3.2 线性微分方程的基本理论
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3.2 线性微分方程的基本理论. 线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程,它的理论发展十分完善,本节将介绍它的基本理论. 一、基本概念. n 阶线性 微分方程 :. 我们将未知函数. 及其各阶. 导数. 均为一次的 n 阶微分方程,. 称为 n 阶线性微分方程. 它的一般形式为 :. 式中. 及. 是区间. 上的连续函数。. 如果. 式中的. n 阶线性齐次 微分方程 :. 则 (3.2.1) 变为. 我们称以上方程为 n 阶线性齐次微分方程,简称齐线性方程 , ( 3.2.1 ) 称非齐线性方程。. 上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程。. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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3.2 线性微分方程的基本理论
线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程,它的理论发展十分完善,本节将介绍它的基本理论 .
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一、基本概念
及其各阶x
均为一次的 n 阶微分方程,
n 阶线性微分方程 :
我们将未知函数
n
n
dt
xd
dt
dx,,
1
1 11( ) ( ) ( ) ( )
n n
n nn n
d x d x dxa t a t a t x f t
dt dt dt
……
导数
称为 n 阶线性微分方程 .
它的一般形式为 :
)1.2.3(
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式中 ( )f t a t b
上的连续函数。
),2,1)(( nitai
)1.2.3(
及 是区间
n 阶线性齐次微分方程 :
如果 ( ) 0f t 式中的
则 (3.2.1) 变为 1
1 11( ) ( ) ( ) 0
n n
n nn n
d x d x dxa t a t a t x
dt dt dt
…… )2.2.3(
我们称以上方程为 n 阶线性齐次微分方程,简称齐线性方程 , ( 3.2.1 )称非齐线性方程。
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22 2 2
2
2
2
( ) 0
4 sin
d x dxt t t n xdt dt
d xx t
dt
上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程。
关于高阶方程同一阶方程一样 , 也有相类似的解的
存在惟一性定理 .
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定理 3.1:如果 (3.2.1 )的系数
( )( 1,2, , )ia t i n
及右端函数 在区间 上连续, ( )f t a t b
则对任一个 及任意的 0 ( , )t a b
方程( 3.2.1)存在惟一的解 ( )x t
满足下列初始条件 1
(1) ( 1)0 00 0 0 01
( ) ( )( ) , , ,
nn
n
d t d tt x x x
dt dt
)1(0
)1(00 ,, nxxx
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引入
称 L 为线性微分算子 .
为常数 .
( ) ( )L cx cL x c
性质 3.2 1 2 1 2( ) ( ) ( )L x x L x L x
线性微分算子 :
性质3.1
xtadt
dxta
dt
xdta
dt
xdxL nnn
n
n
n
)()()(][ 11
1
1
tnn
nnt etatatataeLn )]()()()([][ 1
221
1
例如 :
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二、齐次线性方程解的性质和结构
定理 3.2 (叠加原理 )
如果 1 2( ), ( ), , ( )nx t x t x t 是方程( 3.2.2 )的 n 个解,
则它的线性组合
也是方程( 3.2.2 )的解,这里 1, , nc c
)()()( 2211 txctxctxc nn
是常数 .
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例 1 验证
1 2sin ,cos , ( ) sin cost t t c t c t
是方程 的解 .
'' 0x x
''(sin ) sin 0t t ''(cos ) cos 0t t
'' '' ''1 2( ) ( ) [(sin ) sin ] [(cos ) cos ] 0t t c t t c t t
解 : 分别将
1 2sin ,cos , ( ) sin cost t t c t c t
代入方程 , 得
所以为方程的解 .
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基本解组 : 如果方程( 3.2.2 )的任意一个解
都可以表示为 ,
( )t
1
( )n
i ii
c x t
是方程组( 3.2.2 )
则称 1 2( ), ( ), , ( )nx t x t x t
的基本解组。
线性相关 : 对定义在区间 (a, b) 上的函数组
1 2( ), ( ), , ( )nx t x t x t
如果存在不全为 0 的常数 ,使得
1, , nc c
1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0n nc x t c x t c x t
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在 (a,b)上恒成立 , 称这些函数在所给的区间上线性相关,不然称这些函数线性无关 .
例 2: 函数
在任何区间上都是线性
无关的,因为如果
(3.2.5)
只有当所有的 时才成立 .
nttt ,,,,1 2
),,1,0(0 nici
02210 n
ntctctcc
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事实上 , 如果至少有一个
,0ic 则 (3.2.5)
式的左端是一个不高于 n 次的多项式,它最多可有 n 个不同的根 . 因此 , 它在所考虑的区间上不能有多于 n 个零点 , 更不可能恒为零 .
