3 signaler och system i tidsplanet - chalmerssvenk/dig_sign.tl/kompendium/grundbok/kap… ·...

Kapitel 3

Signaler och system i tidsplanet sida 3.1

3 Signaler och system i tidsplanet Vi kommer nu att inleda studiet av hur vi kan beskriva och behandla tidsdiskreta signaler och system. Vi börjar med att behandla dem i det plan där vi samplar dem, dvs i tidsplanet, för att i senare kapitel se hur vi kan få fram och skapa andra egenskaper hos signaler och system genom att även behandla dem i frekvens- och z-planet. Det är värt att betona att vi inte kan få en helhetsbild av en signal eller ett system genom att göra betraktelsen i bara ett plan utan vi bör utnyttja alla plans förtjänster och kombinera dessa. I det diskreta tidsplanet kommer vi att beteckna signaler med [ ] [ ]Tnxnx ⋅=

där n är den uppräknande tidsvariabeln som då ger tiden som multipler av samplingsperioden T . Vi förenklar skrivsättet genom att utelämna periodtiden T och låta denna vara underför-stådd. Tidsvariabeln n är nu ett heltal som kan vara positivt, negativt eller noll. Observera att n måste vara ett heltal då tiden i det samplade systemet bara är definierad för multiplar av samplingsperioden T . Tiden noll ( 0=n ) är den tidpunkt som vi har valt att definiera som referenspunkt, normalt den tidpunkt då vi startar vårt sampling. Det finns alltså ingen absolut nolltid utan vi har själva fastställt denna referens. Negativa tider ( 0<n ) anger tider före tidpunkten noll medan positiva tider ( 0>n ) anger tid-punkter efter tidpunkten noll. I de flesta fall kommer vi att anse att signaler startar vid tiden noll, dvs de är noll för negativa tider och att system börjar arbeta vid tiden noll, dvs vi har vid denna tid inga signaler från tidigare tidpunkter (initialvärden) i systemet. Vi kommer i det följande kapitlet att se på hur vi kan beskriva signaler och system i tidspla-net, hur vi kan studera deras egenskaper och hur vi utifrån dessa beskrivningar kan bestämma ett systems utsignal för given insignal.

3.1 Grundsignaler Låt oss beskriva ett antal enkla grundsignaler som vi senare kommer att använda som testsig-naler till olika system samt som grundelement för att bygga upp mer komplexa signaler.

3.1.1 Impuls En impuls (enhetspuls, diracpuls) [ ]nδ definieras som en signal som har storleken ett (1) vid tiden noll ( 0=n ) och som är noll (0) vid alla andra tidpunkter, Figur 3.1.

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠

==

00

01

n

nnδ

1

n

δ[n]

Figur 3.1 Impulssignal

Kapitel 3


Vi skall senare se att vi kan använda impulsen för att bygga upp vilka signaler vi vill. Im-pulsen används också, som vi också skall se senare, som en testsignal för att testa ett sy-stems egenskaper och studera vad som händer då en kort störning påläggs systemet (im-pulssvar).

3.1.2 Enhetssteg Ett enhetssteg (steg, engelska unity step) [ ]nu är en signal som före tiden noll ( 0=n ) är noll (0) för att från och med tiden noll ( 0=n ) bli ett (1) och sedan ligga kvar på denna nivå, i teorin i oändlig tid, men i praktiken i alla fall så länge vi studerar systemet, Fi-gur 3.2.

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

<=

01

00

n

nnu

Vi skall senare se hur vi kan använda enhetseteget för att testa hur ett system uppför sig då vi plötsligt ändrar insignalen (stegsvar), t ex hur systemet reagerar då vi talar om för ett ni-våregleringssystem att vätskenivån skall ändras från 1 till 2 m.

3.1.3 Ramp En ramp [ ]nr är en signal som växer linjärt med ti-den från och med tidpunkten noll ( 0=n ), före denna tid är signalen noll (0), Figur 3.3.

[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

<=

0

00

nn

nnr

Lägg märke till att signalen har värdet noll även vid tiden noll ( 0=n ). Signalen kan naturligtvis inte växa sig hur stor som helst utan att bottna systemet. Signalen kan användas för att testa hur ett system uppför sig vid en kontinuerlig förändring av systemets insignal.

3.1.4 Exponentialfunktion Exponentialfunktionen beskrivs av [ ] ∞<<∞−= ⋅ nenx nβ

där

1

n

u[n]

Figur 3.2 Enhetssteg (unity step)

4

2

n

r[n]

Figur 3.3 Ramp

Kapitel 3


[ ]

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

==

<

funktionväxandeger

nallaförnxger

funktionavtagandeger

0

10

0

β

Lägg märke till att 0=β ger en konstant nivå [ ] 1=nx för alla tider n och att vi obero-ende av värde på β har [ ] 10 =x , Figur 3.4 b).

0<β kommer att ge stora värden på [ ]nx då n har stora negativa värden medan 0>β kommer att ge stora värden på [ ]nx då n har stora positiva värden, Figur 3.4 a) respektive Figur 3.4 c). Signalerna kommer naturligtvis så småningom att bottna systemet i båda fal-len.

3.1.5 Sinus- och cosinussignal En sinusformad signal definieras av

[ ] ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ+⋅⋅⋅=Φ+⋅⋅⋅⋅=Φ+⋅Ω= n

ffnTfnnxs

ππ 2sin2sinsin

Figur 3.5. Lägg märke till att vi här har infört frekvensen f som varia-bel men vi ser att det är inte frekven-sen i sig som är viktig, utan det vik-tiga är hur den förhåller sig till samplingsfrekvensen sf , dvs den re-

lativa frekvensen sf

f är viktig, detta

är en mycket viktig egenskap som vi kommer att stöta på igenom hela kursen. Fasvinkeln Φ gör att vi kan få ett antal olika signalvarianter

1

n

x[n]

β<0

Figur 3.4 a) Exponentialfunktion 0β <

1

n

x[n]

-1 Figur 3.5 Sinusfunktion med fasvridning

1

n

x[n] β=0

Figur 3.4 b) Exponentialfunktion

0β = 1

n

x[n]

β>0

Figur 3.4 c) Exponentialfunktion

0β >

Kapitel 3


⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−→

−→

→

→

=Φ

cosinus270

sinus180

cosinus90

sinus0

o

o

o

och vi kan naturligtvis också ha vilken fasvinkel vi vill däremellan.

3.1.6 Tidsförskjutna signaler Vi har ovan sett hur vi kan få ett antal grundsignaler, men det är ju inte säkert att vi vill att signalerna skall komma precis vid de tider som anges i grunddefinitionerna. Vi kanske vill ha en impuls vid tiden 5=n i stället för vid tiden noll. Hur gör vi då? Låt oss se på impulsen som exempel. Vi inför en ny tidsvariabel m . Funktionen [ ]mδ kommer då att ge en impuls då argumentet är noll (0), dvs vid den tid då 0=m . Vi gör nu substitutionen

0nnm −= när 0n är en konstant och får [ ]0nn −δ . Denna funktion kommer att bli ett (1) vid den tid då det totala argumentet 0nnm −= är noll (0), dvs funktionen bryr sig inte om värdena på n och 0n i sig. För att få en impuls vid tiden 5=n får vi alltså sätta

550 00 =⇒−== nnm som då ger signalen [ ]5−nδ och vi kan dra slutsatsen att för att få en impuls vid tiden 0n så får vi använda funktionen [ ]0nn −δ , Figur 3.6. Ingenting begränsar detta påstående till bara impulsen utan generellt gäller Exempel Bilaga 3.1

3.1.7 Skalning av signaler Det är inte alltid som vi vill ha signaler med den amplitud som grundsignalerna har. Vi kan då skala vår signal genom att multiplicera den med en konstant. Vill vi till exempel ha en

Ersätter vi [ ]nx med [ ]0nnx − så kommer vi att få en signal x som är 0n sampel för-skjuten i tiden. Positiva värden på 0n ger fördröjning av signalen medan negativa värden på 0n ger tidigareläggande av signalen

1

n

n0=5δ[n-n0]

Figur 3.6 Fem sampelsteg fördröjd impuls

Kapitel 3


stegfunktion som börjar vid tiden 0=n men inte med amplituden ett (1) utan med amplitu-den A så multiplicerar, skalar, vi vår stegfunktion med denna konstant, dvs [ ] [ ]nuAnu ⋅→ .

3.1.8 Kombination av grundfunktioner Vi har nu beskrivit ett antal enkla grundsignaler. Vi kan förändra signalernas storlek ge-nom att införa en förstärkningskonstant (skalnings-konstant) A och använda signalen [ ]nxA⋅ i stället för [ ]nx . Genom att låta A vara större än eller mindre än ett och positiv eller negativ så kan vi få både dämpade och förstärkta signaler samt även få positiva och negativa signaler. Vi såg också nyss hur vi kan förskjuta signalerna i tid. Genom att kombinera (addera ihop) skalade och tidsförskjutna grundfunktioner kan vi bygga upp mer komplexa funktioner. Exempel Bilaga 3.2 - 3

3.1.8.1 Att bygga upp en signal av enskilda impulser Om vi betraktar en generell signal så ser vi att den vid varje tidpunkt består av en tids-förskjuten impuls med en storlek som kan variera från tidpunkt till tidpunkt. Detta bety-der att vi kan beskriva vilken signal som helst som en serie av tidsförskjutna och ska-lade impulser

[ ] [ ]∑∞

∞−=

−⋅=k

k kntnx δ

Figur 3.8. I praktiken kan vi inte beskriva en sig-nal vid oändligt många tider utan den får på något sätt avgränsas i tid. Exempel Bilaga 3.2 - 3

3.1.8.2 Att avgränsa en signal i tid Vi såg då vi definierade enhetssteget att denna funktion är noll (0) för negativa tider,

0<n och blir ett (1) vid tiden noll ( 0=n ) för att sedan fortsätta att vara ett (1) för alla positiva tider, 0>n . Om vi nu multiplicerar en signal [ ]nx med enhetssteget [ ] [ ] [ ]nunxnx ⋅='

n

x[n]

Figur 3.7 Signal uppbyggd av en impuls, ett steg och en ramp

n

x[n]

Figur 3.8 Signal uppbyggd av impulser

Kapitel 3


där vi då multiplicerar ihop de två funktionerna vid varje tidpunkt n , så kommer vi att få en sig-nal som är noll (0) för negativa tider ( 0<n ) me-dan den är lika med [ ]nx från och med tiden noll ( 0=n ), Figur 3.9

[ ][ ]⎪

⎩

⎪⎨

⎧

≥

<=

0

00

nnx

nn'x

Detta är ett mycket vanligt sätt att få en signal som börja vid tiden noll ( 0=n ), som vi har valt som vår referenstid, vilket i de flesta fall är det samma som den tid då vi börjar att betrakta systemet. På samma sätt kan vi få signalen att börja vid någon annan tidpunkt 0n genom att i stäl-let multiplicera den med ett tidsförskjutet steg [ ]0nnu − .

