Nenoteiktais integrālis

Primitīvā funkcija

Par funkcijas f(x) primitīvo funkciju sauc funkciju F(x), kuras atvasinājums ir vienāds ar doto funkciju f(x) jeb diferenciālis ir vienāds ar izteiksmi f(x)dx.

Primitīvas funkcijas vispārīgais veids ir F(x) + C

Cxdxxxx 3223 33

Nenoteiktais integrālis

Funkcijas f(x) primitīvas funkcijas vispārīgo veidu F(x) + C, kur F(x) ir kāda f(x) primitīvā funkcija, bet C patvaļīga konstante, sauc par funkcijas f(x) nenoteikto integrāli un apzīmē ∫f(x)dx

f(x)dx – zemintegrāļa izteiksmeF(x) - zemintegrāļa funkcijax – integrācijas mainīgaisC – integrācijas konstante

CxFdxxf

Integrāllīnijas

Integrāllīnijas – dotās funkcijas f(x) primitīvo funkciju kopa, kura sastāv no kongruentu līniju saimes Oxy plaknē.

Integrēšanas pamatformulas

Cxxdx

Ccthxxsh

dxCxx

x

dxCxxdx

Cthxxch

dxCx

x

dxC

a

adxa

CshxchxdxCarctgxx

dxCedxe

CchxshxdxCctgxx

dxCx

x

dx

Cx

x

x

dxCtgx

x

dxC

n

xdxx

xx

xx

nn

sincos

1ln1

cossin

arcsin1ln

1

sinln

1

1ln

2

1

1cos1

22

2

22

2

2

22

1

Nenoteiktā integrāļa pamatīpašībasNenoteiktais integrālis no vairāku funkciju

algebriskas summas ir vienāds ar atsevišķo saskaitāmo nenoteikto integrāļu summu.

Konstantu reizinātāju drīkst iznest kā reizinātāju pirms nenoteiktā integrāļa zīmes.

dxxfdxxfdxxfdxxfxfxf 321321

dxxfcdxxfc

Visas integrēšanas formulas saglabā savu veidu, ja neatkarīgā mainīgā x vietā ievieto jebkuru šī mainīgā diferencējamu funkciju u = (x)

CuFduuftadCxFdxxf ,

CxCuuduxxdxdx 3sin3

1sin

3

1cos

3

133cos

3

13cos

Substitūcijas metode

Integrēšana ar mainīgā aizvietošanas

metodi

dxxx 32 25

Substitūcija

325 xt

dxxdt 26

dtdxx6

12

CxCt

dttdttdxxx

332

3

2

132

259

1

3

2

6

1

6

1

6

125

Integrēšana pa daļām

Ja ir dotas divas diferenciālas funkcijas u = u(x) un v= v(x), tad reizinājuma atvasinājumu aprēķina pēc formulas

(uv)’ = u’v + v’uDiferenciālā forma

d(uv) = vdu + udv

udv = d(uv) – vdu

vduuvudv Parciālās integrēšanas formula

Funkcija u un diferenciālis dv jāizvēlas tā, lai reizinājums udv būtu vienāds ar visu zemintegrāļa izteiksmi.

Funkcija u jāizvēlas tā, lai pēc dv izteiksmes varētu atrast funkciju v.

Jāprot aprēķināt ∫vdu.

Pa daļām, kur par funkciju u var izvēlēties P(x), var integrēt integrāļus

arcctgxdxxParctgxdxxP

xdxxPxdxxPxdxxP

kxdxxPkxdxxPdxexP kx

arccosarcsinln

cossin

Cxdxexexe

evdxedv

xdxduxuxdxexe

evdxedv

xdxduxuxdxeI

xxx

xxxx

xxx

2sincossin

sincoscossin

cossinsin

Cxxexdxe

Cxxexdxe

Cxexexdxe

xx

xx

xxx

cossin2

1sin

2cossinsin2

2cossinsin2

Racionālo funkciju

integrēšana

Racionālas funkcijas sadalīšana

elementārdaļās

xP

xQxR

n

m

nnnn

n

mmmm

m

axaxaxaxP

bxbxbxbxQ

11

10

11

10

...

