3. teorÍa de la aproximaciÓn sÍntesis de filtros sÍntesis de filtros autor: pedro quintana...
TRANSCRIPT
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
SÍNTESIS DE FILTROS
Autor: PEDRO QUINTANA MORALESDto. Señales y Comunicaciones
Universidad de Las Palmas de Gran canaria
2005
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN
• Concepto de Aproximación
• Función Característica
• Comportamientos de la Aproximación
• Aproximación de Butterworth PASO BAJO
• Aproximación de Chebychev PASO BAJO
• Aproximación de Chebychev Inverso PASO BAJO
• Aproximación de Cauer PASO BAJO
• Aproximación de Bessel PASO BAJO
• Análisis Comparativo
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
APROXIMACIÓN
• Función Realizable
• Especificaciones de Tolerancia
• Módulo, |H(jw)|, Atenuación, (w)
• Fase, (w), Retardo de Grupo, g(w)
|H(jw)|
w
(w)
w
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
APROXIMACIÓN
• Especificaciones de Atenuación
• Banda de Paso, (w) p
• Banda Atenuada, (w) a
• Banda de transición
• Discriminación, {p, a}
• Selectividad, {wp, wa}
(w)
wwawp
p
a
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
FUNCIÓN CARACTERÍSTICA
• Función Característica (Atenuación No Racional)
• (w) = 10 log [ 1 + F(w2) ]
•
2
2( ) 1( )
HF w
H jw
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
FUNCIÓN CARACTERÍSTICA
• Propiedades
•Función Racional, Real y Par en w
• No Negativa (supuesto (w)>0)
• F(w2oi) = 0, Ceros de Atenuación
• F(w2i) = , Ceros de Transmisión
• Igual Información que (w)
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
FUNCIÓN CARACTERÍSTICA
• Considerando woi , wi
•
• nº de C.T. = nº de C.A. = Orden del Filtro
2 2 2 2
2 2 1
2 2 2 2
1
( )( )
( )
Ln
oiiQ
pi
i
w w wF w k
w w w
ww1w02w01
F(w2)
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
FUNCIÓN CARACTERÍSTICA
• Comportamiento Asintótico
• W2 -> , F(w2) k2 w2 (n+2L-p-2Q)
• (w) 20 pdB/dec 6 pdB/oct , p=n+2L-p-2Q
• W2 -> 0, F(w2) k2 w2 (n-p)
• (w) 20 pdB/dec 6 pdB/oct , p=n-p
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
COMPORTAMIENTOS
• ¿F(w2)? para min{ E(w2) = F(w2) – Fid(w2) }
• Comportamiento Maximalmente Plano
• Minimiza E(w20) = F(w2
0)–Fid(w20) en w0
• Taylor, en la Banda de Paso
•
• Orden (n), CT (D(w)), K (Ajuste)
•
22
2
( )( ) 0 , 1,..., 1
( )o
i
o iw w
d F wF w i n
d w
22 22 ( )
( )( )
nok w w
F wD w
wwo
F(w2)
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
COMPORTAMIENTOS
• Comportamiento con Rizado de Amplitud Cte
• Minimiza E(w2)= F(w2)–Fid(w2) en Banda
• nº Alternancias = f(nºCT ó nºCA )
• Máximas Alternancias con raíces simples
• Aproximación Óptima y Única
• Transformada de Darlingtonw
F(w2)
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
APROXIMACIÓN PASO BAJO
• F(w2)
• Orden, (wl) = 10 log (1+F(wl2)) >
< i
• Constante, (wi) = 10 log (1+F(wi2)) = i
• Pulsación de Corte a 3 dB (F(wc2)=1),
• CA (F(wo2)=0), CT (F(w
2)=),
• Pendiente de la Atenuación
•
2 2 2 2
2 22
2 2( ) ( ) ( )
1 ( ) 1 ( )s w s w
H HH jw H s H s
F w F s
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
APROXIMACIÓN DE BUTTERWORTH PASO BAJO
• Butterworth
• Maximalmente Plano en el Origen, ¿CA?
• Ceros de Transmisión en el Infinito
• F(w2) = (k wn)2
(w)
w
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
APROXIMACIÓN DE BUTTERWORTH PASO BAJO
• Cálculo del Filtro de Butterworth, n y k
• Orden, (wl) = 10 log (1+F(wl2)) >
< i
•
• Discriminación,
• Selectividad,
• Constante, (wi) = 10 log (1+F(wi2)) = i
•
ln( )
ln( )d
s
kn
k
1/ 210
10
10 1
10 1
p
adk
ps
a
wk
w
10 1/ 21(10 1)
( )p
np
kw
(w)
w
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
APROXIMACIÓN DE BUTTERWORTH PASO BAJO
• Características
• Pulsación de Corte a 3 dB (F(wc2)=1)
• =>
• Pendiente de la Atenuación
• 20 n dB/dec, 6 n dB/oct
102
1/
10 1p
pc n
n
ww rad seg
k
2
2( )n
c
wF w
w
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
APROXIMACIÓN DE BUTTERWORTH PASO BAJO
• Función de Transferencia
•
• Frecuencias Propias
•
•
•
2 2 2 2
2 22
2 2( ) ( ) ( )
1 ( ) 1 ( )s w s w
H HH jw H s H s
F w F s
22
21 ( ) 0 1 ;
n
ncc
s sF s s
ww
( 1) 2
2, , 0, , 1
n ij
nn is e i n
1
,0
( )( )
n n n
n n ii
HH s
s s
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV PASO BAJO
• Chebychev
• RAC en Banda de Paso, ¿CA?
