3 ondas electromagnÉticas
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3 Ondas Electromagnéticas
3.1 Ecuaciones de Maxwell.
3.2 Ondas electromagnéticas, generación del espectro electromagnético.
3.3 Energía en las ondas electromagnéticas, vector de Poynting.
3.4 Cantidad de movimiento y presión de las ondas electromagnéticas
3.5 La luz, su naturaleza y velocidad.
3.6 Aproximación de rayos. Principio de Huygens.
3.7 Reflexión, refracción
3.8 Dispersión
3.9 Interferencia
3.9 Difracción
3.9 Polarización.
3.9 La fibra óptica.
3 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Las ondas electromagnéticas predichas por James Clerk Maxwell (1831-1879), fueron obtenidas experimentalmente por Heinrich
Rudolf Hertz (1857-1894), quien comprobó la existencia de ondas electromagnéticas de
longitud de onda larga, cuando creó el primer emisor y receptor de radio en 1887, ocho
años después de la muerte de Maxwell. Las ecuaciones de Maxwell aplicadas a los campos
eléctrico y magnético en el espacio libre (vacío) se reducen a las ecuaciones de onda para
estos dos campos vectoriales enredados (llamado campo electromagnético) en el cual 3
vectores ,E B y el vector de velocidad de propagación de onda V son mutuamente
ortogonales y forman una triada derecha. Por ejemplo si vector del campo eléctrico E está
dirigido a lo largo del eje Y, el vector de campo magnético B a lo largo de eje Z, entonces
la dirección de propagación de esta onda coincide con el eje X, como s muestra en Figura 1. Fig.1 Direcciones de los vectores del campo EM
Las ecuaciones de Maxwell en este caso como demostraremos a continuación se reducen
un par ecuaciones de onda independientes para dos componentes de campo eléctricoy
E y campo magnético z
B :
2 2 2 22 2 2 8
2 2 2 20 0 0 0
1 1 ; 3 10 /
y y z zE E B B
c c c c m st x t x
(1)
Aquí las constantes 0 0
y son las permisividades dieléctrica y magnética del vacío (9 7
0 01 4 9 10 ; 4 10
). Además
según las ecuaciones (1) la velocidad de onda electromagnética es igual a la velocidad de la luz.
CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTALES Las características fundamentales de las ondas electromagnéticas podemos sintetizarlas en:
-Las ondas electromagnéticas son transversales.
-Los campos �⃗� 𝑦 �⃗� son perpendiculares.
-El producto cruz �⃗� 𝑋 �⃗� apunta en la dirección de propagación. -La velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas en el espacio libre es igual a la velocidad de la luz.
8
0 0
1 3 1 0 /c m s
3.1 ECUACIONES DE MAXWELL
Las cuatro ecuaciones que describen un comportamiento de campo electromagnético llamadas tradicionalmente ecuaciones de
Maxwell, para un medio isotrópico, homogéneo, lineal (no ferroeléctrico ni ferromagnético), considerado en reposo, se pueden
escribir en dos formas, integral y equivalente a esta forma diferencial
Ley de Gauss para campo eléctrico
0 0n
S
qE dS E
(1)
Ley de Gauss para campo magnético
0 0n
S
B dS B (2)
Ley de Faraday
l n
L S
BE B dS E
t t
(3)
Ley de Ampere-Maxwell
0 0 0 0 0 0l n n
L S S
EB J dS E dS B J
t t
(4)
3.2 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS, GENERACIÓN DEL ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO.
Ecuación (3).
l n
L S
BE B dS E
t t
,, ,
, ,
y zl y y n z
L S
y z
E x t BE lE x dx t lE x t l dx B dS B l dx l dx
x t t t
E x t B x t
x t
Ecuación (4).