[ ] [ ] [ ][ ]⎪

⎩

⎪⎨

⎧

≥

<=−⋅=

0

0

0

0

nnnx

nnnnunxn''x

Observera att signalen [ ]nx inte är förskjuten i tid. Detsamma gäller för den avgränsade signalen

[ ]nx '' , Figur 3.10. Vi kan också tänka oss att vi vill begränsa signalens utsträckning även framåt i tiden. Vi kan utnyttja enhetssteg även för detta. Låt oss se vad vi får av signalen [ ] [ ] [ ]

startstopp

stoppstart

nn

nnunnunp

>

−−−=

Vi ser ur Figur 3.11 och Figur 3.12 att vi får en puls som blir ett vid ti-den startn (i figuren 3=n ) för att återigen bli noll vid tiden stoppn (i figuren 8=n ). Detta beror på att från och med denna tid så kommer de två signalerna att ta ut varandra. Vi har alltså ett avgränsat steg, en puls, som i exemplet är ett (1) under tiden 7,6,5,4,3=n . Lägg märke till att signlen blir noll (0) från och med tiden stoppn .

n

x[n]

Figur 3.9 Signal avgränsad att börja vid tiden 0n =

n

x[n]

Figur 3.10 Signal avgränsad att börja vid tiden 4nn 0 ==

1

n

x[n]

-1nstart

nstopp Figur 3.11 [ ]3−nu och [ ]8−− nu

1

n

x[n]

nstoppnstart Figur 3.12 [ ] [ ]8nu3nu −−−

Kapitel 3


Om vi då multiplicerar vår signal med denna puls

[ ] [ ] [ ] [ ]( )stoppstart nnunnunxnx −−−⋅=''' så får vi en signal som är avgränsad i tid så att den är noll före tiden startn , sedan följer signalen [ ]nx och sedan åter igen blir noll vid tiden stoppn , Figur 3.13.

[ ] [ ]

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥

<≤

<

=

stopp

stoppstart

start

nn

nnnnx

nn

n'''x

0

0

Observera åter igen att signalen följer [ ]nx fram till tidpunkten före stoppn . Exempel Bilaga 3.4

3.2 Periodisk signal Vi kommer senare att ha nytta av begreppet periodisk signal, så låt oss definiera detta begrepp. Med en periodisk signal menar vi en signal som med jämna tidsintervall, perioder upprepar sig själv. Vi kan alltså identifiera en periodtid pT . Periodtiden behöver inte bara ett helt antal samplingsperioder T . Är den inte detta så kommer vi inte att få exakt samma värden på signalen vid de olika tidpunkterna i två olika perio-der men kurvformen (enveloppen) kommer att vara den samma om vi anpassar en kurva mel-lan de olika sampelvärdena och det gör att den D/A-omvandlade analoga signalen kommer att bli den samma, Figur 3.14.

3.2.1 Strikt periodisk signal Med en strikt periodisk signal menar vi en signal som med jämna tidsintervall upprepar sig själv exakt, varje ny period innehåller alltså exakt samma sampelvärden som föregående period, Figur 3.15. Vi kan återigen identifiera en periodtid pT , men denna periodtid måste nu vara ett helt antal samplingsperioder

heltalpositivtettärpNpTp ⋅=

n

x[n]

Figur 3.13 Signal avgränsad att börja vid tiden 3nn start == och

sluta vid tiden 71nstopp =−

Figur 3.14 Periodisk signal, period 3,5

Figur 3.15 Strikt periodisk signal, period 3N =

Kapitel 3


Observera att den strikta perioden måste vara minst lika lång som perioden och är den strikta perioden längre än perioden så måste den vara ett helt antal perioder. Vi kan för en strikt periodisk signal skriva [ ] [ ]nxpnx =+

Exempel Bilaga 3.5

3.3 Linjärt tidsinvarianta system (LTI) Vi kommer nu att övergå till att se på hur vi kan beskriva DSP-system i stället för signaler och vi inleder med förutsättningen för att vi skall kunna behandla ett digitalt system på de sätt som vi framöver kommer att beskriva dem.

3.3.1 Linjaritet Linjära system kännetecknas av att de stöder super-position och skalning. Superposition innebär att om insignalen till ett sy-stem består av summan av två delsignaler så kan vi få systemets totala utsignal genom att först beräkna den utsignal som den ena insignalen ger upphov till, för att sedan beräkna den utsignal som den andra in-signalen ger upphov till och slutligen summera de två utsignalerna tidpunkt för tidpunkt för att få den totala utsignalen, Figur 3.16.

2121

22

11

yyyxxxyx

yx

tottot +=→+=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

→

→

Skalning innebär att om vi multiplicerar insignalen med en förstärkningskonstant A så kommer utsignalen inte att för-ändra sin form men förändra sin storlek i samma grad som insignalen förändrats, dvs med samma förstärknings-konstant A , Figur 3.17.

yAxAyx ⋅→⋅⇒→

För att vi skall kunna behandla ett tidsdiskret system med de metoder vi beskriver fram-ledes så måste systemet vara linjärt och tidsinvariant (LTI)

systemx1[n] y1[n]

systemx2[n] y2[n]

systemx1[n]+x2[n] y1[n]+y2[n]

Figur 3.16 Superponerade signaler

systemx[n] y[n]

systemA·x[n] A·y[n]

Figur 3.17 Skalade signaler

Kapitel 3


Vi kan sammanfatta linjariteten i Figur 3.18 och i ekvationssystemet

2121

22

11

ybyaxbxa

yx

yx

⋅+⋅→⋅+⋅⇒

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

→

→

Dessa definitioner förutsätter naturligtvis att våra summationer eller skalningar inte bottnar systemet.

3.3.2 Tidsinvarians Ett tidsinvariant system kännetecknas av att den fak-tiska tid vid vilken vi skickar in en signal i systemet inte påverkar systemets utsignal. Det enda som händer om vi ansluter insignalen 0n samplingsperioder senare är att utsignalen kommer 0n samplingsperioder senare än vad den skulle ha gjort om vi applicerat insignalen vid tiden noll ( 0=n ), signalförloppet skall inte förändras, motsvarande gäller om vi anslu-ter signalen tidigare i tid ( 0n negativ). Vi får alltså bara en tidsförskjutning 0n samplingsperioder av både in- och utsignal, Figur 3.19.

3.4 Differensekvationer En differensekvation är den ekvation som beskriver utsignalen [ ]ny . Denna utsignal kan bero av insignalens värde vid nuvarande samt tidigare och senare tidpunkter [ ]knx ± , samt av tidi-gare värden på systemets utsignal [ ]pny − . Ekvationen kan inte innehålla rena konstanter som adderas eller subtraheras från resten av uttrycket. Lägg speciellt märke till att utsignalen kan bero av tidigare insignaler, nuvarande insignal och insignaler som kommer senare i tid. För att vi skall kunna ha ett beroende av insignaler som kommer senare i tid så måste på något sätt fördröja hela vår insignal så att vi kan ’titta framåt i tiden’. Detta kan vi åstadkomma genom att låta insignalen passera genom ett antal fördröj-ningssteg innan den når vårt DSP-system, ett specialfall av detta är då vi har hela vår signal lagrad i någon form av minne. Det senare är inte möjligt i ett realtidssystem. Utsignalen kan som sagt var också bero av tidigare utsignaler. Utsignalen kan inte gärna bero av nuvarande utsignal eftersom det är denna vi just beräknar och utsignaler som kommer se-nare i tid har vi ju inte beräknat än så dom kan vi inte heller använda. Vi kan sammanfattande teckna differensekvationen som

systemx1[n] y1[n]

systemx2[n] y2[n]

systema·x1[n]+b·x2[n] a·y1[n]+b·y2[n]

Figur 3.18 Linjärt system

[ ] [ ] [ ] [ ]00 nnynnxnynx −→−⇒→

systemx[n] y[n]

systemx[n-n0] y[n-n0]

Figur 3.19 Tidsinvariant system

Kapitel 3


[ ] [ ] [ ]∑∑=−=

−⋅+−⋅=S

pp

N

Mkk pnyrknxtny

1

Jämför med den generella tidsdiskreta ekvationen på sidan 1.1 i Grundkompendiet. Vi väljer att använda kt som beteckning på de konstanter som multipliceras med respektive insampel eftersom dessa termer brukar kallas systemets transversella termer. Av samma skäl använder vi pr som namn på de konstanter som multipliceras med respektive utsampel efter-som dessa termer brukar kallas systemets rekursiva termer.

