3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (position...
TRANSCRIPT
![Page 1: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/1.jpg)
บทท 3 การเคลอนทในระนาบ
จากทไดศกษาการเคลอนทในหนงมตมาแลว ในบทนจะเปนการศกษาเกยวกบการเคลอนท
ในระนาบ 2 มต เชน การเคลอนทของอนภาคทเปนวงกลม หรอการเคลอนทแบบวถโคงของลกบอล เปนตน โดยในการศกษาจะพจารณาอนภาคทถกขวางใหเคลอนทระนาบ x - y ซงสามารถแบงออกไดเปน 2 กรณ คอ กรณแรกอนภาคไมมการหมนในขณะเคลอนท สามารถแทนแนวทางเดนของทกๆ จดบนอนภาค ดวยแนวการเคลอนทของจดศนยกลางมวลจะมแนวทางเดนทขนานกบแนวทางของ จดศนยกลางมวล การเคลอนทในลกษณะเชนนอนภาคจะมเฉพาะเลอนต าแหนง (Translational motion) กรณทสองอนภาคมการหมนในขณะทเคลอนทจะพบวาในขณะทจดศนยกลางมวลเคลอนทไปนน จดอนๆบนอนภาคจะเคลอนทหมนรอบจดศนยกลางมวลอกทหนง การเคลอนทแบบนจงมทงการเลอนต าแหนงและการเคลอนทแบบหมน (Rotational motion) พรอมกนไป ในทนเราจะศกษาเฉพาะกรณทอนภาคทเคลอนทแบบเลอนต าแหนงในระนาบและไมมการหมนเทานน 3.1 เวกเตอรต ำแหนง (Position vector)
ในการอธบายการเคลอนทของอนภาคในระนาบนน สงทตองค านงถงคอต าแหนงของอนภาคซงก าหนดไดดวยเวกเตอรต าแหนง (t)r สมมตวาอนภาคมเสนทางการเคลอนทดงภาพท 3.1 ทเวลา t ใดๆ อนภาคจะอยทจดใดจดหนงบนเสนทางเดนดงกลาว ซงสามารถบอกต าแหนงของอนภาคไดดวยลกศรทชจากจดก าเนดของระบบพกดไปยงต าแหนงดงกลาว โดยเวกเตอรต าแหนงจะเปนตวก าหนดต าแหนงของวตถเทยบกบจดก าเนด
ในกรณทอนภาคเคลอนทในระบบพกดฉากแบบ 2 มต สามารถเขยนเวกเตอรต าแหนงในภาพฟงกชนของเวลาไดเปน j y(t)ix(t)(t)r ˆˆ
(3.1) เมอ i และ j เปนเวกเตอรหนงหนวย (Unit vector) ในแกน x และ y ตามล าดบ พจารณาอนภาคตวหนงทเคลอนทในระนาบ x-y ดงภาพท 3.2 ทเวลา t1 อนภาคจะอยทจด P มเวกเตอรต าแหนงเปน )(tr 1
และทเวลา t2 อนภาคเคลอนทมาอยทจด Q มเวกเตอรต าแหนงเปน )(tr 2
สามารถหาการกระจดของอนภาคในระหวางชวงเวลา t2- t1 ไดจาก )(tr)(trr 1212
]ˆˆ[]ˆˆ[ j )(t yi)(tx j )(t yi )(tx 1122 j )(t y-)(t yi)(tx -)(t[x 1212
ˆ][ˆ] (3.2)
![Page 2: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/2.jpg)
66
ถาชวงเวลา t2 - t1 เทากบ t ซงมคานอยมากๆแลว การกระจดของอนภาคจะมขนาดนอยๆ 12 rΔ
หรอ เขยนในภาพงายๆ rΔ คอ j yix r ˆˆ ΔΔΔ (3.3) และเรยกปรมาณในสมการ (3.3) วา “เวกเตอรการกระจดทเพมขน (Incremental displacement vector)”
y(t)
x(t)0
y
x
ทางเดนของอนภาคต าแหนงของอนภาคทเวลา t
ภาพท 3.1 เวกเตอรต าแหนงของอนภาคในระบบพกดฉาก ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 60)
)y(t2
0
y
x
)y(t1j
)x(t2)x(t1
)(tr 2
)(tr 1
Q
P
i
)(tr)(trr 12 12
ทางเดนของอนภาค
ภาพท 3.2 แสดงการกระจดของอนภาค 12 r ในชวง t1-t2
ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 61) ตวอยำงท 3.1 ถาทางเดนของอนภาคตวหนงเปน j y(t)i x(t)(t)r ˆˆ โดย x(t) = at2 + bt + c และ y(t) = dt + e เมอ a, b,c,d และ e เปนคาคงท จงหาการกระจดของอนภาคทเวลา t = 0 s และ t = 5 s วธท ำ จากสมการ (3.2) จะไดวา