0 0l n
L S
B E dSt
0 0
,, ,
, ,,
zl z z n y
L S
y yz
B x tB lB x dx t lB x t l dx E dS E l dx
x t t
E x t E x tB x tl dx
t x t
Sistema
2 2 2 2
2 2 2
20 2 20 0
0 2
1
, ,, ,y y y yz z z zE x t E x t E EB x t B x t B B
x t x tc c c
t x t x
Soluciones
0 0, sin , sin
y zE x t E kx t B x t B kx t c k
Amplitudes
0 0 0 0
, ,y zE x t B x t
kE B E cBx t
Fuerzas eléctricas y magnéticas
0 0 0 0;
E B B EF qE F qVB F F qVB qE V c
3.3 ENERGÍA EN LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS, VECTOR DE POYNTING 2 22
2 2 2 20 00 0 0 0 0 0 02
0 0 0
1 1 1 1
2 2 4 4 4 24E B E E BE B
B EBw E w w E w E w w w w E
c
Vector de Poynting
2
2 00 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1; sin
2 2
BS E B S E B kx t E B c c w I
Aquí I es la intensidad de onda electromagnética
3.4 Cantidad de movimiento y presión de las ondas electromagnéticas
Las ondas electromagnéticas transportan impulso (momento lineal), así como de energía. Cuando este impulso es absorbido por
alguna superficie, se ejerce presión sobre la superficie. Nosotros consideremos a continuación un onda electromagnética que incide
perpendicularmente sobre una superficie y transporta una energía total U. Maxwell demostró que, si la superficie absorbe toda la
energía incidente U, la cantidad de movimiento total p transportada a la superficie tiene una magnitud
Up
c
(1) La presión ejercida sobre la superficie se define como la fuerza por unidad de área F / A. y según la segunda ley de Newton es igual a:
1 1F dp dU dt I SP
A A dt c A c c (2)
Aquí I es intensidad de OEM y S el vector de Poynting. Si la superficie es un reflector perfecto (como un espejo) y la incidencia es
normal, entonces el impulso tiempo es el doble que la dada por la ecuación (1) 2p U c y la presión sobre la superficie también es
doble 2P S c
3.5 LA LUZ, SU NATURALEZA Y VELOCIDAD.
Historia
Desde el siglo XVII han sido dos las teorías físicas que han tratado de explicar la naturaleza de la luz. Durante mucho tiempo los
defensores de una y otra mantuvieron una lucha científica abierta de difícil solución, sólo resuelta en los primeros años de nuestro
siglo. Estas dos teorías son las teorías Corpuscular y la Ondulatoria.
Teoría corpuscular.
Newton propone ésta basándose en sus trabajos de investigación:
- Newton descubrió la descomposición espectral de la luz blanca al atravesar un prisma.
- Fue el primero en medir el índice de refracción de diversos colores (o cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y en un
medio dado).
- Descubre los colores complementarios que por adición dan el color blanco (las mezclas de colores pueden ser por adición,
superponiendo luces de colores, o por sustracción, mezclando pinturas de colores.
- Explica por primera vez el fenómeno del Arco Iris.
- Fue el primero en construir un telescopio de reflexión a base de espejos.
- Descubre las interferencias conocidas por Anillos de Newton, que se forman cuando un haz de luz incide normalmente sobre
una lente plano-convexa. La teoría corpuscular considera a la luz formada por corpúsculos de diferentes masas (al violeta correspondería los más pequeños y al
rojo los más grandes) que comunican diferentes impulsos al ojo en el proceso de la visión.
Éxitos de la teoría corpuscular
- Explica las leyes de la reflexión y la refracción.
- Explica la propagación rectilínea de la luz.
- Explica la doble refracción.
- Explica la interferencia de los anillos de Newton.
Fracasos de la teoría corpuscular
- Predice, en contra de la experiencia, que la velocidad de la luz en el agua es mayor que en el aire.
- No es capaz dar una explicación cuantitativa de los efectos relacionados con la interferencia, la difracción y la polarización
Teoría ondulatoria.
Esta supone que la luz se comporta como una onda. Esto se basa en lo observado al cruzarse dos haces luminosos: pueden cruzarse sin
perturbar el uno al otro, cosa que resulta difícil de explicar con dos chorros de partículas materiales. Esta teoría fue defendida por
Huygens (en 1678), quién demostró que las leyes de la reflexión y de la refracción de la luz podían explicarse mediante una teoría
ondulatoria.
Éxitos de la teoría ondulatoria
- Introduce el Principio de Huygens, por el cual todos los puntos de un medio material alcanzados por una onda se convierten
en focos emisores de ondas elementales.
- En la base el Principio de Huygens explica las leyes de la reflexión y la refracción
- En la base el Principio de Huygens explica los efectos de la interferencia y difracción.
