3 grandezas em pu e representação de elementos do sistema...
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Escola de Engenharia Engenharia Elétrica
ENG 3517 Sistemas Elétricos
3 Grandezas em pu e Representação de Elementos do Sistema Elétrico
Prof. Carlos Medeiros
https://sites.google.com/site/cx3medeiros
Atualização em 2017
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3 Grandezas em pu e Representação de Elementos do Sistema Elétrico
Objetivos do capítulo: Introdução aos cálculos em por unidade (pu) e apresentação de modelos de circuito dos
principais elementos componentes dos sistemas elétricos de potência.
Conteúdo
3.1 Considerações iniciais ................................................................................................................................ 2
3.2 Diagrama unifilar e circuito monofásico equivalente ............................................................................... 3
3.3 Grandezas em pu ........................................................................................................................................ 4
3.3.1 Valores pu em sistemas monofásicos ................................................................................................ 4
3.3.2 Valores pu em sistemas trifásicos ..................................................................................................... 5
3.3.3 Mudança de base ................................................................................................................................ 5
3.4 Modelos de elementos do sistema elétrico .................................................................................................. 6
3.4.1 Máquinas síncronas ........................................................................................................................... 6
3.4.2 Transformadores ............................................................................................................................... 7 a) Transformadores monofásicos ............................................................................................................. 7 b) Banco de transformadores ................................................................................................................... 9 c) Transformadores trifásicos ................................................................................................................. 10 d) Transformadores trifásicos de três enrolamentos .............................................................................. 10
3.4.3 Linhas de transmissão aéreas ......................................................................................................... 12 a) Modelo para linha curta ..................................................................................................................... 12 b) Modelo para linha média ................................................................................................................... 12 c) Modelo para linha longa .................................................................................................................... 13
3.4.4 Modelo para barramento, disjuntor e chave ................................................................................. 13
3.4.5 Conceito de barramento infinito ..................................................................................................... 14
3.4.6 Modelos para cargas ........................................................................................................................ 14
3.5 Resumo ...................................................................................................................................................... 14
3.6 Como escolher as bases? .......................................................................................................................... 15
3.7 Vantagens do uso de pu ............................................................................................................................ 15
3.8 Elaboração do circuito em pu - exemplo completo e exercícios propostos ............................................. 15
Exercícios gerais ............................................................................................................................................. 22
Referências bibliográficas .............................................................................................................................. 25
Algumas respostas dos exercícios gerais ....................................................................................................... 25
2
3.1 Considerações iniciais
Como visto no capítulo 1, os sistemas elétricos, usualmente interligados, são constituídos por redes
complexas com dezenas, centenas e até milhares de barramentos, inúmeras linhas de transmissão, geradores,
transformadores, bancos de capacitores, sistema de medição e proteção, etc.
A fig. 3.1 ilustra, de forma resumida, o diagrama unifilar de um sistema elétrico de potência, que
compreende subestações associadas às usinas geradoras, subestações de manobra e subestações
transformadoras, interligadas por linhas de transmissão que possibilitam o fluxo de potência elétrica das
fontes de suprimento aos centros de carga consumidores. Dentro de uma subestação, o conjunto de
condutores que fazem a ligação comum para mais de um circuito é denominado barramento [1].
Fig. 3.1. Representação simplificada de um Sistema Elétrico de Potência e de alguns barramentos [1].
Existem vários estudos relacionados os sistemas elétricos de potência que podem ser feitos por
etapas ou de maneira separada. Por exemplo, pode-se citar:
estudos de fluxo de potência;
de curto-circuito;
de proteção;
de estabilidade;
fluxo harmônico;
transitórios;
operação econômica, etc.
Na prática, esses estudos ou análises são realizados através de simulações computacionais, onde
modelos representativos dos componentes do sistema (geradores, transformadores, linhas, cargas, etc.),
adequados ao tipo de estudo requerido, são conectados de forma a compor o circuito representativo.
Por exemplo, em um estudo de curto-circuito, o modelo de circuito de uma linha de transmissão
pode ter suas capacitâncias paralelas omitidas sem prejuízo significativo no resultado final. Os outros
componentes são também modelados e representados de acordo com seu comportamento na situação de
curto-circuito.
Seguindo esse raciocínio, o que vai ser formulado e resolvido, será um circuito elétrico composto por
fontes e impedâncias, com os valores em por unidade (pu), conforme está esquematizado na fig. 3.2.
3
Fig. 3.2. Formulação e solução de um sistema elétrico de potência.
3.2 Diagrama unifilar e circuito monofásico equivalente
Seja o diagrama trifásico de um sistema elétrico simples como mostrado na fig. 3.3(a).
Gerador Linha de transmissão
CargaTransformador 1 Transformador 2
(a)
(b)
Fig. 3.3. Sistema elétrico exemplo – (a) Diagrama trifilar. (b) Diagrama unifilar [2].
Considerando que o sistema opera equilibrado, substitui-se sua representação trifilar por uma
representação simbólica conhecida como diagrama unifilar. Neste diagrama os elementos do sistema são
representados por símbolos. Por exemplo, a linha de transmissão trifásica é simbolizada por um traço único e
a carga por uma seta, conforme mostra a fig. 3.3(b). A finalidade do diagrama unifilar é apresentar
claramente a topologia e os dados significativos do sistema, de acordo com o estudo a ser efetuado.