![Page 3: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/3.jpg)
67
rΔ = [x(5) - x(0)] i +[y(5) - y(0)] j เมอ x(t) = at2 + bt +c และ y(t) = dt + e จะได x(5) = 25a + 5b +c y(5) = 5d + e x(0) = c y(0) = e ดงนน rΔ = (25a + 5b +c-c) i + (5d + e –e) j = (25a + 5b) i + (5d) j 3.2 เวกเตอรควำมเรว (Velocity vector)
เมออนภาคมการเคลอนท พบวาทเวลา t1 และ t2 อนภาคมเวกเตอรต าแหนงเปน )(tr 1
และ )(tr 2 ตามล าดบ และมการกระจดเปน )(tr)(trr 1212
จากนยามพนฐานของความเรวเฉลยสามารถนยามเวกเตอรความเรวเฉลย (Average vector velocity) ในชวงเวลาดงกลาวได
12
12
12
12av tt
r
tt
)(tr)(trv
(3.4)
avv เปนปรมาณเวกเตอร ซงเกดจากการคณเวกเตอร 12 r ดวยปรมาณสเกลาร
)t(t
1
12 โดย
ขนาดของ avv คอ 12
12
tt
r
ซงมทศทางเดยวกบ 12 r
ถาแทน t1, t2-t1 และ 12 r ดวย t, t และ rΔ ตามล าดบ สามารถเขยนสมการ (3.4) ไดใหมเปน
t
r
t
(t)rt)(trvav
Δ
Δ
Δ
Δ
(3.5)
และสามารถหาความเรวขณะเวลาใดๆไดจาก
dt
(t)rd
t
(t)rt)(trlim(t)v
Δ
Δ
0t (3.6)
![Page 4: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/4.jpg)
68
จากภาพท 3.3 แสดงทางเดนของอนภาคตามสมการ (3.5) และ (3.6) พบวา (t)v ม
ทศทางอยในแนวเสนสมผสกบทางเดนของอนภาคทจดนนๆ สามารถเขยนขนาดของความเรว (t)v เปน (t)v ซงจะเรยก v(t) วา “ อตราเรว (Speed) ” ของอนภาค
จากภาพท 3.3 พบวา (t)r มการเปลยนแปลงขนาดและทศทางตามเวลา ดงนนจงสามารถหาความเรวไดจากขนาดของการเปลยนแปลงดงกลาว เชน อนภาคเคลอนทเปนวงกลมดวยรศม R รอบจดศนยกลางทอยบนจดก าเนดของระบบพกด นนคอ R(t)r ซงเปนคาคงท สวนทศทางของอนภาคทจดใดๆสามารถหาไดจากทศทางของเสนสมผสกบแนวทางเดนของอนภาคทจดนนๆ สามารถเขยนเวกเตอรความเรวในภาพขององคประกอบไดดงน
t)(tr Δ
(t)ravv rΔ
y
x0P
Q
อนภาคทางเดนของ
(t)r
(t)v
y
x0
P
Q
อนภาคทางเดนของ
) ก ( ) ข (
ภาพท 3.3 (ก) แสดงความเรวเฉลย (ข) แสดงความเรวในขณะเวลาใดๆ ทมา (ปรบปรงจาก Halliday, Resnick, & Walker, 2007, หนา 60)
]ˆˆ[ jy(t)ix(t)dt
d
dt
(t)rd(t)v
jdt
dy(t)i
dt
dx(t) ˆˆ
j (t)vi (t)v yxˆˆ (3.7)
เมอ dt
dx(t)(t)v x และ
dt
dy(t)(t)v y องคประกอบของเวกเตอรความเรวเปน
idt
dxv x
ˆ และ jdt
dyv y
ˆ
ทเวลาใดๆอนภาคมอตราเรวเปน
![Page 5: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/5.jpg)
69
2y
2x vv(t)vv(t) (3.8)
ตวอยำงท 3.2 เรอล าหนงเคลอนทในระนาบ x - y โดยมฟงกชนต าแหนงทเวลาใดๆในระบบพกดฉากเปน x(t) = 3t2 – 2t +1 และ y(t) = - t2 + 2t - 3 จงหาเวกเตอรต าแหนงและความเรวของเรอล านทเวลา t = 3 s วธท ำ จากฟงกชนต าแหนงทก าหนดใหสามารถเขยนเวกเตอรต าแหนงทเวลา t ใดๆ ได m j )32tt(i )12t3t((t)r 22 และมเวกเตอรของความเรวทเวลา t ใดๆ เปน
