30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270°...
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![Page 1: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/1.jpg)
30°150°
210° 330°
45°135°
225° 315°
60°120°
240° 300°
cos
sen
0
tg90°
180°
270°
0°/360°
TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIAÉ só o Filé!
Fred Tavares
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30°150°
210° 330°
45°135°
225° 315°
60°120°
240° 300°
cos
sen
0
tg90°
180°
270°
0°/360°
TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIAÉ só o Filé!
Fred Tavares
![Page 3: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/3.jpg)
Teorema Fundamental Teorema Fundamental da Trigonometriada Trigonometria
1cossen 22
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Demonstração ...Demonstração ...
)θ1 cos
sen 1
-1
-1
0
sen θ
cos θ
θ·
![Page 5: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/5.jpg)
Continuação...Continuação...
)θ1 cos
sen 1
-1
-1
0
sen θ
cos θ
1
![Page 6: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/6.jpg)
Continuação...Continuação...
)θsen θ
cos θ
1
Utilizando o teorema de Pitágoras h2 = c2 + c2, temos :
1cossen 22 C M P Q D
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Relações Trigonométricas Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulono Triângulo Retângulo
)θCateto AdjacenteC
ateto Oposto
Hipotenusa
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Continuação ...Continuação ...
Cotangente de θ
Secante de θ
Cossecante de θ
Tangente de θ
Cosseno de θ
Seno de θ
Relação no Triângulo Retângulo
Ente Trigonométrico
HICO
sen
HICA
cos
COHI
sen1
seccos
CACO
tg
CAHI
cos1
sec
COCA
tg1
gcot
![Page 9: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/9.jpg)
Na Circunferência Na Circunferência TrigonométricaTrigonométrica
)θ cos
sen
0
sen θ
cos θ
·
tg
tg θ
![Page 10: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/10.jpg)
Continuação ...Continuação ...
)θ0
·
cotg cotg θ
secante θ
cossec θ
![Page 11: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/11.jpg)
Arcos NotáveisArcos Notáveis
30°150°
210° 330°
45°135°
225° 315°
60°120°
240° 300°
cos
sen
0
tg90°
180°
270°
0°/360°
![Page 12: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/12.jpg)
arco 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
rad 06
4
3
2
3
22
seno 02
1
2
2
2
31 0 - 1 0
cosseno 12
3
2
22
10 - 1 0 1
tangente
cos
sen 03
31 3 - - - 0 - - - 0
Tabela de Entes Trigonométricos ...
![Page 13: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/13.jpg)
Vamos pensar . . .
?
![Page 14: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/14.jpg)
Que tal fazermos um teste para verificação do que foi apresentado?
Observem a figura ao lado
1) Em relação ao ângulo , podemos dizer que o sen vale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/b
c
b
hip
.o.csen
![Page 15: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/15.jpg)
2) Em relação ao ângulo , podemos dizer que o cos vale:
a) b/c
b) a/c
c) c/b
d) c/a
e) a/bc
a
hip
.a.ccos
![Page 16: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/16.jpg)
3) Em relação ao ângulo , podemos dizer que a tg vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/c a
b
.a.c
.o.ctg
![Page 17: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/17.jpg)
4) Em relação ao ângulo , podemos dizer que a cotg vale:
a) b/a
b) b/c
c) c/b
d) a/b
e) a/c b
a
.o.c
.a.cgcot
![Page 18: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/18.jpg)
5) Em relação ao ângulo , podemos dizer que tg .cotg vale:
a) 1/a
b) 1/c
c) 1/b
d) 0
e) 1 1.o.c
.a.c.
