3 integrais ii estratégias
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IV. Técnicas de integração
Quando o integral (definido ou indefinido) não é imediato ou quase imediato, recorremos a outras técnicas de integração.
Integração por substituição (mudança de variável)
Seja uma primitiva da função e uma função derivável tal que , , . Podemos então considerar a função composta , , .
Aplicando a Regra da Cadeia
logo,
, .
Para simplificar esta expressão podemos considerar e portanto (consultar guião M@t b_Complementos de Derivação).
Substituindo na igualdade anterior , . De
seguida
vamos
resolver
o exemplo
da
página
15
do
Guião
integrais
‐Parte
I, utilizando,
agora, o método de integração por substituição.
Exemplo
Calcule o integral 315 .
315 315 Fazendo
1 5 então
Integrais
Parte II
Recorde que:
Se é uma primitiva de temos
Passos auxiliares:
. Considera‐se a mudança de variável: 1 5
.
1 5
10. Calcular o integral em ordem a
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10. Para aplicar a fórmula é necessário introduzir o factor 10 no integrando, pelo que se
multiplicará o integral por , 315 1015 15 10 310 310
15 1
31045
38 . Repare que após a mudança de variável e a resolução do integral obtemos uma função na
variável
,
que
não
é
a
variável
inicial
da
função
que
estamos
a
integrar.
É
por
isso
necessário
voltar
a
efectuar uma mudança de variável.
Como 15, 315 38 15 , .
O Método de Integração por Substituição ou também designado por Mudança de
Variável é dado por
Para aplicarmos este método é necessário efectuarmos os seguintes passos:
I. Substitui‐se a variável dada por outra variável (função de substituição)
;
II.
Substitui‐se por dado que ; III. Integra‐se a função obtida em ordem à nova variável ; IV. Volta‐se à variável original substituindo por .
, .
Fazendo e substituindo por , obtemos
Sendo uma primitiva de .
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Exemplo 1:
Calcule .
ln ln 1 Fazendo ln então
1 .
ln 1 2
Como ln , 2 , .
Exemplo 2:
Calcule, por mudança de variável, o integral definido
. ./ Calculemos o integral indefinido . , utilizando a mudança de variável: . Então
. Substituindo vem:
. , .
.
Sendo uma função contínua no intervalo , , o cálculo do integral definido de em , efectua‐se, calculando o integral indefinido e no final aplicando o 1º Teorema Fundamental do Cálculo.
Cálculos auxiliares:
. Considera‐se a mudança de variável: ln . ln
. Calcular o integral em ordem a
. Depois de calculado o integral, substitui‐se novamente, desta vez por
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Substituindo novamente, desta vez por : . 7 , .
Assim, dado que o domínio da expressão integranda é
,
. .
7
/
.
Como alternativa à resolução apresentada, poderíamos ter utilizado o Teorema da Mudança
de Variável.
Vamos aplicar este teorema para resolver o exemplo anterior.
Utilizando a mudança de variável , e substituindo 0 0 0 0 e 1
.
7 17
,
Teorema
da
Mudança
de
Variável
Sejam
e
funções reais de variável real, e
uma função derivável, contínua e invertível em
,, com
derivada
contínua
em
,,
onde . Com a aplicação deste teorema não é necessário voltar à variável original após integração, no entanto, é necessário alterar os extremos de
integração.
e
Atenção:
Quando usamos o método de substituição
no cálculo de um integral definido , temos que ter o cuidado de efectuar a substituição dos extremos de
integração na primitiva da função, depois
desta estar na variável inicial.
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Exercícios
1. Calcule:
1.1. √ ; 1.2. ; 1.3. √ . 1.4. 1.5. √ 3 7 1.6. √ √ 1.7.
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Tal como não é verdade que
não é verdade que
, .
Vamos trocar o papel das funções.
Façamos: e Temos que
Aplicando a fórmula de integração
por partes vem:
= Como podemos observar, neste caso é
imediato resolver
o
integral.
Repare que:
Nestes casos
apenas
precisamos
de
uma
primitiva
e não
da família de primitivas. Por uma questão de
sim li ica ão consideramos sem re 0.
2 ,
2.Integração por partesEste método é baseado na regra da derivada do produto. Dadas duas funções reais de variável real e , deriváveis, temos que:
logo,
.