m/s j 22ti 2-6tdt
(t)rd(t)v ˆ)(ˆ)(
ดงนนเวกเตอรต าแหนงและเวกเตอรความเรวทเวลา t = 3 s คอ m j 6i 22 j 3-6-9i 16-27s) 3(tr ˆˆˆ)(ˆ)( m/s j i 16 j 2-6i 2-18s) 3(tv ˆ4ˆˆ)(ˆ)( ตวอยำงท 3.3 รถยนตคนหนงเคลอนทในระนาบ x - y ดวยความเรง 2m/s i 2a ˆ ถารถยนตคนนเรมเคลอนทเมอเวลา t = 0 มความเรวเรมตน m/s ) j 5i 10t (v0
ˆˆ จงหา ก) ความเรวทเวลา t ใดๆ ข) ความเรวและอตราเรวของอนภาคทเวลา t = 7 s ค) เวกเตอรต าแหนงทเวลา t ใดๆ วธท ำ ก) จาก tav(t)v 0
จะได )]ˆ()ˆˆ[( i 2tj 5i 10t(t)v m/s ]ˆˆ[ j 5i 2t)(10t m/s ]ˆˆ[ j 5i 12t m/s ข) จากขอ ก) เมอ t = 7 s จะได ]ˆˆ)12[ j5i)(7(s) (7v ]ˆˆ8[ j 5i 4 m/s อตราเรว คอ
![Page 6: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/6.jpg)
70
2y
2x vvs) (7vs) (7v
m/s 85)((84) 22 15.4 สามารถหามม ท v กระท ากบแกน x ไดดงน
41.3-84
5tan
v
vtan 1
x
y1
θ
ค) สามารถหาเวกเตอรต าแหนงทเวลาใดๆ ไดจาก
dt
(t)rd(t)v
t
0
t
0(t)dtv(t)rd
j ]dt5[i ]tdt12[dt j5i 12t(t)rt
0
t
0
t
0
ˆˆ]ˆˆ[
m j 5t- i 6t j 5ti ]2
t[ 2
2ˆˆˆˆ12
3.3 เวกเตอรควำมเรง (Acceleration vector)
(t)r
(t)v
Δt)(tv
vΔ
Δt)(tv
(t)v
(t)a
j
i
P
Q
x
y
O
ภาพท 3.4 แสดงทางเดนของอนภาคเมอความเรวเพมขนเปน vΔ และความเรงเฉลย (t)a ทมา (ปรบปรงจาก พงษศกด ชนนาบญ และ วระชย ลมพรชยเจรญ, 2549, หนา 56)
![Page 7: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/7.jpg)
71
ทเวลา t อนภาคมการเคลอนทดวยความเรว (t)v จากจด P เมอเวลาผานไป t อนภาคเคลอนทมาอยทจด Q มความเรวเปน t)(tv Δ ดงภาพท 3.4 ซงการทความเรวของอนภาคมการเปลยนแปลงไป เราสามารถนยามไดเปน “เวกเตอรของความเรงเฉลย (Average vector acceleration)” เขยนเปนสมการคอ
t
v
t
(t)vt)(tvaav
Δ
Δ
Δ
Δ
(3.9)
และความเรงของอนภาคทเวลา t ใดๆ (Instantaneous vector acceleration) มคาเปน
dt
(t)vd
t
(t)vt)(tvlim(t)a
0t
Δ
Δ
Δ (3.10)
จะพบวาขนาดและทศทางของ (t)v จะเปลยนไปตามเวลา ซงการเปลยนแปลงดงกลาวจะ
มผลตอเวกเตอรความเรงดวย พจารณาอนภาคทมการเคลอนทเปนวงกลมดวยอตราเรวคงท ถงแมวาอตราเรวของอนภาคจะคงทแตทศทางของอนภาคมการเปลยนแปลงอยตลอดเวลา จะสงผลใหความเรงของการเคลอนทมการเปลยนแปลงตามเวลาไปดวย ส าหรบองคประกอบของเวกเตอรความเรงสามารถหาไดจากสมการ (3.7) คอ j (t)vi (t)v(t)v yx
ˆˆ
จะได j (t)ai (t)a(t)a yx
ˆˆ
j dt
(t)dvi
dt
(t)dv yx ˆˆ (3.11)
ดงนนองคประกอบของความเรงคอ
2
2x
xdt
x(t)d
dt
(t)dv(t)a และ
2
2y
ydt
y(t)d
dt
(t)dv(t)a
ตวอยำงท 3.4 เรอมฟงกชนความเรวเปน j bti at(t)v 2 ˆˆ โดยก าหนดให a = 10 m/s3 และ b = -5 m/s2 จงหา
![Page 8: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/8.jpg)
72
(ก) ความเรวทเวลา t = 1 s และ t = 2 s (ข) ความเรงเฉลยระหวางชวงเวลาตามขอ (ก) และความเรงท t = 1.5 s วธท ำ (ก) จากโจทยจะได m/s j 5i 1(1)v ˆˆ0 m/s j 10i 4(2)v ˆˆ0 (ข) สามารถค านวณหาความเรงเฉลยไดจากสมการ (3.10) โดยก าหนดให t = 1.5 s และ t = 2 s - 1 s = 1 s ดงนน