3.4.1 Kausalitet Vi såg ovan hur differensekvationen kunde bero av äldre utsignaler samt av äldre, nuva-rande och kommande insignaler. I ett realtidssystem där vi fortlöpande hämtar in nya vär-den på insignalen och för varje nytt invärde beräknar ett nytt värde hos utsignalen så kan vi inte känna till kommande insignaler och dessa termer får inte finnas med i differensekva-tionen. Ett sådant system kallas för ett kausalt system. Vi definierar Man brukar tala om ’orsak och verkan’, dvs det kan inte komma en utsignal innan alla in-signaler och utsignaler som den beror av har nått systemet. Vi kan identifiera de termer som inte får ingå som de termer som har argument innehållande plustecken, dvs om den andra tidsförskjutande deltermen, k respektive p i ekvationen nedan, är negativ. Systemet beskrivs då av ekvationen

[ ] [ ] [ ]∑∑−

=

−

=

−⋅+−⋅=1

1

1

0

S

pp

N

kk pnyrknxtny

Vi kommer i fortsättningen att i första hand arbeta med kausala system. För att antalet ter-mer i de två fallen skall bli lika med N respektive S så brukar man låta maximalt summa-tionsindex vara 1−N respektive 1−S . Detta stämmer nu inte för de rekursiva termerna, dom är ju 1−S stycken men då vi kommer till överföringsfunktioner för våra system så kommer även [ ]ny att bidra till utttrycket och då får vi S stycken termer. Exempel Bilaga 3.6

3.4.1.1 Tidsfördröjning, latency Det är värt att notera att kausala, tidsdiskreta system alltid kommer att ha en utsignal som är fördröjd i förhållande till insignalen. Egenskapen kallas på engelska latency. Se bland annat Kapitel 8.1.2 Fasegenskaper. Det dröjer alltså en kort tid innan vårt system reagerar på en ny insignal. Detta kan ställa till problem. I återkopplade reglersystem kan till exempel denna fördröjning ge upphov till att regleringen blir sämre eller i värsta fall ge upphov till självsvängande system då systemet inte hinner att i tid reagera på insignalförändringar.

I ett kausalt system kan utsignalen bara bero av nuvarande och tidigare insampel samt av tidigare utsampel

Kapitel 3


3.4.2 Grundelement Man säger ofta att en bild säger mer än tusen ord och det kan ofta vara bra att försöka rita ett blockschema som motsvarar differensekvationen. Detta blockschema visar dock i de flesta fall inte någon verklig koppling eftersom differensekvationen oftast realiseras som ett antal rader i ett datorprogram (för processor eller hårdvarukonstruktion). För att vi skall kunna rita ett blockschema så måste vi identifiera vilka grundoperationer som ingår i diffe-rensekvationen. Om vi studerar ovanstående differensekvation så ser vi att de matematiska operationer som ingår är • addition av (skalade) sampel • multiplikation mellan konstant och sampel (skalning) • fördröjning av sampel Vi kan undvika subtraktion genom att använda multiplikation med negativa skalkonstanter samt addition. Vi kan alltså bygga upp differensekvationen med hjälp av dessa operationer och det får också bli de grundelement vi behöver för våra blockscheman. Vi väljer att bryta ner grundelementen till operationer som bara innefattar en eller högst två operander, dvs ett sampel, ett sampel och en konstant eller två sampel. Operationer som in-nehåller fler än två operander delar vi upp i flera deloperationer. Orsaken till detta är att när vi så småningom bryter ner differensekvationen till programkod så kommer denna kod, då vi går ner på låg nivå (assemblernivå), aldrig att innefatta operationer som hanterar mer än två operander och det kan vara praktiskt att låta detta reflekteras i blockschemat. Det ger dessutom ganska rena blockscheman som det är lätt att rita om till önskat antal element.

3.4.2.1 Addition Addition kommer alltid att ske mellan (skalade) sam-pel, Figur 3.20. Ett LTI-system kan inte innehålla summan mellan ett sampel och en konstant [ ] [ ] [ ]nxnxny 21 +=

3.4.2.2 Förstärkning (skalning) Denna operation kommer alltid att innefatta multiplikation mellan ett sampel och en konstant, Figur 3.21. LTI-system kan inte innefatta multiplikation mellan sampel ur samma tidsföljd. [ ] [ ]nxFny ⋅=

+x1[n] x1[n]+x2[n]

x2[n] Figur 3.20 Additionsblock

Fx[n] F·x[n]

Figur 3.21 Förstärkarblock (skalning)

Kapitel 3


3.4.2.3 Subtraktion I stället för subtraktion så kommer vi att använda multiplikation med negativ konstant följd av addi-tion, Figur 3.22, detta för att minska antalet typer av operationer. [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ]nxnxnxnxny 2121 1 ⋅−+=−=

3.4.2.4 Fördröjning Om vi åter tänker på hur vår differensekvation skall realiseras i ett datorprogram eller i hårdvara så kan vi inse att 0n stegs fördröjning måste realiseras som en kedja av min-nesceller där vi kan lagra 0n gamla sampel. Får att återigen låta vårt blockschema ligga nära realiseringen så låter vi varje fördröjningsblock representera en samplingsperiods fördröjning. Vill vi ha flera fördröjningssteg så får vi seriekoppla flera fördröjnings-block. I blockscheman förekommer ett antal olika varianter på detta block. Blocket i sig är li-kadant men dess symbol kan vara bara ett T som motsvarar en samplingsperiod, τ som är den allmänt vedertagna symbolen för tidsfördröjning eller 1−z eftersom vi då vi kom-mer in på z-transformen skall se att fördröjning ett samplingssteg i tidsplanet i z-planet motsvaras av multiplikation med faktorn 1−z , Figur 3.23 a ) - c).

3.4.3 Blockschema Vi såg tidigare hur vi kunde sammanfatta den kausala differensekvationen i uttrycket

[ ] [ ] [ ]∑∑−

=

−

=

−⋅+−⋅=1

1

1

0

S

pp

N

kk pnyrknxtny

Vi ser att uttrycket innehåller ett antal fördröjda och skalade insignaler samt ett antal för-dröjda och skalade utsignaler. Vi ser att det är möjligt att realisera de olika fördröjningarna för in- respektive utsignal som en kedja av fördröjningsblock där vi kan tappa av de olika antal steg fördröjda signalerna mellan dessa block. Vi följer också regeln att bara ha med två signaler i varje summation. Det kan vara praktiskt och förenkla ritandet om vi alltid an-vända samma grundstruktur för blockschemat oberoende av hur många termer som ingår. Vi utformar dessutom strukturen så att det är enkelt att förändra antalet ingående element utan att göra om grundformen. Ovanstående resonemang gör att vi kommer fram till följande upplägg för ett system som bara innehåller fördröjda och skalade insignaler, dvs differensekvationen

x[n] x[n-1]τ

Figur 3.23 b) Fördröjnings-block

+x1[n] x1[n]-x2[n]

-x2[n]-1

x2[n]

Fig 3.22 Subtraktion genom negativ konstant och summation

z-1x[n] x[n-1]

Figur 3.23 c) Fördröjnings-block

Tx[n] x[n-1]

Figur 3.23 a) Fördröjnings-block

Kapitel 3


[ ] [ ]∑−

=

−⋅=1

0

N

kk knxtny

Vi får Figur 3.24. Skulle ekvationen innehålla yt-terligare termer så är det bara att bygga på block-schemat nedåt. Skulle några termer saknas i kedjan så kan vi utelämna de summatorer och skalnings-block som hör till dessa grenar, fördröjningsblocken måste dock vara kvar för att ge efterföljande grenar rätt fördröjning. Ett system som bara innehåller nu-varande och fördröjda insignaler kallas för ett trans-versellt system. Vi använder ibland också namnet icke-rekursivt system, vad detta innebär förklarar vi strax. Vi skall senare se att vi också kan använda namnet FIR-system (Finite Impulse Response, änd-ligt impulssvar). På motsvarande sätt kan vi skissa ett system som bara innehåller en insignal och fördröjda och ska-lade utsignaler, dvs

[ ] [ ] [ ]∑−

=

−⋅+⋅=1

10

S

pp pnyrnxtny

enligt Figur 3.25. Lägg märke till att vi inte kan utelämna hela den första summan ur vårt generella uttryck, en insignal måste rimligen finnas med. In-signalen behöver inte vara den nuvarande, dvs [ ]nx , även om det är det vanligaste. Det kan vara en fördröjd insignal [ ]knx − . Vi ser att detta system innehåller återkopp-lade utsignaler och detta har givit upphov till namnet rekursivt system. Detta förklarar varför det tidigare systemet som inte inne-höll återkopplade signaler kallas icke-rekur-sivt system. Vi skall senare se att vi också kan kalla det återkopplade systemet för ett IIR-system (Infinite Impulse Response, oändligt impulssvar). Även här gör strukturen att det är lätt att lägga till eller utelämna termer. Om vi nu kombinerar dessa två blockscheman så kan vi rita blockschemat för den gene-rella differensekvationen

[ ] [ ] [ ]∑∑−

=

−

=

−⋅+−⋅=1

1

1

0

S

pp

N

kk pnyrknxtny

y[n]+

+

+

+

r1

r2

r3

x[n] t0

τ

τ

τ

Figur 3.25 Blockschema för rekursivt system

+x[n] y[n]

+

+

+

t0

t1

t2

t3

τ

τ

τ

Figur 3.24 Blockschema för transversellt system

Kapitel 3


se Figur 3.26. Även detta system tillhör gruppen rekursiva system eftersom det innehåller rekursiva termer. Vi kommer senare att se att det finns andra sätt att bygga upp våra system. Vi återkommer till detta när vi har lärt oss lite om z-trans-form. Exempel Bilaga 3.7

3.5 Hur undersöker vi system-egenskaper? Vi har nu sett på hur vi kan beskriva signaler och system med hjälp av differensekvationer, tidsdiagram och blockscheman men hur beskriver vi ett systems egenskaper i tidsplanet och hur beräknar vi utsignalen från ett system? För att bestämma och beskriva ett systems egenskaper i tidsplanet använder vi oftast impuls- och stegsvar, dvs den utsignal, det svar, som en insignal bestående av en impuls respektive ett steg ger. För att bestämma utsignalen för en mer allmän insignal (vilken insignal som helst) använder vi faltning. Vi återkommer strax till detta.