...

Ja m ≥ n, tad R(x) neīsta racionāla funkcija.

Ja m < n, tad R(x) īsta racionāla funkcija.

xP

xQxPxR

n

mnm

Polinoma sadalījums elementārdaļāsVienkārša reāla sakne, t.i., saucējā ir

reizinātājs x - a

Sakne a ar kārtu k, t.i., saucējā ir reizinātājs (x – a)k

Polinoms Pn(x), t.i., saucējā ir reizinātājs x2 + px + q

Polinoms Pn(x) ar kārtu 2, t.i., saucējā ir reizinātājs (x2 + px + q)2

ax

A

ax

A

ax

A

ax

Ak

kk

k

1

11 ...

qpxx

NMx

2

qpxx

NxM

qpxx

NxM

2

1122

22

24

3 13

xx

xxxR

12224 xxxx

1

132224

3

x

DCx

x

B

x

A

xx

xx

11

1

1

11322

2

2

2

22

2

24

3

xx

xDCx

xxx

xBx

xx

xA

xx

xx

23323 13 DxCxBxBxAAxxx

1

1

0

3

A

B

DA

CB

1

2

1

1

D

C

B

A

1

1211132224

3

x

x

xxxx

xx

Racionālo funkciju

integrēšana

I. un II. paņēmiens

Caxk

A

ax

axdA

ax

dxAdx

ax

A

CaxAax

axdA

ax

dxAdx

ax

A

kkkk 1

1

1

ln

III. paņēmiens

0

4

2

2q

pdx

qpxx

NMx

014

0

1

12 2

2dx

x

x

03

4

2

32

13 2

2dx

xx

x

dxpxqpxxd 22

dxxxxd 22322 xdxxd 212

dxqpxx

MN

xMdx

qpxx

NMx22

dx

qpxx

pMN

pxMdx

qpxxMN

xM22

22

2

22

2

dxqpxx

pMN

Mdx

qpxx

pxM

22

2

2

2

2

dxqpxx

pMN

Mdx

qpxx

pxM

22

2

2

2

2

q

ppx

dxp

M

NMdx

qpxx

pxM222

22

2

2

2

2

222

2

22

2

2

2

2p

qp

x

dxp

M

NMdx

qpxx

pxM

dxxx

xdx

xx

x

3231

332

1322

dx

xx

xdx

xx

xdx

xx

x

3231

122

2

3

32

232

22

2

3

3232

2

2

3222

dx

xxdx

xx

x

3231

1

2

3

32

22

2

322

322

32

22

2

322 xx

dx

xx

dxx

311

232

22

2

322 x

dx

xx

dxx

dxx

dx

xx

xxd

212

32

32

2

322

2

222

2

212

32

32

2

3

x

dx

xx

xxd

Cx

arctgxx

2

1

2

1232ln

2

3 2

dx

xx

x

32

132

Cx

arctgxx

2

1

2

1232ln

2

3 2

222 2132 xxx

dx1x

1dx

1x

2xdx

1x

12x222

1x

dx

1x

1x

1x

dx

1x

2x22

2

22

ddx

Carctgx 1xln 2

IV. paņēmiens

dx

qpxx

NMxm2

dx

x

x22 1

12

dx

xx

x22 32

13

dxpxqpxxd 22

dxxxxd 22322 xdxxd 212

dx

qpxxMN

xMdx

qpxx

NMx2222

dx

qpxx

pMN

pxMdx

qpxxMN

xM2222

22

2

22

2

dxqpxx

pMN

Mdx

qpxx

pxM

2222

2

2

2

2

dx

xx

xdx

xx

x2222 32

31

332

13

dx

xx

xdx

xx

xdx

xx

x

222223231

122

2

3

32

232

22

2

3

3232

2

2

3

dx

xxdx

xx

x2222 32

31

1

2

3

32

22

2

3

2222 32

232

22

2

3

xx

dx

xx

dxx

2222

2

322

32

32