2m/s )j 5i 30(s 1
)j 5-i (10- )j 10-i (40
s 1
) 1 (v) 2 (va
และความเรงทเวลา t = 1.5 s คอ
j bi 2atdt
(t)vd(t)a ˆˆ
) j 5i 30 ( ) s 1.5 ( a ˆˆ 3.4 กำรเคลอนทแบบวถโคง (Projectile motion)
0xv
0xv
0xv
0xv
0xv
0yv
0yv
yv
yv
v
v
v
v
θ
y
g
x
H
RO
ภาพท 3.5 แสดงทางเดนของอนภาคทเคลอนทแบบวถโคง ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 77)
![Page 9: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/9.jpg)
73
การเคลอนทแบบวถโคง คอการทวตถมการเคลอนทในแนวราบและแนวระดบพรอมๆ กน จะเกดขนไดเมอวตถมความหนาแนนมากพอ ในขนพนฐานเพอใหงายขนตอการศกษาจะก าหนดเงอนไขส าหรบพจารณาการเคลอนทแบบวถโคงดงน
1) ไมคดความตานทานของอากาศ 2) วตถเคลอนทในลกษณะแบบเลอนต าแหนงและไมมการหมน 3) ความเรงทกระท ากบวตถเกดจากความโนมถวงเทานน นนคอ
0xa และ jg ay
ในการศกษาการเคลอนทแบบวถโคงจะพจารณาความเรว ความเรง และระยะทางออกเปน
2 สวน คอ องคประกอบในแนวราบ และองคประกอบในแนวดง ดงภาพท 3.5 ถาวตถมความเรวตนเปน v0 และเคลอนทท ามม กบแนวราบ เมอแยกพจารณาในแตละแกนในระนาบ x - y จะได
1) องคประกอบในแนวรำบ ความเรวในแนวราบคอ vx(t) = v0x(t) = v0cos() จะมคาคงทเนองจากไมมความเรงใน
แนวราบ ( 0xa ) ระยะทางทเคลอนทไดไกลทสดในแนวราบคอ R = v0xT เมอ t เปนเวลาทวตถเคลอนทในอากาศ
2) องคประกอบในแนวดง
vy(t) = v0y - gt
h = v0yt – 2
1 gt2
2ghvv 20y
2y
v0y = v0sin() เมอ t และ vy เปนเวลาและความเรวในแนวดง และ h คอระยะสงสดทวตถเคลอนทขนไปได สวนอตราเรวขณะเวลา t ใดๆ สามารถหาไดจาก
![Page 10: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/10.jpg)
74
(t)v(t)vv(t) 2y
2x
ปรมาณทมกไดรบความสนใจส าหรบการเคลอนทแบบวถโคง คอ (1) เวลาทวตถใชในการเคลอนทถงจดสงสด และเวลาทวตถอยในอากาศ หรอเวลาทใชใน
การเคลอนท (T) (2) ระยะทางทวตถขนไปไดสงสด (h) (3) ระยะทางไกลสดในแนวราบ (R)
กำรหำเวลำทวตถอยในอำกำศ จาก vy(t) = v0y - gt ทต าแหนงสงสด (h) นน vy = 0 ดงนน เวลาทวตถใชเคลอนทไปถง
จดสงสด คอ
g
)sin(v
g
vt 00y
(3.12)
ส าหรบเวลาทวตถอยในอากาศ คอ T = 2t ดงนน
g
)sin(2vT 0 (3.13)
กำรหำระยะทวตถขนไปไดสงสด
จาก 2ghvv 20y
2y เมอแทนคา vy = 0 และ v0y = v0sin() จะไดวา
2g
sinvh
220 )(
(3.14)
ควำมสมพนธระหวำง T กบ h
เมอยกก าลงสองสมการ (3.13) จะได 2
2202
g
sin4vT
)( ดงนนอตราสวน
h
T 2
คอ
g
8
h
T 2
หรอ
![Page 11: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/11.jpg)
75
g
2h2T
และ
g
2ht (3.15)
กำรหำระยะทวตถเคลอนทไดไกลสดในแนวรำบ จาก
g
)).cos(sin(2v
g
)sin(2v).cos(vTvTvR
200
00xx
แต sin() = 2sin()cos() ดงนน
g
)sin(2vR
20
(3.16)