3.5.1 Impulssvar Med ett systems impulssvar menar vi den utsignal som ett system ger då vi använder en impuls [ ]nδ som insignal. Lägg märke till att insignalen är en ren impuls som varken är skalad eller tidsförskjuten. Utsignalen, impulssvaret betecknas [ ]nh . Vi kan se impulsen som en kort störning som exiterar, triggar igång systemet och efterföl-jande reaktion beror då inte av nya insignaler som kommer efter tiden noll ( 0=n ) utan be-ror bara av hur systemet i sig reagerar på den korta störningen. Impulssvaret är den absolut vanligast förekommande formen av testsignal för att studera ett systems egenskaper i tidsplanet. Vi kan tänka oss att systemet svarar på störningen (im-pulsen) genom att under en (längre eller kortare) tid lämna sitt viloläge (utsignal noll) för att sedan återgå till viloläget. Beroende på systemets snabbhet kan avvikelsen bli kort- eller långvarig, återgången kan antingen ske monotont, dvs återgå utan översväng i motsatt rikt-ning eller ske som en insvängning där utsignalen pendlar runt viloläget innan den lägger sig i vila (Figur 3.27 respektive Figur 3.28). Även storleken och frekvensen hos denna pendling säger oss saker om systemets egenskaper.

+x[n] y[n]

+

+ +

+

+

+

+

t0

t1

t2

t3

r1

r2

r3τ

τ

τ

τ

τ

τ

Figur 3.26 Blockschema för generellt system

Kapitel 3


Vi kan också tänka oss att utsignalen aldrig återgår till ursprungsläget utan hamnar på en ny nivå då sy-stemet åter är i vila, vi har då fått ett kvarstående fel (Figur 3.29). Även här kan vi ha en monoton eller in-svängande avvikelse från viloläget. Den typ av sy-stem som vi betraktar kommer aldrig att få något kvarstående fel. Ett tredje alternativ är att utsignalen inte går mot en konstant nivå (noll eller ny nivå) utan får en kvar-stående självsvängning, dvs systemet börjar oscil-lera (Figur 3.30). Till slut kan vi få en utsignal som växer okontrolle-rat till dess den bottnar systemet. Under det att sig-nalen växer kan den vara monoton eller oscillerande (Figur 3.31). Vi får ett instabilt system. Ofta väljer man att ange även det självsvängande systemet som instabilt. Vi kommer nedan att i samband med att vi studerar metoder för att bestämma utsignalen för en generell insignal (faltning) se att dessa metoder fungerar bra även för specialfallet att vi vill bestämma utsignalen då insignalen är en impuls, dvs då vi vill bestämma impulssvaret, men låt oss först se på några enkla grunder.

3.5.1.1 Transversella system Kan vi beskriva vårt system som ett transversellt, icke-rekursivt system, dvs ett system där utsignalen bara beror av nuvarande och fördröjda varianter av insignalen (vi begrän-sar oss till kausala system så signaler framåt i tiden kan inte förekomma) så blir över-gången från differensekvation till impulssvar enkel. Eftersom insignalen [ ]nx nu är en impuls [ ]nδ så kommer denna att fortplanta sig genom systemets olika skalade och för-dröjda grenar och nå utgången vid de tidpunkter som ges av dessa fördröjningar. Detta innebär att man för att få impulssvaret bara behöver överallt i differensekvationen byta [ ]0nnx − mot [ ]0nn −δ , där 0n är den aktuella termens fördröjning (som kan vara

noll), samt byta utsignalen [ ]ny mot impulssvaret [ ]nh . Har vi t ex ett system som beskrivs av differensekvationen

n

h[n]

Figur 3.27 Trögt impulssvar utan pendling

n

h[n]

Figur 3.28 Impulssvar med insvängning

n

h[n]

Figur 3.29 Impulssvar med kvarstående fel

n

h[n]

Figur 3.30 Självsvängande impulssvar

n

h[n]

Figur 3.31 Instabilt impulssvar

Kapitel 3


[ ] [ ] [ ] [ ]25,018,0 −⋅+−−⋅= nxnxnxny så får systemet impulssvaret [ ] [ ] [ ] [ ]25,018,0 −⋅+−−⋅= nnnnh δδδ

en ekvation som direkt ger oss utsignalens värden vid olika tidpunkter. Lägg märke till att i detta fall kommer den impulsformade insignalen att så småningom ha passerat alla ingående fördröjningar [ ]0nnx − och utsignalen, impulssvaret, kommer att återgå till noll efter ändlig tid (i exemplet vid 3=n ). Impulssvaret tar alltså slut och vi har ett ändligt impulssvar (i tiden) och vi nämnde ju ovan att transversella system kallas FIR-system, där FIR står för Finite Impulse Response, dvs ändligt impulssvar.

3.5.1.2 Rekursiva system Har vi ett rekursivt system så blir det lite mer komplicerat. Om vi tar systemet [ ] [ ] [ ] [ ]15,018,0 −⋅+−−⋅= nynxnxny

så innehåller denna ekvation den nya termen [ ]1−ny men detta är ju utsignalen vid fö-regående samplingstillfälle, dvs i det här fallet impulssvaret vid föregående samplings-tillfälle [ ]1−nh och vi kan skriva impulssvaret [ ] [ ] [ ] [ ]15,018,0 −⋅+−−⋅= nhnnnh δδ

Här får vi inte direkt utsignalens värden vid olika tidpunkter, eftersom utsignalen (im-pulssvaret) beror av tidigare utsignaler så får vi beräkna utsignalen tidpunkt för tidpunkt och använda föregående beräkningsresultat vid nästa beräkning. Lägg märke till att här kommer impulsen [ ]nδ att ge impulssvaret vid tiden noll, [ ]0h eftersom vi då inte har något tidigare impulssvar [ ] [ ] [ ]1101 −=−=− hhnh . Impulssva-ret [ ]0h kommer vid tiden 1=n kommer att ingå i termen [ ] [ ] [ ]0111 hhnh =−=− i im-pulssvaret [ ]1h . Vid tiden 2=n kommer [ ]1h att ingå i termen [ ] [ ] [ ]1121 hhnh =−=− i impulssvaret [ ]2h , osv. Impulssvaret kommer alltså inte, utom i mycket speciella fall, att bli noll (0) då tiden växer, även om det måste närma sig noll (0) allt mer om vi inte skall få en självsvängning, ett instabilt system eller ett kvarstående fel. I praktiken kommer naturligtvis utsignalen ändå att så småningom att bli noll (0) då den ju går mot noll (0) och till slut kommer att försvinna i avrundning då vi har nått gränsen för beräk-ningsnoggrannheten. Avrundningen kan också ge upphov till ett (monotont eller oscille-rande) kvarstående fel som på engelska kallas limit cycle. Vi går inte in på detta. Eftersom impulsvaret aldrig blir noll (0) så får vi då vi beräknar detta själva, utifrån för-utsättningarna, välja vid hur många tidpunkter vi måste beräkna utsignalen för att få en klar bild av hur impulssvaret ser ut och antalet beräkningspunkter beror normalt sett av hur snabbt impulssvaret går mot noll (0) eller hur snabbt det går mot ett oscillerande el-ler instabilt resultat som vi kan identifiera. Att impulssvaret går mot noll (0) men i teorin aldrig blir noll (0) då tiden växer förklarar varför rekursiva system också kallas IIR-system, där IIR betyder Infinite Impulse Re-sponse, oändligt impulssvar. Kom ihåg att vi här skall tolka oändligheten så att impuls-

Kapitel 3


svaret fortsätter i oändlig tid. Vi skall inte tolka det så att impulssvarets storlek går mot oändligheten.

3.5.1.3 Stabilitet Hur skall vi nu tolka impulssvaret? Vi har ovan sett att impulssvaret kan ha helt olika karaktär i olika fall. I signalbehandlingssammanhang kan vi tänka oss system vars utsignal återgår till vilo-läget efter impulsen och system som självsvänger eller ger okontrollerad utsignal. Vi bortser från system som ger ett kvarstående fel eftersom dessa inte brukar förekomma i signalbehandlingssammanhang (men däremot i styr- och reglersammanhang). Det första systemet, då utsignalen återgår till noll (0), dvs störningen dämpas så små-ningom ut, sägs vara stabilt medan de två senare systemen, då utsignalen självsvänger eller växer, är instabila. I de allra flesta fall kräver vi att våra system skall vara stabila. Vi kan tänka oss att söka system som självsvänger för att få en form av digital oscilla-tor. Instabila system med växande impulssvar vill vi absolut inte ha, vem vill ha ett bottnande system? Slutsatsen blir Vi såg ovan att impulssvaret från ett transversellt system alltid kommer att återgå till noll (0) efter en ändlig tid, dvs transversella system är alltid stabila. För rekursiva system såg vi att impulsvaret vid en tidpunkt n , [ ]nh , alltid kommer att bero av impulssvaret vid tidigare tidpunkter, dvs systemet har en eller flera återkopp-lingar. Dessa återkopplingar kan ge självsvängning och växande utsignal, dvs vi kan här få instabila system. Vi kan med nuvarande kunskaper inte ge något riktigt svar på frågan vilket som är villkoret för att ett sådant system skall vara stabilt, vi kan dock inse att det måste bero på storleken och tecknet hos de konstanter som vi multiplicerar de åter-kopplade, fördröjda utsignalerna med. Vi kan ge ett svar angående systemets stabilitet när vi längre fram (Kapitel 5 Signaler och system i z-planet) har studerat z-transformen och poler och nollställen i z-planet. För ett första ordningens rekursiva system som bara har den fördröjda utsignalen [ ]1−ny , dvs differensekvationen [ ] [ ] [ ]1−⋅+= nyrnxny

med impulssvaret [ ] [ ] [ ]1−⋅+= nhrnnh δ

är det dock rätt lätt att inse att konstanten r måste ha ett belopp mindre än ett ( 1<r ) för att systemet skall vara stabilt. Exempel, Bilaga 3.8

För att ett system skall vara stabilt måste impulssvaret gå mot noll (0) då tiden går mot oändligheten [ ] ∞→→ ndå0nh

