1

3 Određivanje proračunskih sila na zid Z1

3.1 Ovojnica proračunskih sila

Na slici 1 prikazana je ovojnica (anvelopa) momenata savijanja. Linijom „a“ je prikazan

dijagram momenata dobiven proračunom, a linijom „b“ proračunska ovojnica koja se koristi

za dimenzioniranje zida.

Slika 1. Ovojnica momenata savijanja

Linija „a“ predstavlja ovojnicu momenata određenu za sve potresne kombinacije. Kako se pri

proračunu koristi ovojnica nije poznata kombinacija djelovanja koja daje proračunski moment

za dimenzioniranje. Stoga se za dimenzioniranje koristi najveća i najmanja uzdužna sila.

Poprečnu silu je potrebno povećati zbog dinamičkog učinka, a za DCM se koristi 50% veća

vrijednost od dobivene proračunom.

Na slici 2 je prikazana konstrukcija, a razmatrani zid je označen crvenom bojom. Debljina

zida je 30 cm, a duljina 600 cm. Vlačni pomak vidljiv na slici 1 se odredi prema HRN EN

1992-1-1 (kao i za gredu u predmetu BiZK1):

, cot cot 1 0 5a z (3.1)

2

Gdje je: z krak unutarnjih sila koji se može uzeti , w0 8z l

nagib tlačnih štapova koji se za zidove uzima s 45

nagib horizontalne armature u odnosu na vertikalu (os zida) 90

wl duljina zida

Izraz (3.1) može se pojednostavljeno zapisati kao

, 1 w0 4a l (3.2)

Vlačni pomak iznosi , 1 0 4 600 240 cma .

Slika 2. Konstrukcija

3

3.2 Sile na zid

U programskom zadatku potrebno je odrediti armaturu samo pri dnu zida (na višim etažama

vrijede pravila prema EN 1992). U nastavku će se prikazati samo sile na dnu prve etaže zida

Z1. Na slici 3 je vidljiva uzdužna sila u zidu za vlastitu težinu.

Slika 3. Uzdužna sila na dnu zida

U tablici 1 su prikazane uzdužna sila (Fx), posmična sila u smjeru dulje stranice zida (Fy),

moment van ravnine (My) i u ravnini zida (Mz) za sve kombinacije.

4

Tablica 1. Unutarnje sile u zidu Z1 za presjek između podruma i prizemlja

Slučaj opterećenja Fx [kN] Fy [kN] My [kNm] Mz [kNm]

Vlastita težina 1426,88 40,71 10,73 150,38 Dodatno stalno 193,66 4,24 6,63 23,68 Uporabno 288,3 3,58 10,96 45,15 Uporabno krov 73,19 4,33 1,46 0,96 Potres X ±380,07 ±632,69 ±321,23 ±4040,86

Potres torzija X ±13,73 ±112,95 ±10,7 ±1359,5

Potres Y ±111,02 ±1589,28 ±82,05 ±14984,03

Potres torzija Y ±19,48 ±170,07 ±15,34 ±1932,11

Nisu razmotreni slučajevi opterećenja u podrumskim etažama jer zanemarivo utječu na sve

unutarnje sile.

Sve unutarnje sile uslijed potresa mogu imati pozitivan i negativan predznak.

Sve uzdužne sile (osim potresnih) su tlačne. Sve ostale sile su za stalna i promjenjiva

opterećenja vrlo male u odnosu na potresne sile pa njihov predznak nije bitan (Promjenom

predznaka nepotresnih slučajeva opterećenja odstupanje iznosi 0,15 % što je zanemarivo.

Štoviše, ako se u potpunosti zanemare svi nepotresni slučajevi opterećenja za Mz,

odstupanje iznosi 1,0 %.).