Um sistema trifásico equilibrado pode ser estudado por apenas uma de suas fases, isto é, pelo
chamado circuito monofásico equivalente. Assim, para se fazer os cálculos, pode ser usada uma única fase,
onde os elementos (geradores, transformadores, etc.), representados por seu modelo monofásico, são
conectados entre si obedecendo o diagrama unifilar. Veja o exemplo na fig. 3.4.
Fig. 3.4. Circuito monofásico equivalente da fig. 3.3 [2].
Zg Zt1 Zt2 Zl
Zc Zc Vg Zcarga
4
No circuito monofásico a formulação matemática é bem mais simples e os resultados podem ser
prontamente estendidos para as outras fases. Para obtê-lo é necessário conhecer os modelos por fase dos
elementos do sistema, os quais serão apresentados na sequência. Antes disso, estuda-se as grandezas em pu.
3.3 Grandezas em pu
A formulação em por unidade (pu) pode ser usada em qualquer ramo da ciência. Na Engenharia
Elétrica o uso da representação do Sistema de Energia em pu simplifica a modelagem, a resolução de
problemas e a comparação de resultados devido ao significado relativo que propicia.
Valores em pu são frequentemente encontrados em especificações e dados de placas de
equipamentos elétricos (como geradores, transformadores, etc.), em gráficos e também são utilizados em
programas computacionais para cálculos e simulações de Sistemas Elétricos de Potência.
Antes de se expressar uma determinada grandeza em pu é necessário definir o valor de base dessa
grandeza. Assim, define-se valor por unidade (pu) como sendo a relação entre o valor real na unidade da
grandeza e o seu valor base, ou seja:
baseValor
grandezadaunidadenaValorpuValor (3.1)
Uma grandeza em pu pode ser expressa percentualmente simplesmente fazendo:
%100 puValorPercentualValor (3.2)
No estudo de sistemas elétricos a idéia é efetuar uma mudança de unidade das grandezas
fundamentais tensão, corrente, potências, impedância e admitância que passam a ser expressas em pu.
3.3.1 Valores pu em sistemas monofásicos
A mudança para pu de sistemas elétricos requer a definição de duas grandezas como bases. Estas
duas grandezas definem as outras grandezas de base.
O mais usual é definir uma tensão de base Vb (V) e uma potência de base Sb (VA). Sendo Vb e Sb,
tensão fase-neutro e potência aparente monofásica, respectivamente, então:
Corrente base Ib (A): Ib = Sb/Vb (3.3)
Impedância base Zb (): Zb = Vb/Ib ou Zb = Vb2/Sb (3.4)
Admitância base Yb (S): Yb = Sb/Vb2 (3.5)
Com (3.1), os valores em pu de quaisquer grandezas de um estudo S, V, I, Z e Y são:
Spu = S/Sb
Vpu = V/Vb
Ipu = I/Ib
Zpu = Z/Zb
Ypu = Y/Yb
(3.6)
Exemplo 3.1: em um dado sistema, foi definido como valores base: Vb = 10 kV e Sb = 1000 kVA.
Expressar as seguintes grandezas em por unidade (pu):
a) |V| = 12 kV f) S = 50023 kVA
b) V = 13,3 + j6,0 kV g) Z = 80 + j40
c) I = 513 + j203 A h) Y = 0,1 – j0,3 S
d) S = 200 + j300 kVA i) P = 900 kW
e) |S| = 9,3 MVA j) Q = 750 kVAr
* Note que o ângulo de fase das grandezas não é alterado quando se usa pu.
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3.3.2 Valores pu em sistemas trifásicos
Em um sistema trifásico considerando:
• Vb a tensão base como sendo de linha (tensão fase-fase);
• Sb a potência base total trifásica.
Tem-se, analogamente à situação anterior:
Corrente base Ib (A): VbSbIb
3 (3.7)
Impedância base Zb (): Sb
VbZb
2
(3.8)
Note que o cálculo de Zb com Vb de linha e Sb trifásica fornece o mesmo valor com Vb de fase e Sb
por fase, sendo, inclusive, a última equação acima idêntica à eq. (3.4) do caso monofásico.
A admitância base Yb é novamente o inverso de Zb. A impedância por unidade (Zpu) pode também
ser obtida diretamente de: Zpu = Z/Zb, Zpu = ZSb/Vb2.
Exemplo 3.2: dadas as grandezas trifásicas Sb = 100 MVA e Vb = 138 kV, expressar em pu as grandezas:
|V| = 140 kV: Z = 10 + j50 : |I| = 0,6 kA: P = 50 MW:
3.3.3 Mudança de base
Algumas vezes a impedância em pu de um dado equipamento do sistema elétrico é expressa numa
base diferente da parte do sistema na qual o elemento está localizado. Como nos cálculos todas as
impedâncias devem ser expressas na mesma base, torna-se necessário converter impedâncias em pu de uma
base para outra.
Suponha que uma impedância Zpudada na base Vbdada, Sbdada, deva ser convertida para ZpuNOVA na
nova base VbNOVA, SbNOVA. Como Zpu = Z/Zb, tem-se:
Zpudada = Z * Sbdada/Vb2dada
Zpunova = Z * Sbnova/Vb2nova
Pode-se então obter Z de Zpudada e em seguida converter Z para Zpunova. Ou, Zpunova pode ser
obtida diretamente dividindo a expressão de baixo pela de cima:
dada
nova
nova
dadadadanova
Sb
Sb
Vb
VbZpuZpu
2
(3.9)
Exemplo 3.3: a placa de um gerador síncrono apresenta os seguintes dados: 50 MVA, 13,8 kV e X = 0,2 pu.