Kapitel 3


3.5.2 Stegsvar Med ett systems stegsvar menar vi systemets utsignal då vi använder ett enhetssteg [ ]nu som insignal. Inte heller steget skall vara skalat eller tidsförskjutet. Steget används för att studera hur systemet regerar då insignalen snabbt går från en nivå till en annan. Stegsvar är vanliga i styr- och reglertekniska sammanhang men är ganska ovanliga i signalbehand-lingssammanhang varför vi inte går närmare in på dessa men vi skall i alla fall göra några kommentarer. Stegsvaret visar hur systemet reagerar på den plötsliga förändringen av insignalen. Reak-tionen är oftast ganska snarlik vad vi ovan beskrev för impulssvar. Vi kan få en monoton ändring till den nya nivån eller en insvängning mot nivån (Figur 3.32 respektive Figur 3.33). Vi kan även få självsvängning och växande utsignal (Figur 3.34 – 36), dvs instabila sy-stem. Ändringen av insignalen kan också ge en utsignal som reagerar på förändringen men sedan återgår till ursprungsläget i vila, vi har då ett system som inte reagerar på den nya kon-stanta nivån, som är en likspänning (om det är en elektrisk signal), utan bara reagerar på den plötsliga förändringen, flanken, som är högfrekvent. Vi har då ett system med högpass-filteregenskaper eller möjligen ett system med bandpassfilteregenskaper. Vi kan ställa olika krav på hur utsignalen skall uppföra sig. Använder vi t ex systemet för att kontrollera värmen i en ugn så spelar det kanske inte så stor roll om temperaturen pendlar lite runt den nya temperaturnivån innan den stabiliserar sig.

n

y[n]

Figur 3.32 Monotont stegsvar

n

y[n]

Figur 3.33 Insvängande stegsvar

n

y[n]

Figur 3.34 Oscillerande stegsvar

n

y[n]

Figur 3.35 Instabilt stegsvar

n

y[n]

Figur 3.36 Oscillerande instabilt stegsvar

Kapitel 3


Använder vi däremot systemet för att överföra rattrörelser till vridningar av hjulen hos en bil så kan vi inte acceptera att bilen svänger in sig runt den nya riktingen då vi plötsligt vrider på ratten.

3.5.2.1 Stabilitet Eftersom stegsvar inte är så vanliga i signalbehandlingssammanhang så går vi inte in på stabilitetsvillkoren i detta fall men kan i alla fall konstatera att villkoret för stabilitet är att stegsvaret går mot en konstant nivå då tiden växer. Denna nivå är i de flesta fall inte lika med instegets höjd (1). Den nya nivån kan vara noll (0). Exempel, Bilaga 3.9

3.6 Utsignalen för en generell insignal Låt oss nu se på hur vi beskriver utsignalen från ett system som har en mer generell insignal [ ]nx , en insignal som består av en följd av sampel med varierande storlek.

För att bestämma denna utsignal så måste vi naturligtvis känna till insignalen och vi måste också känna till systemets egenskaper, antingen via systemets differensekvation eller via dess impulssvar. Att bestämma utsignalen utifrån insignalens och systemets impulssvar kallas för faltning. De beskrivningar vi här presenterar är i viss mån tillrättalagda för att passa för numerisk be-räkning av utsignalen med hjälp av papper och penna. Då beräkningen sker med hjälp av da-tor så går det hela ut på att via vektorer i datorns minne hålla rätt på nuvarande och tidigare insignaler, tidigare utsignaler och de konstanter som skall multipliceras med respektive in- och utsampel. Beräkningsalgoritmen implementerar då strukturer för att för varje ny samp-lingstid beräkna ett nytt värde hos utsignalen samt uppdatera minnestabellerna med sampel, dvs vi beräknar en utsignal i taget och inte hela följden av utsignaler.

3.6.1 Att bestämma ett systems utsignal via faltning Faltning har ofta i signalbehandlingslitteratur givits en central roll samtidigt som beräk-nandet av faltningen har beskrivits på sätt som har gjort den svårförståelig och mystisk, vi skall försöka göra det hela lite mer lättförståeligt. I signalbehandlingslitteraturen förekom-mer också något som kallas cirkulär faltning, vi kommer inte att behandla detta. Vi säger att vi beräknar systemets utsignal genom att falta insignalen med systemets im-pulssvar. Faltning betecknas normalt med symbolen * men för att tydligare skilja den från den vanliga multiplikationssymbolen så väljer vi att i stället använda symbolen ⊗ . Vi definierar faltningen

Faltning mellan insignalen [ ]nx och ett system med impulssvaret [ ]nh ger utsignalen

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑∞

=

∞

=⋅−=−⋅=⊗=

0k0knhknxknhkxnhnxny

Kapitel 3


Lägg märke på att vi kan byta plats på x och h i ekvationen, det är bara en fråga om i vil-ken ordning produkttermerna i summan beräknas. Vi ser att summationen innehåller oänd-ligt många termer. Vi kan naturligtvis inte göra denna oändliga summation utan vi måste begränsa oss till ett ändligt antal termer. I praktiken kommer antalet termer att begränsas av den följd som innehåller minst antal termer, insignalen eller impulssvaret. Är impuls-svaret oändligt långt, dvs om vi har ett IIR-system så kommer vi aldrig att ha ett exakt ut-tryck för impulssvaret utan vissa termer kommer att vara avrundade. Beräkningen kan bara ge exakta värden för ett system med ett ändligt impulssvar, dvs ett FIR-system. Vi har ännu inte demystifierat begreppet faltning utan ovanstående uttryck är tämligen svårbegripligt. Vad är det egentligen vi gör? Vi kan bryta ner uttrycket i ett antal deluttryck genom att först bryta ner insignalen i del-termer. Lät oss anta att insignalen börjar vid tiden 0=n och innehåller N stycken termer. Detta gör inte resonemanget mindre generellt men gör det mer hanterligt. Insignalen består av en följd av N stycken fördröjda, skalade impulser (där den första termen har fördröjningen noll)

[ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ]∑−

=− −⋅=−−⋅++−⋅+−⋅+⋅=

1

01210 121

N

kkN kntNntntntntnx δδδδδ K

Var och en av dessa impulser kommer nu att ge sitt eget impulssvar men de olika impul-sernas skalfaktorer och fördröjningar kommer naturligtvis att inverka. Vi minns från vår definion av LTI-system att en skalad insignal ger en utsignal som är skalad i samma grad som insignalen och en tidsskiftad utsignal ger en i samma grad tidsskiftad utsignal. Vi minns också att om en insignal innehåller flera delsignaler så kan vi få den totala utsigna-len genom superposition, dvs genom att tidpunkt för tidpunkt addera ihop de utsignaler som varje insignal ger upphov till. Varje delsignal (skalad impuls) ger då sitt tidsskiftade och skalade impulssvar

[ ] [ ]knhtknt kk −⋅→−⋅δ och vi får den totala utsignalen

[ ] [ ]∑−

=

−⋅=1

0

N

kk knhtny

Figur 3.37 Exempel Bilaga 3.10 Lägg märke till att metoden inte har satt några begränsningar på insignalen så vi kan t ex använda den för att bestämma ett systems stegsvar genom att använda insignalen

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∞

=

−=+−+−+==0

21k

knnnnnunx δδδδ K

Att använda metoden för att bestämma ett systems impulssvar vore meningslöst eftersom metoden i sig förutsätter att vi redan känner systemets impulssvar.

h[n]

tk·δ[n-k]k=0

k=N-1

x[n]= tk·h[n-k]k=0

k=N-1

y[n]=

Figur 3.37 Totalt impulssvar utifrån delsignalers impulssvar

Kapitel 3


För stora transversella system och för rekursiva system är detta en ganska klumpig metod och vi kan i stället använda metoder att utifrån insignalen och systemets differensekvation bestämma systemets utsignal. Inte heller dessa metoder lägger några begränsningar på in-signalen varför de kan användas för att bestämma ett systems impuls- eller stegsvar.

3.6.2 Att bestämma ett systems utsignal via systemets differens-ekvation Här handlar det om att tidpunkt för tidpunkt bestämma systemets utsignal genom att i dif-ferensekvationen sätta in de värden som behövs från insignalen vid den aktuella tidpunkten samt tidigare in- och utsignaler som ingår i ekvationen. Vi kan naturligtvis, på papper, göra beräkningen tidpunkt för tidpunkt och från varje be-räkning överföra resultatet till nästa beräkning samtidigt som vi tillför den nya insignalen men denna direkta metod blir snabbt oöverskådlig och rörig och det är lätt att tappa tråden. Exempel Bilaga 3.11 Vi bör söka mer strukturella metoder och skall se på tre olika metoder. Den andra av dessa metoder är egentligen bara användbar för transversella system medan den första och den sista metoden fungerar för både transversella och rekursiva system.

3.6.2.1 Instegning av insignal i systemets blockschema Här ritar vi upp systemets blockschema och låter insignalen ’vandra in’ i detta schema tidpunkt för tidpunkt och för varje tidpunkt anger vi signalvärdena på varje punkt i blockschemat och beräknar utsignalen. I nedanstående system, Figur 3.38 - 40, har vi lagt in en tabell för varje knutpunkt där vi för varje tidpunkt har lagt till en ny rad i tabellen. Metoden ger ett ganska överskådligt resultat men är lite besvärlig att hantera. Det är lite jobbigt att rita upp blockschemat med tillhörande tabeller på ett bra sätt.