Este método é aplicável sempre que estamos perante um produto de funções e se conhece
uma primitiva de pelo menos um dos factores.
Exemplo:
Calcule o integral
indefinido
. A função a primitivar é um produto de dois factores (método de integração por partes). Como sabemos integrar qualquer das funções, aparentemente, a escolha é indiferente.
Façamos e Aplicando a fórmula de integração por
partes vem:
. Integração por partes
Sejam
e
duas funções reais de variável real, deriváveis, então
Nota: pode ser uma qualquer primitiva de ′ .
O problema complicou‐se,
obtendo‐se uma nova primitiva produto da
exponencial por um polinómio do 2º grau.
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Exemplo:
Calcule o integral definido . Note que , e é continua em . Vimos no exemplo anterior que
.
Logo,
3 1 2 2.
Exemplo:
Calcule o integral indefinido
.
Cálculos auxiliares: 22 22 12
22 12
2 , .
22 4 , .
Se conhecermos a primitiva de ambos os factores, devemos escolher para derivar aquele que mais
simplifica por derivação.
.
O integral definido da função no intervalo , , sendo esta contínua nesse intervalo, é dado por:
Em
geral,
como
escolher
e
?
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Exemplo:
Calcule o integral indefinido . 1
Cálculos auxiliares:
1 , .
Exemplo:
Calcule o integral . Na primeira parte do guião resolvemos este integral recorrendo às fórmulas trigonométricas.
No entanto, este integral também pode ser resolvido utilizando o método de integração por partes.
Repare que:
. Aplicando o método de integração por partes vem:
Cálculos auxiliares:
Se o integrante for uma única função, que não sabemos integrar mas que se simplifica por derivação (como
o caso
do
logaritmo
e das
funções
trigonométricas
inversas),
escreve
‐se
1 e escolhe‐se obviamente a função para derivar e a função constante, 1, para integrar.
Se só um dos dois factores admite uma primitiva imediata, escolhemos esse para primitivar e o outro
para derivar. Por exemplo, as funções trigonométricas inversas (arcsen, arcos, arctg) e as logarítmicas
não admitem uma primitiva imediata logo, devem ser escolhidas para derivar.
Os
polinómios
devem
ser
escolhidos
para
derivar
quando
não
é
imediata
a
integração
do
outro
factor.
Neste caso temos apenas uma função
que não sabemos integrar, contudo esta
primitiva calcula‐se usando o método de
integração por partes uma vez que podemos
considerar
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1 1
2 2 , .
Exercícios
1. Calcule:
a. ;
b. ;
c. ;
d. √ ;
e. ; f.
.
Pela aplicação sucessiva da regra de integração por partes, pode aparecer no segundo membro um integral
igual
ao
que
se
pretende
calcular.
Isola‐
se
então
esse
integral
e
resolve‐
se
a
equação.
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3. Integração de funções racionais
Chama‐se função racional a qualquer função da forma , onde e são
polinómios em
e
0.
O cálculo da primitiva de algumas funções racionais é imediato ou quase imediato. Nestes casos incluem‐se as funções cujas primitivas são funções logarítmicas ou trigonométricas inversas. Vejamos alguns exemplos.
3 1 | | , .
1
12
2 1
12 |
1 | , .
1 1 , . Podemos ainda ter outra situação, como por exemplo:
1 1 1 , . Existem no entanto outras funções racionais em que estas regras não se aplicam.
Neste caso,
duas
situações
podem
acontecer:
Exemplo:
5 7 2 3
Exemplos:
1 3 4 4 2 3
I. o grau do polinómio do numerador é menor do que o grau do polinómio do denominador;
II.
o
grau do
polinómio
do
numerador
é
maior ou
igual
do
que
o
grau
do
polinómio
do
denominador.
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Quando nos encontramos na situação II, vamos simplificar a fracção racional aplicando o algoritmo da divisão aos polinómios.
A aplicação do algoritmo a divisão à nossa função racional (quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador) permite‐nos escrevê‐la como a soma de um polinómio com uma função racional cujo grau do numerador é menor que o grau do denominador.
Por vezes esta decomposição basta para resolver o integral.
Exemplo:
Calcule
1 . A função integranda é uma função racional cujo grau do numerador é maior que o grau do
denominador. Vamos por isso aplicar o algoritmo da divisão.
Algoritmo da
divisão
|
Assim,
1 1 1 1 1 1 1
3 , .
