3 VEKTÖRLER3.1 Koordinat sistemleri3.2 Kartezyen koordinatlar3.3 Vektörler3.4 Vektörlerin bileşenleri3.5 Vektörlerin toplanması3.6 Vektörlerin çıkarılması3 7 Bi i ktö3.7 Birim vektör

1

Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur?

3 2 Kartezyen koordinat3.2 Kartezyen koordinat

2

3 2 Kartezyen koordinatlar3.2 Kartezyen koordinatlar

3

Saatin dönme yönünün tersiSaatin dönme yönünün tersi

4

Skaler nicelikSkaler nicelik

• Sadece miktar, adet veya sayısal bir değer veren

büyüklüğü olan niceliklere skaler denir Örneğin kütlebüyüklüğü olan niceliklere skaler denir. Örneğin kütle,

enerji, sürat, bir yerdeki canlı sayısı vs.

• Yönü, doğrultusu ve büyüklüğü olan niceliklere vektör

denir Örneğin hız sıcaklık değişimi kuvvet vsdenir. Örneğin hız, sıcaklık değişimi, kuvvet vs.

5

YerdeğiştirmeYerdeğiştirme

6

Quick Quiz 3 1Quick Quiz 3.1

Aşağıdakilerden hangileri vektör, hangileri skaler niceliklerdir?

( ) Y(a) Yaşınız(b) İvme( ) H(c) Hız(d) Sürat( ) Kü l(e) Kütle

7

3 5 Vektörlerin toplamı3.5 Vektörlerin toplamı

• R-bileşke vektör,• A ve B -R nin bileşenleri

8

Vektör toplamıVektör toplamı

9

Vektörlerin toplamıVektörlerin toplamı

10

Quick Quiz 3 2Quick Quiz 3.2A ve B vektörleri A = 12 birim ve B = 8 birim şeklinde verilmektedir. Bileşke vektör R = A + B şeklinde ise vektörlerle yapılan işlemlere göre en büyük ve en küçük değer aşağıdakilerden hangisidir?aşağıdakilerden hangisidir?(a) 14.4 birim, 4 birim(b) 12 bi i 8 bi i(b) 12 birim, 8 birim(c) 20 birim, 4 birim(d) Y k d kil d hi bi i i(d) Yukarıdakilerden hiçbirisi.

11

Quick Quiz 3 3Quick Quiz 3.3B vektörü A vektörüne eklenirse, hangi durumda bileşke vektör A + B nin değeri A + B ye eşittir? (a) A ve B paralel ve aynı doğrultlarda olunca,(b) A ve B paralel ve zıt yönlerde olunca,(c) A ve B birbirine dik olunca.

12

Quick Quiz 3 4Quick Quiz 3.4B vektörü A vektörüne eklenirse hangi koşulda bileşke vektörü sıfır olabilir?(a) A ve B birbirine paralel ve aynı yönlerde olunca,(b) A ve B paralel ve zıt yönlerde olunca,(c) A ve B aynı büyüklükte olunca,(d) A ve B birbirlerine dik olunca.

13

Özetle : Vektörlerin toplanmasıÖzetle : Vektörlerin toplanması

• Uygun bir koordinat sistemi seçiniz. Bileşen sayısını azaltarak toplamı kolayca

yapılacak hale getiriniz.

• Problemdeki tanıma uygun bir şekil çiziniz.

H ktö ü bil l i bil l i bi l t l• Her vektörün x ve y bileşenlerine ayırınız ve bileşenlerin cebirsel toplamını x ve y

eksenleri boyunca yapınız.

Bileşke vektörün büyüklüğünü Pisagor teoremini kullanarak bulunuz ve• Bileşke vektörün büyüklüğünü Pisagor teoremini kullanarak bulunuz ve

eksenlerden ne kadar ayrıldığını da trigonometrik fonksiyonları kullanarak

hesaplayınızhesaplayınız.

14

Vektörlerin toplanmasıVektörlerin toplanmasıxy düzleminde bulunan A ve B vektörlerinin toplamını hesaplayınız. A = (2 0i + 2 0j) m ve B = (2 0i - 4 0j) mA (2.0i 2.0j) m ve B (2.0i 4.0j) mÇözüm Vektörleri bileşenleri cinsinden yazılabilir.

A = Ax i + Ay j, burada Ax = 2.0 m ve Ay = 2.0 m. x y j, x y

Benzer şekilde Bx = 2.0 m ve By = - 4.0 m. Bileşke vektör R aşağıdaki gibi olur,

R = A + B = (2.0 + 2.0)i m + (2.0 - 4.0)j m = (4.0i - 2.0j) m

Veya

Rx = 4.0 m Ry = -2.0 m

15

Vektörlerin toplanmasıVektörlerin toplanmasıBir parçacık aşağıdaki gibi yerdeğiştirmeleri yapmıştır:

d1 = (15i + 30j + 12k) cm, d2 = (23i - 14j - 5.0k) cm ve d3 = (-13i + 15j) cm. Bileşke

yerdeğiştirmeyi ve büyüklüğünü bulunuz.

16

Bileşme özelliğiBileşme özelliği

17

Quick Quiz 3 6Quick Quiz 3.6

Bir vektörün bileşenlerinden biri pozitif değere sahipse, bu vektör için aşağıdaki koşullardan hangisi doğrudur?( ) Bil l i d bi i tif i tli l(a) Bileşenlerinden biri negatif işaretli olamaz,(b) Sıfır olamaz,( ) Ü b tl l(c) Üç boyutlu olamaz.