ตวอยำงท 3.5 เมอขวางลกเบสบอลไปยงตกหลงหนงโดยลกเบสบอลมความเรวตนเทากบ 15 m/s และท ามม 600 กบแนวราบ ปรากฏวาลกเบสบอลกระทบกบตกซงสงกวาแนวระดบ 5 m ดงภาพท 3.6 จงหา ก) เวลาทลกเบสบอลอยในอากาศ ข) ระยะทางในแนวราบและความเรวของลกเบสบอลขณะกระทบตก
60
15 เมตร/วนาท 5 เมตร
ภาพท 3.6 ภาพประกอบตวอยางท 3.5
![Page 12: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/12.jpg)
76
วธท ำ เพอความสะดวกใหพจารณาเปนการเคลอนทในแนวราบและแนวดงแยกกนจะได องคประกอบของการเคลอนทในแนวราบ ax = 0 คอ vx(t) = v0x = vxcos(60) = (15 m/s)(0.5) = 7.5 m/s
m 5t7 t)](60 [15costa2
1vR 2
x0 .t
องคประกอบของการเคลอนทในแนวดง จาก v0y(t) = v0ysin() = (15 m/s)sin(60) 13.0 m/s
20y gt
2
1tvy
0ytvgt2
10y
2
g
2gy-vvt
20y0y
)(
s 0.47 , 2.189.8
8.413
(9.8)
(9.8)(5) 2]13.0 -[13.02
2
จะได t = 2.18 s และ t = 0.47 s แตในทนจะเลอกใช t = 2.18 s เพราะวา t = 0.47 s
เปนเวลาทลกเบสบอลใชเดนทางในแนวดงขนไปสง 50 m จะไดระยะในแนวราบทลกเบสบอลชนตกวดจากต าแหนงยง คอ
R = 7.5t = (7.5)(2.18) = 16.35 m และสามารถหาองคประกอบของความเรวในแนวดง (vy) ไดจาก vy(t) = v0y - gt = (13.0) – (9.8)(2.18) = -8.36 ดงนน ความเรวขณะกระทบตก คอ
m/s 9.96(-8.36)(13.0)vvv 222y
2x
![Page 13: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/13.jpg)
77
ตวอยำงท 3.6 ผชายคนหนงยนอยทขอบหลงคาของอาคารหลงหนงซงสงจากพน 30 m ถาเขาขวางกอนหนไปในแนวราบดวยความเรว 10 m/s จงหา ก) เวลาทกอนหนอยในอากาศ ข) อตราเรวขณะกระทบพน ค) มมขณะกระทบพน
vβ
x
y
g
m 30h
m/s 10v0
ภาพท 3.7 ภาพประกอบตวอยางท 3.6
วธท ำ ก) จากภาพท 3.7 ก าหนดใหจดอางองอยทพนดานลางของอาคารเมอเวลา t ใดๆ กอนหน
จะมระยะทางในแนวราบเทากบ x(t) = v0t และระยะความสงจากพนเทากบ 2gt2
1hy เมอ
กอนหนกระทบพนนนคอ y = 0 สามารถหาเวลาทกอนหนอยในอากาศ คอ
s 47.29.8
) 2(30
g
2ht
ข) อตราเรวขณะทกอนหนกระทบพน คอ
m/s 24.219.8)(2.47)(gtdt
dyv y
m/s 10vdt
dxv 0x
ดงนน อตราเรวขณะกระทบพน คอ
![Page 14: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/14.jpg)
78
m/s 26.1924.21)((10)vvv 222y
2x
ค) มมขณะกระทบพนหาไดจาก
10
21.42
v
v)tan(
x
y β จะได = -67.56
3.5 กำรเคลอนทเปนวงกลมสมบรณ (Uniform circular motion)
การเคลอนทเปนวงกลมสมบรณ คอ การทอนภาคเคลอนทเปนวงกลมโดยมวงโคจรทบแนวเดมตลอดเวลา นนแสดงวาอนภาคมอตราเรวคงท และมความเรงเขาสศนยกลางเสมอ
พจารณาการเคลอนทของอนภาคเปนวงกลมรศม R ดวยความเรว v ในระนาบ x - y ดงภาพท 3.8
θvsin
θvsin
θvcos θvcos
v
v
θ θ
P
y
Q
x
R
ภาพท 3.8 อนภาคเคลอนทเปนวงกลมรศม R ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 1996, หนา 78)
ถาอนภาคเคลอนทจาก P ผานจดสงสดไปยงจด Q ในชวงเวลา t ถามม มคานอยๆ ระยะทางทอนภาคเคลอนทมคาเทากบ 2R สามารถหาเวลา t ไดจาก
v
)R(2t
θΔ (3.17)
และมขนาดของความเรงเฉลยของการเคลอนทในแนวแกน x จาก P ไป Q คอ
t
vvaxis)(xa PxQx
avΔ
0
t
)vcos()vcos(
