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Oscillations libres (33-109) Page 1 sur 13 JN Beury

OSCILLATIONS LIBRES I. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE

I.1 Définition d’un oscillateur harmonique à un degré de liberté

a) Exemple du pendule élastique vertical On considère une masse m accrochée à un ressort dans un plan vertical. On néglige les forces de frottement exercées par l’air. On repère l’abscisse du point M par rapport à sa position d’équilibre. • Système = Point matériel M de masse m • Référentiel terrestre ( ), , ,O i j kℜ = galiléen. • Bilan des forces :

poids P mg=

force exercée par le ressort F . Le vecteur unitaire i est porté vers le bas. La force F est donc portée par le vecteur i . L’énoncé ne donne pas la valeur de la longueur à vide du ressort. Il faut donc l’introduire. On verra comment elle disparaîtra par la suite. On l’appelle l0. D’après le schéma, on a

eql l x= + . On a ( )0 xF k l l u= ± − . Sur le schéma, le ressort est étiré, la force est donc dirigée vers le haut, il faut donc mettre un signe – pour avoir une projection négative. Soit ( )0eq xF k l x l u= − + −

• PFD : ( )0eq xma mg k l x l u= − + − . On projette sur i . ( )0eqmx mg k l x l= − + − (eq. 1)

On réécrit très souvent le PFD à l’équilibre ( )0, 0 et 0x x x= = = . Il reste à faire la différence entre (eq 1) et (eq 2) ( )00 eqmg k l l= − − (eq .2)

(eq 1 ) – (eq 2) : mx kx= − , soit 20 0x xω+ = avec 0km

ω = . C’est l’équation d’un oscillateur harmonique.

( ) ( )0cosmx t X tω ϕ= +

b) Définition Soit x(t) la coordonnées relative d’un degré liberté. Le système est un oscillateur harmonique si l’équation différentielle régissant l’évolution x est de la forme : 20 0x xω+ =

I.2 Équations horaires ( ) ( )0cosmx t X tω ϕ= + ou ( ) ( ) ( )0 0cos sinx t A t B tω ω= +

Pour passer de { },A B à { },mX ϕ , il suffit de développer ( )0cos + cos cos sin sinm m mX t X t X tω ϕ ω ϕ ω ϕ= − : 2 2

2 2

cos , tan , cos

sinm

mm

A X B AX A BB X A A B

ϕϕ ϕ

ϕ=

⇒ = + = − = = − +.

i

jk

l

x

leq

O

M

MO

l0

F

PF

P

longueur à vide équilibre instant


leq

l

xO

M

équilibre

instant t

xu

R

P

f

• 0ω est la pulsation propre. La période est notée T0, la fréquence f0. On a 0 00

2 2 fTπω π= =

• Xm est l’amplitude. Elle est toujours positive. Si on a un terme négatif devant le sinus, on peut rajouter π à la phase pour supprimer le signe moins.

• 0tω ϕ+ est la phase à un instant t. • ϕ est la phase à t = 0. On a une équation différentielle du deuxième ordre. Il faut donc deux conditions initiales, par exemple ( )0x et

( )0x . On utilisera plutôt la forme avec A et B si l’énoncé demande de calculer explicitement x en utilisant les conditions initiales. La forme avec Xm et ϕ est facile à interpréter physiquement : amplitude et phase à t. La période T0 est indépendante des conditions initiales. On dit qu’on a un isochronisme des oscillations.

On va voir dans le paragraphe III l’importance des petits mouvements sinusoïdaux. II. ÉQUIPARTITION DES FORMES CINÉTIQUES ET POTENTIELLES DE L’ÉNERGIE

II.1 Bilan énergétique à partir du PFD On considère une masse m accrochée à un ressort dans un plan horizontal. On néglige les forces de frottement exercées par l’air. On repère l’abscisse du point M par rapport à sa position d’équilibre. On suppose que le point M se déplace sans frottement. • Système = Point matériel M de masse m • Référentiel terrestre ( ), , ,O i j kℜ = galiléen. • Bilan des forces :

poids P mg=

réaction du support R . Comme il n’y a pas de frottement, xR u⊥ , donc P et R se compensent.

force exercée par le ressort f . Le vecteur unitaire i est porté vers le bas. La force f est donc portée par le vecteur i . L’énoncé ne donne pas la valeur de la longueur à vide du ressort. Comme le ressort est dans un plan horizontal, la longueur à l’équilibre est égale à la longueur à vide : 0eql l= . D’après le

schéma, on a eql l x= + . On a ( )0 xf k l l u= ± − . Sur le schéma, le ressort est étiré, la force est donc dirigée vers la gauche, il faut donc mettre un signe – pour avoir une projection négative. Soit

( )0 0 xf k l x l u= − + − • PFD : ma P R= + xkxu− .