- En la base de la teoría de ondas electromagnéticas xplica la doble refracción del espato de Islandia (efecto relacionado con la polarización de la luz).
Fracasos de la teoría ondulatoria
- No logra explicar las leyes de radiación y de absorción de la luz
- No logra explicar los efecto fotoeléctrico
- No logra explicar los espectros de emisión de los átomos
Los experimentos de Young y Fresnel sobre interferencias luminosas y la teoría electromagnética de la luz (postulada por Maxwell),
junto con las experiencias de Hertz (consiguió producir ondas electromagnéticas y demostró que sus propiedades coincidían con las de
la luz), hicieron que la controversia onda-corpúsculo, que había durado casi tres siglos, pareciese estar superada y se aceptase la teoría
ondulatoria.
Sin embargo, para explicar los fenómenos asociados con la emisión y absorción de la luz, el efecto fotoeléctrico, el efecto de Compton
fue necesario la crear de una nueva teoría que al agrupar los aciertos de ambas teoría en la Teoría cuántica. En este capítulo consideremos la teoría clásica de la luz en la cual se considera luz como onda electromagnética
Luz como onda electromagnética
Fig.1 Espectros discreto y continuo
- Longitudes de ondas y frecuencias
Luz visible 380 780nm nm , colores cambian
desde violeta 380nm hasta roja 380nm . Si la
onda electromagnética tiene solo un color (longitud de
onda fija y es solo una) luz se llama monocromática.
Si en una OEM son presentadas todas longitudes
380 780nm nm luz se llama blanca. Las curvas
que describen la distribución de intensidades de OEM en función de la longitud de onda se llaman espectro de OEM. Espectros
pueden ser discretos o continuos como se muestra en Fig.1 En esta figura luz infrarroja (IR) 780nm y la luz ultravioleta
380nm . Las frecuencias f de ondas electromagnéticas en el vacío están relacionadas con las longitudes de onda por la relación
cf
(1)
La frecuencia de las OEM de la luz visible tiene frecuencia mínima es8 7 14
min max/ 3 10 / 7.8 10 3.85 10f c Hz
y frecuencia
máxima 8 7 14
max min/ 3 10 / 3.8 10 7.89 10f c Hz
- Luz como onda electromagnética
1) Según la teoría clásica la luz es una propagación de dos campos enredados, eléctrico y magnético llamado OEM.
0 0 0 0sin( ); sin( ); ;E E k r t B B k r t E cB V k (2)
2) Los vectores ; ;E B V son ortogonales mutuamente y forman una triada derecha
3) El vector de campo eléctrico produce una fuerza sobre cargas eléctricas mucho mas grande que el vector campo magnético y
por eso en óptica solo se considera el vector de campo eléctrico E , teniendo en cuenta que este no puede existir sin el vector
B que siempre lo acompaña 4) Si la dirección del vector eléctrico en una onda OEM se varia en una forma caótica la onda OEM se llama no polarizada. En
el caso contrario si los componentes del vector eléctrico 0, ,y z
E E E en una onda OEM satisfacen alguna relación la
onda OEM se llama polarizada. Tres tipos de polarización son más importantes. La onda OEM se llama polarizada
linealmente si el vector eléctrico mantiene su dirección constante. En este caso entre los componentes del vector eléctrico
existe la relación lineal y z
E E const . La onda OEM se llama polarizada circularmente si la trayectoria del extremo
del vector eléctrico es una circunferencia. En este caso entre los componentes del vector eléctrico existe la relación2 2
y zE E const . La onda OEM se llama polarizada elípticamente si la trayectoria del extremo del vector eléctrico es un
elipse. En este caso entre los componentes del vector eléctrico existe la relación:2 2 2 2
y zE a E b const .
5) La velocidad de propagación de las ondas OEM en el vacío es igual a 8
0 01 3 10 /V c m s , pero en diferentes
medios se cambia su valor. En general,
0 01 ;V c V c n n (3)
Aquí es la permisividad relativa (constante dieléctrica) del material, y es su permeabilidad magnética relativa. Para la
mayoría de los materiales, es muy cercano a 1 en frecuencias ópticas, es decir, luz visible, por lo tanto, n n es
aproximadamente. El parámetro n llamado el índice de refracción que muestra en cuantos veces se disminuye la velocidad de
la luz en un medio en comparación con vacío /n c V .