2

3

xx

dx

xx

xxd

222

2

212

32

1

2

3

x

dx

xx

222222 21 at

dt

x

dx

222222222 2

1

2 at

dt

aata

t

at

dt

Ca

tarctg

aaata

t

1

2

1

2 2222

Cx

arctgx

t

2

1

2

1

22

1

21222222

222222 1x1x

2dx

1x

12x dxdx

x

22222222

2

1x

dx

1x

1

1x

dx

1x

1xd

Carctgxxdxx

2

1

1x21x2

1

1x21x

dx22222

Trigonometrisko funkciju

integrēšana

I = ∫R(sinx, cosx)dx

Universālā substitūcija

2

xtgt

2

2

2 1

1cos

1

2sin

t

tx

t

tx

21

2

t

dtdx

22

2

2 1

2

1

1;

1

2

t

dt

t

t

t

tRI

I.paņēmiensJa R(sinx; cosx) ir nepāra funkcija attiecībā pret cosx,

tad var lietot substitūciju t = sinx.dt = cosx dx

xxxx

xdx

xxx

dx

cossincos2cos

cos6

cossincos2

6

xx

xdx

xx

xdx

sin2sin1

cos6

sin2cos

cos622

ttt

dt

tt

dt

211

6

21

62

t

C

t

B

t

A

ttt

211211

6

ttCttBttA 1121216

31010362

02323061

20101261

CBAtJa

CBAtJa

CBAtJa

213 CBA

tttttt

2

2

1

1

1

3

211

6

Ctttdtttt

2ln21ln1ln3

2

2

1

1

1

3

Ja R(sinx; cosx) ir nepāra funkcija attiecībā pret sinx, tad var lietot substitūciju t = cosx.

dt = -sinx dx

Ja R(sinx; cosx) ir pāra funkcija attiecībā pret sinx un cosx, tad var lietot substitūciju t = tgx.

2

22

22

2 1sin

1

1cos

cos t

tx

tx

x

dxdt

xx

xdx

x

dx22

2

2 cos31cos

cos

cos31

dt

t

tx

dx

x

x

2

2

22

2

13

1

11

coscos31

cos

2

22

22

113

11

311

1

tt

t

dtdt

tt

Ctgx

arctgCt

arctgt

dt

22

1

22

1

4 2

I = ∫sinmx, cosnx dx

II.paņēmiens

Ja m ir nepāra skaitlis, tad var lietot substitūciju t=cosx.

Ja n ir nepāra skaitlis, tad var lietot substitūciju t=sinx.

Ja m un n abi ir pāra skaitļi, bet vismaz viens no tiem ir negatīvs, tad var lietot substitūciju t = tgx.

Ja m un n abi ir pozitīvi pāra skaitļi, tad izmanto

xxx

xxxx

2sin2

1cossin

2cos12

1cos2cos1

2

1sin 22

xdxxxxdxx 22242 coscossincossin

dxxxx 2cos12

12cos1

2

12cos1

2

1

dxxxx

dxxx

2cos2sin2sin8

1

2cos12sin8

1

22

2

Cxxx

xxddxx

xdxxxdx

dxxxx

2sin48

14sin

64

1

16

1

2sin2sin16

14cos1

16

1

2cos2sin8

12sin

8

1

2cos2sin2sin8

1

3

2

22

22

I = ∫sin mx cos nx dx

I = ∫sin mx sin nx dx

I = ∫cos mx cos nx dx

III.paņēmiens

xnmxnmnxmx

xnmxnmnxmx

xnmxnmnxmx

coscos2

1coscos

coscos2

1sinsin

sinsin2

1cossin

xdxx 3cos7sin

Cxxdxxx 4cos8

110cos

20

14sin10sin

2

1