3.11 uraian parsial

8/17/2019 3.11 Uraian Parsial

1/35

URAIAN PARSIAL

PECAHAN PERSIAL


2/35

Pecahan Parsial

• Tidak semua fungsi akan merupakan fungsi

parsial

•fungsi yang tidak bisa diselesaikan dengantabel pasangan Lpaplace di atas, maka perlu

dilakuakn pemecahan fungsi sehingga menjadi

fungsi-fungsi parsial yang dapat dengan

mudah diselesaikan dengan tabel pasangan

transformasi Laplace.


3/35

Contoh

23

32)(

2

++

+=

s s

s s I

)2()(23

32 22 +

++

=++

+S

K

s

K

s s

s

)2(

)(

)2)((

))(32(

)2(

)(

)(

)(

)2)((

))(32(

2

2

+

++=

++

++++

+++

=++++

S

sk k

s s

s s

S

sk

s

sk

s s

s s

Langkah Penyelesaian:

1. Membuat polinom penyebut menjadi faktor2, dan

kemuadian menguraikan: s2 + s + 2 ! "s+1#"s+2#

2. $arena akar%akar riil, kalikan persamaan dengan

"s+1#

& + 1 ! '

& ! %1


4/35

)2(

)(

)2(

3)(2

2

=→=

+−+−

+=+−+−

k k

k k

)2()2(

)()2(

)2)(()2)(32( 2 +++++=++ ++ S

sk s sk

s s s s

2

3!

")(

)32(

22

2

=→+−+−

=

+=++

k k

k s

s

)2(

)(

23

322

+

+

+

=

++

+

S s s s

s

. (ntuk menghitung k2, maka ikuti pola seperti langkah no. 2

& ! %2


5/35

Contoh

2)(

2

++

s

s)entukan fungsi berikut ini menjadi pe*ahan parsial

2

2

2 )()(

2

++

+=

++

s

k

s

k

s

s

2)(2 k k s s ++=+

"" =→+=+ k k

2 22 =→=+− k k

asil bagi polinom dengan akar%akar kembar pada penyebut:

-engan mengalikan "s+1#2

&!%1

ila dilakukan dgn *ara yang sama, maka tidak dapat menghitung k1

(ntuk menghitung k1, maka persamaan 1 dan mendiferensiasi

terhadap s

/////Persamaan 1


6/35

22 )(

)(

2

+++=+

+ s s s

s

Maka pe*ahan parsialnya,


7/35

Contoh 3

3

2

)(

)(

232

+

++=

s

s s I s

3

3

2

2

3

2

)()()()(

232

++

++

+=

+

++

s

k

s

k

s

k

s

s s

......,)()(232 3222 persk sk sk s s ++++=++

)entukan fungsi berikut ini menjadi persamaan parsial

$alikan persamaan di atas dengan "s+1#, -iperoleh

0ika s !%1, maka, $ ! 1


8/35

• Selanjutnya diferensialkan terhadap s

untuk persamaan

32

2

2 )()(232 k sk sk s s ++++=++

323

2

)(

)(

)(

2

)(

232

+

+

+

−+

+

=

+

++

s s s s

s s

s + ! 2 k1"s+1# + k2, .........pers 2

dan masukan nilai s!%1, maka $2 !% + !%1

! 2 k1, maka k1 ! 20adi,

-engan *ara yang sama, maka k1

dapat di*ari


9/35

Contoh !

)3()(

22)( +++= s s

s I s

)3()()()3()(2 32

2 2 ++

++

+=

+++

sk

sk

sk

s s s


Penyelesaian

Penyelesaian merupakan gabungan dari *ontoh 1 dan 2


10/35

322 ++= s

sk

!

3

−=k

23 )(

2

++

= s

sk

3

)()(3

2 232 +

++++=++

s

sk k sk s

s

& ! %

$emudian lakukan dengan *ara yang sama seperti *ontoh 2

yaitu mengalikan dengan "s+1#2

2

2

=k

& ! %1

Pers 1


11/35

3

)()(3

2 2

32 +++++=++ s s

k k sk s

s

-eferensialkan persamaan 1

+

++=

+

+−+

3

)(

)3(

).2().3( 2

32 s

s

ds

d k k

s

s s

!

=k

)3()()()3()(

2 !2!

2 2 +−+

++

+=

+++

s s s s s

s

Masukan nilai s ! %1, maka pada k alaupun

telah dideferensialkan hasilnya ! ', karena "s+1#


12/35

3ontoh


#2

2)( ++

=S S

I s

3oba saudara sederhanakan pe*ahandi atas tersebut

• Penyelesaian

• s" # "s # $ %&s" # "s # ' # !

• % &s # '"

# ""

• (alam )entuk umum )a*ian riil akar+ ")a*ian imajiner

• % &s # #j"'&s # ,j"'


13/35

)2()2(#2

22 j s

k

j s

k

S S +++

−+=

++

)2()2(

)2()2(

)2)(2(2 2

j s j sk

j s j sk

j s j s j s

++ −++−+ −+=++−+ −+

• $alikan persamaan di atas dengan s+1%j2#

)2(

)2(

2

2

j s

j sk k j s ++

−++=++


14/35

• -asukan nilai s%.#j"

jk diperoleh!

−=

jk !

2 =

• -engan *ara yang sama mengalikan dengan

s+1+j2, maka diperoleh

)2(

!

)2(

!

#2

2 j s

j

j s

j

S S +++

−+

−=

++


15/35

( )

!

$%3#2

23

+

+++=

s

s s s s x

pembagian)(sisa$2

23

$23

2"#

3#

$%3#!

