3 – spec/5/mathl/hp1/eng/tz0/xx spring break:...

HL MATH – Monday, 5/4/15 Spring Break: Paper 1, problems 2, 3, 7 (no calculator)

SPEC/5/MATHL/HP1/ENG/TZ0/XX– 3 –

turn over

2. [Maximum mark: 7]

� &RQVLGHU�WKH�HTXDWLRQ� 3 29 45 74 40 0x x x� � � .

� �D�� :ULWH�GRZQ�WKH�QXPHULFDO�YDOXH�RI�WKH�VXP�DQG�RI�WKH�SURGXFW�RI�WKH�URRWV�RI� WKLV�HTXDWLRQ� [1 mark]

� �E�� 7KH�URRWV�RI�WKLV�HTXDWLRQ�DUH�WKUHH�FRQVHFXWLYH�WHUPV�RI�DQ�DULWKPHWLF�VHTXHQFH��7DNLQJ�WKH�URRWV�WR�EH� ,D D E± ��VROYH�WKH�HTXDWLRQ� [6 marks]

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� $�EDJ�FRQWDLQV�WKUHH�EDOOV�QXPEHUHG��DQG��UHVSHFWLYHO\��%LOO�VHOHFWV�RQH�RI�WKHVH�EDOOV� DW� UDQGRP�DQG�KH�QRWHV� WKH�QXPEHU�RQ� WKH� VHOHFWHG�EDOO�� +H� WKHQ� WRVVHV� WKDW�QXPEHU�RI�IDLU�FRLQV�

� �D�� &DOFXODWH�WKH�SUREDELOLW\�WKDW�QR�KHDG�LV�REWDLQHG� [3 marks]

� �E�� *LYHQ�WKDW�QR�KHDG�LV�REWDLQHG��¿QG�WKH�SUREDELOLW\�WKDW�KH�WRVVHG�WZR�FRLQV� [3 marks]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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� &RQVLGHU�WKH�IROORZLQJ�V\VWHP�RI�HTXDWLRQV�

12 3 3

3

x y zx y zx y z O

+ + =+ + =� �

ZKHUH�O�! .

� �D�� 6KRZ�WKDW�WKLV�V\VWHP�GRHV�QRW�KDYH�D�XQLTXH�VROXWLRQ�IRU�DQ\�YDOXH�RI�O . [4 marks]

� �E�� L�� 'HWHUPLQH�WKH�YDOXH�RI�O �IRU�ZKLFK�WKH�V\VWHP�LV�FRQVLVWHQW�

� � �LL�� )RU�WKLV�YDOXH�RI�O ��¿QG�WKH�JHQHUDO�VROXWLRQ�RI�WKH�V\VWHP� [4 marks]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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HL MATH – Monday, 5/4/15 Spring Break: Paper 2, problems 6 (with calculator)



7KH�IXQFWLRQ��f is of the form ( ) ,x a cf x xbx c b+

z �+

��*LYHQ�WKDW�WKH�JUDSK�RI��f has

DV\PSWRWHV� 4x � and 2y � ��DQG�WKDW�WKH�SRLQW� 2 , 13

§ ·¨ ¸© ¹

�OLHV�RQ�WKH�JUDSK��¿QG�WKH�

YDOXHV�RI��a , b and c .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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turn over


� $�VKLS��6��LV��NP�QRUWK�RI�D�PRWRUERDW��0��DW��SP��7KH�VKLS�LV�WUDYHOOLQJ�QRUWKHDVW�with a constant velocity of 1�� NPKU� ��7KH�PRWRUERDW�ZLVKHV�WR�LQWHUFHSW�WKH�VKLS�DQG�it moves with a constant velocity of 1�� NPKU� in a direction T �GHJUHHV�HDVW�RI�QRUWK��,Q�RUGHU�IRU�WKH�LQWHUFHSWLRQ�WR�WDNH�SODFH��GHWHUPLQH

� �D�� WKH�YDOXH�RI�T � [4 marks]

� �E�� WKH�WLPH�DW�ZKLFK�WKH�LQWHUFHSWLRQ�RFFXUV��FRUUHFW�WR�WKH�QHDUHVW�PLQXWH� [5 marks]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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turn over

Do NOT write solutions on this page.


� $� EDQN� RIIHUV� ORDQV� RI� $P � DW� WKH� EHJLQQLQJ� RI� D� SDUWLFXODU� PRQWK� DW� D� PRQWKO\�interest rate of I�� 7KH�LQWHUHVW� LV�FDOFXODWHG�DW� WKH�HQG�RI�HDFK�PRQWK�DQG�DGGHG�WR�WKH�DPRXQW�RXWVWDQGLQJ�� $�UHSD\PHQW�RI� $R � LV�UHTXLUHG�DW� WKH�HQG�RI�HDFK�PRQWK��Let $ nS �GHQRWH�WKH�DPRXQW�RXWVWDQGLQJ�LPPHGLDWHO\�DIWHU�WKH� thn �PRQWKO\�UHSD\PHQW�

� �D�� L�� )LQG�DQ�H[SUHVVLRQ�IRU� 1S and show that

2

2 1 1 1100 100

I IS P R § ·§ · § · � � � �¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸© ¹ © ¹© ¹.

� � �LL�� 'HWHUPLQH�D�VLPLODU�H[SUHVVLRQ�IRU� nS . Hence show that

1001 1 1

100 100

n n

nI R IS P

I§ ·§ · § · � � � �¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸© ¹ © ¹© ¹

. [7 marks]

� �E�� 6XH�ERUURZV��DW�D�PRQWKO\�LQWHUHVW�UDWH�RI��DQG�SODQV�WR�UHSD\�WKH�ORDQ�in 5 years (i.e. 60 months).