Calcular a reatância da máquina em pu referida a uma nova base igual a 100 MVA e 13,2 kV.
Eg
.
Xg 13,8 kVX = 20%50 MVA
Sistema de potência,base para estudo: 100 MVA e 13,2 kV
Mudançade base
Solução: diretamente da eq. (3.9):
puMVA
MVA
kV
kVXpunova 4372,0
50
100
2,13
8,1320,0
2
6
OBS.: * Nos sistemas trifásicos a raiz de três não entra nos cálculos de potências em pu, isto é, em pu: *
pupupu IVS = Ppu + j Qpu
* Em módulo: |Spu| = |Vpu||Ipu|; Ppu = |Vpu||Ipu|cos; Qpu = |Vpu||Ipu|sen
* Vale ressaltar: o ângulo de fase das grandezas não é alterado quando se usa pu.
3.4 Modelos de elementos do sistema elétrico
3.4.1 Máquinas síncronas
A teoria básica da máquina síncrona e desenvolvimentos algébricos permitem mostrar que a tensão
fasorial no terminal externo, Vt, de uma fase de um gerador c.a. síncrono, é dada por [3]:
)( saagt jXRIEV (3.10)
onde: Eg = tensão gerada em vazio, força eletromotriz fem;
Ia = corrente do enrolamento de armadura;
Ra = resistência do enrolamento da armadura (por fase);
Xs = reatância síncrona (por fase).
Assim, o gerador, funcionando em regime permanente e com simetria das fases, pode ser
representado pelo modelo de circuito equivalente. O circuito, para uma fase, é mostrado na fig. 3.5.
neutro
Z = R +jXg a s Ia
Eg Vt
Terminaisexternos
Fig. 3.5. Circuito equivalente, por fase, de um gerador síncrono.
A impedância Zg (= Ra + jXs) é determinada usualmente através de testes aplicados às máquinas.
Normalmente a resistência Ra é bem menor que Xs, de forma que sua omissão em muitos casos não tem
grande influência, sobretudo nas análises qualitativas. Isso resulta em:
sagt jXIEV (3.11)
Para o motor síncrono, o circuito equivalente é semelhante, porém a corrente recebida pelo motor
tem sentido contrário ao caso do gerador. Desprezando a resistência tem-se:
mamt jXIEV (3.12)
onde: Em é a tensão em vazio do motor;
Xm é a reatância síncrona do motor.
Fig. 3.6. Circuito equivalente para motor síncrono. (A resistência foi desprezada).
Na prática, as impedâncias, dadas % ou em pu, são encontradas nos dados de placa desses
equipamentos. Valores em pu típicos para geradores e motores podem também encontrados em tabelas. Seus
valores estão nas bases determinadas por suas características nominais, isto é, VNominal e SNominal.
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3.4.2 Transformadores
a) Transformadores monofásicos Um modelo tradicionalmente usado para representar transformadores do ponto de vista elétrico, é o
circuito equivalente composto por elementos em série e um ramo em paralelo. Os valores dos parâmetros
desse circuito são usualmente obtidos através dos ensaios a vazio e em curto-circuito.
O ensaio a vazio determina a corrente de excitação e permite a avaliação aproximada da impedância
do ramo paralelo, que engloba as potências de perda no núcleo (associadas ao elemento Rp) e de
magnetização (associadas à reatância de magnetização Xm).
O ensaio em curto-circuito permite determinar a impedância série do circuito, que representa as
perdas no cobre através das resistências dos dois enrolamentos r1 e r2, e as dispersões de fluxo magnético
através das reatâncias de dispersão x1 e x2.
Assim, tem-se o modelo de circuito do transformador monofásico na fig. 3.7, com:
• enrolamentos 1 e 2 com N1 e N2 espiras, respectivamente;
• transformação ideal com relação de espiras a = N1/N2, fazendo a conexão entre os lados 1 e 2;
• parâmetros r1, x1, Rp e Xm colocados no lado 1 e r2 e x2 no lado 2, ver a fig. 3.7.
Fig. 3.7. Circuito equivalente do transformador monofásico.
Referindo os parâmetros ôhmicos ao lado 1, através da relação de espiras ao quadrado (ou relação
das tensões nominais ao quadrado), pode-se omitir o transformador ideal, como mostra a fig. 3.8(a). Além
disso, é comum na maioria dos cálculos em Sistemas de Potência desprezar a corrente de excitação
(influência do núcleo), por ser muito menor que correntes de carga usuais. Fazendo isso e equacionando as
grandezas referidas ao lado 1, obtém-se:
R1 = r1 + a2r2
X1 = x1 + a2x2 (3.13)
onde: a é a relação de espiras, a = N1/N2.
Desta forma obtém-se a representação da fig. 3.8(b).
(a) (b)
Fig. 3.8.(a) Circuito equivalente do transformador referindo as grandezas ao lado 1.
(b) Circuito equivalente referido ao lado 1 (desprezando a corrente de excitação do núcleo IE).
Embora o modelo da fig. 3.8 seja simples, expressando a impedância do transformador em pu obtém-
se uma simplificação ainda maior. Para isso considere:
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a) Potência base: como sendo a potência nominal do transformador SBase = SNominal;
b) Tensão base: depende do lado em que se fará os cálculos:
Se for escolhido o lado 1 usa-se como base a tensão nominal deste enrolamento: Vbase = VNominalLado1.
Se for selecionado o do lado 2, Vbase = VNominalLado2, ver a fig. 3.9.