On projette sur Ox : 0mx kx+ = . Pour faire un bilan énergétique, on multiplie par la vitesse : 0mxx kxx+ =

Or 2d 1d 2

kx kxxt

=

et 2d 1d 2

mv mvvt

=

On en déduit que : 2 2d 1 d 1 0d 2 d 2

kx mvt t

+ =

Soit m c pE E E cte= + = . C’est tout à fait normal puisqu’il n’y pas de frottement. Toutes les forces sont conservatives.

II.2 Équipartition des forces cinétiques et potentielles de l’énergie On a vu que : ( ) ( )0cosmx t X tω ϕ= + . La vitesse vaut : ( )0 0sinmv x X tω ω ϕ= = − +

( )( ) ( )22 2 2 20 0 0 01 1 1sin sin2 2 2c m mE mv m X t mX tω ω ϕ ω ω ϕ= = − + = + . Comme 20

km

ω = , alors ( )2 2 01 sin2c m

E kX tω ϕ= +

( )2 2 2 01 1 cos2 2p m

E kx kX tω ϕ= = +

On peut en déduire la moyenne sur une période de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle sachant que

( )2 01cos2

tω ϕ+ = et ( )2 01sin2

tω ϕ+ =

Démonstration : ( ) ( )2 20 001cos cos d

Tt t t

Tω ϕ ω ϕ+ = +∫ . Or ( )

( )( )020

1 cos 2cos

2

tt

ω ϕω ϕ

+ ++ =


Ep

xxe x

Ep

xxe x

( )( )( ) ( )( )0 02

0 00

0

1 cos 2 sin 21 1 1cos d 02 2 4 2

T

T t ttt tT T

ω ϕ ω ϕω ϕ

ω

+ + + + = = + = +

∫ car sin est 2π périodique.

On a donc : 214c m

E kX= et 214p m

E kX=

On a donc équipartition des forces cinétiques et potentielles de l’énergie. III. PETITS MOUVEMENTS AUTOUR D’UNE POSITION D’ÉQUILIBRE STABLE

III.1 Formule de Taylor Lorsque b est voisin de a, on peut écrire sous certains conditions (voir cours de math) la formule de Taylor avec reste

de Young : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

' " ...1! 2! !

nnnb a b ab af b f a f a f a f a b a b a

nε

− −−= + + + + + − −

( )b aε − est une fonction telle que ( )0

lim 0b a

b aε− →

− = .

En physique, on n’écrira pas le reste de Young.

Exemple : formule de Taylor à l’ordre 2 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

' "1! 2!

b ab af b f a f a f a−−

≈ + +

III.2 Parabolisation de l’énergie potentielle On considère un mouvement à une dimension (abscisse x) dont la résultante des forces f dérive d’une énergie potentielle. On représente graphiquement l’énergie potentielle en fonction de x. On cherche à étudier les petits mouvements autour de la position d’équilibre xe. Pour cela, on applique la formule de Taylor à l’ordre 2 pour l’énergie potentielle.

Si x est voisin de xe : ( ) ( )d

1! de

pep p e

x

Ex xE x E x

x −

≈ +

( )2 22

d2! d

e

pe

x

Ex xx

−+

Comme xe est une position d’équilibre, on a : d

0d

e

p

x

Ex

=

. Il reste ( ) ( ) ( )

2 2

2

d2! d

e

pep p e

x

Ex xE x E x

x −

≈ +

On dit qu’on a effectué une parabolisation de l’énergie potentielle. On a une expression simplifiée de l’énergie potentielle au voisinage de xe.