6) Luz natural. Coherencia temporal.
- ¿De dónde se procede la luz? Según la teoría clásica OEM del rango luz IR, luz visible y luz UV se generan por unos
osciladores microscópicos que presentan átomos, moléculas y cristales. Las moléculas y cristales uno puede imaginar cómo
estructuras microscópicas compuestas por elementos atómicos cargadas negativa- positiva-mente. Para temperatura cero
grados K todos elementos atómicos están congelados (en reposo). Pero a medida que temperatura crece átomos empiezan a
vibrar, mayor la temperatura, mayor es la amplitud de vibración. Por otro lado, la vibración de los iones produce un campo
eléctrico variable y de acá se arranca una onda electromagnética. Aún más, moléculas y cristales pueden considerarse como
unos dipolos microscópicos los cuales a vibrar empiezan a funcionar como antenas microscópicas y como fuentes de OEM
correspondientes a luz IR. El calor que nosotros sentimos al frente de un horno caliente nos traen OEM de luz IR. Más
pequeño el tamaño de un dipolo microscópico más cortas son OEM que se emiten por él. Una rotación de un electrón dentro
de un átomo también puede considerarse como vibraciones de un dipolo eléctrico. De facto, en su rotación electrón (carga
negativa) en un momento está por arriba del núcleo (carga positiva) y en un instante debido a su movimiento rotacional se
ubica por debajo del núcleo, mientras el vector del campo eléctrico cambia su dirección inicial al opuesto. Estas variaciones
del vector del campo eléctrico produce una OEM. Menor la separación entre electrón y el núcleo, más corta es OEM. Por
esta razón, las rotaciones de los electrones periféricos (lejanos del núcleo) generan ondas de luz visible, mientras que las
rotaciones de los electrones cercanos al núcleo) generan ondas de luz UV (más cortas).
- La luz natural generada por la materia es una superposición de OEM emitidas por
diferentes átomos y moléculas de manera independiente, con las frecuencias, fases y polarizaciones independientes. Esta superposición forma un haz luminoso. Como esta
superposición se combina en una forma caótica las ondas procedentes de diferentes
átomos, etc., entonces es nada extraño que la luz natural de un material caliente es una
luz blanca. Para entender esta afirmación lo primero tenemos que aceptar una hipótesis
que un átomo puede emitir la OEM durante un tiempo finito, ya que mientras está
emitiendo pierde la energía y después de alguna manera tiene que recuperarla.
Aceptemos (y esto cualitativamente coincide con la teoría mas rigurosa) que el tiempo
medio de emisión de la OEM por los átomos es de la orden 14
10 s
). Entonces un
átomo emite OEM en una forma de un “tren” de longitud 8 14 6
3 10 10 3 10 3000l c m nm
, es decir, de 4 a 9 longitudes de onda de luz visible. Cualquiera luz natural
consiste de una superposición de diferentes “trenes” de OEM de 4 a 9 longitudes de onda cada una, procedente de diferentes
átomos.
- Dos OEM se llaman coherentes si éstas tienen la misma longitud de onda (monocromáticas), la misma frecuencia y la
misma polarización. Si dos OEM están llegando en el mismo punto por diferentes caminos y son procedente del mismo átomo entonces estas dos ondas son coherentes bajo una condición que ambas son del mismo “tren”. Esto tipo de coherencia
se llama temporal. Si en el futuro queremos procurar que dos ondas son coherentes tenemos que procurar que estas dos sean
del mismo “tren”. En los procesos de interferencia constructiva y destructiva, de difracción la coherencia es muy importante
y explica cuando las propiedades ondulatorias de la luz son importantes y cuando estas pierdan su validez.