Lado 1Tensão
de base = Vb1
Lado 2Tensão
de base = Vb2
Sb é a mesma emambos os lados!
Fig. 3.9. Transformador: tensão de base, Vb, é a tensão do lado 1 ou do lado 2.
Assim, o valor em pu da impedância do transformador será o mesmo, independente dos valores
ôhmicos terem sido obtidos em referência ao lado 1 ou lado 2, observe a demonstração:
Dada a impedância do transformador em ohms referida ao lado 1 Z1, seu valor em pu é obtido
dividindo pelo valor de base desse lado:
2
1
1
1
11
b
b
b
puV
SZ
Z
ZZ (3.14)
Referindo Z1 ao lado 2, através da relação (Vb2/Vb1)2, seu valor em ohms é expresso por:
2
1
212
b
b
V
VZZ (3.15)
Dividindo pela impedância de base do lado 2, tem-se sua expressão em pu como:
2
2
2
2
22
b
b
b
puV
SZ
Z
ZZ (3.16)
Substituindo (3.15) em (3.16) obtém-se:
pu
b
b
b
b
b
bpu Z
V
SZ
V
S
V
VZZ 12
1
12
2
2
1
212
(3.17)
*Conclusão: o transformador de potência é representado simplesmente por sua impedância em pu
Zpu=Rpu+jXpu. Além disso, trabalhando com pu não há necessidade de transformação de tensão e a corrente
em pu é a mesma nos dois lados. Ver como fica o modelo na fig. 3.10. Esta é uma grande vantagem de se
trabalhar com pu!
Ipu Ipu
neutro
Z = R +jXpu pu pu
Fig. 3.10. Modelo do transformador monofásico em pu.
9
Este modelo é normalmente usado em vários estudos em sistemas de potência, sendo ainda, em
muitos casos, desprezada a resistência. Vale ressaltar: escolhendo uma tensão base em um lado do
transformador, a tensão base para um circuito conectado do outro lado do transformador, fica determinada
pela relação de transformação de tensões nominais.
b) Banco de transformadores
Um transformador trifásico pode ser constituído a partir de 3 transformadores monofásicos idênticos
formando um banco. A utilização de banco de transformadores é feita em casos especiais ou nas situações de
transformadores com potências muito elevadas [3].
As três unidades monofásicas são interligadas em cada lado usualmente na forma Y ou . Assim,
tem-se como opções de ligações: Y-Y, -, Y- e -Y. Ao se avaliar os diagramas de impedância de
sistemas com bancos de transformadores, o primeiro passo é a determinação das características do
transformador trifásico equivalente, como ilustra o Exemplo 3.4.
Exemplo 3.4: determinar a reatância em pu representativa de um banco de transformadores constituído por 3 unidades
monofásicas. O lado de alta do transformador é ligado em delta e o lado de baixa em Y aterrado. Cada unidade
monofásica é de 50 MVA, 230kV/79,7kV e reatância de dispersão de 5,1%. Adotar uma base de 100 MVA e 138 kV no
lado de baixa do transformador trifásico equivalente. Despreze as resistências.
Solução:
• Potência do transformador trifásico equivalente: soma das três unidades monofásicas ou 13 3 SS = 150 MVA.
• Lado : o lado de maior tensão do equivalente trifásico está em delta . Portanto, a tensão entre as fases neste lado
corresponde a tensão da unidade monofásica que é de 230 kV, conforme mostra a figura.
• Lado Y: O lado de menor tensão do equivalente trifásico está em estrela Y. Portanto, a tensão entre as fases é de
1387,793 kV.
• Logo, a relação de transformação do transformador equivalente é de 230 kV / 138 kV.
230 kV 138 kV
Transformador trifásico equivalente ao banco.
• A reatância em pu do transformador trifásico na base adotada é:
puxX 0340,0150
100
138
138051,0
2
O modelo equivalente monofásico em pu é:
Modelo em pu por fase para o transformador equivalente, na base adotada.
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c) Transformadores trifásicos
Na prática é mais usual um transformador trifásico ser formado colocando-se os enrolamentos de
cada fase em um mesmo núcleo, ou seja, formando uma única unidade trifásica. Considerando as conexões
e Y, tem-se as possibilidades de ligação lado 1–lado 2 como: -, -Y, Y-, Y-Y.
Para cálculos em pu segue-se o mesmo princípio que no caso monofásico, isto é, escolhe-se a tensão
base em um dos lados do transformador e tensão base do outro lado é automaticamente determinada pela
relação das tensões de linha [3].
Informações sobre impedâncias são dadas em % ou em pu, em relação as bases determinadas por
suas características nominais (dados de placa): Z%, VNominal e SNominal. Sua representação monofásica em pu é
mostrada na fig. 3.11.
Zpu
neutro Fig. 3.11. Modelo por fase em pu para transformador trifásico.
Exemplo 3.5: um transformador trifásico de 100 MVA, 138 kV/13,8 kV tem valores percentuais de
resistência e reatância dados por R = 8% e X = 10%, respectivamente.
a) Expressar R e X em pu.
b) Expressar R e X em ohms, referidos aos lados de baixa tensão e de alta tensão.
d) Transformadores trifásicos de três enrolamentos
O transformador trifásico de três enrolamentos é composto por três lados que podem ser
denominados de primário, secundário e terciário, sendo este último normalmente operando com tensão mais
baixa que os demais. Por exemplo, 230/138/13,8 kV, conforme ilustra o esquema unifilar da fig. 3.12.