Mjerodavna kombinacija za Fy i Mz je (potres u smjeru zida najviše utječe na sile u ravnini

zida):

, Ed,y k 2,i k x y0 3F G Q S S (3.3)

, Ed,z k 2,i k x y0 3M G Q S S (3.4)

Kako je zgrada stambena, izraz (3.3) se može zapisati:

, , Ed,y k k x y0 3 0 3F G Q S S (3.5)

, , Ed,z k k x y0 3 0 3M G Q S S (3.6)

U izrazima Sx predstavlja zbroj potresa u x-smjeru i pripadne torzije, a Sy predstavlja zbroj

potresa u y-smjeru i pripadne torzije. Za My (savijanje van ravnine zida) je veći utjecaj ako

potres djeluje okomito na zid pa je mjerodavna kombinacija:

. , Ed,y k k x y0 3 0 3M G Q S S (3.7)

Uzdužna sila može poprimiti minimalnu ili maksimalnu vrijednost koje su određene izrazima:

. , Ed,max k k x y0 3 0 3N G Q S S (3.8)

. , Ed,min k k x y0 3 0 3N G Q S S (3.9)

5

Uvrštavanjem vrijednosti iz tablice 1 u izraze (3.8) i (3.9) vrijednosti uzdužnih sila iznose:

, , . , , , , , , , Ed,max 1426 88 193 66 0 3 288 3 73 19 380 07 13 73 0 3 111 02 19 48 2162 kNN

, , . , , , , , , , Ed,min 1426 88 193 66 0 3 288 3 73 19 380 07 13 73 0 3 111 02 19 48 1296 kNN

Uvrštavanjem vrijednosti iz tablice 1 u izraz (3.5) vrijednosti poprečne sile i momenta iznose:

, , , , , , , , , , Ed 40 71 4 24 0 3 3 58 4 33 0 3 632 69 112 95 1589 28 170 07 2030 kNV

, , , , , , , , , Ed,z 150 38 23 68 0 3 45 15 0 96 4040 86 1359 5 14984 03 1932 11 18724 kNmM

Uvrštavanjem vrijednosti iz tablice 1 u izraz (3.7) vrijednosti momenta van ravnine zida

iznosi:

, , , , , , , , , , Ed,y 10 37 6 63 0 3 10 96 1 46 321 23 10 7 0 3 80 05 15 34 382 kNmM

Kao što je navedeno u poglavlju 3.1 poprečnu silu potrebno je povećati za 50 %

,2030 1 5 3045 kN , a za moment konstruirati ovojnicu. Međutim, kako se u nastavku

razmatra samo dno zida vidljivo je sa slike 1 da je moment na dnu nepromijenjen. U tablici 2

su dane vrijednosti unutarnjih sila za dimenzioniranje.

Tablica 2. Unutarnje sile za dimenzioniranje

NEd,max [kN] NEd,min [kN] VEd [kN] MEd,y [kNm] MEd,z [kNm]

2162 1296 3045 382 18724

4 Dimenzioniranje zida Z1

Razred betona: C25/30

Čelik: B500B

Debljina zida: w 30 cmb

Duljina zida: w 600 cml

Visina zida: w 1750 cmh

Visina etaže: e 350 cmh

Svijetla visina etaže: s 330 cmh

Zaštitni sloj: 3 cmc

6

Presjek zida pri savijanju doživljava zaokret. Rubni dijelovi presjeka doživljavaju veću

deformaciju. Kada je dosegnuta relativna deformacija betona od 3,5 ‰ dolazi do sloma

betona. Zato je bitno rubne dijelove (kritično područje) zida oviti, dok u sredini zida (hrbat) to

nije potrebno.

4.1 Uzdužna sila u zidu

Uzdužna sila ne smije biti prevelika jer se time smanjuje raspoloživa duktilnost zida. Stoga je

za DCM zidove bezdimenzijska uzdužna sila ograničena na , Ed 0 4 .

, ,,

Ed,max

Ed,maxw w cd

21620 07 0 4

30 600 1 67

N

b l f (4.1)

Iz izraza (4.1) je vidljivo da je uzdužna sila u zidu vrlo mala. Razlog tome je što je u

konstrukciji relativno velik broj stupova koji značajno sudjeluju u prijenosu vertikalnih

opterećenja, ali ne i u prijenosu horizontalnih opterećenja (Tako npr. za konstrukciju sa slike

2 svi zidovi preuzimaju 35 % ukupne težine, a 82 % ukupne potresne sile u y-smjeru).