-
3.6 APROXIMACIÓN DE RAYO. PRINCIPIO DE HUYGENS.
En Óptica hay dos maneras distintas tratar la luz, en la óptica geométrica basta hacer geometría con los rayos luminosos para la
obtención de las fórmulas que corresponden a los espejos, dioptrio y lentes, obteniendo así las leyes que gobiernan los instrumentos
ópticos a que estamos acostumbrados. La óptica geométrica usa la noción de rayo luminoso; es una aproximación del comportamiento
que corresponde a las ondas electromagnéticas (la luz) cuando los objetos involucrados son de tamaño mucho mayor que la longitud
de onda usada; ello permite despreciar los efectos derivados de la difracción, comportamiento ligado a la naturaleza ondulatoria de la
luz. La óptica ondulatoria al revés se dedica al estudio de efectos propios a la teoría de ondas. Si la base de óptica geométrica es
aproximación de rayo, la óptica ondulatoria está basada en el principio de Huygens. A continuación consideremos estos dos métodos
aparte.
Aproximación de rayo en la óptica geométrica (llamada también de la Eikonal) permite derivar la óptica geométrica a partir de
representación de una onda luminosa con rayos en lugar de frentes de onda. Para ello suponemos que una onda que se mueve a través
de un medio, viaja en línea recta en la dirección de sus rayos. No siempre es posible utilizar esta aproximación, cuando una onda topa con una barrera que tiene
una abertura circular se
presentan los siguientes
casos: Si la abertura circular es
mayor que la longitud de
onda, la luz que emerge por
la apertura continúa
moviéndose en línea recta.
(Solo algunos efectos se
muestran en la orilla). La aproximación de rayos
permanece válida.
a) Si la abertura circular es
mayor que la longitud
de onda, la luz que
emerge por la apertura continúa moviéndose en línea recta. (solo algunos efectos se muestran en la
orilla). La aproximación de rayos permanece válida.
b) Cuando la abertura en el obstáculo es del orden de la longitud de onda, la onda al salir de la
abertura se dispersa en todas direcciones. La difracción llega a ser importante
c) Cuando la abertura en el obstáculo es muy pequeña comparada con la longitud de onda, la apertura se comporta como una fuente puntual de ondas.
Fig.1 Refracción de la luz según el
principio de Huygens.
Solo en el primer caso se puede aplicar la aproximación de rayo, es decir la óptica geométrica solo es válida solo cuando longitud de
onda luminosa es pequeña en comparación con los objetos /agujeros reales de la vida cotidiana que se hallan en su camino, por lo que
en general los efectos de la difracción no son observables. La aproximación de rayo es muy utilizada para simplificar el estudio de
espejos, lentes, prismas e instrumentos ópticos, relacionados con la óptica geométrica.
En la aproximación de rayo cada punto de la superficie de la frente inicial (F1 ) de una onda luminosa se reemplaza por los rayos
ortogonales a esta superficie como lo muestra la Fig. 2 . Al pasar algún tiempo por los extremos de estos rayos una curva envolvente se reconstruye la nueva posición de la frente de onda luminosa (F2 ).
El principio de Huygens es un método de análisis aplicado a los problemas de
propagación de ondas. Puede enunciarse así: Todo punto de un frente de onda inicial
puede considerarse como una fuente de ondas esféricas secundarias que se
extienden en todas las direcciones con la misma velocidad, frecuencia y longitud de
onda que el frente de onda del que proceden. Esta visión de la propagación de las ondas ayuda a entender mejor los fenómenos de
difracción, reflexión y la refracción de las ondas.
Por ejemplo, si dos cuartos están conectados por una puerta abierta y se produce un
sonido en una esquina lejana de uno de ellos, una persona en el otro cuarto oirá el
sonido como si se originara en el umbral. Por lo que se refiere el segundo cuarto, el
aire que vibra en el umbral es la fuente del sonido. Lo mismo ocurre para la luz al pasar el borde de un obstáculo, pero esto no es
fácilmente observable debido a la corta longitud de onda de la luz visible. La
interferencia de la luz de áreas con distancias variables del frente de onda móvil
explica los máximos y los mínimos observables como franjas de difracción. Ver, por
ejemplo, el experimento de la doble rendija.
(a) (b)
Historia
En 1678, Huygens propuso que cada punto alcanzado por una
perturbación luminosa se convierte en una fuente de una onda esférica. La suma de estas ondas secundarias determina la forma de la onda en
cualquier momento posterior. Huygens supuso que las ondas secundarias
viajaban únicamente "hacia adelante" sin explicar en su teoría por qué éste
es el caso. Fue capaz de dar una explicación cualitativa de la propagación de la onda lineal y esférica, y de derivar las leyes de la
reflexión y la refracción con este principio, pero no pudo explicar las desviaciones de la propagación rectilínea que se producen
cuando la luz se encuentra con bordes, aberturas y pantallas, comúnmente conocidos como efectos de difracción.