Δ
θθ
![Page 15: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/15.jpg)
79
นนคอ องคประกอบของความเรวในแนวแกน x มคาคงท และส าหรบขนาดของความเรงเฉลย ในแนวแกน y ในการเคลอนทในชวงเดยวกนคอ
t
vvaxis)(ya PyQy
avΔ
t
)vsin()vsin(
Δ
θθ )]([
t
)2vsin(
Δ
θ
เมอแทนคา t จากสมการ (3.17) จะได
)()(θ
θ
θ
θ )sin(
R
v
2R
)sin(2vaxisya
22
av (3.18)
ถามม นอยๆ และมหนวยเปนเรเดยน สามารถประมาณไดวา θθ )sin( จากสมการ (3.18) จะไดความเรงตามแกน y หรอความเรงตามแนวรศมเปน
R
va
2
(3.19)
จดรปใหมจะได
.RR
v
R
R.
R
va
22
C
เมอแทนเทอม R
v ดวย ซงเปน “ความถเชงมมของการหมน (Angular frequency of
rotation)” หรอ “อตราเรวเชงมม (Angular speed)” ของการเคลอนท นนคอ
R
vω (3.20)
จากความสมพนธระหวางอตราเรวกบคาบเวลาในการเคลอนทครบหนงรอบ จะได
![Page 16: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/16.jpg)
80
R2
v2
R
v
π
πω
เมอ 2R คอเสนรอบวงหรอระยะทางทอนภาคเคลอนท และ v
R2T
π เปนคาบเวลา ดงนน
T
2πω (3.21)
จากสมการ (3.13) พบวา มหนวยเปน เรเดยน (Radian) ตอวนาท เขยนยอเปน rad/s
จากภาพท 3.8 จะเหนวาเวกเตอรต าแหนง ( r ) , ความเรวเชงเสน ( v ) และความเรง สศนยกลาง ( Ca ) จะเปลยนแปลงไปตามเวลา เมอการเคลอนทเปนวงกลมสมบรณ พบวา v v, r r และ CC a a มคาคงท 3.6 กำรเคลอนทเปนวงกลมดวยควำมเรงเชงมมคงท (Circular motion with constant angular acceleration)
เมออนภาคเคลอนทเปนวงกลมโดยทความเรวเชงมมมการเปลยนแปลง เราสามารถนยามอตราการเปลยนแปลงของอตราเรวเชงมม ไดเปน “ความเรงเชงมม (Angular acceleration; )” ดงนน
dt
dωα (3.22)
ทเวลา t = 0 อนภาคมอตราเรวเชงมมเปน 0 และทเวลา t ใดๆ อนภาคมอตราเรวเชงมมเปน (t) เมออนภาคเคลอนทดวยความเรงเชงมมคงทจะไดวา
(t)t
0 0
ddtω
ω
ωα
(t) = (t) - 0 (t) = (t) + 0 (3.23)
![Page 17: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/17.jpg)
81
t
0
b
a
O
ภาพท 3.9 แสดงสวนของทางเดนของอนภาคทเคลอนทเปนวงกลม ทมา (ดดแปลงมา Halliday, Resnick, & Walker, 2007, หนา 243)
จากภาพท 3.9 ทเวลา t = 0 อนภาคอยทต าแหนงจด a มการกระจดเชงมมเปน 0 เมอเวลาผานไป t วนาท ปรากฏวาอนภาคเคลอนทมาอยทจด b มการกระจดเชงมม (t) เนองจาก
อตราเรวเชงมมคอ อตราการเปลยนแปลงของการกระจด dt
dω ดงนน
(t)t
0 0
ddtω
0
t
o0 (t)dtt αω
2t2
1t(t) o0 αω (3.24)
จากสมการ (3.23) จะได
α
ωω 0(t)t
เมอน าคา t จากสมการดานบนแทนลงในสมการ (3.24) จะได ](t)[2(t) 0
20
2 αωω (3.25)
สมการ (3.23), (3.24) และ (3.25) เปนสมการทใชอธบายการเคลอนทเปนวงกลมซงมความเรงเชงมมคงทเมอน าไปเปรยบเทยบกนสมการของการเคลอนทเปนเชงเสนดวยความเรงคงท พบวาสมการทงสามชดนมลกษณะทเหมอนกนดงตารางท 3.1 ตารางท 3.1 เปรยบเทยบสมการของการเคลอนทเชงเสนกบวงกลม
![Page 18: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/18.jpg)
82