注 1 :在函数 中有一个函数1 2( ), ( ), , ( )kx t x t x t
等于零 , 则函数 1 2( ), ( ), , ( )kx t x t x t
在( a,b)上线性相关。
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注 2 :考虑到两个函数构成的函数组
1 2( ), ( )x t x t
如果 1
2
( )
( )
x t
x t或 2
1
( )
( )
x t
x t
则在( a,b)上线性无关的充要条件为
1
2
( )
( )
x t
x t 或 2
1
( )
( )
x t
x t在( a,b)上不恒为常数 .
在 (a, b) 上有定义 ,
例3:
在任何区间上都线性无关 .
sin ,cost t
2 2cos ,1 sint t 在任何区间上都线性相关 .
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注 3 :函数组的线性相关与线性无关是依赖于所取
例 4: 函数
1 2( ) , ( )x t t x t t 在( , )上是线性
无关 , 而在
( ,0) 上是线性相关的 .
的区间。
事实上
),0( 和
.0,1
,0,1
)(
)(
2
1
t
t
tx
tx
在区间 ),( 上不是常数 , 分别在区间
),0( 和
( ,0)
上是常数 .
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Wronskian 行列式 :
由定义在区间( a, b )上的
k 个 k-1次可微函数 所作成的行列式
称为这些函数的 Wronskian 行列式 , 通常记做 ).(tW
1 2( ), ( ), , ( )kx t x t x t
)()()(
)()()(
)()()(
)](),(),([
)1()1(2
)1(1
21
21
21
txtxtx
txtxtx
txtxtx
txtxtxW
kk
kk
k
k
k
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定理 3.3 如果函数组
1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t, 在区间
(a, b) 上线性相关 , 则在 (a, b) 上它们的 Wronskian
证明 :
由假设知存在一组不全为零的常数 ,,,, 21 nccc
使得 ),(,0)()()( 2211 battxctxctxc nn
依次将此恒等式对 t 微分 , 得到 n 个恒等式 ,0)()()( 2211 txctxctxc nn
,0)()()( 2211 txctxctxc nn
行列式恒等于零 , 即
0)( tW .
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,0)()()( )1()1(22
)1(11 txctxctxc n
nnnn
,
上述 n 个恒等式所组成的方程组是关于
nccc ,,, 21
的齐次方程组 , 它的系数行列式就是Wronskian行列式 , 由线性代数的知识知 , 要使方程组存在非零解 , 则必有 .0)( tW
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0t
处不等于0,
即 0( ) 0W t , 则该函数组在区
间
注 : 定理 3.3的逆定理不一定成立 . 例
2
2
, 01 0, 0
0, 02 , 0
( ) {
( ) {
t tt
t
t t
x t
x t
推论 3.1
如果函数组 1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t,
的 Wronskian 行列式在区间( a, b )上某点
上线性无关。
),( ba
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显然对所有的 t, 恒有
,0)](),([ 21 txtxW 但 )(),( 21 txtx
在 ),( 上线性无关 .
事实上 , 假设存在恒等式
,0)()( 2211 txctxc
则当 0t 时 , 有
,02 c 当 0t 时 , 有
,01 c
故 )(),( 21 txtx 在 ),( 上线性无关 .
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定理 3.4 若函数组
1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t, 是方程( 3.2.2 )
在区间( a,b)上的 n 个线性无关的解 , 则它们的Wronskian 行列式
1 2[ ( ) ( ), , ( )]nW x t x t x t,
在该区间上任何点都不为零 .
证明 : 用反证法
假设有 ),,(0 bat .0)( 0 tW使得
考虑关于 nccc ,,, 21 的齐次线性代数方程组
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.0)()()(
,0)()()(
,0)()()(
0)1(
0)1(
220)1(
11
0022011
0022011
txctxctxc
txctxctxc
txctxctxc
nnn
nn
nn
nn
其系数行列式 ,0)( 0 tW 故它有非零解 ,,,, 21 nccc
现以这组解构造函数),(),()()()( 2211 battxctxctxctx nn
由定理 3.2 知 ,
)(tx 是方程 (3.2.2) 的解 .
又因为
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.0)()()()(
,0)()()()(
,0)()()()(
0)1(
0)1(
220)1(
110)1(
00220110
00220110
txctxctxctx
txctxctxctx
txctxctxctx
nnn
nnn
nn
nn
即这个解满足初始条件 .0)()()( 0)1(
00 txtxtx n
又 0)( tx 也是方程 (3.2.2) 满足初始条件的解 , 由解的惟一性
知 , ),(,0)()()()( 2211 battxctxctxctx nn
nccc ,,, 21 由 不全为零 , 知矛盾 , 从而定理得证 .
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使得它的 Wronskian 行列式
1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t,
在区间( a,b)上的 n 个解。如果存在
1 0 0[ ( ), ( )] 0nW x t x t ……,
则该解组在( a,b)上线性相关 .