4.2 Zahtijevana duktilnost

Sile u konstrukciji su određene korištenjem proračunskog spektra, odnosno umanjene su za

faktor ponašanja. To je moguće zbog toga što se smanjena nosivost „nadoknađuje“

dodatnom duktilnošću. Zahtijevana duktilnost određena je izrazima:

0 1 C2 1 ako je q T T (4.2)

C0 1 C

1

1 2 1 ako je T

q T TT

(4.3)

Gdje je: 0q faktor ponašanja (osnovna vrijednost)

1T prvi period konstrukcije u razmatranom smjeru

CT rubni period (ovisi o tipu tla)

Osnovna vrijednost faktora ponašanja za pravilne konstrukcije jednaka je faktoru ponašanja,

ali za nepravilne konstrukcije je osnovna vrijednost veća od proračunske. U ovom slučaju je

konstrukcija pravilna pa , 0 3 0q q . Prvi period , 1 1,y 0 51 sT T . Rubni period ovisi o vrsti

tla, za razred tla A je ,C 0 4 sT , za razred tla B je ,C 0 5 sT , a za razred tla C je ,C 0 6 sT .

U skladu s programskim zadatkom, u primjeru se pretpostavlja razred tla B pa je ,C 0 5 sT .

Kako je , , 1 C0 51 s 0 5 sT T , zahtijevana duktilnost iznosi 2 3 1 5 . Međutim, kako

je korišten čelik razreda duktilnosti B, a ne C, potrebno je zahtijevanu duktilnost povećati za

50%.

Zahtijevana duktilnost iznosi , , 5 1 5 7 5 .

7

4.3 Armatura hrpta

Središnji dio zida uglavnom se armira mrežama. Armatura je potrebna za preuzimanje

momenta savijanja van ravnine zida (vertikalna) i za preuzimanje posmika (horizontalna,

„posmična“ armatura uvijek je u smjeru djelovanja posmične sile, bez obzira na element).

4.3.1 Horizontalna armatura hrpta

Horizontalna armatura preuzima poprečnu silu Ed 3045 kNV (neovisno o usporedbi sa

nosivošću hrpta bez poprečne armature Rd,cV ). Postavit će se dvije mreže, jedna uz svaki rub

zida. Pretpostavlja se promjer armature 10.

Razmak pretpostavljene armature za preuzimanje sile Ed 3045 kNV iznosi:

, ,

, , ,

sh ydEd

0 8 600 1 02 2 0 785 43 478 10 76 cm

3045

z ctgs A f

V (4.4)

ODABRANO 10/10 cm – Q785 (7,85 cm2/m') uz svaki rub zida

4.3.2 Vertikalna armatura hrpta

Vertikalna armatura služi za preuzimanje momenta van ravnine Ed,y 382 kNmM .

Statička visina (horizontalna armatura će se postaviti bliže licu zida)

, , 30 3 1 0 5 25 5 cmd

Mehanički koeficijent armiranja

, ,' ,

, ,sv yd

cd

7 85 43 4780 08

100 25 5 1 67

A f

b d f

Iz tablice 4.1 knjige „Betonske konstrukcije 1“ se za prvi manji ' odabere , Rd 0 074

Nosivost na moment savijanja iznosi

, , , , 2 2Rd,y Rd,y cd 0 074 600 25 5 1 67 48214 kNcm = 482 14 kNmM b d f (4.5)

Kako je Rd,y Ed,yM M nosivost je zadovoljena.

Napomena: U ovom slučaju je nosivost hrpta na savijanje proračunavana uz zanemarivanje

uzdužnih vertikalnih sila jer su sile relativno male i njihovo zanemarivanje je na strani

sigurnosti ( ,max ,Ed 0 072 , a ,min ,Ed 0 043 ). U ovom slučaju se s povećanjem sile povećava

i nosivost na savijanje. To se ne smije zanemariti kod većih iznosa uzdužnih sila jer se tada s

povećanjem uzdužnih sila smanjuje nosivost.