การเคลอนทเชงเสนทมความเรงคงท การเคลอนทแบบวงกลมทมความเรงเชงมมคงท v(t) = v0 - at
s = v0t – 21 at2
]xa[x(t)2vv(t) 020
2
(t) = (t) + 0 2t
2
1t(t) o0 αω
](t)[2(t) 020
2 αωω
ส าหรบอนภาคทเคลอนทเปนทางโคงใดๆจะมองคประกอบของเวกเตอรความเรงทงในแนว สศนยกลางและในแนวสมผสทางเดน ดงนน uauaa rr ˆˆ (3.26)
เมอ ru และ
u เปนเวกเตอรหนงหนวยในแนวรศมและแนวสมผสทางเดนตามล าดบ
โดยก าหนดให ru มทศทางเปนบวกเมอพงออกจากจดศนยกลาง และมทศทางเปนลบเมอเขาหา จดศนยกลางการเคลอนท ถา 0a จะท าใหสมการ (3.26) เปนกรณการเคลอนทเปนวงกลม
สมบรณ ซงมเฉพาะความเรงในแนวรศมและ ar = aC ดงนนจากสมการ (3.19) จะไดความเรงในแนวรศมเปน
22
r RR
va ω (3.27)
ถา aC มเครองหมายลบ ( - ) แสดงวาความเรงในแนวรศมมทศเขาสศนยกลาง สวนขนาดของความเรงในแนวสมผสกบทางเดนสามารถหาไดจากสมการ
αωω
Rdt
dR
dt
)d(R
dt
dva (3.28)
องคประกอบของความเรงในแนวรศมและแนวสมผสทางเดนจะตงฉากซงกนและกน
ดงภาพท 3.10 โดยทขนาดของความเรงสทธหาไดจาก
22r aaaa (3.29)
เมอ aC และ
a เปนขนาดของความเรงในแนวรศมและแนวสมผสทางเดน ตามล าดบ
สวนทศทางของความเรงลพธสามารถหาไดจาก
![Page 19: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/19.jpg)
83
a
a)tan( r (3.30)
ca
a
a
uru
R
β
ภาพท 3.10 แสดงองคประกอบของความเรง ทมา (ดดแปลงมา Halliday, Resnick, & Walker, 2007, หนา 250) ตวอยำงท 3.7 อเลกตรอนเคลอนทเปนวงกลมรศม 0.2 m ดวยอตราเรวเชงเสน 0.8 m/s และมความเรงเชงมมเปน = 8 rad/s2 จงหาขนาดของความเรงลพธและทศทางของอเลกตรอนตวดงกลาว วธท ำ จากสมการ (3.19) จะได
222
r m/s 4.0(0.2)
(0.8)
R
va
จากสมการ (3.28) จะได
2m/s 6.1)8)(0.2(Ra α
จากสมการ (3.29) จะได
22r aaaa
222 4.31m/s(1.6)-4 )00.(
และ
14.041.6
4.0-tan
a
atan 1r1 )()(
φ
β
![Page 20: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/20.jpg)
84
สรป
1. ความเรวเฉลย
12
12
tt
xxv
t
x
![Page 21: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/21.jpg)
85
2. ความเรวขณะหนง
dt
dx
t
xlimv0t
3. ความเรงเฉลย
t
v
tt
vva
12
12
4. ความเรงขณะหนง
2
2
0t dt
xd)
dt
dx(
dt
d
dt
dv
t
vlima
5. สมการแมบทของการเคลอนทแบบโพรเจกไทล
t)cosv(x 0
20 gt
2
1t)sinv(y
cosvv 0x gtsinvv 0y
6. ระยะทาง r จากจดก าเนดของโพรเจกไทลทเวลา t ใด ๆ
22 yxr
7. ความเรวลพธของโพรเจกไทล
2y
2x vvv
8. ความเรงสศนยกลาง
R
va
2
แบบฝกหด
1. ถาอนภาคหนงเคลอนทในระนาบ xy โดยมโคออรดเนตเปนฟงกชนของเวลา คอ x = (1.75 m/s)t + (0.5 m/s2)t2 และ
![Page 22: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/22.jpg)
86
y = 2 m + (0.5 m/s)t + (1 m/s2)t2 จงหาต าแหนงของอนภาค ความเรว และความเรง ทเวลา t = 4 s ตอบ 25 m, 9.29 m/s และ 2.24 m/s2 ท ามม 26.57 เทยบกบแกน x 2. ลกบอลถกขวางออกไปจากยอดตกในแนวราบดวยความเรว 2 m/s จงหาต าแหนง ความเรว