Este equipamento é usado como elo de ligação de três sistemas elétricos com níveis de tensão
diferentes, como exemplificado na figura. Um outro exemplo prático é o suporte extra de reativos, como
ocorre no sistema de transmissão de Itaipu, onde nas subestações de Ivaiporã e Itaberá, tem-se grandes
transformadores de 1650 MVA e relação de transformação 765/525/69 kV [5].
Fig. 3.12. Aplicação prática de um transformador trifásico de três enrolamentos [4].
Os enrolamentos de um transformador de três enrolamentos podem apresentar potências nominais
diferentes. A impedância de cada enrolamento pode ser expressa em valor percentual ou em pu, tomando por
base os valores nominais de seus próprios enrolamentos, ou podem ser realizados testes para determinar as
impedâncias. Em qualquer caso, todas as impedâncias em pu no diagrama de impedâncias devem ser
expressas em relação a uma mesma potência de base. As bases de tensão mudam de acordo com as relações
das tensões de linha nominais entre os lados.
Como nos transformadores de dois enrolamentos a impedância nominal é obtida através do ensaio de
curto-circuito, usando apenas dois enrolamentos de cada vez, enquanto o outro fica a vazio (com seus
terminais abertos). O ensaio é feito de acordo com a tab. 3.1.
11
Tab. 3.1. Sequência de medição para determinar as impedâncias do transformador de três enrolamentos.
Ensaio Aplica-se tensão Curto-circuito Fica aberto Mede-se
01 no primário no secundário terciário psZ
02 no primário no terciário secundário ptZ
03 no secundário no terciário primário stZ
psZ = impedância do primário ao secundário, referida ao primário;
ptZ = medida no primário com o secundário aberto e o terciário em curto;
stZ = impedância do secundário ao terciário, referida ao secundário.
As impedâncias supracitadas não são adequadas para compor um circuito equivalente por fase. A
melhor representação é como indica a fig. 3.13, que faz uso das impedâncias Zp, Zs e Zt.
Fig. 3.13. Circuito equivalente por fase de um transformador de três enrolamentos,
com os terminais p, s, t (primário, secundário, terciário).
Essas impedâncias estão relacionadas às impedâncias obtidas dos ensaios referidos pela tab. 3.1 por:
)(2
1stptpsp ZZZZ
)(2
1ptstpss ZZZZ
)(2
1psstptt ZZZZ
(3.18)
Exemplo 3.6: os valores nominais de um transformador trifásico de três enrolamentos são:
Primário: conexão Y, 66 kV, 15 MVA.
Secundário: conexão , 13,2 kV, 10 MVA.
Terciário: conexão , 2,3 kV, 5 MVA.
Desprezando as resistências, as impedâncias percentuais são:
Zps = 7% na base 15 MVA, 66 kV.
Zpt = 9% na base 15 MVA, 66 kV.
Zst = 8% na base 10 MVA, 13,2 kV.
Primário
Terciário
Secundário
Y
Calcule as impedâncias e desenhe o circuito equivalente tomando como base 15 MVA e 66 kV no primário.
Solução: as bases de tensão para os lados secundário e terciário são dadas pelas relações de tensão de linha,
isto é, 13,2 kV e 2,3 kV, respectivamente. Como Zps e Zpt são medidas no primário, já estão expressas na
base apropriada. Para Zst será necessária mudança de base de potência. Com (3.9):
puMVA
MVA
kV
kVZstnova 12,0
10
15
2,13
2,1308,0
2
Aplicando (3.18) obtém-se:
pujjZ p 02,0)12,009,007,0(2
1
pujjZs 05,0)09,012,007,0(2
1
pujjZt 07,0)07,012,009,0(2
1
O diagrama de impedância por fase é:
12
3.4.3 Linhas de transmissão aéreas
Os parâmetros das linhas de transmissão são em geral:
• parâmetros em série: indutância e resistência;
• em shunt (paralelo ou derivação): condutância e capacitância.
Como as linhas aéreas trifásicas são suficientemente equilibradas nos sistemas de energia, podem ser
representadas por circuitos unipolares, constituídos de fase e neutro. O neutro é representado sem parâmetros
elétricos, pois INeutro = 0 em sistemas equilibrados. Em linhas aéreas a condutância pode ser desprezada,
restando na parte shunt apenas o efeito capacitivo [3].
As linhas de transmissão podem ser classificadas em linha curta, média e longa. Em [6] é proposta a
classificação orientadora baseada no comprimento da linha e nível de tensão. Já na referência [3] a
classificação é feita de forma mais simples, como:
a) linha curta: comprimentos até 80 km;
b) linha média: 80 a 240 km;
c) linha longa: mais de 240 km.
O emprego de uma ou outra classificação depende do grau de precisão desejado nos cálculos. Na
dúvida, pode-se recorrer à classificação mais rigorosa. Cada tipo de linha está associado a um modelo de
circuito a parâmetros concentrados, ou seja, tem-se um modelo para linha curta, outro para linha média e
outro para linha longa. Estes modelos atendem aos propósitos de estudos como, por exemplo, fluxo de
carga, curto-circuito e estabilidade [6].
Vale ressaltar que nas linhas em geral a impedância série varia com o seu comprimento. Para
sistemas com tensões elevadas, por exemplo, 500 kV ou 750 kV, a reatância série XL é bem maior que a
resistência série R (da ordem de 20 a 30 vezes maior). Para níveis mais baixos, o valor relativo da resistência
aumenta e, para sistemas de distribuição, estes valores são comparáveis [5].
a) Modelo para linha curta
A capacitância shunt para terra (também conhecida como line charging) das linhas curtas é pequena,
e normalmente pode ser desprezada sem perda apreciável de precisão. Assim, considera-se como parâmetros
concentrados a resistência em série R e a indutância em série L para todo o comprimento da linha, conforme
ilustra a fig. 3.14 na qual XL = L.