� � �L�� &DOFXODWH�WKH�UHTXLUHG�PRQWKO\�UHSD\PHQW��JLYLQJ�\RXU�DQVZHU�FRUUHFW�WR�WZR�GHFLPDO�SODFHV�

� � �LL�� $IWHU��PRQWKV��VKH�LQKHULWV�VRPH�PRQH\�DQG�VKH�GHFLGHV�WR�UHSD\�WKH�ORDQ�FRPSOHWHO\�DW� WKDW� WLPH�� +RZ�PXFK�ZLOO�VKH�KDYH�WR�UHSD\��JLYLQJ�\RXU�DQVZHU�FRUUHFW�WR�WKH�QHDUHVW��" [6 marks]

HL MATH – Monday, 5/4/15 Solutions

– 5 – SPEC/5/MATHL/HP1/ENG/TZ0/XX/M

SECTION A

1. (a) 8sin3

! ! A1

[1 mark]

(b) 2 8 2 8tan 21 8 7

!

!

" " #

#

4 27

$ %

#

& !

& !

" #

M1A1

[2 marks]

(c) 2

11 23cos2 2 3!

$

$ %

" "

& !

" #

M1A1

6cos2 3!

$ %

"

& !

" #

A1

[3 marks]

Total [6 marks]

2. (a) sum 459

" , product 409

" A1

[1 mark]

(b) it follows that 4539

! " and 2 2 40( )9

! ! "# " A1A1

solving, 53

! " A1

25 25 403 9 9

"

$ %

# "

& !

" #

M1

1( )3

" " % A1

the other two roots are 42,3

A1

[6 marks]

Total [7 marks]

HL MATH – Monday, 5/4/15


3. (a) P (no heads from coins tossed) 0.5nn ! (A1)

1 1 1 1 1 1P(no head)3 2 3 4 3 8

! " # " # " M1

724

! A1

[3 marks]

(b) P (2 coins and no heads)P (2 | no heads)P (no heads)

! M1

112724

! A1

27

! A1

[3 marks]

Total [6 marks]

4. (a) 1 3

0E ( ) 12 (1 )dX x x x! $

%

M1

14 5

0

124 5x x& '

! $

( )

* +

A1

35

! A1

[3 marks] (b) 2( ) 12(2 3 )f x x x!

! $ A1 at the mode 2( ) 12(2 3 ) 0f x x x!

! $ ! M1

therefore the mode 23

! A1

[3 marks]

Total [6 marks] 5. (a) ( ) 2cos( ) ( )sin ( )f x x x x$ ! $ # $ $ M1 2cos sinx x x! #

" #( )f x! A1

therefore f is even A1 [3 marks] (b) ( ) 2sin sin cosf x x x x x!

! $ # # ( sin cos )x x x! $ # A1 ( ) cos cos sinf x x x x x!!

! $ # $ ( sin )x x! $ A1 so (0) 0f !! ! AG [2 marks]

continued !!



Question 5 continued (c) John’s statement is incorrect because either; there is a stationary point at (0, 2) and since f is an even function

and therefore symmetrical about the y-axis it must be a maximum or a minimum

or; ( )f x!! is even and therefore has the same sign either side of (0, 2) R2 [2 marks]

Total [7 marks]

6. (a) 2 3BC 12 81 2 2 3 9 1472

" # # $ $ $ " M1A1

BC 7 3" A1 [3 marks]

(b) area of triangle 1 1 9 3ABC 9 2 32 2 2

% &

" $ $ $ "

' (

' (

) *

M1A1

therefore 1 9 3AD 7 32 2$ $ " M1

9AD7

" A1

[4 marks]

Total [7 marks] 7. (a) using row operations, M1 to obtain 2 equations in the same 2 variables A1A1 for example 1y z+ " 2 2 1y z !+ " + the fact that one of the left hand sides is a multiple of the other left hand side indicates that the equations do not have a unique solution, or equivalent R1AG [4 marks] (b) (i) 3! " A1 (ii) put z "" M1 then 1y "" # A1 and 2x "" + or equivalent A1 [4 marks]

Total [8 marks]


5. (a) (i) displacement 3

0dv t!

"

(M1)

0.703 (m)! A1

(ii) total distance 3

0dv t!

"

(M1)

2.05 (m)! A1 [4 marks]

(b) solving the equation 2

0cos( ) d 1

tu u !

"

(M1)

1.39 (s)t ! A1 [2 marks] Total [6 marks] 6. vertical asymptote 4 4 0x b c! # $ # % ! M1

horizontal asymptote 12 2yb

! # $ ! # M1

12

b ! # and 2c ! # A1A1

231 1 2 2

2 3

a%!

# & #

M1

3a ! # A1 [6 marks]



7.

(a) let the interception occur at the point P, t hrs after 12:00 then, SP 20t! and MP 30t! A1 using the sine rule,

SP 2 sinMP 3 sin135

!

! ! M1A1

whence 28.1! ! A1 [4 marks] (b) using the sine rule again,

MP sin135MS sin (45 28.1255...)

!

"

M1A1

sin13530 10sin16.8745...

t ! # M1

0.81199...t ! A1 the interception occurs at 12:49 A1 [5 marks] Total [9 marks]



11. (a) (i) 1 1100IS P R! "

# $ %

& !

" #

A1

2

2 1 1100 100I IS P R R! " ! "

# $ % $ %

& ! & !

" # " #

M1A1

2

1 1 1100 100I IP R! "

! " ! "

# $ % $ $

& !& ! & !

" # " #" #

AG

(ii) extending this,

1

1 1 1 ... 1100 100 100

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3 – spec/5/mathl/hp1/eng/tz0/xx spring break:...

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