8

4.3.3 Minimalna i maksimalna armatura hrpta

Minimalna armatura hrpta je sw,min c0,001A A (1,0 ‰ ploštine zida) uz svako lice zida, tj. za

zid debljine 30 cm je 3 cm2/m' uz svaki rub zida (uobičajeno mreža Q335 zadovoljava uvjet

minimalne armature za većinu zidova u zgradama). Maksimalna armatura hrpta je

sw,max c0,02A A (2,0 % ploštine zida), odnosno za zid debljine 30 cm je 60 cm2/m' uz svaki

rub zida (uobičajeno maksimalna armatura ne bi trebala biti mjerodavna).

4.4 Uzdužna armatura kritičnog područja

Uzdužna armatura određuje se pomoću dijagrama interakcije savijanja i uzdužne sile. Duljina

zida je visina presjeka. Uz pretpostavku , w0 9d l vrijedi , 0 9 600 540 cmd

(pretpostavka je korektna, ako je duljina kritičnog područja ≤ , w0 2 l što će se objasniti

kasnije).

Bezdimenzijska minimalna uzdužna sila (jer je za minimalnu silu maksimalna armatura):

,,

Ed,minEd,min

w cd

12960 04

30 600 1 67

N

b h f

Bezdimenzijski moment savijanja:

,,

Ed,zEd 2 2

w cd

18724000 1

30 600 1 67

M

b h f

Mehanički koeficijent armiranja očitan iz dijagrama interakcije:

,Ed 0 09

Potrebna armatura (na svakom kraju zida):

, ,,

2cds1 Ed

yd

1,670 09 30 600 62 22 cm

43 478w

fA b h

f

ODABRANO 2020 (62,83 cm2)

4.5 Dimenzije kritičnog područja

Kritično područje je ono u kojem dolazi do plastičnog deformiranja. Potrebno je posvetiti

posebnu pažnju oblikovanju kritičnog područja pa je vrlo bitno znati visinu i duljinu tog

područja (debljina je jednaka debljini zida).

4.5.1 Visina kritičnog područja

Visina kritičnog područja može se odrediti iz uvjeta:

max ;

wcr w 6

hh l (4.6)

9

min ; cr w s2 za n 6 katovah l h (4.7)

min ; cr w s2 2 za n 7 katovah l h (4.8)

Prema izrazu (4.6) vrijedi: max ; / max ; cr 600 1750 6 600 291 600 cmh .

Broj nadzemnih etaža je 5, tj n = 5 pa je iz (4.7):

min ; min ; cr w s2 2 600 330 330 cmh l h

Odabrana visina kritičnog područja mora zadovoljiti uvjet (4.7) pa je cr 330 cmh .

4.5.2 Duljina kritičnog područja

Duljina kritičnog područja ovisi o zahtijevanoj duktilnosti. Kako je zahtijevana duktilnost

, 7 5 to znači da je potrebno osigurati da pri otkazivanju zid doživljava 7,5 puta veću

zakrivljenost nego pri popuštanju. Pri takvoj zakrivljenosti sigurno će doći do odlamanja

zaštitnog sloja betona, tj. do relativnih deformacija većih od cu2 = 3,5 ‰ (za betone

C50/60). Zbog toga je potrebno oviti rubna područja zidova bez obzira na iznos vanjskog

opterećenja. Mora se oviti dio zida koji pri slomu doživljava relativnu deformaciju veću od 3,5

‰. Na slici 4 je prikazan presjek zida s duljinom kritičnog područja lc i prikazom relativnih

deformacija.

Slika 4. Ovijeni rubni element zida

Vrijednost xu je duljina tlačnog područja pri slomu. U kritičnom području dolazi do odlamanja

zaštitnog sloja pa širina zida ne iznosi bw, nego je jednaka osnom razmaku spona.

Pretpostave li se spone 10 vrijedi:

10

, 0 w 2 30 2 3 1 0 23 cmwb b c (4.9)

Kako se kritično područje zida ovija slično kao stup, često se za duljinu kritičnog područja

koristi oznaka h0, a određuje se izrazom:

cu20 c u

cu2,c

1h l x (4.10)

Gdje je: cu2 relativna deformacija betona pri slomu (3,5 ‰)

cu2,c relativna deformacija ovijenog betona pri slomu (>3,5 ‰)

Izraz (4.10) moguće je izvesti pomoću sličnosti trokuta promatrajući sliku 4.