III.3 Stabilité d’une position d’équilibre et énergie potentielle On a vu dans le chapitre sur l’énergie que

• l’équilibre est stable si l’énergie potentielle passe par un minimum, soit 2

2

d0

de

p

x

Ex

>

• l’équilibre est instable si l’énergie potentielle passe par un maximum, soit 2

2

d0

de

p

x

Ex


V. OSCILLATEUR HARMONIQUE AMORTI PAR FROTTEMENT FLUIDE EN RÉGIME LIBRE V.1 Exemple On considère une masse m accrochée à un ressort dans un plan horizontal. Cette masse m est soumise au poids, à la réaction du support, à la force exercée par le ressort ( )0 x xf k l l u k xu= − − = − et à une force de frottement fluide f vλ= − .

Le poids et la réaction du support se compensent : 0P R+ = Le PFD en projection sur Ox s’écrit : mx kx xλ= − − (1)

V.2 Définition Soit x(t) la coordonnées relative d’un degré liberté. Le système est un oscillateur harmonique amorti par frottement

fluide si l’équation différentielle régissant l’évolution x est de la forme : 20 0 0x x xQω

ω+ + =

On rencontre trois formes canoniques :

1ère forme avec le facteur de qualité (la plus utilisée en physique) : 2

2002

d d 0d d

x x xt Q t

ωω+ + =

Q : facteur de qualité ; ω0 : pulsation propre (ω0 > 0)

2ème forme canonique avec le coefficient d’amortissement (utilisée en SI) : 2

20 02

d d2 0d d

x x xt t

σω ω+ + =

σ : coefficient d’amortissement. On a 12

Qσ

=

3ème forme canonique avec le temps de relaxation : 2

202

d 1 d 0d d

x x xt t

ωτ

+ + =

τ : temps de relaxation.

En divisant l’équation (1) par m, on obtient : 2

2

d d 0d d

x x k xt m t m

λ+ + =

V.3 Divers régimes

L’équation différentielle est : 2

2002

d d 0d d

x x xt Q t

ωω+ + = . L’équation caractéristique est : 2 20 0 0r rQ

ωω+ + =

Le discriminant vaut : 20 214 1

4Qω

∆ = −

. Il y a trois cas selon le signe du discriminant :

a) Q < ½ ; ∆ > 0 : régime apériodique

On a deux racines réelles et négatives : 1 0 2

2 0 2

1 1 12 4

1 1 12 4

rQ Q

rQ Q

ω

ω

= − − −

= − + −

Les racines sont bien négatives puisque 2 2

1 114 4Q Q

− < et 2 2

1 1 114 4 2Q Q Q

− < =

On a donc :

( ) ( ) ( )1 2exp expx t A rt B r t= + .

On a un régime apériodique, x passe au plus une fois par 0 et ( ) 0limt

x t→∞

= .

b) Q = ½ ; ∆ = 0 : régime critique

On a une racine double : 0 02r

Qω

ω= − = − (puisque 12

Q = ).

( ) ( ) ( )0expx t A Bt tω= + −


On a un régime critique, Q = ½ et le retour à l’équilibre est le plus rapide.

c) Q > ½ ; ∆ < 0 : régime pseudo périodique amorti

On a 2 racines complexes : 0 00 211

2 4 2r j j

Q Q Qω ω

ω ω= − ± − = − ± .

On a donc un terme réel 02Qω

− et un terme complexe 0 211

4Qω ω= − .

La solution est donc : ( ) ( ) ( )exp terme réel cos terme imaginaire +mx t t Q t ϕ= × × .

( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

exp cos +2

ou

exp cos sin2

mx t t X tQ

x t t A t B tQ

ωω ϕ

ωω ω

− =

− = +

Les calculs sont plus simples avec la deuxième expression si on connaît les conditions initiales : ( ) ( )d0 et 0dxxt

.

d) Représentation graphique de x(t)

Si Q > 0,5 :

• On a une enveloppe en 0exp exp2 2

t tQ

ωτ

− = −

. τ joue bien le rôle d’un temps de relaxation puisqu’au bout de

quelques τ, le régime libre devient négligeable et on aboutit à l’état d’équilibre (ici ( ) 0x ∞ = ). Si la force de frottement est faible, Q et τ sont grands.