3.7 Reflexión, refracción o Reflexión especular y difusa
o Ley de refracción
o Ángulo límite y reflexión total
o Lámina de caras planas y paralelas
Fig. 2 a) Difracción de una onda plana cuando el ancho de la ranura
es varias veces la longitud de onda, b) Difracción de una onda plana
cuando el ancho de la ranura es igual a la longitud de onda.
3.7 Interferencia. Experimento de Young En el año 1800 el físico ingles Thomas Young realizó un experimento que demostró el echo de que la luz puede producir la
interferencia. Este experimento confirmo una vez más la naturaleza ondulatoria de la luz. La figura muestra el aparato que Young
utilizó en su experimento. El aparato consiste en una estrecha rendija S1 y dos rendijas, también estrechas, S2 y S3 paralelas a S1
(equidistantes de ella) y una pantalla. La luz procedente de una fuente ( no representada) incide sobre la rendija S1. Según el principio
de Huygens, desde la rendija S1 se propagan ondas secundarias que alcanzan en un mismo instante las rendijas S2 y S3 . Es evidente
que toda variación de fase de las ondas emitidas por la fuente S1 es acompañada por iguales variaciones de la fases de las ondas radiadas por las fuentes secundarias S2 y S3 . Por consiguiente, en las ondas radiadas por las fuentes S2 y S3 la diferencia de fase
queda siempre invariable, es decir, las fuentes son coherentes.
Cuando las ondas provenientes de las rendijas S2 y S3 llegan a la pantalla, se observa sobre ella un cierto número de bandas brillantes
y oscuras, paralelas a las rendijas, o sea, patrón de interferencia.
Cuando en el camino de una onda interponemos un obstáculo de tamaño comparable a la longitud de onda del movimiento ondulatorio
considerado, aparecen fenómenos no explicables a través de una propagación rectilínea de las ondas". El fenómeno de la difracción es
tan característico del movimiento ondulatorio, que nos va a permitir saber si un determinado movimiento es, o no, de naturaleza
ondulatorio.
¿Por qué es tan difícil observar la difracción con ondas
luminosas? Porque las longitudes de ondas de la luz
visible es del orden de 10-7 m, apareciendo figuras de difracción sólo cuando el obstáculo tiene un tamaño
comparable. Si en el camino de un haz luminoso
ponemos, pues, un obstáculo de tamaño semejante a la
longitud de onda del haz, aparece una figura parecida a
la dada en la experiencia de Young:Aparece una serie
de franjas claras y oscuras, alternantes, y no una zona
central iluminada, como ocurría con una rendija de
mayor tamaño. Ocurre como sí cada punto de la
rendija se comportase como foco emisor de ondas
secundarias. La interferencia de dichas ondas en la
pantalla son la causa de las figuras de
difracción.
Figura 1 Patrón de difracción
que aparece en una pantalla
cuando la luz pasa a través de
una rendija vertical. El patrón
consta de una amplia franja
central y una serie de franjas
estrechas de menor intensidad
por ambos lados
3.9 INTRODUCCIÓN A PATRONES DE DIFRACCIÓN
Antes hemos discutido el hecho de que la luz de longitud de onda comparable o mayor que la anchura de una
ranura se extiende en todas direcciones hacia adelante al pasar a través de la hendidura. Llamamos a este fenómeno
de difracción. Este comportamiento indica que la luz, una vez que se tiene pasado a través de una estrecha ranura,
se extiende más allá del estrecho sendero definido por la ranura en regiones que estarían en la sombra si
la luz viaja en línea recta. Otros, tales como olas ondas y las ondas de agua de sonido, también tienen
esta propiedad de difundir al pasar a través de aberturas o bordes afilados. Podríamos esperar que la luz
que pasa a través de una pequeña abertura daría lugar simplemente en una amplia región de la luz en una
pantalla, debido a la propagación de la luz a medida que pasa a través de la abertura. Encontramos algo
más interesante, sin embargo. Una de difracción Se observa modelo que consiste en áreas claras y
oscuras, algo similar a la interferencia patrones discutidos antes. Por ejemplo, cuando se coloca una estrecha ranura entre una fuente distante de luz (o un haz de láser) y una pantalla, la luz produce un
Figura .2 La luz de una fuente pasa
por el borde de un objeto opaco y
continúa en una pantalla. Un patrón
de difracción constituido por franjas
brillantes y oscuras en la pantalla en
la región por encima del borde del
objeto.