.a.c
.o.c
gcot.tg
![Page 19: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/19.jpg)
6) Se a = 3b, podemos dizer então, que
sen2 + cos2 vale:
a) b2 / a2
b) 9c2 / b2
c) 0
d) 1
e) (c2 + b2) / 9a2
Pelo teorema fundamental da trigonometria, temos que:
sen2 + cos2 = 1
![Page 20: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/20.jpg)
7) Em relação ao ângulo , podemos dizer que sec2- 1 vale:
a) tg2
b) cotg2
c) - 1
d) 0
e) 1
22
22
cos
1sec
cos
1sec
olog,cos
1sec
22
2
2
2
2
22 tg1sec
cos
sen
cos
cos11
cos
11sec
22
22
cos1sen
1cossen
22 tg1sec
![Page 21: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/21.jpg)
8) Em relação ao ângulo , podemos dizer que cossec2- 1 vale:
a) tg2
b) cotg2
c) - 1
d) 0
e) 1
22
22
sen
1seccos
sen
1seccos
olog,sen
1seccos
22
2
2
2
2
22 gcot1seccos
sen
cos
sen
sen11
sen
11seccos
22 gcot1seccos
![Page 22: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/22.jpg)
9) Se sen b/c, então, calculando o valor de
chegaremos a:
a) a/c
b) b/c
c) a/b
d) b/a
e) 1
cos
11.)cos1(.gcoty
Procure sempre partir da relação fundamental
Resposta na outra folha
![Page 23: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/23.jpg)
cos
1cos.)cos1(.
sen
cosy
cos
11.)cos1(.gcoty
22
22
cos1sen
1cossen
)coscos1(cos.sen
1y
1cos.)cos1(.sen
1y
2
)cos1(.sen
1y 2
2sen.sen
1y
c
by
seny
![Page 24: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/24.jpg)
Voltando
para a parte teórica...
![Page 25: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/25.jpg)
Lei dos SenosLei dos Senos
Seja um triângulo ABC qualquer
temos :
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
) (^
A
^
C
^
B
A B
C
a
c
b
![Page 26: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/26.jpg)
Lei dos CossenosLei dos CossenosSeja um triângulo ABC qualquer
temos :
Ccosba2bac
ouBcosca2cab
ouAcoscb2cba
222
222
222
) (^
A
^
C
^
B
A B
C
a
c
b
![Page 27: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/27.jpg)
Gráficos das funções Gráficos das funções trigonométricastrigonométricas
SenóideSenóide
sen x
y
x
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•0° 540°
720°
450°
630°360
°
270°
180°
-180° -90°
•
90°
1
-1
![Page 28: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/28.jpg)
CossenóideCossenóide
cos x
y
x •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
0°
540°
720°450°
630°360°
270°
180°
-180°
-90° 90°
1
-1
![Page 29: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/29.jpg)
TangenteTangente
tg x
y
x •
•
•
•
•
•
•
•
•
0° 360°
-90° 90°180°
270° 450°
540°
630°
![Page 30: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/30.jpg)
CossecanteCossecante
y
x
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•0° 540° 720°450°
630°
360°
270°
180°
-180° -90°
•
90°
1
-1
cossec x
![Page 31: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/31.jpg)
SecanteSecante
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
0°
540°
720°450°
630°360°
270°
180°
-180°
-90° 90°
sec x
y
x
1
-1
![Page 32: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/32.jpg)
Continuação ...Continuação ...
cotg x
y
x •
•
•
•
•
•
•
•
•
0° 360°
90°
180°
270° 450° 540°
630°
720°
![Page 33: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/33.jpg)
Trigonometria
Algumas Aplicações
![Page 34: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/34.jpg)
Parte PráticaO exemplo clássico da Sombra
Para que possamos medir (aproximadamente) a altura de um prédio, sem a necessidade de subir ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados, seria necessário somente 2 elementos.
São eles: uma distância
um ângulo
Observe a seguir . . .
![Page 35: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/35.jpg)
hd.tgd
htg
.a.c
.o.ctg
portanto: tg.dh
Conhecendo a distância d que vale 50 metros e o ângulo que vale 30°, podemos dizer então que:
metros8675,28h
95773502691,0.50h
30tg.50h
tg.dh
![Page 36: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/36.jpg)
Exemplo 01.
Uma rampa com inclinação constante, (como a que existe em Brasília) tem 6 metros de altura na sua parte mais elevada. Um engenheiro começou a subir, e nota que após ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será que este engenheiro somente com esses dados e uma calculadora científica conseguiria determinar o comprimento total dessa rampa e sua inclinação em relação ao solo?
![Page 37: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/37.jpg)
Como poderíamos resolver essa situação?