• On a un régime pseudo périodique amorti de pseudo période T :

0 2

114Q

ω ω= − . Si Q >>1 (en pratique Q ≥ 5), alors1 0 0T Tω ω≈ ⇒ ≈ (voir courbe)

1 Cela revient à faire un développement limité. Si Q ≥ 5, on a néglige 1/(4 Q2)=1/200 devant 1.

1 2 3 4 5 6 7

-1

0

1

t

Q = 0,2

Q = 0,5

Q = 6

Courbes tracées avec T0 = 1 s x(0) = X0 et dx/dt (0) = 0

T = écart entre deux maxima successifs T ≈ T0 ici car Q >>1 (en pratique Q ≥ 5).

( )0

q tQ


• On peut avoir un ordre de grandeur du facteur de qualité en comptant le nombre de maxima d’amplitude non négligeable. La courbe représentée ci-dessus a environ 6 maxima. La détermination expérimentale du facteur de qualité se fait à partir du décrément logarithmique.

• Le décrément logarithmique vaut : ( )1 ln

( )SG

SG

x tn x t nT

δ

= +

avec n entier.

( ) ( )0exp cos t+2SG m

tx t X

Qω

ω ϕ−

=

, d’où ( ) ( )0exp2SG SG

nTx t nT x t

Qω−

+ =

. On en déduit que :

00 0

0 2 2

1 2 1 22 2 2 1 11 1

4 4

TQ Q Q

QQ Q

ω π π πδ ω ωω

ω

= = = = − −

Si 1Q (en pratique 5Q ≥ ), on a Qπδ = . Cette relation sera utilisée en TP.

Le décrément logarithmique permet une détermination expérimentale du facteur de qualité. Il suffit de repérer les maxima relatifs et d’en déduire δ. On peut alors remonter au facteur de qualité.

ATTENTION : le décrément logarithmique est défini pour le régime libre.

V.4 Étude énergétique du régime libre de l’oscillateur amorti On reprend l’exemple de la masse m accrochée à un ressort. L’équation différentielle est : mx kx xλ= − − On multiplie par v x= pour faire un bilan énergétique. On obtient : 2mxx kxx xλ= − −

Or 2d 1d 2

kx kxxt

=

et 2d 1d 2

mv mvvt

=

On en déduit que : 2 2 2d 1 d 1d 2 d 2

kx mv vt t

λ + = −

2d 0d

mE vt

λ= − <

L’énergie mécanique diminue au cours du temps. De l’énergie est dissipée par la force de frottement sous forme de chaleur et évacuée dans le milieu extérieur.

V.5Stabilité Si les coefficients de l’équation différentielle homogène ont le même signe (Q > 0 ici), alors le régime libre devient négligeable au bout de quelquesτ. Il faut retenir que la stabilité d’un système du premier ou second ordre est assurée dès que les coefficients de l’équation différentielle homogène ont tous le même signe, sinon on a un régime divergent.


VI. PORTRAIT DE PHASE VI.1 Définition Soit un système dont l’évolution est décrite au cours du temps par la fonction x(t). On appelle trajectoire de phase d’un système à un degré de liberté un diagramme caractéristique des évolutions du système représenté dans le plan ( ),x x . Une trajectoire de phase est décrite à partir du point représentatif des conditions initiales. L’ensemble des trajectoires décrites par le système à partir de toutes les conditions initiales est le portrait de phase.

VI.2 Portrait de phase de l’oscillateur harmonique L’équation différentielle qui régit un oscillateur harmonique (pendule élastique (k, m), circuit L, C).

2202

d 0d

x xt

ω+ = . La solution s’écrit alors :

( ) ( )0cosmx t X tω ϕ= + et ( )0 0d sind mx X tt

ω ω ϕ= − + .

On a alors :

( ) ( )

( )

0

00

cos (1)

1 d sin (2)d

m

m

x tt

Xx t

X t

ω ϕ

ω ϕω

= +

− = +

Pour éliminer t, il suffit d’écrire (1)2 + (2)2.

On obtient : 2 2

2 2 20

1m m

x xX Xω

+ = .

La trajectoire de phase est donc une ellipse centrée sur O.

Souvent, on représente x(t) en abscisse et 0

xhω

= en ordonnées.

On a alors 2 2 2mx y X+ = .

La trajectoire de phase est un cercle centré sur O.