Figura 3 Patrón de difracción
creado por la iluminación de un
centavo, posicionado a mitad de
camino entre la pantalla y la
fuente. Tenga en cuenta el punto
brillante en e centro.
Figura 4 (a) Patrón de difracción de
Fraunhofer de una sola rendija. Patrón
consiste de una franja central brillante
rodeado por máximos mucho más débiles
alternando con franjas oscuras. (b) Fotografía
de Patrón de difracción Fraunhofer de una
sola rendija
patrón de difracción como el de la figura.1. El patrón consiste en una amplia franja central, intensa (llamado el máximo central),
rodeado por una serie de franjas más estrechas y menos intensas (máximos llamados secundarios) y una serie de bandas oscuras entre
ellas (o mínimos).
La figura 2 muestra un patrón de difracción asociada con la luz que pasa por el borde de un obstáculo. De nuevo vemos franjas
brillantes y oscuras, que es una reminiscencia de un patrón de interferencia La figura 3 muestra un patrón de difracción asociada a la
sombra de un centavo. Un brillante punto se produce en el centro, y las franjas circulares se extienden hacia fuera desde el borde de la sombra. Nosotros puede explicar el punto brillante central sólo mediante el uso de la teoría ondulatoria de
la luz, que predice interferencia constructiva en este punto. Desde el punto de vista de la óptica geométrica
(en el que la luz es vista como rayos viajan en línea recta), esperamos que el centro de la sombra sea
oscuro porque esa parte de la pantalla de visualización está
completamente protegido por el centavo. Es interesante señalar un
incidente histórico que se produjo poco antes de la punto brillante
central fue observado por primera vez. Uno de los partidarios de la
óptica geométrica, Simeón Poisson, argumentó que si la teoría
ondulatoria de Augustin Fresnel de la luz fuera válida, a
continuación, un punto brillante central debe ser observada una
sombra de un objeto circular iluminado ya punto de
origen de la luz. Para asombro de Poisson, el lugar se observó por Dominique Arago poco después. Por lo
tanto, la predicción de Poisson reforzó la teoría de las ondas en
vez de desmentirla.
Patrones de difracción de una abertura estrecha
Consideremos una situación común, el de la luz que pasa a través de una abertura estrecha modelado
en forma de una rendija, y proyectada sobre una pantalla. Para simplificar el análisis, suponemos que
la pantalla de observación está lejos de la ranura, de modo que los rayos que llegan a la pantalla son
aproximadamente paralelos. Esto también se puede lograr experimentalmente mediante el uso de un lente convergente para enfocar los
rayos paralelos en una pantalla cercana. En este modelo, el patrón que aparece en la pantalla se denomina un patrón de difracción
Fraunhofer. La figura 4a muestra la luz que entra una sola ranura de la izquierda y de difracción como propaga hacia una pantalla.
Figura 4b es una fotografía de patrón de difracción de Fraunhofer de una sola rendija. Una franja brillante se observa a lo largo del eje
para 0 , con alternas franjas oscuras y brillantes a cada lado de la franja brillante central.
Anteriormente al estudiar la interferencia en rendijas, hemos supuesto que las ranuras son fuentes puntuales de luz. En esta sección,
abandonamos esta suposición y veamos cómo el ancho finito de rendija nos proporciona la base para el entendimiento deDifracción de
Fraunhofer. Podemos deducir algunas características importantes de este fenómeno examinando las ondas procedentes de diversas
partes de la ranura, como se muestra en Figura.5. Según el principio de Huygens, cada porción de la rendija actúa como una fuente de
ondas secundarias de luz. Por lo tanto, la luz de una porción de la ranura puede interferir con luz de otras partes, y esto resulta en que
la intensidad de la luz resultante en una pantalla de visualización depende de la dirección . Sobre la base de este análisis,
reconocemos que un patrón de la difracción es en realidad un patrón de interferencia, en la que las diferentes fuentes de luz son
diferentes porciones de la hendidura única!
