3 trigonometría. reducción al primer cuadrante
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@ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 1
Tema 3
TRIGONOMETRÍA
@ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 2
Tema 3.4 * 1º BCT
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
@ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 3
• REDUCCIÓN AL 1º CUADRANTE
• Reducir un ángulo, β, al 1º Cuad. es expresar el valor de sus razones trigonométricas en función de las razones trigonométricas de un ángulo, α, del 1º Cuad.
• Para ello se toma el afijo del ángulo β sobre la circunferencia y se construye un triángulo rectángulo.
• Los catetos serán los valores del seno y coseno de dicho ángulo β .
• Dicho triángulo será siempre semejante a otro situado en el 1º Cuadrante, por tener los ángulos iguales y la hipotenusa la misma.
• Al ser ambos triángulos semejantes, podemos identificar sus lados, obteniendo siempre una de esas dos propiedades:
• |sen β| = |sen α| y |cos β| = |cos α| ; o • |sen β| = |cos α| y |cos β| = |sen α|• Siendo β un ángulo cualquiera y α un ángulo
del 1º Cuadrante.
Reducción al 1º Cuadrante
0º
270º
180º
90º
α
β
β
β
β
β
β
β
@ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 4
• ANGULOS COMPLEMENTARIOS
• Se llaman ángulos complementarios los que suman 90º.
• En la figura: α + β = 90º• En ellos• sen α = cos β• cos α = sen β
• O expresado de otra manera:• sen (90º – α) = cos α• cos (90º – α) = sen α
• EJEMPLOS
• sen 30º = sen (90º - 60º) = cos 60º• cos 45º = cos (90º - 45º) = sen 45º• sen 15º = sen (90º - 75º) = cos 75º• cos 22,5º = cos (90º - 22,5º) = sen 67,5º
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
0º
270º
180º
90º
α
β
@ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 5
• ANGULOS QUE DIFIEREN EN 90º
• En general uno de ellos estará en el 2º Cuadrante y el otro en el 1º Cuadrante.
• En la figura: β – α = 90º• En ellos• sen α = - cos β• cos α = sen β
• O expresado de otra manera:• sen (90º + α) = cos α• cos (90º + α) = - sen α
• EJEMPLOS
• sen 105º = sen (90º + 15º) = cos 15º• cos 120º = cos (90º + 30º) = - sen 30º• sen 135º = sen (90º + 45º) = cos 45º• cos 112,5º = cos (90º + 22,5º) = - sen 22,5º
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 90º
0º
270º
180º
90º
α
β
@ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 6
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
0º
270º
180º
90º
αβ
• ANGULOS SUPLEMENTARIOS
• Se llaman ángulos suplementarios los que suman 180º.
• En la figura: α + β = 180º• En ellos• sen α = sen β• cos α = - cos β
• O expresado de otra manera:• sen (180º – α) = sen α• cos (180º – α) = - cos α
• EJEMPLOS
• sen 120º = sen (180º - 60º) = sen 60º• cos 135º = cos (180º - 45º) = - cos 45º• sen 150º = sen (180º - 30º) = sen 30º• cos 105º = cos (180º - 15º) = - cos 15º
@ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 7
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
0º
270º
180º
90º
α
β
• ANGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
• Uno de ellos estará en el 1º Cuadrante y el otro en el 3º Cuadrante.
• En la figura: β – α = 180º• En ellos• sen α = - sen β• cos α = - cos β
• O expresado de otra manera:• sen (180º + α) = - sen α• cos (180º + α) = - cos α
• EJEMPLOS
• sen 210º = sen (180º + 30º) = - sen 30º• cos 225º = cos (180º + 45º) = - cos 45º• sen 240º = sen (180º + 60º) = - sen 60º• cos 195º = cos (180º + 15º) = - cos 15º
@ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 8
ÁNGULOS QUE SUMAN 270º
0º
270º
180º
90º
α
β
• ANGULOS QUE SUMAN 270º
• Uno de ellos estará en el 1º Cuadrante y el otro en el 3º Cuadrante.
• En la figura: α + β = 270º• En ellos• sen α = - cos β• cos α = - sen β
• O expresado de otra manera:• sen (270 - α) = - cos α• cos (270º - α) = - sen α
• EJEMPLOS
• sen 240º = sen (270º - 30º) = - cos 30º• cos 225º = cos (270º - 45º) = - sen 45º
@ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 9
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 270º
0º
270º
180º
90º
α
β
• ANGULOS QUE DIFIEREN EN 270º
• Uno de ellos estará en el 1º Cuadrante y el otro en el 4º Cuadrante.
• En la figura: β - α = 270º• En ellos• sen α = - cos β• cos α = sen β
• O expresado de otra manera:• sen (270º + α) = - cos α• cos (270º + α) = sen α
• EJEMPLOS
• sen 300º = sen (270 + 30º) = - cos 30º• cos 315º = cos (270º + 45º) = sen 45º• sen 330º = sen (270º + 60º) = - cos 60º• cos 345º = cos (270º + 75º) = sen 75º
@ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 10
ÁNGULOS NEGATIVOS O ÁNGULOS QUE SUMAN 360º
0º
270º
180º
90º
α
β
• ANGULOS NEGATIVOS
• Todo ángulo negativo se corresponde con otro positivo, simétrico respecto al eje de abscisas.
• En general el ángulo negativo estará en el 4º Cuadrante y su simétrico en el 1º Cuadrante.
• En la figura: α = - β• En ellos• sen α = - sen β• cos α = cos β
• O expresado de otra manera:• sen (- α) = - sen α• cos ( - α) = cos α
• EJEMPLOS
• sen ( - 30º) = - sen 30º• cos (- 45º) = cos 45º