4 1 Então
Algoritmo da divisão
.
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Vamos decompor o polinómio 2 3 . Calculemos os zeros do polinómio.
Aplicando a fórmula resolvente:
Logo 2 3 1 3
2 3 0 2 2 4 1 32 1
2 √ 412
2
1 3.
encontra‐se na situação I, visto que ao efectuar o algoritmo da divisão o grau do polinómio é sempre menor do que o grau do polinómio . Exemplo:
Calcule
3 4 4 2 3 . Algoritmo da divisão
|
3 4 4 2 3 1 5 7 2 3
2
Decomposição em Fracções Parciais
A resolução do integral de uma fracção racional quando o grau do numerador é menor que o grau do denominador é efectuada usando o método das fracções parciais.
Este processo consiste em separar uma dada fracção numa soma de fracções com denominadores mais simples.
Para tal, temos que factorizar o denominador.
3 3 2 4 42 2 3 1 5 7 2 2 3 Então
Factorizar o denominador
Factorizar um polinómio é decompô‐lo num produto de polinómios de grau inferior.
Ver mais Guião 2 do M@tb.
Não é um integral imediato/quase imediato. 5 7 2 3
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Para obter a decomposição em fracções parciais seguimos os seguintes passos.
Exprimir o denominador como produto de factores e/ou factores irredutíveis do tipo .
Caso
existam
factores
repetidos,
agrupamo‐los
de
modo
que
se expresse como o produto de factores diferentes da forma e/ou , onde , .
Aplicam‐se as seguintes regras:
Regra 1:
A cada factor da forma , 1, corresponde na decomposição às seguintes de fracções parciais:
onde cada é um número real.
,
Qualquer expressão racional (tal que o grau de é inferior ao grau de ) pode
escrever‐se como soma de expressões racionais cujos denominadores envolvam potências de polinómios de grau 1 ou de grau 2 sem raízes reais, então
onde
onde , e , , onde é irredutível (polinómio de grau dois que não admite raízes reais).
A soma
designa‐se por decomposição em fracções parciais de
e cada
é uma
fracção
parcial.
Passo 1
Passo
2
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Voltando ao último exemplo, pretendemos calcular
, para isso vamos escrever a
fracção como soma de fracções mais simples, utilizando o método de decomposição em fracções parciais.
Temos que 5 7 1 3 1 3 3 1
5 7 1 3 3 1 1 3 . Logo
5 7 1 3 7 5 7 3 3 2.
A este método chama‐se Método dos Coeficientes Indeteteminados. Por este ser um sistema de equações lineares, pode ser resolvido pelo Método de Eliminação
de Gauss‐Jordan ou regra de Cramer.
O cálculo
das
constantes
e pode ainda ser feito tomando‐se valores de que anulem os respectivos coeficientes, que neste caso são 1 e 3. 1. Fazendo 1 na igualdade 5 7 1 3, temos
5 1 7 1 1 1 3 12 4 124 3. 2.
Fazendo 3 na igualdade 5 7 1 3, temos 5 3 7 31 33 8 4 2.
Regra 2:
A cada factor da forma , onde n 1 e é irredutível, corresponde na decomposição
,
às seguintes
fracções parciais,
onde, para cada , e são números reais.
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Esta regra é compensatória quando os valores de que anulem os coeficientes não são repetidos.
Determinados A e B tem‐se 5 7 1 3
3 1
2 3.
Logo 5 7 2 3 3 1 2 3
3 1 1 2 1 3 3 ln| 1| 2 ln| 3| , . Assim, voltando ao cálculo do integral da página 12, temos
3 4 4 2 3 1 5 7 2 3 2 3ln | 1| 2 ln| 3| , . Exemplo:
Calcule . A
função
integranda
é uma
função
racional
cujo
grau
do
numerador
é menor
que
o grau
do
denominador. Então vamos exprimir o denominador como um produto de factores de grau 1 e/ou grau 2 sem raízes reais.
Factorizando o denominador escrevemos
1. Como o factor aparece repetido,
1.
Neste caso, como os factores são todos da forma , aplicamos a regra 1.
0. 0
1 0
1 0 0 1 0 0 0 1 1 1
Vamos decompor o polinómio . Calculemos os zeros do polinómio.