Z= R +jXL
Fig. 3.14. LT curta, onde R e XL são os valores totais da linha.
b) Modelo para linha média
Uma linha aérea média pode ser representada por uma impedância composta por parâmetros
concentrados R e L série e, por uma admitância em derivação que contempla o efeito capacitivo C. Um
modelo muito utilizado é o modelo -nominal, no qual a admitância total é dividida em duas partes iguais,
colocadas nas extremidades, ver fig. 3.15.
Z= R +jXL
Y/2Y/2
Fig. 3.15. Modelo -nominal para uma LT média.
13
• Sendo a admitância total: Y = j/Xc, em siemens, então em cada extremo:
Y/2 = j/(2Xc)
Onde Xc é a reatância capacitiva total da linha (em ohms).
• Caso queira expressar usando a impedância (ohms) tem-se:
Impedância total da linha: ZcTotal = -jXc. Então, em cada extremo:
Zc = -2jXc.
c) Modelo para linha longa
Neste caso o circuito equivalente representa a linha com precisão desde que se esteja em interesse
apenas as medidas dos valores de tensões, correntes, potências nas extremidades da linha. A maioria dos
programas de computador adotam o modelo para estudos de fluxo de potência, curto-circuito e
estabilidade, mesmo para linhas longas. Nestas ocasiões, para manter-se a precisão, adota-se o circuito -
equivalente, o qual possui também uma impedância em série agora simbolizada por Ze duas admitâncias
em derivação 2/Y em cada extremidade, como mostra a fig. 3.16.
Z’
Y’/2 Y’/2
Fig. 3.16. Circuito -equivalente para LT longa.
Este modelo é adequado para a representação das linhas longas em regime permanente, sendo [6]:
l
lsenhZZ
)( (3.19)
2/
)2/(
22 l
ltghYY
(3.20)
onde: ZYlzyl ; Z e Y são a impedância e admitância totais da linha, respectivamente.
3.4.4 Modelo para barramento, disjuntor e chave
Fisicamente, as barras ou barramentos são condutores elétricos com resistência desprezível, quando
comparada com a impedância de linhas e transformadores. Isto justifica sua representação de circuito na
forma de nós elétricos. Em geral as barras estão localizadas nas subestações e podem ser constituídas de
várias seções de barras ligadas através de chaves seccionadoras ou disjuntores.
Disjuntores e chaves são dispositivos que permitem conectar ou desconectar condutores de uma rede
elétrica. Na modelagem de circuitos a posição aberta representa uma impedância infinita e fechada um curto-
circuito. Embora tenham o mesmo papel lógico (abrir e fechar), sua construção e operações são bastante
distintas:
• o disjuntor está ligado ao sistema de proteção e opera automaticamente quando algum evento é
detectado pelo relé a ele associado;
• as chaves, manuais ou mecânicas, são usadas para reconfigurar o sistema e atender às necessidades
de desenergização para manutenção.
14
A fig. 3.17 exemplifica um barramento do tipo simples com chaves e disjuntores conectando a barra
a uma linha que chega [5]. Existem diversos tipos de configurações de barramentos utilizados nas
subestações, cujo estudo, todavia, foge ao escopo deste capítulo.
Fig. 3.17. Barramento tipo simples [5].
3.4.5 Conceito de barramento infinito
Uma barra infinita representa um grande sistema de potência de tal forma que a tensão e a frequência
nesta barra são constantes. Em termos de circuitos elétricos é modelada por uma fonte de tensão ideal (sem
impedância interna), ver fig. 3.18.
Fig. 3.18. Modelo da barra infinita.
3.4.6 Modelos para cargas
No contexto de sistema elétrico, a carga, suas variações no tempo (ativa e reativa) e outras questões
foram estudas no Capítulo 02 (ver Seção 2.1.7). Aqui se apresenta modelos para seu emprego em um circuito
elétrico que representa um sistema de potência em estudo. Os modelos usuais para as cargas são:
• modelo de potência constante, no qual utiliza-se valores constantes de potências ativa e reativa
(usado em estudos de fluxo de potência por exemplo), como ilustra o primeiro diagrama da fig. 3.19;
• impedância (ou admitância) constante, representado cargas passivas;
• impedância em série com força eletromotriz (representa máquinas rotativas as quais contribuem
para alimentar correntes de curto-circuito);
• de corrente constante (não ilustrado na fig. 3.19).
Fig. 3.19. Modelos de cargas.
3.5 Resumo
Passando para pu, a potência de base é única para um determinado sistema. Por outro lado as bases
de tensão e, por conseguinte, de corrente e impedância, mudam devido a relação de transformação dos
transformadores do sistema.
As informações sobre o sistema no diagrama unifilar dependem do estudo requerido. Por exemplo:
• a localização de disjuntores e relés não é importante no estudo de regime permanente;
• em curto-circuito as capacitâncias shunts das linhas de transmissão podem ser desprezadas;
• em situações de falta, a estabilidade do sistema depende do tempo de atuação dos relés e
disjuntores para isolar a parte do sistema com defeito, cujos dados devem estar disponíveis.
