemi: • statici: il problema non varia nel breve periodo • dinamici: il problema varia
• Come si procede? • Si analizzano tempi e modalità di attesa degli
utenti in diverse code. • Si cerca la correlazione tra il numero di arrivi e il
numero di servizi. • Se i problemi sono semplificabili si risolvono per
via analitica, altrimenti si procede alla simulazione.
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Ottimizzazione del sistema di servizio
• Ottimizzare un sistema di servizio significa: minimizzare la somma dei costi dovuti all’attesa dell’utenza e dei costi dovuti all’attivazione del servizio.
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Andamenti qualitativi dei costi di un sistema di servizio
Costo medio di attesa
Efficienza del servizio
Costo medio del servizio
Efficienza del servizio
Costo fisso
Costo medio
Efficienza del servizio
Somma dei costi
Il costo fisso è dovuto all’esistenza
del servizio
Ottimizzare è posizionarsi sul
minimo
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tempo di interarrivo
tempo di servizio
numero di server capacità del sistema di servizio
cardinalità della popolazione da cui provengono gli arrivi
disciplina della coda
u/v/w/x/y/z
Notazione di Kendall
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Notazioni
• πn(t) : probabilità che ci siano n utenti nel sistema di servizio all’istante t
• : funzione generatrice di probabi- lità di πn(t) • : valore medio del numero di
utenti presenti nel sistema di servizio
( ) ( )∑∞
=
−=Π0
,n
nn ztzt π
( ) ( )1
,
=
Π−=
zdzztd
tN
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Notazioni (cont .) • λ(t) : frequenza di inter-arrivo • µ(t) : frequenza di servizio • L(t) = N(t) - ρ(t) : lunghezza media della coda ove
� è il fattore di utilizzo
( ) ( )( )tt
tµλ
ρ =
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Risultato di Little
In un sistema di servizio stazionario valgono le seguenti relazioni:
N(t) = ∆Tt(t)λ(t)
L(t) = ∆Tc(t)λ(t) ove
∆Tt(t) : valore atteso del tempo speso da un utente nel sistema di servizio
∆Tc(t) : valore atteso del tempo speso da un utente in coda
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M/M/1 • Legge degli arrivi e dei servizi di tipo poissoniano • Supponiamo λx=λ e µx=µ, costanti. • Condizione di ergodicità:
� ρ = λ\µ < 1
• Probabilità di avere x utenti nel sistema: � πx = ρx(1−ρ)
• Probabilità di non avere attesa: � π0 = 1−ρ
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M/M/1 (continua)
• Probabilità di avere almeno h utenti nel sistema: • All’equilibrio :
h
hi
ih ρρρπ =−=≥ ∑∞
=
)1()(
ρρ
µρµ
ρρ
ρρ
−=∆
−=∆
−=
−=
11
111
11
2
ct TT
LN
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Esercizio proposto
• Ad un autolavaggio arrivano 8 clienti all’ora, con distribuzione di Poisson. L’autolavaggio può servire 12 clienti all’ora e la coda è di tipo M/M/1.
• I dati precedenti corrispondono a: λ=8 ; µ=12 ; λ\µ < 1
• Si possono determinare tutti i parametri presentati in precedenza, semplicemente applicando le definizioni.
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M/M/1 con scoraggiamento degli arrivi
• Ad un casello autostradale non si può sfuggire alla coda, ma ad un autolavaggio sì . Per rappresentare questa possibilità di scelta: µx = µ (i servizi non sono influenzati dalla coda)
utilizzo di fattore : 1
,1 0
µρ
λλ
a
x
e
ax
a
−=
=+
=
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M/M/1 con scoraggiamento degli arrivi (continua)
• La funzione di ergodicità cambia. Se anche λ>µ,lo scoraggiamento degli arrivi limita la lunghezza della coda. • Condizione di ergodicità:
• Parametri del sistema di servizio:
0≠µa
λµλ
σµ
µπ µµ
ctctN
aax
x
TTTN
Ta
N
exea
x
∆−∆=∆=∆==
=
=
−−
=L , 1
, ,
, !