Colocando em evidência o termo em , Aplicando
a lei
do
anulamento
do
produto:
Logo
Passo 2
Passo
1
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Portanto, temos uma decomposição da forma
2 1
2 1 1
1,
onde , e são constantes a determinar. Para determinar essas constantes utilizamos o Método dos Coeficientes Indeterminados:
2 1 1 1
2
1 1 1 1
1
logo 2 1 1 1 2 1 2 0 1
1 1 3 . Assim
2 1 1 1 1 3 1. Temos portanto
2 1 1 1 1 3 1 || 1
3 | 1| , .
Já estudamos os casos em que a factorização de resulta num produto de polinómios de grau 1. Vamos agora analisar situações em que na factorização de estão presentes polinómios irredutíveis de grau 2.
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Exemplo:
Calcule .
é uma função racional, em que o grau do polinómio numerador é menor que o grau do polinómio
denominador.
Passo 1
Decompor o polinómio num produto de polinómios de grau 1 e/ou em polinómios de
grau dois irredutíveis (polinómio de grau dois
sem raízes reais)
Agrupar os factores repetidos, se existirem.
Passo 2
Escrever a função como soma de fracções
parciais (neste caso, são duas).
Determinar as incógnitas
Calcular cada
uma
das
primitivas
1
3 1
1
1 1
3 1 1 1 1 3 1 1 1
3 1 0 3 1 1 3 1
3 1 1 1 1 3 1
Método dos Coeficientes Indeterminados.
Assim
3 1 1 1 3 1 || 1 3 1 1 || 1
2 2
1 3 || 1
2ln| 1 | 3 , .
3 1 3 12 1 2 1 Regra 1 Regra 2
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Regra
1 Regra
2
Exemplo
Calcule . A
função
integranda
é
uma
função
racional
cujo
grau
do
numerador
é
menor
que
grau
do
denominador.
Factorizando o denominador escrevemos
2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2, logo
3 2 2 2 3 1 12 2 2 2 2 2 . Analisando os factores repetidos, agrupam‐se de modo a que se expresse como o
produto de factores diferentes da forma e/ou , onde , logo, 3 2 2 2 3 1 2 2
Neste caso,
temos
a decomposição
da
forma
3 2 2 2 1 1 2 2 2 2
onde ,1,2, 1, 2, 1e são constantes a determinar. Após determinar as incógnitas, temos que integrar cada uma das parcelas.
Polinómio Parcelas
1 1 1 2 2 2 2 2 2
Passo
2
Passo 1
-
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No cálculo de integrais de funções racionais aplicamos normalmente as seguintes regras: , , . || , . , .
Exercícios
1. Calcule:
a.
;b. ; c. ; d. ; e.
.
Resumo:
Considere a função racional , com 0.
Se o grau
de
for maior ou igual ao grau de efectua‐se a divisão dos polinómios, aplicando‐se posteriormente, se necessário, o processo de decomposição de fracções parciais.
Se
o
grau
de for menor ao grau de utiliza‐se, se necessário, o processo de decomposição em fracções parciais.
Processo de decomposição em fracções parciais
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4. Outras mudanças de variável
Uma das principais dificuldades na integração por substituição reside na escolha da mudança
de variável.
Quando as funções a integrar têm determinadas características, podem ser utilizadas
mudanças de variável aconselhadas, como apresentamos a seguir. Muitas destas mudanças de
variável produzem o integral de uma função racional.
Exemplo
Calcule √ √ .
√ 1√
2 / 1/ 2
Como o menor múltiplo comum dos índices das raízes, 2,4 4 , efectuamos a substituição: 4 .
Assim temos
√ 1√ 2 / 1/ 2 4 1 2 4 4 2 .
/ , / , … Para
calcular
o integral
de
funções
que
resultam
de
operações
racionais
de expressões do tipo
deve‐se calcular o mínimo múltiplo comum entre , …. .. ,,… . Então a mudança de variável aconselhada é
. Após esta mudança de variável temos o integral de uma função racional.
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Algoritmo da divisão
|
4 2 4 2 5 10 20 40 2
4 2 5 10 20 40 1 2
45 24 53 102 20 40ln | 2| 4 5 2 203 20 80 160ln | 2| , .
Para voltamos à variável original, neste caso , temos que: √
√ 1√ 1 4 √ 5 2 √ 20√ 3 20 √ 80 √ 160ln √ 2 4 √ 5 2 20√
3 20 √ 80√ 160ln √ 2 , .