Relativna deformacija ovijenog betona ovisi o oblikovanju spona, a može se odrediti izrazom:

, , cu2,c wd0 0035 0 1 (4.11)

Gdje je faktor wd učinkovitost ovijanja, a određen je izrazom:

, wwd d v sy,d

0

30 0 035b

b (4.12)

Gdje je: 3sy,d

43,4782,17 10

20000 relativna deformacija armature pri popuštanju

v mehanički koeficijent armiranja vertikalnom armaturom hrpta

Vrijednost mehaničkog koeficijenta armiranja u poglavlju 4.3.2. je izračunata samo za jednu

mrežu (što je potrebno za dimenzioniranje na savijanje van ravnine). Pri proračunu savijanja

u ravnini razmatraju se obje mreže i puna širina presjeka pa vrijedi:

, ,

,,

sv ydv

w cd

2 7 85 43 4780 14

100 30 1 67

A f

h b f

(4.13)

Uvrštavanjem vrijednosti u izraz (4.12) vrijedi:

, , , , ,3wd

3030 7 5 0 07 0 14 2 17 10 0 035

23

Odnosno:

,wd 0 1 (4.14)

Uvrštavanjem izraza (4.14) u (4.11) vrijedi:

, , , , 3cu2,c 0 0035 0 1 0 1 13 5 10 (4.15)

11

Ovijanjem betona se dopuštena relativna tlačna deformacija u betonu mora povećati s 3,5 ‰

na 13,5 ‰ (gotovo četiri puta veća vrijednost).

Duljina tlačnog područja pri slomu određena je izrazom:

w w

u d v0

l bx

b (4.16)

Odnosno:

, ,u

600 300 07 0 14 164 cm

23x

(4.17)

Uvrštavanjem izraza (4.15) i (4.17) u (4.10) vrijedi:

,

,,c

3 5164 1 121 5 cm

13 5l

(4.18)

Minimalna duljina rubnog elementa iznosi:

max , ; , c w w0 15 1 5l l b (4.19)

Prema izrazu (4.19) je max , ; , max ; c 0 15 600 1 5 30 90 45 90 cml .

Odabire se duljina kritičnog područja c 122 cml .

U poglavlju 4.4 pretpostavljena je statička visina uzdužne armature 0,9 h. Pretpostavi li se da

će se uzdužna armatura rasporediti jednoliko unutar kritičnog područja, statička visina iznosi

/ ,600 3 122 2 536 cm 0 89d h što je približno 0,9 h.

4.5.3 Minimalna i maksimalna uzdužna armatura

Uzdužna armatura mora biti veća od 0,5 % i manja od 4 % kritičnog područja. Koeficijent

armiranja iznosi:

,

,ss

c 0

62 830 022

122 23

A

l b

(4.20)

Odabrana armatura je između minimalne i maksimalne.

12

4.6 Debljina zida

Potrebno je osigurati minimalnu debljinu zida. Kritično područje zida (a time najčešće i cijeli

zid) ne smije imati debljinu manju od 20 cm. Osim toga, postoje još uvjeti:

Ako je cl manja (ili jednaka) od bar jedne od vrijednosti w2b i , w0 2l , onda wb ne treba biti

manje od /s 15h .

Ako je cl veća od obje vrijednosti w2b i , w0 2l , onda wb ne treba biti manje od /s 10h .

Duljina ovijenog područja iznosi ,c w122 cm 0 2l l pa debljina zida treba biti manja od

330/15 = 22 cm. Kako je debljina zida 30 cm, uvjet je zadovoljen.

4.7 Spone kritičnog područja

Spone kritičnog područja izrazito su bitne jer se primarno njihovim pravilnim postavljanjem

osigurava duktilno ponašanje elementa.