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Em resumo, o estudo é feito da seguinte maneira:
Os valores no circuito monofásico equivalente são expressos em pu. Essa representação é mais
simples e adotada mundialmente. As impedâncias em ohms das LTs são transformadas para pu usando a
impedância de base Zbase calculada para cada Vbase, de cada local do sistema. Quando necessário, os valores
das impedâncias em pu de equipamentos são adequados à nova base adotada no estudo (mudança de bases).
3.6 Como escolher as bases?
O procedimento usual para a escolha das bases é:
a) Base de potência aparente: adota-se para todo o sistema uma única potência base Sbase.
b) Bases de tensão: escolhe-se uma tensão base Vbase em um certo local do sistema. Este valor
determina as tensões base nos outros níveis de tensão, através da relação de transformação das tensões de
linha dos transformadores presentes. A referência [7] fornece algumas dicas:
• as bases escolhidas inicialmente devem ser tais que conduzam à obtenção sempre que possível, de
valores pu de tensões e correntes próximos de 1, para simplicidade de cálculo;
• por outro lado, haverá grande economia de tempo se a escolha for feita de modo a que poucos
valores pu tenham que ser convertidos a novas bases.
3.7 Vantagens do uso de pu
• simplifica os cálculos;
• fabricantes de equipamentos fornecem nos dados de placas os valores das impedâncias em % ou
em pu, tendo como base seus valores nominais;
• traz uma familiaridade com os valores em pu para diferentes tipos de equipamentos, com diferentes
tensões e potências nominais, podendo-se inclusive usar em estudos valores típicos disponíveis em tabelas
(em termos ôhmicos os valores podem diferir bastante);
• nos computadores, os valores são da mesma ordem de grandeza, resultando em maior precisão;
• proporciona direta interpretação de resultados em pontos diversos do sistema como consumos de
potência, elevações ou diminuições de tensões, correntes, etc., visto que os valores já são relativos.
3.8 Elaboração do circuito em pu - exemplo completo e exercícios propostos
Apresenta-se a seguir um exemplo completo da elaboração de um circuito equivalente em
pu, também conhecido como diagrama de impedância em pu.
São também propostos dois exercícios.
O texto foi extraído do capítulo 1 da referência [4] (porém, usando a 5ª edição modificada e
ampliada de 2010).
Sistema de potência Circuito monofásico equivalente • Diagrama unifilar
• Modelos dos elementos
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21
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Exercícios gerais
Obs.: algumas respostas estão no final.
(01) Seja uma parte de um sistema elétrico trifásico como mostra o diagrama unifilar abaixo. As
resistências dos enrolamentos dos transformadores foram desprezadas.
Tomando como base 10 MVA e 138 kV no trecho da linha de transmissão:
(a) Indicar no diagrama unifilar as tensões de base Vb nos trechos conectados pelos
transformadores; também calcular para cada trecho a impedância de base Zb e a corrente de base Ib.
(b) Determinar o circuito monofásico em pu do sistema.
(02) Determinar o diagrama de impedâncias em pu do sistema abaixo, adotando como base 69 kV e
100 MVA na linha de transmissão. Dados da carga: 8,0 MW, fator de potência FP = 0,92 (indutivo
ou atrasado) e tensão de operação 13,2 kV.
13,8 kV 12 MVA X ’ = 30%
13,8 / 69 kV 1 5 MVA , X = 7 %
69 / 13,8 kV 1 5 MVA , X = 7 %
90 km R = 0,24 /km X L = 0,50 /km
X C = 3 00 k *km
E m 13,2 kV 8,0 MW
FP = 0,92 (atrasado)
(03) Seja o diagrama unifilar de um sistema radial. Defina as bases e calcule a tensão Vs em pu e
seu módulo em kV (tensão fase-fase ou linha), que deve ser mantida na barra dos terminais do
gerador, para que a carga seja alimentada com 30 kV (fase-fase ou de linha).
Dados:
Gerador: 50 MVA, 11 kV, X = 10%.
Transformador Tr1: 50 MVA, 11/132 kV, X = 0,10 pu.
Linha de transmissão (LT): impedância Z = j100 (resistência desprezada).
Transformador Tr2: 50 MVA, 132/33 kV, X = 0,12 pu.
Carga trifásica em Y: operando com 36 MW em 30 kV e FP = 0,80 indutivo.
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(04) Um sistema de potência trifásico é representado pelo diagrama unifilar abaixo. Dados:
Linhas de transmissão: LT1 = 0,1 + j0,5 Ω e LT2 = 1,0 + j2,5 Ω.
Transformador: 13,8 kV / 69 kV, 100 MVA, X = 10% (resistência desprezada).
Carga: operando com 40 MVA, FP = 0,95 indutivo e tensão 65,5 kV.
Com as bases 100 MVA e 13,8 kV no trecho do gerador, calcule:
(a) A corrente em pu e seu módulo em kA, nos dois trechos separados pelo transformador.
(b) A tensão Vs nos terminais do gerador em pu e seu módulo em kV.
(c) As tensões nos terminais do transformador, nos lados de baixa e de alta, em pu e em kV.
(d) A potência aparente complexa fornecida pelo gerador em pu e em MVA. As potências
ativa e reativa fornecidas pelo gerador em pu e em suas respectivas unidades.
Sugestão: no final organize os resultados em uma tabela.
(05) (a) Elabore o circuito equivalente em pu para o sistema de potência abaixo. Despreze as
resistências e use uma base de 50 MVA e 138 kV na linha de 40 . Dados:
Gerador (1) e gerador (2): 20 MVA, 13,2 kV, X = 15%.