Kapitel 3


Z-1

Z-1

+

+

x[n] y[n]0,8

-1

0,5

0,60,5

1,2-0,4

00

0,60,5

1,2-0,4

0

0

0,60,5

1,2-0,4

00

0,30,25

0,6-0,2

00

-0,6-0,5

-1,20,4

0

0

-0,20,65

0,6-1,4

-0,60

0,480,4

0,96-0,32

00

-0,521,61

0,6-1,4

-0,20,48

n

Figur 3.38 Instegning i transversellt blockschema

[ ] [ ] [ ] [ ]2nx0,51nxnx0,8ny −⋅+−−⋅=

Z-1

Z-1

+

+

x[n] y[n]0,8

0,5

-0,2

0,480,4

0,96-0,32

00

0,60,5

1,2-0,4

00

n

0,240,15

0,57-0,07

00

-0,10,18

-0,30,18

0,63

0

-0,1-0,06

-0,230,03

0,06

0

0,480,3

1,14-0,14

00

0,480,3

1,14-0,14

-0,3

0

0,480,3

1,14-0,14

-0,30,3

Figur 3.39 Instegning i rekursivt blockschema

[ ] [ ] [ ] [ ]2ny0,51ny0,2nx0,8ny −⋅+−⋅−⋅=

Kapitel 3


3.6.2.2 Instegning av insignal i systemets impulssvar Även detta är en grafisk metod som har vissa likheter med den ovan beskrivna metoden med instegning av signalen i blockschemat. Metoden är enkelt tillämpbar bara på icke-rekursiva (transversella) system. Vi ritar upp systemets impulssvar i ett diagram och ritar sedan för varje tidpunkt in in-signalen i ett annat diagram där vi ser till att de två diagrammen har respektive tidpunkt ( n ) under varandra och vi kan få resultatet genom att multiplicera ihop insignalsfaktor med ’sin’ impulssvarsfaktor och summera produkterna. Då vi ritar insignalen så får vi spegelvända denna så att den har en tidsskala som går mot vänster för att kunna stega in signalen i impulssvaret. Det är inte så lätt att förstå vad ovanstående beskrivning innebär så vi illustrerar meto-den med ett exempel. Låt oss anta att vi har insignalen [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]32,124,015,06,0 −⋅+−⋅−−⋅+⋅= nnnnnx δδδδ

och systemet har differensekvationen [ ] [ ] [ ] [ ]25,018,0 −⋅+−−⋅= nxnxnxny

dvs vi har impulssvaret [ ] [ ] [ ] [ ]25,018,0 −⋅+−−⋅= nnnnh δδδ

Z-1 Z-1

+ +x[n] y[n]0,8

-1 0,5

0,60,5

1,2-0,4

0

0

-0,6-0,5

-1,20,4

0

0

0,480,4

0,96-0,32

00

-0,821,36

0-1,2

-0,20,48n 0,6

0,5

1,2-0,4

00

-0,80,96

-0,36-0,72

0,040,48

0,04-0,8

-0,720,96

0,480

0,48

0,02-0,4

-0,36

0,240

Figur 3.40 Instegning i generellt blockschema

[ ] [ ] [ ] [ ]1ny0,51nxnx0,8ny −⋅+−−⋅=

Kapitel 3


Vi börjar med situationen direkt innan något händer, dvs vid tiden 1−=n . Vi ’vänder på’ insignalen och låter den ’vandra in’ i systemet, Figur 3.41 Vid tidpunkten 0=n börjar vi så stega in signalen i impulssvaret och får då vid denna tidpunkt Figur 3.42 [ ] ( ) 48,005,0016,08,00 =⋅+⋅−+⋅=y

Vi går vidare till 1=n och låter insignalen vandra in ytterligare ett steg och får Figur 3.43 [ ] ( ) 2,005,06,015,08,01 −=⋅+⋅−+⋅=y

h[n]

n

n

x[n]n=-1

1

1

-1

Figur 3.41 Insignal och impulssvar vid tiden

1n −=

h[n]

n

n

x[n]n=0

1

-1

1

Figur 3.42 Insignal och impulssvar vid tiden 0n =

h[n]

n

n

x[n]n=1

1

-1

1


Kapitel 3


2=n ger ny framflyttning av insignalen och Fi-gur 3.44 [ ] ( ) ( ) =⋅+⋅−+−⋅= 6,05,05,014,08,02y

52,0−=

3=n ger på samma sätt Figur 3.45 [ ] ( ) ( ) 61,15,05,04,012,18,03 =⋅+−⋅−+⋅=y

4=n , Figur 3.46 [ ] ( ) ( ) =−⋅+⋅−+⋅= 4,05,02,1108,04y

4,1−=

h[n]

n

n

x[n]n=2

1

-1

1


h[n]

n

n

x[n]n=3

1

-1

1


h[n]

n

n

x[n]n=4

1

-1

1

Fig 3.46 Insignal och impulssvar vid tiden

4n =

Kapitel 3


5=n , Figur 3.47

[ ] ( ) 6,02,15,00108,05 =⋅+⋅−+⋅=y

6=n , Figur 3.48 [ ] ( ) 005,00108,05 =⋅+⋅−+⋅=y

Insignalen har nu ’vandrat ut’ ur im-pulssvaret och vi är färdiga och kan sammanställa den totala utsignalen (Figur 3.49). Vi ser att det blir ganska besvärligt att hålla ordning på sina di-agram.

3.6.2.3 Tabellmetod Vi sa tidigare att vi kan gå direkt på och beräkna utsignalen genom att tidpunkt för tid-punkt sätta in nytt insampel och tidigare in- och utsampel i differensekvationen och be-

n=5

h[n]

n

n

x[n]

1

-1

1


n=6

h[n]

n

n

x[n]

1

-1

1


y[n]

n

1

-1

Figur 3.49 Total utsignal

Kapitel 3


räkna utsignalen. Det hela blev snabbt oöverskådligt men vi kan genom en tabellmetod göra det hela strukturellt och överskådligt. För att gå igenom lösningsmetodiken så får vi ta ett exempel och då måste vi göra anta-ganden om hur insignalen och differensekvationen ser ut, dessa antaganden minskar dock inte metodens generalitet utan är bara nödvändiga för att vi skall kunna visa meto-den. Antag att insignalen består av fem termer [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]443322110 −⋅+−⋅+−⋅+−⋅+⋅= nxnxnxnxnxnx δδδδδ

och att systemets differensekvation innehåller ett och två steg fördröjda varianter av in- och utsignal [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2121 21210 −⋅+−⋅+−⋅+−⋅+⋅= nyrnyrnxtnxtnxtny

Ställ upp en tabell med en kolumn för tiden n samt kolumner för alla x- och y-termer. Lägg tidskolumnen ( n ) längt till vänster följd av alla x -varianter med växande antal fördröjnings-steg åt höger. Därefter placerar vi alla y -termer med termen med störst antal fördröjningssteg först så att resultatet [ ]ny hamnar längst till höger. Ta i båda fallen med kollumner även för fördröjningar som inte finns med i ekvationen, dvs som har 0=kt respektive 0=kr , detta för att få en enkel struk-tur. Ovanför x - och y -kolumnerna lägger vi de olika termernas viktfaktorer kt och kr för respektive rad. I vårt exempel har vi alltså vidstående tabellhuvud (Figur 3.50). Bygg nu upp tabellen med en rad för varje tidpunkt n då beräkning skall ske och starta gärna med en eller flera tidpunkter som ligger innan något händer, dvs tidpunkter innan någon insignal kommer för att få med signalernas initialvärden. I de flesta fall, även i vårt, så börjar insignalen vid tiden noll ( 0=n ). Det kan vara lämpligt att ta med alla tid-punkter som kommer att delta i beräkningen och eftersom vi här börjar beräkningen vid tidpunkten noll ( 0=n ) och vårt uttryck som mest innehåller två steg fördröjda signaler ( [ ]2−nx och [ ]2−ny ) så startar vi med tidpunkten 2−=n . Eftersom vi vet hur insignalen ser ut så kan vi direkt utan beräkningar lägga in värdena för [ ]nx och de fördröjda varianterna av x vid alla tidpunkter (alla rader). Eftersom de första två raderna gäller tidpunkter då inget har hänt ( 2−=n och 1−=n ) kan vi också fylla hela dessa rader, även cellerna för y -termerna, med nollor (0) och sedan fylla i de fördröjda varianter av y vid senare tidpunkter som kommer från dessa nollor. Hur många rader vi skall ha i tabellen kan vara lite svårt att veta från början, det beror på hur många värden vi vill beräkna hos utsignalen men det kan väl som start vara lämpligt att ta med minst en tidpunkt längre än den då den mest fördröjda varanten av insignalen tar slut, dvs blir noll (0) igen (dvs i vårt fall 7=n ). Vi får Figur 3.51.

x[n] x[n-1] x[n-2]

t0y[n-2]n y[n-1] y[n]

t1 t2 r2 r1

Viktfaktorer

Figur 3.50 Tabellhuvud

Kapitel 3


Eftersom y -signalerna i fort-sättningen beror av vad vi har fått på raden innan så får vi be-räkna dem rad för rad. Vi får vidstående tabell (Figur 3.52) där utsignalerna vid olika tid-punkter beräknas enligt nedan

x[n] x[n-1] x[n-2]

t0y[n-2]n y[n-1] y[n]

t1

-1

t2 r2 r1

Viktfaktorer

0

1

23

4

5

6

7

00 0 0 0 0

0 0 0 0

00

0

0

0

0

0 0

x[0]

x[1] x[0]

x[2] x[1] x[0]

x[3]

x[4]

x[2]

x[3]

x[4]

x[1]

x[2]

x[3]

x[4]

-2 000000

Figur 3.51 Initial tabell

x[n] x[n-1] x[n-2]

t0y[n-2]n y[n-1] y[n]

t1

-1

t2 r2 r1

Viktfaktorer

0

1

23

4

5

6

7

00 0 0 0 0

0 0 0 0

00

0

0

0

0

0 0

x[0] y[0]

y[0]

y[1]

y[0] y[1]

y[1] y[2]

y[3]y[2]

y[4]

y[5]

y[6]

y[7]

y[3]

y[4]

y[5]

y[6]y[5]

y[2]

y[4]

y[3]

x[1] x[0]

x[2] x[1] x[0]

x[3]

x[4]

x[2]

x[3]

x[4]

x[1]

x[2]

x[3]

x[4]