推论 3.2 :设
),,(0 bat
是方程 (3.2.2)
推论 3.3 方程( 3.2.2 )的 n个解
1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t,
在其定义区间( a,b)上线性无关的充要条件是在
存在一点 0t 使得 1 0 0[ ( ), ( )] 0nW x t x t ……,该区间上
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定理 3.5 n阶齐次线性方程组( 3.2.2 )一定存在 n个线性无关的解 .
下面几个定理给出了线性无关解组 , 基本解组 ,及通解的关系 .
证明 : 由定理 3.1 知 , 方程满足初始条件
.1)(,,0)(,0)(
,0)(,,1)(,0)(
,0)(,,0)(,1)(
0)1(
00
0)1(
20202
0)1(
10101
txtxtx
txtxtx
txtxtx
nnnn
n
n
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的解一定存在 , 因为
,01)](,),(),([ 00201 txtxtxW n
所以这 n 个解一定线性无关 , 故定理得证 .
定理 3.6 如果 是 n 阶齐次方程
1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t,
( 3.2.2 )的 n 个线性无关的解。则它一定是该方程的基本解组,即方程( 3.2.2 )的任一
解 ( )x t 都可以
表示成
n
iii txctx
1
).()(
证明 : 设
)(tx 是方程 (3.2.2) 的任一解 , 并且满足条件
.)(,,)(,)( )1(00
)1(0000
nn xtxxtxxtx
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考虑方程组
).()()(
),()()(
),()()(
0)1(
0)1(
220)1(
11)1(
0
00220110
00220110
txctxctxcx
txctxctxcx
txctxctxcx
nnn
nnn
nn
nn
由于它的系数行列式是方程的 n 个线性无关解的
Wronskian 行列式在 处的值 , 故它不为零 .
0t
因而上面的方程组有惟一解 ,,,, 21 nccc 现以这
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组解构造函数
n
iii txct
1
).()( 由解的叠加原理
和惟一性定理得 ),()( txt 即
n
iii txctx
1
).()(
定理 3.7 ( 通解结构定理 )
1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t,若 是方程( 3.2.2)的 n 个线性无关的解,则方程的通解可以表示成
n
iii txctx
1
).()( 其中 1 2, , nc c c 是任意常数 .
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综上得到下列等价命题 .
定理 3.8
1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t, 是方程( 3.2.2 )的 n 个解,
设 则下列命题等价 (1) 方程( 3.2.2)的通解
为
n
iii txctx
1
).()(
(2) 是方程的基本解组 .
1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t,
(3) 在 (a,b)上线性无关 .
1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t,
(4) 存在 ),,(0 bat 使 .0)( 0 tW
(5) 任给 ),,( bat 有 .0)( tW
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定理 3.9 (刘维尔公式 )
注 1 : 在 内有一点为零,则在整个)(tW ),( ba ),( ba
上恒为零 .
设 是( 3.2.2)的任意 n 个解,
1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t,
是它的 Wronskian行列式,则对 (a,b)上任意
都有
)(tW
t
tdssatWtW
0
).)(exp()()( 10一点,
上述公式我们称为刘维尔 (Liouville) 公式 .
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注 2 :对二阶微分方程 '' '( ) ( ) 0x p x x q x x
若 1( )x t 是方程的一个解,则可得通解 .设是 与 不同解,则由刘维尔公式可以推得2 ( )x t
' '1 1 22
exp( ( ) )x x x x c p t dt 用 乘以上式两端可得 2
1
1
x
22
1 1
( ) exp( ( ) )xd c
p t dtdt x x
)(1 tx
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由此得 212
1 1
exp( ( ) )x c
p t dt dt cx x
取 则1 0, 1c c
为另一个解,因为
1121
12 ))(exp(1
)( xcdtdttpx
xctx
dtdttpx
xx ))(exp(121
12
0))(exp()(2'
1'
21 dttpxx
xxtW
所以 1x 与 2x 线性无关 .
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例 5 求方程 的通解 .