Motor síncrono (3): 30 MVA, 6,9 kV, X = 20%.
Transformadores YY: 20 MVA, 13,8 / 138 kV, X = 10%.
Transformadores Y: 15 MVA, 138Y / 6,9 kV, X = 10%.
(b) Se a tensão na barra C do problema anterior for de 6,6 kV quando o motor absorver 24 MW
com FP = 0,8 adiantado (capacitivo), calcule as tensões das barras A e B. Suponha que os dois
geradores dividem a carga igualmente. Dê a resposta em pu e em volts em relação à base escolhida
anteriormente.
(c) Calcule as tensões nas barras A e B, quando o disjuntor que interliga o gerador 1 à barra A
estiver aberto enquanto o motor solicita 12 MW na tensão de 6,6 kV com FP = 0,8 adiantado. Todos
os outros disjuntores permanecem fechados.
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(06) Um gerador trifásico é ligado, através de um banco de transformadores (três transformadores
monofásicos) T1 (Y), a uma LT de alta tensão. No outro extremo da linha tem-se um outro banco
de transformadores T2 abaixador (YY) alimentando uma carga. Dados:
Gerador: 15 MVA, 8,5 kV, X = 20%.
T1: banco Y, com 3 transf. monof. de 6,67 MVA cada, tensões de fase 10 kV/100 kV, X = 10%.
T2: banco YY, com 3 transf. monof. de 6,67 MVA cada, tensões de fase 100 kV/10 kV, X = 10%.
Linha de transmissão: reatância X = 70 (resistência desprezada).
Carga trifásica: 10 MVA operando com 12,5 kV e FP = 0,80 indutivo.
Determine:
(a) O circuito equivalente em pu. Adote como bases 10 MVA e 12,5 kV no circuito da carga.
(b) Calcule a tensão terminal do gerador Vs, em pu e seu módulo em kV.
(07) Os valores nominais trifásicos de um transformador de potência com três enrolamentos são:
Primário: 66 kV, 10 MVA;
Secundário: 13,2 kV, 7,5 MVA;
Terciário: 2,3 kV, 2,5 MVA.
Desprezando as resistências, as impedâncias de dispersão são:
Zps = 7%, base 10 MVA e 66 kV;
Zpt = 9%, base 10 MVA e 66 kV;
Zst = 6%, base 7,5 MVA e 13,2 kV.
Se uma fonte de tensão constante (barramento infinito) é ligado ao primário do
transformador, um motor síncrono ao secundário e uma carga resistiva ao terciário, determine o
circuito equivalente em pu, para a base 10 MVA e 66 kV no primário. Os outros dados estão no
diagrama unifilar abaixo.
50 km
R = 0,20 /km
XL = 0,50 /km
2 km
R = 0,50 /km
XL= 0,50 /km
2,3 kV
5 MW
FP = 1,0
Motor síncrono:
7,5 MVA,
13,2 kV
X = 20%
Barra
infinita
(66 kV) p s
t
25
Referências bibliográficas
[1] ARAÚJO, C. A. S., SOUZA, F. C., CÂNDIDO, J. R. R., DIAS, M. P., Proteção de Sistemas Elétricos,
Ligth/Interciência, Rio de Janeiro-RJ, 2002.
[2] ARRUDA, C., Apostilas do Prof. Colemar Arruda – Curso de Eng. Elétrica, EEEC/UFG.
[3] STEVENSON W. D. Jr., “Elementos de Análise de Sistemas de Potência”, McGraw-Hill, 2a Ed. em
Português (4a Ed. americana), São Paulo–SP, 1986.
[4] KINDERMANN G., “Curto-Circuito”, SAGRA-DC LUZZATTO, 1a Ed., Porto Alegre–RS, 1992.
[5] MONTICELLI A., GARCIA A., “Introdução a Sistemas de Energia Elétrica”, Editora da Unicamp,
Campinas–SP, 2000.
[6] FUCHS R. D., “Transmissão de Energia Elétrica – Linhas Aéreas”, Livros Técnicos e Científicos (LTC)
Editora S.A., 2a Ed., Rio de Janeiro–RJ, 1979.
[7] COTRIM, A. A. M. B., “Instalações Elétricas”, Makron Books, 3a Ed., São Paulo, 1992.
Algumas respostas dos exercícios gerais (03) Em kV: |Vs| = 14,03 kV (tensão fase-fase ou de linha).
(04) Alguns resultados:
Variável: Valor em por unidade: Na unidade:
Corrente no lado de alta tensão do transformador: I = 0,4214-18,1949 pu Em módulo: 0,3526 kA
Corrente no lado de baixa tensão do transformador:
Tensão na barra de saída do gerador: Vs = 1,04518,6111 pu Em módulo:14,42 kV
Tensão nos terminais de baixa do transformador: Vtb = 0,97953,4116 pu Em módulo: 13,52 kV
Tensão nos terminais de alta do transformador: Em módulo: 66,57 kV
Potência aparente complexa fornecida pelo gerador: SG = 39,31 + j19,86 MVA
Potência ativa fornecida pelo gerador:
Potência reativa fornecida pelo gerador:
(05) (b) VA = 0,851810,8 pu. |VA| = 11,75 kV.
(c) VA = 0,91763,4 pu. |VA| = 12,66 kV. VB = 0,88366,9 pu. |VB| = 12,19 kV.
(06) (b) Vs = 1,15789,4 pu. Em kV: |Vs| = 8,36 kV (tensão de linha).