Razmak spona određen je izrazom (4.14). Pri tome je faktor djelotvornosti spona, a w

volumenski mehanički koeficijent armiranja sponama, koji je određen izrazom:

ydwd

cd

obujam ovijenih spona

obujam betonske jezgre

f

f (4.21)

Faktor djelotvornosti spona je određen izrazom

n s (4.22)

Gdje je: n faktor učinkovitosti unutar presjeka

s faktor učinkovitosti po visini elementa

Faktori n i s određeni su izrazima

2i

n0 0n

16

b

b h (4.23)

s

0 0

1 12 2

s s

b h (4.24)

gdje je:

n - ukupni broj uzdužnih šipki obuhvaćen sponama ili poprečnim sponama

ib - razmak između susjednih obuhvaćenih šipki

13

Uzdužna armatura kritičnog područja je 2020, tj. 10 šipki uz svako lice zida. Kako je duljina

kritičnog područja 122 cm, razmak vertikalne armature iznosi (122-1-2)/9 = 13,2 cm (stvarni

razmak je manji zbog savijanja spona, ali je ova pretpostavka konzervativnija). Kako razmak

pridržanih uzdužnih šipki ne smije biti veći od 20 cm, potrebno je pridržati svaku vertikalnu

šipku pa je bi = 13,2 cm, odnosno bi = 20 cm poprečno na zid. Na slici 5 je prikazana skica

rubnog područja.

Slika 5. Rubno područje zida

Prema slici 5 i izrazu (4.23) vrijedi:

,

,2 2

n

18 13 2 2 201 0 77

6 23 122

(4.25)

Najveći dopušteni razmak spona prema EN 1998 iznosi:

min / ; , ;max 0 bL2 17 5 cm 8s b d (4.26)

Gdje je: bLd promjer uzdužne armature

Međutim, ako je normalizirana tlačna sila , Ed 0 15 (što je u ovom primjeru zadovoljeno)

smiju se koristiti uvjeti prema EN 1992, odnosno vrijedi:

min ; , ;max 0 bL 30 0 cm 12s b d (4.27)

Vidljivo je da su uvjeti (4.26) značajno oštriji od uvjeta (4.27). Prema tome, čini se prikladnim

pokušati ograničiti veličinu uzdužne sile na 0,15 što je u praktičnom smislu ostvarivo

dodavanjem stupova koji preuzimaju samo vertikalna opterećenja. Time se također smanjuje

zahtijevana debljina zida određena u poglavlju 4.6. Naime, povećanjem uzdužne sile

zahtjeva se veća duljina ovijanja, a samim time i veća debljina zida. U skladu s time, u

konceptualnoj fazi se može pretpostaviti debljina zida hs/15 i oblikovati konstrukcija tako da je

νEd < 0,15.

122

23

13,2 13,2 13,2 13,2 13,2 13,2 13,2 13,2 13,2

20

14

U skladu s izrazom (4.27) vrijedi:

min , ; , ; ,max 23 0 30 0 12 2 0 23 cms (4.28)

Pretpostave li se spone 10/15 cm vrijedi:

,s

15 151 1 0 63

2 23 2 122

(4.29)

obujam spona iznosi:

,2

30 010 2 0 785 10 23 2 122 372 cm

4b h

(4.30)

obujam ovijenog betona iznosi:

30 0 15 23 122 42090 cms b h (4.31)

obujamski mehanički koeficijent armiranja iznosi:

,

,,wd

372 43 4780 23

42090 1 67 (4.32)

Umnožak koeficijenta učinkovitosti ovijanja i koeficijenta armiranja iznosi:

, , , , ,wd 0 77 0 63 0 23 0 11 0 1 (4.33)

Izraz (4.14) je zadovoljen pa su odabrane spone prikladne.

ODABRANO spone 10/15 cm

4.8 Rekapitulacija odabrane armature

Hrbat Q785 (uz svako lice zida, cijelom duljinom zida)

Rubni element cr 330 cmh ; 0 =23 cmb ; 0 =122 cmh

Vertikalna armatura 2020 (na svakom rubu zida uz svako lice po 1020/13,2 cm)

Spone 10/15 cm (skica presjeka vidljiva je na slici 5)