2 '' '(1 ) 2 2 0t x tx x
解:易知 为通解,所以 1x t
1 1 2 2
1 2[ exp( ) ]
1
tx x c c dt dt
x t
1 2 2[ ]
(1 )
dtt c c
t t
)11
1ln2(1
t
ttctc
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三、非齐次线性方程解的结构
定理 3.10 n阶线性非齐次方程
1
1 11( ) ( ) ( ) ( )
n n
n nn n
d x d x dxa t a t a t x f t
dt dt dt
的通解等于它所对应的齐次方程的通解与
它的一个特解之和。
(3.2.10)
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证明 : 设
*x 是方程 ( 3.2.10) 的一个特解,
x~ 是方程 ( 3.2.2) 的通解。首先我们证明
xxx ~* 是方程 ( 3.2.10) 的解。事实上
],~[][]~[][ ** xLxLxxLxL
).(]~[,0][ * tfxLxL
所以 ),(]~[][ * tfxxLxL
xxx ~* 是方程 ( 3.2.10) 的解。即
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xxx ~* 是方程 ( 3.2.10) 的通解。其次证
即证对于( 3.2.10 )的任意一解 ,x 总可以表示为
,~0* xxx
0~x其中 是由 x~ 中的任意常数取
某一特定的值而得到的。事实上, 因为
,0)()(][][][ ** tftfxLxLxxL
所以 0* ~xxx 是方程( 3.2.2 )的解,其中 0
~x
可由 x~ 中的任意常数取某一特定的值而得到。.~0
* xxx 于是
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定理 3.11 设 与 分别是非齐次线性方程
1( )x t2 ( )x t
1
1 1 11( ) ( ) ( ) ( )
n n
n nn n
d x d x dxa t a t a t x f t
dt dt dt
和1
1 1 21( ) ( ) ( ) ( )
n n
n nn n
d x d x dxa t a t a t x f t
dt dt dt
的解 ,则 是方程 1 2( ) ( )x t x t1
1 1 1 21( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n nn n
d x d x dxa t a t a t x f t f t
dt dt dt
的解。
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证明:由已知可得
).()]([),()]([ 2211 tftxLtftxL
因为 ).()()]()([ 2121 tftftxtxL
所以 )()( 21 txtx 是方程 )()(][ 21 tftfxL
的解。
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常数变易法求特解
1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t, 是方程( 3.2.2 )的 n 个线性
设
无关的解, 因而 (3.2.2) 的通解为)()()()( 2211 txctxctxctx nn (3.2.11)
为求 (3.2.1) 的一个特解 , 将 (3.2.11) 中的 常数看成关于 t 的函数 , 此时 (3.2.11) 式变为
)()()()()()()( 2211 txtctxtctxtctx nn (3.2.12)
将 (3.2.12) 代入 (3.2.1) 得到一个
),(,),(),( 21 tctctc n
所满足的关系式 .
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我们还需要另外 n-1 个条件来求出 ),(,),(),( 21 tctctc n
在理论上这些条件是任意给出的 , 为了运算的方便 ,
我们按下面的方法来给出这 n-1 个条件 .
对 (3.2.12) 式两边对 t 求导得
)()()()()()()( 2211 txtctxtctxtctx nn
).()()()()()( 2211 txtctxtctxtc nn
令 ,0)()()()()()( 2211 txtctxtctxtc nn
得到 ).()()()()()()( 2211 txtctxtctxtctx nn
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对上式两边继续对 t 求导 , 并象上面的方法一样 ,
我们得到
,0)()()()()()( 2211 txtctxtctxtc nn
).()()()()()()( 2211 txtctxtctxtctx nn
继续上面的做法 , 直到获得第 n-1 个条件
,0)()()()()()( )2()2(22
)2(11 txtctxtctxtc n
nnnn
).()()()()()()( )1()1(22
)1(11
)1( txtctxtctxtctx nnn
nnn
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).()()()()()()( )()(22
)(11
)( txtctxtctxtctx nnn
nnn
最后 , 将上式两边对 t 求导得
).()()()()()( )1()1(22
)1(11 txtctxtctxtc n
nnnn
将上面得到的 )1(,,, nxxx 代入 (3.2.10), 得到
).()()()()()()( )1()1(22
)1(11 tftxtctxtctxtc n
nnnn
由 n 个未知函数
),(,),(),( 21 tctctc n 所满足的方程组
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).()()()()()()(
,0)()()()()()(
,0)()()()()()(
)1()1(22
)1(11
2211
2211
tftxtctxtctxtc
txtctxtctxtc
txtctxtctxtc
nnn
nn
nn
nn
该方程组的系数行列式恰好是 (3.2.2) 的 n 个线性无关解的 Wronskian 行列式 , 故它不等于零 , 因而该方程组有惟一解 .
由上面方程组求得 ).,,2,1()()( nidtttc iii
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这样我们就得到了 (3.2.1) 的特解 .
从而 (3.2.1) 的通解为
n
i
n
iiiii dtttxtxtx
1 1
.)()()()(
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例 6 求方程 的通解,已知它的对应
'' 1
cosx x
t
齐次线性方程的两个解为 cos ,sint t
解:利用常数变易法,令 1 2( ) cos ( )sinx c t t c t t
将它带入方程,可得关于 的方程 ' '1 2( ), ( )c t c t
' '1 2
' '1 2
cos ( ) sin ( ) 01
sin ( ) cos ( )cos
tc t tc t
tc t c tt
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解得 '1( ) tanc t t '
2 ( ) 1c t
1 1( ) ln cosc t t r
于是原方程的通解为
1 2cos sin cos ln cos sinx r t r t t t t t
22 )( rttc