1
2
0
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M/M/1/k :sistema di servizio con capacità k
Sia inoltre :
( )
( ) x costante
se 0
se costante
∀=
≥<
=
µµ
λ
x
x kx
kxa
µρ
a=
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M/M/1/k :sistema di servizio con capacità k
Le probabilità di equilibrio sono date da: • πk rappresenta la probabilità di equilibrio per un
utente di trovare la coda piena ed è detta fattore di perdita nello stato di equilibrio.
( )
k> x 0
k x1
1
1
1
1
10
=
≤−−
=
−−
=
+
+
x
k
x
x
k
π
ρρρ
π
ρρ
π
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M/M/ns
• Il sistema è dotato di ns canali di distribuzione del servizio.
• La capacità del sistema è illimitata. • Tutti i canali si considerano uguali
ergodicità di condizione 1
se
se
→<=∧
>≤
=
=
bn
nxbn
nxxb
s
ss
sx
x
λρ
µ
λλ
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Esercizio 1
• Calcolare il tempo medio di attesa in coda per una scala mobile dati: • massima portata: 2 passeggeri/gradino • velocità scala: 1 gradino/sec • numero medio di arrivi: 100/min • arrivi poissoniani
• Il problema è modellizzabile M/D/1 (D: la velocità della scala è costante)
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Soluzione dell’esercizio 1 • Il tempo medio di attesa è: • Si conosce: λ=100 passeggeri/minuto • Si calcola: µ=120 passeggeri/minuto • Da cui:
−
=∆
µλ
µ 12
1cT
sec5,1min025,0 ==∆ cT
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Esercizio 2
• Si determini il numero di caselli necessari ad un’uscita autostradale per avere un numero medio di utenti minore di 5. Il sistema è caratterizzato da: • traffico medio di utenti in uscita distribuito
uniformemente e pari a 8500 veicoli (supposto distribuito uniformemente dalle 7 alle 20)
• la percentuale di utenti viacard è del 50% • il numero medio di servizi/ora ai caselli normali è
120, ai caselli viacard è 600 • Si usi un modello M/M/ns
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Soluzione dell’esercizio 2 • Si individuano 2 sistemi separati:
• caselli viacard • caselli normali
• Caselli viacard • I veicoli in una giornata sono 4250. Per cui
λ=4250/13 veicoli/ora = 326,9 veicoli/ora • E’ noto µ=600 veicoli/ora � ρ=λ/µ=0.545 ipotizzando ns=1 • Si può verificare che N<5: N=ρ/(1−ρ)=1.2 veicoli
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Soluzione dell’esercizio 2 (continua)
• Caselli normali • Si ha: λ=326,9 veicoli/ora e µ=120 veicoli/ora • Ovviamente 1 o 2 canali non sono sufficienti.
Servono almeno tre canali. • Con 3 canali si ottiene N=9 che non soddisfa le
specifiche. • Si prova con quattro canali ottenendo un valore
minore di 5.
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Esercizio 3
• Si ha un sistema caratterizzato da: � λ=12/8 veicoli/ora=1,5 veicoli/ora � µ=1/30 veicoli/minuto=2 veicoli/ora
• Utilizzando un modello M/M/1 si calcoli la lunghezza
media della coda ed il tempo medio di attesa del servizio.
• Con un modello M/M/1;k=4 la probabilità di perdita
del cliente successivo.