5 3 2 40 Então
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Exemplo
Calcule
√ .
Calculemos o integral indefinido
1 1 √ 1 11 / 1 / .
Como o menor múltiplo comum dos índices das raízes é 2,3 6 , efectuamos a substituição:
1
.
Assim temos
1 6 .
11 1 1
6 6 6 1.
/ ,
/ , … Para calcular o integral de funções que resultam de operações racionais de
expressões do tipo
deve‐se calcular o mínimo múltiplo comum entre , …. .. ,, … . Então a mudança de variável aconselhada é
. Após esta mudança de variável temos o integral de uma função racional.
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Algoritmo da divisão
|
Voltando ao cálculo do integral:
6 1 6 1 1 1
6 1 1 1 62 ln | 1| , . Para voltarmos à variável original, neste caso , temos que:
√ 1 1 1 √ 1 6 √ 1
2
√ 1 ln √ 1 1 , . E assim, como a função
√ é contínua no intervalo 3,5,
1 1 √ 1 6 √ 1 2 √ 1 ln √ 1 1
6√ 62 √ 6 ln √ 6 1 6 √ 42 √ 4 ln √ 4 1.
Para calcular o integral de funções que resultam de operações racionais
de expressões do tipo , , … , ,… deve‐se calcular o máximo divisor comum entre , …. .. ,,… . Então a mudança de variável aconselhada é
.
6 1 6 6 6 1 6 1 1 1. Então
-
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Exemplo
Calcule . Como o
1,2 1, efectuamos a substituição:
. Assim temos . Logo, ln 1 .
1 1 . 1
1
1 1 1 1 | 1| || | 1|+c || 1 2 | 1| , .
Para voltamos à variável original, neste caso , temos que:
1 || 1 2 | 1 | 1 2 | 1 | , .
Recorde:
ln , 1 .
Repare que no integral
não é possível
colocar em
evidencia
o factor
e portanto não podemos substituir o por . Nesta situação resolvemos em ordem a ,
ou seja,
e assim,
Deste modo já é possível substituir no integral por e por .
1
1 1.
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
0 0 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1.
1 1 1 1 1 1 || 1 | 1| , .
Calculo auxiliar
A função integranda é uma função racional cujo grau do numerador é menor que o grau do denominador.
Neste caso,
como
os
factores
são
todos
da
forma
, aplicamos a regra 1. Portanto, temos uma decomposição da forma ,
onde , e são constantes a determinar.Para determinar essas constantes utilizamos o Método dos
Coeficientes Indeterminados:
logo
Assim
Temos portanto
Passo
1
Passo
2
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Exemplo
Calcule . Como o 2,4 2 , efectuamos a substituição:
2 2 . Estamos na mesma situação que no exemplo anterior, uma vez que não podemos substituir
no integral . Assim,
2 2 2 , logo, 2 .
2 4 222 2 2 2
2 .
Algoritmo da divisão
|
Para calcular o integral de funções que resultam de operações racionais
de expressões
do
tipo
ln , ln ,… , ,… deve‐se calcular o máximo divisor comum entre , …. .. ,,… . Então a mudança de variável aconselhada é .
Recorde:
2 1 2 2 Então
-
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2 1 2
2
1 2 2 2 1 2
2 | 2 | , . Para voltarmos à variável original, neste caso , temos que:
2.
24 2 2|22| , .
[PISK] Chama‐se binómio diferencial à expressão
em que , ,,,, são constantes. O integral do binómio diferencial pode ser reduzido, se ,, forem números racionais, ao integral duma função racional nos
seguintes três casos:
1)
é um número inteiro, isto é,
;
2)
é um número inteiro; 3)
é um número inteiro.
-
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Em qualquer um dos casos referidos, devemos proceder, inicialmente, à mudança de
variável seguinte:
dz zn
dx z x nn111 1
, −== .
Desta resulta o seguinte:
( ) ( ) dzbza zn
dxbxa x pq pnm +=+ ∫∫
1 onde 1
1−
+=
n
mq .