• Ceros de Transmisión en infinito
•
•
(w)
w
1
1
cos cos , 1
, 1
p p
np
p p
w wn
w wwC
w w wch n ch
w w
2 2 2( ) np
wF w C
w
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV PASO BAJO
• Polinomios de Chebychev, Cn(w)
• Cn+1(w) = 2w Cn(w) – Cn-1(w)
• Propiedades
• Función Par o Impar según sea n
• Coeficiente de wn , an = 2n-1
• Valores extremos, Cn(1) = 1
• RAC en |w| 1 , MP en |w| 1
• Raíces Simples => Máxima Alternancia
n=3
n=4
Cn(x)1
1
x
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV PASO BAJO
• Cálculo del Filtro de Chebychev, n y
• Orden, (wl) = 10 log (1+F(wl2)) >
< i
•
• Rizado, (wi) = 10 log (1+F(wi2)) = i
•
1
1
1
1
d
s
chk
n
chk
(w)
w
1010 1p
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV PASO BAJO
• Características
• Pulsación de Corte a 3 dB (F(wc2)=1)
•
• Pendiente de la Atenuación
• 20 n dB/dec, 6 n dB/oct
• Ceros de Atenuación, (F(w0,i2)=0)
•
11 1/c pw w ch ch rad seg
n
,
(2 1)cos , 0,..., 1
2o i p
iw w i n
n
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV PASO BAJO
• Función de Transferencia
•
• Frecuencias Propias
•
•
•
2 2 2 2
2 22
2 2( ) ( ) ( )
1 ( ) 1 ( )s w s w
H HH jw H s H s
F w F s
2 2 21 ( ) 0 1 ;n np p
js sF s C s
w w
1,
(2 1) (2 1) 1 1( ) ( ) cos , 0,..., 1 ,
2 2n i
i is sh a sen jch a i n a sh
n n n
1
1
,0
2( )
( )
n
n n n
n n ii
HH s
s s
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV INVERSO PASO BAJO
• Chebychev Inverso
• RAC en Banda de Atenuación, ¿CT ?
• Ceros de Atenuación en el origen
• Forma Modificada de Chebychev
• 2
2 2
1( )
an
F ww
Cw
F(w2)
w
1
1
F((1/w)2)
w
1
1 1----------F((1/w)2)
w
1
1
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV INVERSO PASO BAJO
• Cálculo del Filtro de Chebychev Inverso, n y
• Orden, (wl) = 10 log (1+F(wl2)) >
< i
•
• Rizado, (wi) = 10 log (1+F(wi2)) = i
•
1
1
1
1d
s
chk
n
chk
10
1
10 1a
(w)
w
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV INVERSO PASO BAJO
• Características
• Pulsación de Corte a 3 dB (F(wc2)=1)
•
• Pendiente de la Atenuación
• 20 n dB/dec, 6 n dB/oct
• Ceros de Transmisión, (F(w,i2)=)
•
1
/1 1
ac
ww rad seg
ch chn
, , 0,..., 1(2 1)
cos2
ai
ww i n
i
n
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
APROXIMACIÓN DE CHEBYCHEV PASO BAJO
• Función de Transferencia
•
• Frecuencias Propias
•
•
•
2 2 2 2
2 22
2 2( ) ( ) ( )
1 ( ) 1 ( )s w s w
H HH jw H s H s
F w F s
2 2 21 ( ) 0 1 an
jwF s C
s
a pi ch
i
w ws
s
( ) 12
2 2,
0 21
0
( ) ,( ) , 1
( ) ,
nEnt
n ii
nn
i ai
H k s w n parH s k
s s nw n impar
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
ANÁLISIS COMPARATIVO
• Complejidad
• Orden
• Cauer (óptimo)
• Chebychev
• Butterworth
But
Chd
Cau
Chi
w
(w)
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
ANÁLISIS COMPARATIVO
• Complejidad
• Nº de Elementos
• PASIVO depende de CT:
• infinito (1)
• finito (2+1)
• ACTIVO depende CT finito o infinito
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
ANÁLISIS COMPARATIVO
• Complejidad
• Calidad
• El Q depende de la parte resistiva
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
ANÁLISIS COMPARATIVO
• Respuesta Temporal
• Retardo de Grupo
• La distorsión crece con:
• la pendiente y el rizado BP
• El retardo crece con:
• la atenuación (Orden)
Chi
ButCauChd
w
g(w)
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
ANÁLISIS COMPARATIVO
• Respuesta Temporal
• Respuesta
• al Escalón
• al Impulso
• La distorsión como en el R.G. t
r(t)
Chd, Cau
But, Chi
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
ANÁLISIS COMPARATIVO
• Respuesta Temporal
• Frecuencias Propias
• Amortiguamiento
jw
s
Chi But Cau
Chd
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
ANÁLISIS COMPARATIVO
• Butterworth
• Características transitorias aceptables
• Valores de LC prácticos y poco críticos
• Debe usarse siempre que sea posible
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
ANÁLISIS COMPARATIVO
• Chebychev
• Rizado quita redondeo de la |H(jw)| en wp
• Menor orden que Butterworth
• Propiedades transitorias se deterioran con n
• Orden influye en la elección de Rg y Rc
• Útil cuando lo que importa es |H(jw)|
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
ANÁLISIS COMPARATIVO
• Cauer
• Óptimo en cuanto al orden
• Requiere ajuste preciso de resonancias
• Comportamiento transitorio inaceptable
• Más componentes que Butterworth y Chebychev
3. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN SÍNTESIS DE FILTROS
ANÁLISIS COMPARATIVO
• Chebychev Inverso
• Óptimo en el orden como Chebychev
• Comportamiento transitorio como Butterworth
• Número de componentes como Cauer