Como sugestão, faremos um “desenho” do que representa essa situação.
Observemos:
6 metros16,4 metros
2 metros
Comprimento total da rampa
solo
![Page 38: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/38.jpg)
6 metros
16,4 metros2 metros
Observemos o triângulo retângulo em destaque . . .
2 metros
16,4 metroship c.o.
c.a.
Temos em relação ao ângulo
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros
![Page 39: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/39.jpg)
2 metros
16,4 metroship c.o.
c.a.
Como:
hip = 16,4 metros
c.o. = 2 metros
121219512195,04,16
2
hip
.o.csen
Obs.: quando dizemos que arcsen = 1/2 , podemos transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco, cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que = 30°.
![Page 40: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/40.jpg)
Em nosso exercício, chegamos a conclusão que:
sen = 0,121951219512, logo podemos encontrar o ângulo , com o auxílio da calculadora que normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1, então, devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de sua calculadora.
Se o processo foi realizado corretamente, deverá ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos considerar como aproximadamente 7°.
Encontramos assim, a inclinação da rampa!
![Page 41: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/41.jpg)
2,49121219512195,0
6
7sen
6
sen
o.chip
sen
o.chip.o.chip.sen
hip
.o.csen
6 metros
Notamos que os triângulos abaixo são semelhantes, portanto, podemos dizer que é válido para ambos
2 metros
16,4 metroship c.o.
c.a.
Como:
Chegamos a conclusão que o
comprimento total da rampa é 49,2 metros
![Page 42: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/42.jpg)
Exemplo 2
Mecânica Geral
ou Trigonometria?
![Page 43: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/43.jpg)
Em relação ao sistema de forças representado na figura, onde F1 = 20N,
F2 = 100N, F3 = 40N e
F4 = 10N, você seria capaz de determinar a intensidade da resultante do sistema e o ângulo que essa resultante forma com o eixo das abscissas (x)?
Os conceitos trigonométricos aparecem com muita freqüência no estudo da Física, Topografia, Astronomia e de muitos outros assuntos.
Abaixo segue um problema CLÁSSICO de física e trigonometria
![Page 44: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/44.jpg)
Em primeiro lugar, teremos que fazer as projeções de 2F
nos eixos das abscissas e das
ordenadas, obtendo assim, respectivamente os componentes )x(2F
e )y(2F
.
Analogamente, encontraremos as projeções de 3F
, encontrando os componentes )x(3F
e )y(3F
.
![Page 45: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/45.jpg)
A r e s u l t a n t e r e l a t i v a a o e i x o d a s a b s c i s s a s
)x(Ré o b t i d a
d a s e g u i n t e m a n e i r a :
)x(31)x(2)x( FFFR
60cos.FFFF.60cosF
F60cos.
hip
a.ccos
45cos.FFFF.45cosF
F45cos.
hip
a.ccos
Como
3)x(3)x(333
)x(3
2)x(2)x(222
)x(2
N20F5,0.4060cos.FF
N70F70,0.10045cos.FFtotanPor
)x(33)x(3
)x(22)x(2
)x(31)x(2)x( FFFR
N70R
202070R
)x(
)x(
![Page 46: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/46.jpg)
A r e s u l t a n t e r e l a t i v a a o e i x o d a s a b s c i s s a s
)y(Ré o b t i d a
d a s e g u i n t e m a n e i r a :
)y(34)y(2)y( FFFR
60sen.FFFF.60senF
F60sen.
hip
o.csen
45sen.FFFF.45senF
F45sen.
hip
o.csen
Como
3)y(3)y(333
)y(3
2)y(2)y(222
)y(2
N4,34F86,0.4060sen.FF
N70F70,0.10045sen.FFtotanPor
)y(23)y(3
)y(22)y(2
)y(34)y(2)y( FFFR
N6,25R
4,341070R
)y(
)y(
![Page 47: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/47.jpg)
NFsenFF
NFsenFFtoPor
yy
yy
4,3486,0.4060.