A segunda mudança de variável aconselhada depende do caso em nos encontramos,
assim,
1) se p é um número inteiro, e sendo q o número racional s
r q = , devemos efectuar a
substituição
st z = ;
2)
se n
m 1+ é um número inteiro e sendo p o número racional
μ
λ = p , devemos
efectuar a substituição
μ t bza =+ ;
3) se pn
m+
+1 é um número inteiro, isto é, pq + é inteiro, façamos primeiro a
seguinte modificação
( ) dz z
bza zdzbza z
p
pq pq⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=+ ∫∫
+ ,
e, de seguida, consideremos a substituição
μ t z
bza=
+ (
μ
λ = p ).
Exemplo 1
Calcule .
1 1 ; 1; 3
1ª mudança de variável
, logo Como
, mas
0 ,
encontramo‐nos
no
2º
caso.
-
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( )
( )
( )
( ) ( )
( )C
x
x x
x
C t
t t
t
C t t t t
dt t t
t
dt t t
t
dt t
t
tdt t t
dz z z
dz z z z
dx x x
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
−++++
+=
+⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
−++=
+⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−−++=
+
−+
−++=
+−++=
−=
−=
+=
+=
+
∫
∫
∫
∫∫
∫
∫
−
−
−−
−
11
11ln
2
11
3
1
3
2
1
1ln
2
1
33
2
1ln2
11ln
2
1
33
2
1
21
1
211
3
2
)1)(1(
11
3
2
13
2
213
1
13
1
3
11
1
3
33
3
3
3
2
2
2
4
21
2 v.m.ª2
2
31
3
2 v.m.ª1
31
2
3
23
2
331
2
3
Exemplo 2
Calcule √ .
√ 1 1
Note que 12
4
−t
t é uma função racional à variável
Algoritmo da
divisão
1
1
1
2
2
224
24
+−
++−
−
t
t
t t t
t |t
Decompondo em fracções
simples….
2
1 e
2
1
)1()1(1
11)1)(1(
1
−==⇒
−++=⇒
++
−=
+−
B A
t Bt A
t
B
t
A
t t
Para voltar à variável : 311 x zt +=+=
;
2; 21ª mudança de variável
, logo
Como , , mas 0 , encontramo‐nos no 3º caso.
1
2ª mudança de variável
‐1, logo 2
-
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( )
( )
( )
( )
( )( )
C
x
x
x
x
x
x
C t t t
C t t t
dt t t
dt t t
dt t
t
dt t
t t t
dz z
z z
dz
z
z z z
dz z z
dz z z z
dx x x
+
++
−+
−+
−=
++
−−−=
+⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−−+−=
+
−+
−+−=
+−+−=
−−=
−
−−=
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
+=
+=
+=
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
−
−
−
−−
−−
11
11
ln2
11
11ln
21
1ln2
11ln
2
1
1
21
1
211
)1)(1(
11
1
1
21
2
1
1
2
1
1
2
1
121
2
11
1
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2 v.m.ª2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
11
v.m.ª1
2
122
1
Note que 12
2
−t
t é uma função racional à variável
Algoritmo da divisão
1
1 1
1
2
22
+−
−
t
t |t
Decompondo em fracções
simples….
21 e
21
)1()1(1
11)1)(1(
1
−==⇒
−++=⇒
++
−=
+−
B A
t Bt A
t
B
t
A
t t
Para voltar à variável : 2
211
x
x
z
zt
+=
+=
1 1 1 1 1 1 2
2ª mudança de variável (após a modificação efectuada)
Logo,
-
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Na tabela
seguinte
temos
um
resumo
de
cada
uma
das
mudanças
de
variável
anteriores.
Expressão Substituição a efectuar Cálculo do integral Para voltar à
variável inicial · || 1 ·
Simplificar usando a relação trigonométrica 1
·
|| 1 · Simplificar usando a relação trigonométrica 1
· || 1 ·
Simplificar usando a relação trigonométrica
1
Para
calcular
o
integral
de
funções
que
envolvem
expressões
radicais
do
tipo
Efectuamos respectivamente a mudança de variável (substituição
trigonométrica)
, .
Estas mudanças de variável também se
aplicam se no lugar de estiver uma função linear
-
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Exemplo
Calcule √9 .1.
Função irracional quadrática incompleta da forma
√ .
Substituição: 3 3 cos . 2. Substituindo, integra‐se a função obtida em ordem à nova variável .
9 9 3 · 3 cos 99 · 3 cos 91 · 3 cos 3 3√ · cos 9 · cos 9 9
921 9422 92 94 2 92 942 92 92 , .