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Soluzione dell’esercizio 3 • M/M/1 • M/M/1;k
104,01
)1(41
==−−
=+
πρ
ρρπ
k
k
k
oreñ)ì(tÄT
L
211
veicoli 25.21
75,0
2
=−
=
=−
=
==
ρρ
µλ
ρ
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Esercizio 4 • Si consideri un sistema di servizio caratterizzato da:
• tempo di inter-arrivo esponenzialmente distribuito e con valore atteso pari a 1/λn , con n=numero di utenti nel sistema di servizio
• tempo di servizio esponenzialmente distribuito con valore atteso pari a 1/µn
• Siano poi:
11
)2( )2.4
)2( )1.4
+=−+−+
==
+=
iai
aai
ib
ai
i
i
i
i
µ
λµλ
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Esercizio 4 (continua)
• Si calcolino: • le probabilità di equilibrio e la condizione di
ergodicità sotto la quale queste probabilità esistono e sono univoche
• la relativa funzione generatrice delle probabilità di equilibrio
• il valore atteso per il numero di utenti nel sistema di servizio nello stato di equilibrio
• la probabilità di trovare non più di h utenti nello stato di equilibrio
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Soluzione dell’esercizio 4.1
• Dato che λi e µi sono funzioni crescenti di i si può introdurre:
• Si possono quindi calcolare le probabilità:
ba
ii
i
ii =
++
==+
ρρµλ
ρ con , 1
2
1
∑∏
∏
∑∏∞
=
−
=
−
=
∞
=
−
=
+=
+=
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
,
1
1
h
h
jj
i
jj
i
h
h
jj ρ
ρπ
ρπ
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Soluzione dell’esercizio 4.1 (continua)
• Tenendo conto che:
si possono ricavare le probabilità di equilibrio :
ii
jj i ρρ )1(
1
0
+=∏−
=
2
20
)1()1(
)1(
ρρπ
ρπ
−+=
−=i
i i
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Soluzione dell’esercizio 4.1 (continua) • La funzione generatrice delle probabilità d’equilibrio
risulta: da cui il valore atteso N, per il numero di utenti nello
stato di equilibrio:
( ) ( )21
2
0
2
)1(
)1(11)(
−
∞
=
−
−−
=+−=Π ∑z
zizi
ii
ρρ
ρρ
ρρ
ρ−
=Π
−== 1
2)()(
1zdzzd
N
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Soluzione dell’esercizio 4.1 (continua)
• La probabilità di avere meno di h utenti nel sistema vale:
( ) ( )21
0
2
0
)1()2(1
11)Pr(
++
==
+++−=
=−+==≤ ∑∑hh
h
n
nh
nn
hh
nhn
ρρ
ρρπ
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Soluzione dell’esercizio 4.2
• Si può introdurre la seguente notazione: • Si possono quindi calcolare le probabilità:
( )( )( ) a
iii
i
ii =
−++−+
==+
ρρ
ρρµλ
ρ con , 12
2
1
∑∏
∏
∑∏∞
=
−
=
−
=
∞
=
−
=
+=
+=
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1 ,
1
1
h
h
jj
i
jj
i
h
h
jj ρ
ρπ
ρπ
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Soluzione dell’esercizio 4.2 (continua) • Tenendo conto che:
si possono ricavare le probabilità di equilibrio :
( )( ) ( )ρ
ρρρ
−+−+
=∏−
= 1!1
11
0 iiii
jj
( )!1!
11
0
+−=
−=+
ii
ii
i
ρρπ
ρπ
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Soluzione dell’esercizio 4.2 (continua)
• La funzione generatrice delle probabilità d’equilibrio risulta:
da cui il valore atteso N, per il numero di utenti nello
stato di equilibrio:
( ) ( ) zezzii
z z
i
iii
+−=
+
−=Π−
∑∞
=
−+
1
1!1!
)(0
1ρρρ
0)(
)(1
=Π
−==zdz
zdN ρ
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Soluzione dell’esercizio 4.2 (continua)
• La probabilità di avere meno di h utenti nel sistema vale:
( ) ( )!11
!1!)Pr(
1
0
1
0 +−=
+
−==≤+
=
+
=∑∑ hnn
hnhh
n
nnh
nn
ρρρπ