O

M

x

y

l

T

P

θ

uθ

ru

VI.3 Portrait de phase du pendule simple

a) Étude théorique Soit une masse m accrochée à une tige de masse négligeable. • Système = Point matériel de masse m. • Référentiel ( ), , ,O i j kℜ = terrestre supposé galiléen • Bilan des forces : T est une force conservative car d 0TW T lδ = ⋅ =

P est une force conservative qui dérive d’une énergie potentielle : ( )1 cospE mgl θ= −

• Le système est donc conservatif. L’énergie mécanique se conserve. On calcule la constante en utilisant les conditions initiales.

( )21 1 cos2m

E mv mgl θ= + − . Dans la base des coordonnées polaires, on a v l uθθ= . On a donc :

( ) ( )21 1 cos2mE m l mgl cteθ θ= + − = . On a trois méthodes pour obtenir l’équation différentielle :

Méthode 1 : Il suffit d’écrire d

0d

mEt

= pour avoir l’équation différentielle : 2 sin 0ml mglθθ θ θ+ = ,

d’où sin 0gl

θ θ+ = . On pose 20gl

ω = . On a alors 20 sin 0θ ω θ+ = .

Remarque : on est obligé de diviser par θ qui est une solution parasite. C’est normal d’obtenir cette solution parasite car on obtient le théorème de l’énergie cinétique en partant du PFD et en multipliant par la vitesse.

Méthode 2 : Écrire le PFD et projeter dans la base ( ),ru uθ . Méthode 3 : Écrire le théorème du moment cinétique.

Remarque importante : pour un pendule pesant (balancier d’une horloge), écrire le théorème du moment

cinétique ou la conservation de l’énergie mécanique, on obtient : ( )21 1 cos2m

E J mga cteθ θ= + − = avec a

distance entre O et G le barycentre du solide en rotation. • Portrait de phase Il faut trouver une relation entre et θ θ . On ne sait pas résoudre dans le cas général l’équation

différentielle précédente. Il faut utiliser la conservation de l’énergie mécanique qui donne directement une

relation entre et θ θ . ( ) ( )21 1 cos 12mE m l mgl cteθ θ= + − = . En divisant par 21

2ml , on obtient :

( )2 2 1 cosg el

θ θ+ − = , soit

( )2 202 1 cos eθ ω θ+ − = . Pour déterminer la constante e, il faut utiliser les conditions initiales.

En divisant par 20ω , on a : ( )2

0

2 1 cos 2cteθ θω

+ − =

.

b) Utilisation de Maple

Pour tracer avec Maple les portraits de phase, on représente 0

h θω

= en fonction de θ . L’équation différentielle

20 sin 0θ ω θ+ = s’écrit : 0

0

sin 0θ ω θω

+ = , soit 0 sin 0h ω θ+ = .

Avec Maple, on résout numériquement le système à deux équations différentielles : 0

0 sin 0

h

h

θω

ω θ

=

+ =

On cherche les conditions initiales 0 0θ = et 0θ permettant au pendule d’atteindre le point le plus haut θ π= et

0θ = .

( ) ( )2 2 20 0 00 2 1 cos 2 1 cos 0ω π θ ω+ − = + − , soit 2 20 04θ ω= et 0 02θ ω= et 000

2hθω

= = .

Avec Maple, prendre h0 = 1,98 puis 2 puis 2,02.


Prendre d’autres conditions pour retrouver les courbes ci-dessous. Analyse de quatre trajectoires de phase : (1) : On a un cercle. On a donc des oscillations sinusoïdales. Caractère harmonique de l’oscillateur. (2) : 120°, forte amplitude des oscillations. Trajectoire non sinusoïdale ; caractère non harmonique de l’oscillateur. On n’a pas un cercle. ( )204e ω< (3) θ a un signe constant (ici 0θ > ), on a un mouvement révolutif. On l’obtient en cas limite avec

180 et 0θ θ= ° = , soit 204critiquee e ω= =

(4) trajectoire critique entre mouvements oscillatoires et révolutifs. ( )204e ω> .

On a une infinité d’attracteurs de phase : ( )2 ,0nπ .


t (s)1 2 3 4 5 6 7

x (m)

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Q=6

Q=500 10-3

Q=200 10-3

x (m)-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

h (m.s-1)

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Q=6

Q=500 10-3

Q=200 10-3

VI.4 Portrait de phase de l’oscillateur harmonique amorti

L’équation différentielle s’écrit : 2

2002

d 0d

x x xQtω

ω+ + = .