3. Como . No nosso caso
• 3 , , 3 , 2 , 2
• Para calcular cos usamos a relação trigonométrica
1
1 1 1 1 , ,
1 √
1 22
9 Substituindo
Como , , estamos no 1º ou 4º quadrante onde o cosseno é positivo.
3
√ 9
Em alternativa, repare que:
se tivermos o triângulo rectângulo, em que um
dos ângulos tem amplitude , o cateto oposto a esse ângulo mede e a hipotenusa do triângulo mede 3, temos, pelo Teorema de Pitágoras, que o
cateto adjacente ao ângulo é igual a √9.
Temos então que
e que
9 3
Cateto adjacente
Cateto oposto
Hipotenusa
-
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Assim
9 92 3 92 3√93 92 3 √99 , .
Exemplo
Calcule √ .Comecemos por transformar
3 2 numa diferença de quadrados. Como o coeficiente
de é negativo, teremos que colocá‐lo em evidência e seguir o processo descrito ao lado para transformar 3 2 na diferença , em que é uma função linear de .
3 2 3 2 3 2 3 4 1 2 1
Seja 1 e 2. Como 1, temos e 2 3 e portanto,
2√ 3 2 1 2 4 1 3√2 √2 3 1√2
1224 3 1√2 12 4
12 1
3 2 4 3 2 , .
2 4 .
Passos:
1. Identificar . 2. Considerar
.
3. Somar e subtrair a o valor obtido no passo anterior, ou seja,
. 4. Escrever na forma
-
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Para voltamos à variável original, neste caso , temos que: 2√ 3 2 4 1 3 12
3 2 3 12 , .
Na tabela seguinte temos um resumo da mudança de variável anterior.
Expressão Substituição a efectuar Utilizar Para voltar à
variável
inicial 2 2 21 2 21 2
21 2
2 2 21 1 21 2 1 1
2
Exemplo:
Calcule o integral . 1.
É uma função que envolve funções trigonométricas.
2.
Comecemos por fazer a mudança de variável. Tal como referido anteriormente:
2 21 , cos 1
1 e 21 dt.
Qualquer função trigonométrica ,,,… pode exprimir‐se à custa das funções e . Para calcular o integral de funções que envolvam a funções e ,
efectuamos a mudança de variável
.
-
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Calculando o integral por mudança de variável:
11 1 21 1 1 1 21
1 21 1 1 1
21 2 1 1
1 1 2 1
1 2 1
1 2 1 | 1 | , . Para voltamos à variável original, neste caso , temos que:
2
11 2 2 1
2 2 , .
-
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Exercícios
1. Calcule:
a.
√
√
√
;
b. √ ;
c. √ ;
d. √ ;
e. ;
f. √75 ; g.
; (Sugestão: Faça 1 .) h.
;
i. ( ) dx x x∫ +3 235 1 ;
j.
( )∫
+ 23
22 1 x x
dx;
k. ∫
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +14
143
x x
dx;
l.
dx x
x∫ +3 4
1 .
2.
Num certo subúrbio de uma metrópole, a concentração de Ozono no ar, , é de 0, 25 partes por milhão () às 7. De acordo com o serviço de meteorologia, a concentração de Ozono t horas mais tarde varia à razão de 0,240,03
√ 36 16 /
Determine a função que devolve a concentração de Ozono horas após as sete da manhã.
-
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M@tplus Integrais
Bibliografia
[LH] Larson,
R.,
Hostetler,
R.
e Edwards,
B.,
Cálculo,
Mc
Graw
Hill,
2006.
[ELL] Lima, L. E.; Curso de Análise, Vol.2, Projecto Euclides, Nona Edição, 1999.
[CUV] Malta I., Pesco, S., Lopes,H.; Cálculo a uma variável, Vol. II, Derivada e Integral ;
Editora PUC Rio, 2002.
[CGA] Swokowski; Cálculo com Geometria Analítica, Vol.1 , Makron Books, 1991.
[MA] Harshbarger, R. J. , Reynolds, J. J. , Matemática Aplicada – Administração,
Economia e Ciencias Sociais e Biológicas, Mc Graw Hill, 2006.
[PISK] Piskounov, N. ; Cálculo Diferencial e Integral , Vol. I e Vol. II, Ed. Lopes da Silva,
18ª edição.