000000-2

Figur 3.52 Komplett tabell

Kapitel 3


[ ] [ ] [ ]0000000 012210 xtrrttxty ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]001000011 11012210 yrxtxtyrrtxtxty ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]100122 12210 yryrxtxtxty ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]12233 1211210 yryrxtxtxty ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]232344 12210 yryrxtxtxty ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]4334433405 122112210 yryrxtxtyryrxtxtty ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]544544006 12212210 yryrxtyryrxttty ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]65650007 1212210 yryryryrttty ⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]76760008 1212210 yryryryrttty ⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

K K Metoden fungerar för alla typer av insignal. Vi kan ju t ex beräkna impulsvaret genom att använda en insignal [ ]nx som är noll (0) för alla tider utom för tiden noll ( 0=n ) då den är ett (1). På samma sätt kan vi beräkna stegsvaret genom att använda en insignal som är noll (0) för tider då 0<n och ett (1) för tider då 0≥n . Då vi beräknar impuls- eller stegsvar håller vi oftast på så många tidpunkter n så att vi ser mot vilken nivå utsignalen går då tiden går mot oändligheten ( ∞→n ). Eftersom metoden inte kräver att övriga signaler är noll (0) innan insignalen kommer så kan vi även använda den för system som har initialvärden, dvs då det finns kvar äldre värden i fördröjda steg (fördröjda varianter av in- och utsignal) i systemet då den nya insignalen kommer. Exempel Bilaga 3.12

3.7 Kopplade system I många sammanhang består våra system av flera sammankopplade delsystem och dessa är då serie- eller parallellkopplade eller kombinationer av detta. Även här kommer vi senare då vi har bekantat oss med z-transform att hitta totala uttryck för sammankopplade system men vi får så här långt nöja oss med hur vi behandlar dessa system i tidsplanet. Låt oss se på serie- och parallellkoppling var för sig.

Kapitel 3


3.7.1 Seriekoppling av system Seriekoppling av två system innebär att vi har två system kopplade efter var-andra, Figur 3.53. Vi kan också säga att systemen är kaskadkopplade. Vi ser att insignalen [ ]nx1 till vårt första system ger en utsignal [ ]ny1 som i sin tur blir insignal till nästa system, dvs [ ] [ ]nynx 12 = och denna signal ger sedan den totala utsignalen [ ]ny2 från system två. I tidsplanet får vi bestämma lösningen i två steg 1. Använd någon av ovan beskrivna metoder för att bestämma utsignalen [ ]ny1 från sy-

stem ett då det har insignalen [ ]nx1 2. Upprepa processen, men nu för system två, dvs bestäm utsignalen [ ]ny2 från detta sy-

stem då det har insignalen [ ] [ ]nynx 12 =

3.7.1.1 Totalt impulssvar för seriekopplade system Här kan vi använda samma metod som vi har beskrivit ovan för generella insignaler men det är värt att observera att då vi bestämmer impulssvaret så har vi en impuls som insignal [ ] [ ]nnx δ=1 vilket innebär att det första systemets utsignal kommer att bli lika med detta systems impulssvar [ ] [ ]nhny 11 = och det kan ju hända att vi redan känner detta svar vilket naturligtvis innebär att vi inte behöver bestämma detta impulssvar en gång till. Det andra systemet har nu det första systemets impulssvar som insignal

[ ] [ ]nhnx 12 = och detta impulssvar ser ju ut som vilken insignal som helst, dvs steg 2 i beräkningen blir likadant som för generella insignaler och vi får det totala impulssvaret genom att falta ihop det första systemets impulssvar med det andra systemets impuls-svar, Figur 3.54.

[ ] [ ] [ ]nhnhnhtotal 21 ⊗= Exempel Bilaga 3.13

3.7.2 Parallellkoppling av system Parallellkoppling innebär att de två systemen sitter parallellt, dvs de kommer att ha samma insignal [ ]nx medan den totala utsignalen blir summan av de två delsystemens utsignaler, Figur 3.55. Vi får då bestämma utsignalen från varje system för sig och sedan addera ihop dessa utsig-naler, tidpunkt för tidpunkt. Arbetsgången blir alltså

h1[n]x[n] ytot[n]

h2[n]y1[n]

Figur 3.53 Seriekopplade system

h1[n]δ[n] htot[n]=h1[n]⊗h2[n]

h2[n]h1[n]

Figur 3.54 Impulssvar för seriekopplade system

Kapitel 3


1. Beräkna den utsignal [ ]ny1 som system ett ger då det har insignalen [ ]nx

2. Beräkna den utsignal [ ]ny2 som system två ger då det har insignalen [ ]nx

3. Addera ihop de två utsignalerna tidpunkt för tidpunkt

3.7.2.1 Parallellkoppling av transversella system Är de två systemen transversella så har de differensekvationer

[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( )[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( )[ ]⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−⋅++−⋅+⋅=−⋅=

−−⋅++−⋅+⋅=−⋅=

−

−

=

−

−

=

∑

∑

11

11

122120

1

022

111110

1

011

Mnxtnxtnxtpnxtny

Nnxtnxtnxtknxtny

M

M

pp

N

N

kk

K

K

Vi ser att vi har samma uppsättning av insignaler [ ]0nnx − i de två ekvationerna och några andra signaler förekommer inte, dvs i stället för att göra de två separata beräk-ningarna och sedan addera ihop resultaten så kan vi först addera ihop de två ekvatio-nerna, dvs konstanterna för respektiv x -term, och sedan göra en enda beräkning av utsignalen. Skulle de två ekvationerna vara olika långa, dvs MN ≠ så finns det naturligtvis ett antal termer som inte behöver adderas. Har vi MN = så får vi

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] =−⋅+=+= ∑−

=

1

02121

N

kkk knxttnynyny

( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]11 121121112010 −−⋅+++−⋅++⋅+= −− Nnxttnxttnxtt NNK

3.7.2.2 Parallellkoppling av rekursiva system Är de två systemen rekursiva så har vi

x[n] +h1[n]

ytot[n]

h2[n]y1[n]

y2[n]

Figur 3.55 Parallellkopplade system

Kapitel 3


[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] ( ) ( )[ ] [ ]

( ) ( )[ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] ( ) ( )[ ] [ ]

( ) ( )[ ]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−⋅+

++−⋅+−−⋅++−⋅+⋅=

=−⋅+−⋅=

−−⋅+

+−⋅+−−⋅++−⋅+⋅=

=−⋅+−⋅=

−

−

−

=

−

=

−

−

−

=

−

=

∑∑

∑∑

1

111

1

111

212

221122120

1

121

1

022

111

111111110

1

111

1

011

Unyr

nyrMnxtnxtnxt

dnyrpnxtny

Snyr

nyrNnxtnxtnxt

bnyrknxtny

U

M

U

dd

M

pp

S

N

S

bb

N

kk

L

KK

L

KK

Här är [ ] [ ]knykny −≠− 21 och vi kan inte addera ihop differensekvationerna utan vi får följa grundmetoden i tre steg, där vi först bestämmer de två systemens utsignaler för att sedan addera ihop dessa tidpunkt för tidpunkt.

3.7.2.3 Totalt impulssvar för parallellkopplade system Här kan vi naturligtvis använda im-pulssvaren för respektive system, [ ]nh1 och [ ]nh2 , om vi har tillgång

till dessa, för att via addition be-stämma det totala impulssvaret, Fi-gur 3.56. [ ] [ ] [ ]nhnhnh 21 +=

Exempel Bilaga 3.14

3.8 Korrelation Vi skall här se på beräkningar för att i tidsplanet söka efter likheter (korrelation) mellan två signaler. Vi skall se på korskorrelation och autokorrelation, där det senare är ett specialfall av det förra varför vi skall börja med korskorrelation. De uttryck som vi presenterar kräver att vi för ett stort antal fall beräknar summan av ett stort antal produkter mellan två sampel. Detta skulle utan dator leda till tröstlöst långa beräkningar innan vi når något resultat varför vi nöjer oss med att gå in på beräkningsprinciperna och pre-senterar inga lösta exempel eller övningar.

h1[n]δ[n] h[n]=h1[n]+h2[n]+

h2[n]

Figur 3.56 Impulssvar för parallellkopplade system

Kapitel 3


3.8.1 Korskorrelation Vid korskorrelation jämför vi två signaler i tidsplanet och undersöker om det finns likheter mellan de två signalerna och om vi måste tidsförskjuta den ena signalen i förhållande till den andra för att hitta den största likheten. Vi kan t ex använda metoden vid radar-spaning då radaran-tennen skickar ut en signal bestående av ett känt signal-mönster som re-flekteras tillbaka mot radarantennen om den träffar ett mål. Den mottagna, reflekterade signa-len kommer att vara starkt dämpad då den har gått lång väg genom luften varför vi måste förstärka den kraftigt. Under vägen har signalen påverkats av brus och störningar och den kraftiga förstärkningen adderar också brus till signalen. Vi är nu, förutom riktningen till målet, intresserade av avståndet till målet. Detta avstånd gör att den reflekterade signalen, som har gått till målet och tillbaka igen, blir fördröjd i förhållande till den utsända signa-len, Figur 3.57. Vi kan nu via korskorrelation bestämma tidsfördröjningen mellan utsänd och mottagen signal och känner vi signalens överföringshastighet genom luften, som vi kan bestämma, så kan vi räkna ut vilket avstånd fördröjningen motsvarar. Detta avstånd är då dubbla avstån-det till målet eftersom den reflekterade signalen går till målet och tillbaka igen. Hur ser nu beräkningen av korskorrelationen [ ]nr12 mellan två signaler [ ]nx1 och [ ]nx2 ut? Vi har uttrycket

[ ] [ ] [ ] ∞<<∞−−⋅= ∑∞

∞−=

jjnxnxjrn

2112

och vi får tolka detta. Vi ser att vi tar produkten mellan respektive termer i de två uttrycken och adderar ihop alla resultaten till en totalsumma. Vi gör denna beräkning för olika vär-den på j , dvs för olika tidsförskjutningar av signalen [ ]nx2 i förhållande till signalen [ ]nx1 . Vet vi inte förutsättningarna för vår beräkning så måste vi göra detta för alla möjliga

värden på j , ∞<<∞− j , vilket innebär att vi får med fallet att [ ]nx2 är fördröjd i förhål-lande till [ ]nx1 då j är positiv och att [ ]nx1 är fördröjd i förhållande till [ ]nx2 då j är negativ. Är 0=j så ligger de två signalerna lika i tid. I radarfallet måste den reflekterade signalen ligga senare i tid än den direkta signalen och det räcker att undersöka fallet då vi fördröjer den direkta signalen.