Si Q > 0, on a trois régimes (régime pseudo périodique amorti, critique, apériodique) selon le facteur de qualité : Q > 1/2 , Q =1/2 et Q 0,5 :

• On a une enveloppe en 0- t

2 2t

Qe eω

τ−

= . τ joue bien le rôle d’un temps de relaxation puisqu’au bout de quelques τ, le régime libre devient négligeable et on aboutit à l’état d’équilibre (ici ( ) 0x ∞ = ). Si la résistance R est faible, Q et τ sont grands, le circuit RLC est peu amorti. Interprétation physique : il y a peu de pertes par effet Joule.

• On a un régime pseudo périodique amorti de pseudo période T : 0 211

4Qω ω= − .


Si Q >>1, alors2 0 0~ ~T Tω ω ⇒ (voir courbe)

• On peut avoir un ordre de grandeur du facteur de qualité en comptant le nombre de maxima d’amplitude non négligeable. La courbe représentée ci-dessus a environ 6 maxima. La détermination expérimentale du facteur de qualité se fait à partir du décrément logarithmique.

VI.5 Portrait de phase du pendule simple amorti


2002

d sin 0d

x x xQtω

ω+ + = .

On observe un mouvement oscillatoire amorti (spiral) précédé d’une phase révolutive pendant n tours si l’attracteur est de rang n ( )2 ,0nπ .

VI.6 Interprétation physique

a) Interprétation des portraits de phase • Interpréter le sens de parcours des trajectoires de phase : à partir de M0 sur le graphe suivant, on part

nécessairement vers le bas puisque θ diminue et donc 0θ < . • Une trajectoire de phase fermée traduit un système oscillatoire. • Une trajectoire de phase circulaire (ou elliptique si θ en fonction de θ ) traduit des oscillations sinusoïdales :

oscillateur harmonique. • Une trajectoire de phase tel que 0θ > traduit un mouvement révolutif. • Le point O est un attracteur des trajectoires de phase. • Les trajectoires de phase ne se coupent pas. C’est une conséquence du déterminisme en mécanique classique.

En effet, deux trajectoires issues d’un point d’intersection M0 correspondrait à deux évolutions différentes à partir des mêmes conditions initiales.

b) Réversibilité Un critère simple de réversibilité : un film projeté à l’envers est-il réaliste ? On envisage un renversement du temps en posant t’ = -t.

b1) Pendule simple amorti


2002

d d sin 0dd

x x xQ ttω

ω+ + = .

Supposons qu’à un instant t, le système soit en ( )1 1 1,M θ θ . On relance le système à partir du point ( )1 1,θ θ− qui correspond au point M’1 symétrique de M1 par rapport à l’axe 0θ = . On obtient une nouvelle trajectoire de phase. Le système ne remonte pas le temps mais poursuit son amortissement.

2 Cela revient à faire un développement limité. Si Q ≥ 5, on a négligé 1/(4 Q2)=1/100 devant 1.


Si on pose 't t= − . d dd d 'x xt t

= − et 2 2

2 2

d d d d d d d dd d d d ' d ' d 'd d '

x x x x xt t t t t tt t

= = − = − − =


2002

d d sin 0d 'd '

x x xQ ttω

ω− + =

Cause de l’irréversibilité : la dérivée d’ordre 1 traduit le caractère dissipatif du système à cause de la force de frottement.

b2) Pendule simple non amorti


202

d sin 0d

x xt

ω+ = .

Si on pose 't t= − , l’équation différentielle s’écrit : 2

202

d sin 0d '

x xt

ω+ = . C’est la même équation différentielle.

Le système est réversible. Supposons qu’à un instant t, le système soit en ( )1 1 1,M θ θ . On relance le système à partir du point ( )1 1,θ θ− qui correspond au point M’1 symétrique de M1 par rapport à l’axe 0θ = . On reste sur la même trajectoire de phase. Le système peut remonter le temps en repassant par la suite des ses états antérieurs.

La trajectoire de phase est symétrique par rapport à l’axe 0θ = .

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