Para analizar el patrón de difracción, es conveniente dividir la ranura en dos mitades, como
se muestra en la figura 5. Teniendo en cuenta que todas las ondas están en fase cuando salen
la hendidura, considere los rayos 1 y 3. Como estos dos rayos viajan hacia una pantalla de
visualización lejos a la derecha de la figura, rayo 1 se desplaza más allá de rayos 3 en una
cantidad igual a la diferencia de caminos / 2 sina !, donde a es la anchura de la
hendidura. Del mismo modo, la diferencia de caminos entre los rayos 2 y 4 también es
/ 2 sina , como es que entre los rayos 3 y 5. Si esta diferencia de caminos es
exactamente la mitad de una longitud de onda (que corresponde a una diferencia de fase de
180°cada dos ondas se anulan entre sí y la interferencia resultante es destructiva. Si esto es
cierto para dos de estos rayos, entonces es cierto para cualquier par de rayos que se originan
en puntos separados por la mitad de la anchura de la ranura debido a la diferencia de fase
entre dos de tales puntos es de 180 °. Por lo tanto, las ondas de la mitad superior de la ranura interfieren destructivamente con las
ondas de la mitad inferior cuando
/ 2 sin / 2 sin /a a (1)
Si ahora dividimos la hendidura en ocho partes iguales y usamos un razonamiento
similar, encontramos que la pantalla de visualización también es oscura cuando
sin 2 / a (2)
Del mismo modo, podemos dividir la rendija en doce partes iguales y demostrar que se
produce en la oscuridad la pantalla cuando
Figura 5 Caminos de los rayos de luz que se
encuentran al pasar por una ranura de anchura estrecha
y difractar hacia una pantalla en el dirección descrita
por el ángulo . Cada porción de la rendija actúa
como una fuente puntual de ondas de luz. Las
diferencias de caminos entre los rayos 1 y 3, los rayos
2 y 4, o rayos 3 y 5 es (a / 2) / 2 sina Figura .6 Distribución de la intensidad de un Patrón de
difracción Fraunhofer de una sola rendija de anchura a.
Las posiciones de dos los mínimos a cada lado de la
central de máximo están señalados.
sin 3 / a (3)
Por lo tanto, la condición general para la interferencia destructiva es
sin / ; 1, 2, 3oscura
m a m (*)
Esta fórmula define las direcciones en los cuales la patrón de la imagen es oscuro e intensidad de la luz en estos puntos de la patrón de difracción es cero y se forma una franja
oscura. Sin embargo, esta fórmula no nos dice nada acerca de la variación en la intensidad
de la luz a lo largo de la pantalla. Las características generales de la distribución de
intensidad se muestran en la figura 6. Se observa una amplia franja brillante central; esta
franja está rodeada franjas brillantes por mucho más débiles alternando con franjas oscuras.
Las diversas franjas oscuras se producen en los valores de! Oscuro que satisfacen la
ecuación 38.1. Cada pico de franja brillante se encuentra aproximadamente en la mitad entre
mínimos. Anótese el máximo central brillante es dos veces más ancho que los máximos
secundarios.
La intensidad de Patrones de difracción de una rendija
Podemos para determinar la distribución de intensidad de luz para patrón de una difracción de una sola rendija. Imagínese una ranura
dividida en un gran número de zonas pequeñas. Cada zona actúa como una fuente de radiación coherente, y cada uno contribuye un
campo eléctrico incrementando la magnitud resultante (E en algún momento en la pantalla. Se obtiene el total del campo eléctrico E
magnitud en un punto en el pantalla sumando las contribuciones de todas las zonas. La intensidad de la luz en este punto es
proporcional al cuadrado de la magnitud del campo eléctrico.
Debido a que la intensidad de la luz I resultante en un punto en la pantalla es proporcional al cuadrado de la amplitud de campo
eléctrico nos encontramos
max
sin( sin( ) / )
sin( ) /
aI I
a
donde Ixmax es la intensidad en 0 el máximo central). A partir de este resultado, vemos que los mínimos se producen cuando
sin( ) /oscuro
m a