2

2

3

232

+−+

+−

+

+++++

s

s

s s

s s

s

s s s s


16/35

( )!

$23#

2

3

+−−++=

s

s s s x

j s K

j s K

s s

22!$2 2

2 −++=+−−

-2js&asukan2

)2(

)2(

$2

2

)2(

2

)2(

)2)(2(

)2)($2(

2

2

= → −++=

−−−

−+

+++

=−++−−

j s

j s K K

j s

s

j s

j s K

j s

j s K

j s j s

j s s

j

j

j K

j j

j K

23

$

!

$2!

22

$)2(2

−−=

−

−=

−−

−−−=


17/35

j s

K

j s

K

s

s

22!

$2 22

−+

+=

+

−−

2js&asukan2

)2(

)2(

$2

2

)2(

2

)2(

)2)(2(

)2)($2(

2

2

= → ++−

=+

−−−−+

+−=

−+−−−

K j s

j s K

j s

s

j s

j s K

j s

j s K

j s j s

j s s

j j

j K

j j

j

K

23

2

2

$!

$2!

22

$)2(2

+−=−−

=

+

−−

=

A li R k i Li t ik


18/35

Analisa Rangkaian Listrik

dengan Transformsi Laplace

pe nyelesa ian rangk aian lis trik


19/35


20/35


21/35

• (ari *am)ar di)a/ah ini se)elumsakelar ditutup

kapasitor telah)ermuatan 0o%$11mi2ro 2oulom

• 4ulislah persamaanarus listrik se/aktusakelar ditutup


22/35

Soal den*an 5ermuatan

• (ari *am)ardisampin*+tulislah

persamaan arusperalihanSe)elum sakelar

ditutup kapasitortelah )ermuatan0o%"+$1.!C


23/35

Untuk t %1+ 0%01%"+$61.! C+ f .%01

( )( ) ( )

S

V

S

f

S

I

C RI

V Lidt

C

L RI L

V idt C RI

S

S

t

t

=

++

=+

=+

+−∫

∫

"


24/35

( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )S S

S

S I

S S

S

S

I I

S S

S S I I

S

S

S S

I I

S

V

S

f

S

I

C RI

S

s

S

sS

s

S

S

S

#"

".!

%"".!!"

#"

".!

%"".!!"

".!%"#"".!!"

".!

)'"cos2"""'"sin.(%"

".2#

".#,2

".2#!"

"

$2

!

$2

!

$2

!

$2$

!

$

−+

=

+

−+

=+

+=++

++

=++

=

++

−

−

−

+−


25/35

( )

( ) ( )( )

t

33$2

!$2

menentukanntuk

"

2#,

"".!

#,!".!!"

#"

".!

%"

+−

++=

+

−

+

=

S S S

S I

S

S x

S S

S I

S

S

( ) ( )( ) 3

3$2

"

2#,

"".!

#,!

+

−

++

= −−−

S L

S S

S L I L S

Aet I

Aet t I

t

t

t t

3

3

""

"

3#,")$,$2"""sin(2,!

3#,"2"""cos$,32"""sin%,

−

−

−+=

−+=


26/35

• Untuk t % 1

( )

( ) A I

Ae I

2!,3

3#,")$,$"sin(2,!

"

""

"

=

−+=


27/35

• (ari *am)ar ran*kaian RL di atas+tulislah persamaan arus peralihan


28/35

Untuk t % 1+ i % 1+ maka I&1#' % 1

( ) ( )( )S

V iSI L RI

V dt

di L L RI L

V dt di L RI

sS

t

t

=−+

=+

=+

+ )"(

.

7a/a)


29/35

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )#""

"

#""

".#

."#

#""

".#

#""

".#.","#

#""

".#.","#

#""

#"""""","#

)"(

2

22

!

222

!

22

!

22

!

22

++=

++=

+=+

+

=+

+=−+

=−+

−

+

S x

S I

S xS I

S S I

S

SI I

S SI I

S

V iSI L RI

S

S

S

sS

sS

sS


30/35

( )

( ))#"")(#""(

".#

#""

"

#""

".#

22

$

2

22

!

++=

++=

S S I

S x

S I

S

S

#""#""#"")#"")(#""(

".# 3222

$

++

−+

+=

++ s

K

j s

K

j s

K

S S

#"""

#""##

#""##

)#"")(#""(".#22

$

++

−−−+

+−=

++ s j s j

j s j

S S


31/35

( )#""

"

#""

##

#""

##

++

−−−

++

−=

s j s

j

j s

j I s

( )

( )

( )#""

"

#"""

#""

#"""

#""

"

#""

2#""2#""##

#""

2#""2#""##

#""

"

)#"")(#""(

)#"")(##(

)#"")(#""(

)#"")(##(

2222

2222

++

+−

+=

+++

−+−−

++

+++−

=

++

+−+−−+

−+−−=

s s

s

s I

s s

j s s j

s

j s s j

I

s j s j s

j s j

j s j s

j s j I

s

s

s

( )#"""

#"""

#""#""". 22

22

+++−+= −−−−

s L

s s L

s L I L s

( )t

t et t I #"""#""cos"#""sin" −+−=


32/35

( )

( )

( )

( )t

t

t

t

t

t

t

t

et I

et I

et t I

et t I

#""

#""

#""

#""

")#""!

sin(!,!

")#""!

sin()!

cos(2"

")#""2cos(#""*sin

"#""cos"#""sin"

−

−

−

−

++=

++=

+−−=

+−=

π

π π

π

(ntuk t!', maka

( )

( ) A I

Ae I

t

t

2"

")"!

sin(!,! "

=

++= π


33/35


34/35


35/35

3.11 uraian parsial

Documents