7070,0.10045.tan
)(23)(3
)(22)(2
)y(34)y(2)y( FFFR
N6,25R
4,341070R
)y(
)y(
![Page 48: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/48.jpg)
Colocando )x(R
e )y(R
, nos eixos das abscissas e dasordenadas, respectivamente,
Percebemos que a figura formada pelas forças é umtriângulo retângulo, em que sua hipotenusa é a Força
Resultante
R, )x(R
é o cateto adjacente a e )y(R
ocateto oposto a , então, vale o teorema de Pitágoras para
calcularmos o valor de
R.
![Page 49: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/49.jpg)
N53,74R
36,5555R
36,5555R
36,6554900R
6,2570R
RRR
cch
2
2
222
2
)y(
2
)x(
2
222
Observe que são problemas bem clássicos e resolvidos da mesma forma.
![Page 50: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/50.jpg)
P a r a o c á l c u l o d o â n g u l o , t e m o s :
3657,070
6,25
R
R
.a.c
.o.ctg
)x(
)y(
3657,0tg
E s s e é o v a l o r d a t a n g e n t e d o â n g u l o P a r a c a l c u l a r m o s o v a l o r d o â n g u l o ,t e m o s q u e e n c o n t r a r o a r c t g , e n t ã o :
20
3657,0arctgarctg
C o n c l u í m o s e n t ã o q u e a R e s u l t a n t e N53,74R
e f o r m au m â n g u l o 20 c o m o e i x o x .
![Page 51: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/51.jpg)
Desafio !
Mais um Problema Clássico de Vestibular
![Page 52: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/52.jpg)
Questão01. Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a largura do tronco)
Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )7,13
![Page 53: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/53.jpg)
Solução:
Resumidamente, temos o triângulo ao lado que representa nosso desafio.
)II(y.3h
y.60tghhy.60tgy
h
.a.c
.o.c60tg
)I()y20(.3
3h
)y20(.30tghh)y20(.30tg)y20(
h
.a.c
.o.c30tg
![Page 54: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/54.jpg)
metros10y
y220yy320y.3)y20(
y.3.3)y20(.3y.3)y20(.3
3
y.3h)II()y20(.3
3h)I(
Igualando o h das equações ( I ) e (II)
Como
metros17h
10.7,1h
y.3h
![Page 55: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/55.jpg)
30 metros
17 metros para subir a árvore
17 metros para descer da árvore
Agora com o valor das medidas temos condição de determinar quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe:
De A até C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros
v = 0,2 m/s
![Page 56: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/56.jpg)
segundos20eutosmin5touutosmin333,5t
60
segundos320tsegundos320
2,0
64t
V
stst.V
t
sV
Portanto
![Page 57: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/57.jpg)
RESUMÃO DE FÓRMULAS
Relações básicas
sen2 α + cos2 α = 1tan α . cot α = 11 + tan2 α = 1 / cos2 α1 + cot2 α = 1 / sen2 α
Relações com quadrantes
Obs: valores de ângulos em graus. Conversão para radianos:
90 → π/2 180 → π 270 → 3π/2 360 → 2π
sen (90 + α) = + cos α sen (90 − α) = + cos α sen (180 + α) = − sen α sen (180 − α) = + sen αcos (90 + α) = − sen α cos (90 − α) = + sen αcos (180 + α) = − cos α cos (180 − α) = − cos α
![Page 58: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/58.jpg)
RESUMÃO DE FÓRMULAS
tag (90 + α) = − cot α tan (90 − α) = + cot αtan (180 + α) = + tan α tan (180 − α) = − tan αcot (90 + α) = − tan α cot (90 − α) = + tan αcot (180 + α) = + cot α cot (180 − α) = − cot αsen (270 + α) = − cos α sen (270 − α) = − cos αsen (360 + α) = + sen α sen (360 − α) = − sen αcos (270 + α) = + sen α cos (270 − α) = − sen αcos (360 + α) = + cos α cos (360 − α) = + cos αtan (270 + α) = − cot α tan (270 − α) = + cot αtan (360 + α) = + tan α tan (360 − α) = − tan αcot (270 + α) = − tan α cot (270 − α) = + tan αcot (360 + α) = + cot α cot (360 − α) = − cot αsen (−α) = − sen α cos (−α) = + cos αtan (−α) = − tan α cot (−α) = − cot αsen (α ± k 360) = + sen α cos (α ± k 360) = + cos αtan (α ± k 180) = + tan α cot (α ± k 180) = + cot α
O símbolo k significa um número inteiro e positivo.