หลงจากขวาง 2 s ตอบ ทเวลา 2 s บอลอยหางจากจดก าเนด 10.84 m มความเรว 19.71 m/s ท ามม 84.20o ใต
แกน x 3. รถยนตวงดวยอตราเรวคงตวขนาด 15 m/s บนทางโคงทมรศม 25 m จงหาความเรง ตอบ 9.0 m/s 4. ปลอยกอนหนสองกอนจากหนาผาสง H กอนทสองถกปลอยเมอหนกอนแรกเคลอนทได
ระยะทางเทากบ D จงแสดงวาเมอหนกอนแรกตกกระทบพน หนกอนทสองอยเหนอพน
DDH2
5. ชายคนหนง ยนบนหนาผาสง 80 เมตร ขวางลกบอลออกไปในแนวราบ ดวยความเรวตน 330 เมตร/วนาท ถามวาลกบอลไปตกไกลจากหนาผาเทาไร
ตอบ 1,415.7 เมตร 6. ยงกระสนปน มวล 50 กรม ดวยความเรวตน 100 เมตร/วนาท ท ามม 60 กบแนวระดบหลง
จากนน 5 วนาท กระสนตกกระทบเปาบนหนาผาเปานนอยสงจากพนระดบทยงเทาไร ตอบ 377.5 เมตร 7. ก าแพงหางจากปากกระบอกปน 8 เมตร โดยทปากกระบอกปนเอยงท ามม 45 เมอกระสนถก
ยงออกจากปากกระบอกปนดวยอตราเรว 20 เมตร/วนาท กระสนปนจะกระทบก าแพงสงจากพนกเมตร
ตอบ 6.432 เมตร 8. ขวางกอนหนขนไปในอากาศท ามม θ กบแนวราบให t1 เปนเวลาทคดการเคลอนทในแนวดง
จากพนจนตกกลบมาทเดม t2 เปนเวลาทคดการเคลอนทในแนวราบจากจดทขวางถงจดทตก t3 เปนเวลาทกอนหนใชในการลอยอยในอากาศทงหมดขอใดถก
ตอบ t1 = t2 = t3
![Page 23: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/23.jpg)
87
9. นกบาสเกตบอลยงลกจากระยะในแนวราบ 5 เมตร หางจากหวง ขณะทลกเขาหวง พบวามความเรว 10 เมตร/วนาท ท ามม 60 กบแนวราบ จงหาเวลาทลกบาสเกตบอลใชในการเคลอนทมาถงหวงในหนวยวนาท
ตอบ t = 1 10. นกรกบคนหนงเตะลกบอลขนดวยความเรว 20 เมตร/วนาท เปนมม 60 องศา กบแนวระดบ
เขาจะตองวงดวยความเรวอยางนอยทสดเทาไรจงจะไปรบลกบอลทเขาเตะออกไปเองไดพอดกอนตกถงพนดน
ตอบ t = 1 เอกสำรอำงอง
พงษศกด ชนนาบญ และ วระชย ลมพรชยเจรญ. (2549). ฟสกส มหำวทยำลย เลม 1 (พมพครงท 1). กรงเทพฯ: วทยพฒน.
สมพงษ ใจด. (2548). ฟสกส มหำวทยำลย 1 (พมพครงท 6). กรงเทพฯ: ส านกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.
![Page 24: 3.1 เวกเตอร์ต ำแหน่ง (Position vector)pws.npru.ac.th/nattapon/data/files/บทที่ 03 การ... · เปลี่ยนแปลงไป เราสามารถนิยามได้เป็น](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041222/5e0cc4c595703c6033594fd3/html5/thumbnails/24.jpg)
88
สมาคมวทยาศาสตรแหงประเทศไทยในพระบรมชปถมภ. (2543). ฟสกส เลม 1 (พมพครงท 2 ฉบบปรบปรงแกไข). กรงเทพฯ.
Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (1997). Fundamental of physics (5th ed.). New York: John Wiley & Sons. . (2001). Fundamental of physics (6th ed.). New York: John Willey & Sons. . (2007). Fundamental of physics (8th ed.). New York: John Willey & Sons. Serway, R. A. (1996). Physics for scientists & engineers with modern physics
(4th ed.). Philadelphia: Saunders College. . (2008). Physics for scientists & engineers with modern physics (7th ed.).
Philadelphia: Saunders College.