Figur 3.57 Radarsystem

Kapitel 3


Vår korskorrelation summerar nu alla pro-dukter vid respektive värde på j och är signalerna likformiga vid detta värde på j så kommer termerna [ ]nx1 och [ ]jnx −2 båda att ha samma tecken vilket gör att produkterna blir positiva och den totala summan blir ett stort tal. Har de två signa-lerna små eller inga likheter vid aktuellt värde på j så kommer vissa produkter att ge positiva resultat medan andra produkter ger negativa resultat vilket betyder att den totala summan blir liten. Vi har naturligtvis fall däremellan där vi har likheter mellan signalerna men inte full samstämmighet och dessa värden på j kommer också att ge positiva summor men den största sum-man kommer vid den tidsförskjutning j som ger störst samstämmighet mellan sig-nalerna, Figur 3.58. Vi nämnde tidigare att i fallet med radarsignalen så var den reflekterade signalen störd av brus vilket gör att vi inte kan få samstämmighet trots förstärkning. Bruset kommer dock att vara slumpmässigt och ibland höja och ibland sänka signalamplituden och i den totala summan tar dessa förändringar till stor del ut varandra även om de inte släcks ut helt. Korskorrelation används också för att plocka ut önskad signal ur en signalström bestående av flera signaler t ex vid kommunikation via CDMA (Code Division Multiple Access) som bland annat användas i den tredje generationens mobiltelefoni.

3.8.1.1 Normerad korskorrelation Ovanstående korskorrelationsuttryck kommer att i olika fall ge starkt varierande storlek på den maximala summan. För att få mer jämförbara resultat så normerar man korskorr-elationen enligt

[ ] [ ][ ] [ ] ∞<<∞−⋅

= jrrjr

j00 2211

1212ξ

3.8.1.2 Praktisk korskorrelation Vi såg ovan att uttrycket för korskorrelationen innehåller en oändlig summa och dess-utom skall vi beräkna summan för oändligt många värden på j . Detta är naturligtvis inte möjligt utan vi måste begränsa oss till ändligt antal sampel hos signalerna och änd-ligt antal värden på j .

[ ] [ ] [ ] BjAjnxnxjrN

n<<−⋅= ∑

−

=

1

02112

0 200 400 600 800 1000-0.5

0

0.5

1

1.5Korskorrelation, fördröjning200 punkter

Kor

skor

rela

tion

Tid

Figur 3.58 Korskorrelation med 200 steg fördröjd signal med brus

Kapitel 3


Detta gör att vi inte får den totala summan utan bara en delsumma men har vi någon kännedom om när i tiden signalen förekommer så kan vi tillåta oss detta. Vi har väl dessutom kanske någon kännedom om vilka fördröjningar som kan vara aktuella så att vi kan sätta lämpligt intervall på j . I radarfallet ovan vet vi som sagt t ex att mottagen signal måste vara fördröjd i förhållande till utsänd signal så om vi använder [ ]nx1 för mottagen radarsignal och [ ]nx2 som utsänd signal så kan vi sätta 0=A eller till och med ge A ett positivt värde eftersom fördröjningen inte gärna kan vara noll om inte må-let krockar med radarantennen. Radarn har dessutom någon maximal räckvidd som gör att vi kan begränsa B . I det praktiska fallet får vi då den normerade korskorrelationen

[ ] [ ] [ ] BjAjnxnxN

jN

n<<−⋅⋅= ∑

−

=

1

02112

1ξ

Exempel, Bilaga 3.15

3.8.2 Autokorrelation Autokorrelation är ett specialfall av korskorrelation där vi jämför en signal med sig själv vid olika tidsförskjutningar, dvs [ ] [ ]nxnx 21 = och vi har autokorrelationen [ ]nr11 enligt

[ ] [ ] [ ] ∞<<∞−−⋅= ∑∞

∞−=

jjnxnxjrn

1111

Det kan synas märkligt att jämföra en signal med sig själv vid olika tidsförskjutningar j . Det säger sig väl självt att vi får största samstämmighet då de två termerna har precis samma värden och de har de ju då fördröjningen är noll, 0=j . Detta är sant men vi kan tänka oss att finna andra värden på j då vi får stor samstämmighet mellan signalen och den tidsförskjutna upplagan av samma signal. Denna samstämmighet kan dyka upp då vi har en periodisk signal och den uppstår då när vi har tidsförskjutit den ena upplagan av signalen en eller flera hela perioder hos signalen. Vi kan alltså använda autokorrelation för att bestämma periodtiden hos en signal. Eventuellt brus hos signalen kommer på samma sätt som hos korskorrelationen i stor ut-sträckning att bli utsläckt. Vi kan nämna att [ ]011r är det samma som signalens energi.

Kapitel 3


3.8.2.1 Normerad autokorrelation Även här normerar vi funktionen för att få jämförbara resultat

[ ] [ ][ ]011

1111 r

jrj =ξ

3.8.2.2 Praktisk autokorrelation Vi ser att vi även i uttrycket för autokorrelationen beräknar summan av oändligt många produkter vid oändligt många värden på j . Detta är återigen inte praktiskt möjligt utan vi får begränsa antalet sampel i summan och antalet olika fördröjningssteg j enligt

[ ] [ ] [ ] BjAjnxnxjrN

n<<−⋅= ∑

−

=

1

01111

och vi får praktiskt då den normerade autokorrelationen

[ ] [ ] [ ] BjAjnxnxN

jrN

n<<−⋅⋅= ∑

−

=

1

01111

1

Exempel, Bilaga 3.16

3.9 Start upp- och slutförlopp Ett DSP-system kommer i de flesta fall inte att uppföra sig på förväntat sätt de första samplen efter att vi har skickat in en insignal till systemet och vi kommer också att få ett icke förväntat förlopp då vi stänger av insignalen.

0 200 400 600 800 1000 1200

-6

-4

-2

0

2

4

6

Sinussignal med brus

Tid

Am

plitu

d

Figur 3.59 Sinussignal med brus

-1000 -500 0 500 1000-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Autokorrelation av sinussignal med brus

Tid

Figur 3.60 Autokorrelation för sinussignal med brus

Kapitel 3


Det oväntade förloppet vid uppstarten beror av att systemet inte kommer att uppföra sig på korrekt sätt förrän alla termer i differensekvationen har innehåll och vid de första samplen har ett antal av termerna [ ]knx − och [ ]pny − ännu inte fått några värden (fördröjda in- och utsampel) och deltar inte i DSP-beräkningen och beroende på den maximala ingående för-dröjningen så tar det en viss tid, ett visst antal sampel innan funktionen blir korrekt. På motsvarande sätt kommer vi då vi avbryter signalen att få ett antal termer [ ]knx − och [ ]pny − som fortfarande innehåller fördröjda signaler och de kommer att ta ett antal sampel

innan dessa signaler har ’vandrat ut’ ur systemet och det lägger sig till vila. Dessutom har vi ju en återkoppling i de rekursiva termerna som kommer att ta ett antal sampel på sig att klinga ut även för ett stabilt system. Exemplet i Figur 3.61 – 63 visar en medel-värdesbildning via funktionen

[ ] [ ]∑−

=

−⋅=1

0

1 N

kknx

Nny

i fallen 15=N och 40=N för en signal [ ]nx bestående av en fyrkantvåg som är

samplad 40 gånger per period (20 positiva sampel och 20 negativa sampel). Lägg märke till att i Figur 3.62 så har den första och den sista flanken inte samma lutning som övriga flanker.

0 50 100 150 200

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fyrkantvåg40 punkter/period

Tid

Am

plitu

d

Figur 3.61 Fyrkantvåg, 40 punkter/period

0 50 100 150 200

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Medelvärde N=15

Tid

Am

plitu

d

Figur 3.62 Medelvärdesbildning, 15N = , start upp- och slutförlopp

0 50 100 150 200

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Medelvärde N=40

Tid

Am

plitu

d

Figur 3.63 Medelvärdesbildning, 40N = , start upp- och slutförlopp

Kapitel 3


I Figur 3.63 så borde medelvärdet bli noll eftersom vi medelvärdesbildar över en period hos signalen men detta inträffar inte i början av intervallet och i slutet får vi en kvarsläpande ut-signal. Nästa exempel (Figur 3.64 - 65) visar ett smalt notchfilter, dvs bandspärrfilter med liten band-bredd, som har sin mittfrekvens (spärrfrekvens) vid samma frekvens som insignalens frek-vens, dvs signalen skall släckas ut. Vi ser att vi får dålig, men allt bättre filtrering i början av tidsförloppet och en kvarliggande, avklingande signal i slutet då sinusvågen har upphört.

3.9.1 Homogen lösning och partikulärlösning Vi såg ovan att DSP-systemet uppför sig inte korrekt i början. Vi kan ta hänsyn till detta genom att dela upp utsignalen i en homogen del som beskriver själva startförloppet och en partikulärlösning som beskriver utsignalen i fortvarighetstillståndet. Exempel Bilaga 3.17

0 50 100 150 200 250 300

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Sinusvåg

Tid

Am

plitu

d

Figur 3.64 Sinusvåg som startar och slutar

0 50 100 150 200 250 300

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Notchfilter

Tid

Am

plitu

d

Figur 3.65 Notchfilter, start upp och slutförlopp

3 signaler och system i tidsplanet - chalmerssvenk/dig_sign.tl/kompendium/grundbok/kap… ·...

Documents