![Page 59: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/59.jpg)
RESUMÃO DE FÓRMULAS
Relações com soma / diferença de ângulos
sen (α ± β) = sen α cos β ± cos α sen βcos (α ± β) = cos α cos β ± sen α sen βtan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ± tan α tan β)cot (α ± β) = (cot α cot β ± 1) / (cot β ± cot α)
Relações com soma / diferença / produto de funções
sen α + sen β = 2 sen (α + β)/2 . cos (α − β)/2sen α − sen β = 2 cos (α + β)/2 . sen (α − β)/2cos α + cos β = 2 cos (α + β)/2 . cos (α − β)/2cos α − cos β = − 2 sen (α + β)/2 . sen (α − β)/2
![Page 60: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/60.jpg)
a sen x + b cos x = √ (a2 + b2) sen (x + φ) onde φ = arctan b/a se a ≥ 0 ou φ = arctan b/a ± π se a < 0
tan α ± tan β = sen (α ± β) / (cos α cos β)cot α ± cot β = sen (β ± α) / (sen α sen β)sen α sen β = (1/2) cos (α − β) − (1/2) cos (α + β)sen α cos β = (1/2) sen (α + β) + (1/2) sen (α − β)cos α cos β = (1/2) cos (α + β) + (1/2) cos (α − β)tan α tan β = (tan α + tan β) / (cot α + cot β) = − (tan α − tan β) / (cot α − cotβ)cot α cot β = (cot α + cot β) / (tan α + tan β) = − (cot α − cot β) /(tan α − tan β)cot α tan β = (cot α + tan β) / (tan α + cot β) = − (cot α − tan β) /(tan α − cot β)
RESUMÃO DE FÓRMULAS
![Page 61: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/61.jpg)
Relações diversas
sen α = 2 sen α/2 . cos α/2cos α = cos2 α/2 − sen2 α/2tan α = sen α / cos αcot α = cos α / sen αsen α = tan α / √(1 + tan2 α)cos α = cot α / √(1 + cot2 α)tan α = sen α / √(1 − sen2 α)cot α = cos α / √(1 − cos2 α)sen α = √(cos2 α − cos 2α)
![Page 62: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/62.jpg)
Relações diversas
cos α = 1 − 2 sen2 α/2tan α = √[ (1/cos2 α) − 1 ]cot α = √[ (1/sen2 α) − 1 ]sen α = √[ (1 − cos 2α) / 2 ]cos α = √[ (1 + cos 2α) / 2 ]tan α = [ √(1 − cos2 α) ] / cos αcot α = [ √(1 − sen2 α) ] / sen αsen α = 1 / √(1 + cot2 α)cos α = 1 / √(1 + tan2 α)sen 2α = 2 sen α cos α
![Page 63: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/63.jpg)
Relações diversas
cos 2α = cos2 α − sen2 αcos 2α = 2 cos2 α − 1cos 2α = 1 − 2 sen2 αtan 2α = 2 tan α / (1 − tan2 α)tan 2α = 2 / (cot α − tan α)cot 2α = (cot2 α − 1) / (2 cot α)cot 2α = (1/2) cot α − (1/2) tan αsen α/2 = √[ (1 − cos α) / 2 ]cos α/2 = √[ (1 + cos α) / 2 ]tan α/2 = sen α / (1 + cos α)cot α/2 = sen α / (1 − cos α)tan α/2 = (1 − cos α) / sen αcot α/2 = (1 + cos α) / sen αtan α/2 = √[ (1 − cos α) / (1 + cos α) ]
![Page 64: 30° 150° 210° 330° 45°135° 225°315° 60° 120° 240° 300° cos sen 0 tg 90° 180° 270° 0°/360° TRIGONOMETRIA É só o Filé! Fred Tavares](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061415/552fc101497959413d8bcec3/html5/thumbnails/64.jpg)
Pessoal, espero ter contribuído um pouco mais para o seu sucesso.
Abraços
Fred Tavares