18

Quick Quiz 3 7Quick Quiz 3.7

A + B = 0 olabilmesi için A ve B nin nasıl olması gerekir? (a) eşit(b) pozitif(c) negatif(d) Zıt işaretli.

19

Quick Quiz 3 8Quick Quiz 3.8

ğAşağıdakilerden hangisinde bir vektör bileşenlerinden birine eşittir? ( ) A 2i +5j(a) A = 2i +5j (b) B = -3j( ) C 5k(c) C = +5k

20

3 6 Vektörlerin çıkarılması3.6 Vektörlerin çıkarılması

21

Örnek 3 1 Gezide alınan toplam yolÖrnek 3.1 Gezide alınan toplam yol

22

Vektörlerin çarpımıVektörlerin çarpımı

A vektörünün y-doğrultusundan bakınca x-ekseni üzerindeki izdüşümü

23

Dönmüş koordinat eksenleriDönmüş koordinat eksenleri

24

3 7 Birim vektör3.7 Birim vektör

25

Vektör bileşenleriVektör bileşenleri

26

Örnek 3 2Örnek 3.2

R=56 birim

A vektörünün büyüklüğü 20 birim

B vektörünün büyüklüğü 40 birimy ğ

C vektörünün büyüklüğü 30 birim

a) R-bileşke vektör?

29º

a) R bileşke vektör?

b) R-bileşke vektörün yönü?

cos45º=sin45º=0.71

27

Örnek 3 3Örnek 3.3

• A+B ?• A+B ?• A-B ?• B-A• A-2B

cos30=0 87cos30=0.87sin30=0.50

28

Örnek 3 4Örnek 3.4Aşağıda kutupsal koordinatları verilen noktaların konum vektörlerini yazınız:

(a) 12.8 m, 150°

(b) 3.30 cm, 60.0°

(c) 22.0 in., 215°.

29

Örnek 3 5Örnek 3.5

xy düzlemindeki bir yerdeğiştirme vektörünün büyüklüğü 50 0 m ve pozitif x eksenixy düzlemindeki bir yerdeğiştirme vektörünün büyüklüğü 50.0 m ve pozitif x ekseni

ile yaptığı açı 120° olarak verilmektedir. Bu vektörün dik bileşenini bulunuz (sonuç

için fareye tıklayınız). yiçin fareye tıklayınız).

50.0 m 40

50Ry = 50 sin60 = 43.3veya

20

30

40 veya Ry = 50 cos30 = 43.3

x

10

20

120°

10 20 30

-10

20

-10-20-30

30

-20

-30

Örnek 3 6Örnek 3.6Bir mağaracı mağaranın

Kuzey

girişinden itibaren mağara içinde

önce 75.0 m kuzeye, 250 m 20050.0 m

önce 75.0 m kuzeye, 250 m

doğuya, 125 m kuzey-doğuya

(doğudan 30 0° yukarı100

(doğudan 30.0 yukarı

doğrultuda) ve son olarak 150 m

güneye doğru hareket ediyorDoğu

100-100 200güneye doğru hareket ediyor.

Mağaracının mağaranın girişine

ö d ği ti i i-100

göre yerdeğiştirmesini

hesaplayınız.

31Rx=358.3 m R=358.5 mRy=-12.5 m

Örnek 3 7 Robot koluÖrnek 3.7 Robot koluBir robot kolu önce yukarı doğru ve sonra doğuya hareket ediyor. Sonra doğu-batı

boyunca düşey doğrultuda yarıçapı 4.80 cm olan çeyrek çember yayı üzerinde

hareket ediyor. Robot cismi alıp yukarı ve 3.70 cm lik yarıçapı olan çeyrek çember

ü i d dü d ğ lt d k d ğ tyayı üzerinde düşey doğrultuda kuzeye doğru taşırsa:

(a) toplam yerdeğiştirmenin büyüklüğünü hesaplayınız.

(b) T l d ği ti i dü k l(b) Toplam yerdeğiştirmenin düşey eksenle

yapmış olduğu açıyı hesaplayınız.

32

Örnek 3 8 Radar kontrolörüÖrnek 3.8 Radar kontrolörü

Bir hava kontrolörü iki uçağı radar ekranında görür. Birinci uçak yerden

800 m yükseklikte, yatay olarak 19.2 km ve 25.0° güney-batıda

bulunmaktadır. İkinci uçak ise yerden 1100 m yükseklikte, kuleden 17.6

km yatay doğrultuda 20.0° güney-batıda bulunmaktadır. İki uçak

arasındaki uzaklığı hesaplayınız. (x eksenini batı, y eksenini güney ve z

eksenini düşey doğrultu olarak alınız).ş y ğ )

Uçak1 için x1=19200sin25 = 8114.2 m, y1=19200cos25 =17401.1 m, z1=800 m

U k i i 17600 i 20 6019 3 17600 20 16538 6 1100Uçak2 için x2=17600sin20 = 6019.3 m, y2=17600cos20 = 16538.6 m, z2=1100 m

r = √((8114.2-6019.3)2+(17401.1-16538.6)2+(800-1100)2)

= √(2094 92 + 862 52 + 3002) = 2285 333

= √(2094.92 + 862.52 + 3002) = 2285.3