PRESENT ADO POR  
NO IMPORTA, LO IMPORTANTE ES QUE LES SIRVA, DE UN  AGROFOREST AL P AR A EL QUE LO NECESITE.
ESTUDI ANTE DE INGENIERÍ A  AGROFOREST AL 
UN AD
INTRODUCCIÓN
 A partir ! tra"a#ar a$ti%a&!'t! !(arr)**a') *)( !#!r$i$i)( pr)p+!(t)( para *a
$)&pr!'(i' ! !(ta +'ia 2 !* &)+*) ! pr)"a"i*ia, ')()tr)( *)(
!(t+ia't!(, a-+iri&)( !(tr!a( !' !* !(arr)**) a!$+a) ! pr)"*!&a( -+! (! ')( p+!!' pr!(!'tar a *) *ar/)  ! '+!(tra %ia a(0 $)&) !' *a( $arr!ra(
pr)1!(i)'a*!( -+! ')( )1r!$! *a UNAD. E' 1)r&a &+ /!'!ra* !(t! )$+&!'t)
')( pr!(!'ta !* !(arr)**) ! 34 !#!r$i$i)( pr)p+!(t)( ()"r! %aria"*!(
a*!at)ria( i(tri"+$i)'!( ! pr)"a"i*ia +ti*ia') *a( 1)r&+*a(
$)rr!(p)'i!'t!( para ()*+$i)'ar $aa +') ! !**)(. 
 
OBJETIVO GENER AL
D!(arr)**ar +' ta**!r ! !#!r$i$i)( ()"r! *)( $)'t!'i)( ! *)( $ap0t+*)( 5, 2 3
! *a U'ia 2 !* $+r() PROBABILIDAD, *)( $+a*!( ')( p!r&itir6' pr)1+'iar 
!' *)( t!&a( trata)(.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
7 I!'ti1i$ar *a( i(ti'ta( %aria"*!( -+! ')( )1r!$! $aa !#!r$i$i) $)' !* 1i'
! p)!r ap*i$ar *a 1r&+*a a!$+aa.
7 R!a*iar $aa !#!r$i$i) i'i$a') *)( pa()( !1!$t+a)( para !* !(arr)**)
! $aa +') ! !**)(.
 
VARIABLES ALEATORIAS, FUNCIÓN DE PROBABILIDAD 8 V ALOR ESPER ADO
5.9 D!t!r&i'! !* %a*)r ! a ! &a'!ra -+! $aa +'a ! *a( (i/+i!'t!(
1+'$i)'!( p+!a (!r%ir $)&) i(tri"+$i' ! pr)"a"i*ia ! *a %aria"*!
a*!at)ria i($r!ta :
S)*+$i'B
+ 4)] =1
=1 a (30) =
L+!/) !* %a*)r ! a !' *a i(tri"+$i' ! pr)"a"i*ia !(   1
30 > ,33
S)*+$i'B
2 2
a (1 × 1 + 2 × 3 + 1 × 3) = 1
a (1 + 6 + 3) = 1 a (10) = 1
1 a =
10 1
L+!/) !* %a*)r ! a !' *a i(tri"+$i' ! pr)"a"i*ia !( 10
> ,5
2.9 E'$+!'tr! *a i(tri"+$i' ! pr)"a"i*ia para !* '&!r) ! i($)( ! (a*(a
 
i($)( ! (a*(a $+atr) i($)( ! &(i$a $*6(i$a. E=pr!(! *)( r!(+*ta)( a
tra%( ! +'a 1)r&+*a.
S)*+$i'
La %aria"*! a*!at)ria : !* '&!r) ! i($)( ! (a*(a, )'! !&p*!a&)( *a
i(tri"+$i' 0p!r /!)&tri$).
=> , 5, 2, 3, @
) =
=
1
70
16
70
36
70
16
7
1
70
3.9 S! (!*!$$i)'a' a* aar )( $a*$!ti'!( ! &a'!ra (+$!(i%a, (! (a$a' !
+' $a#' -+! $)'ti!'! (!i( $a*$!ti'!( $a1( $+atr) %!r!(, D!1i'a *a %aria"*!
a*!at)ria : -+! r!pr!(!'t! !* '&!r) ! $a*$!ti'!( $a1( -+! (! (!*!$$i)'a.
E'$+!'tr! *a 1+'$i' ! pr)"a"i*ia 1<:;, F<:;, E<:;, Varia'a !(%ia$i'
!(t6'ar ! *a %aria"*! a*!at)ria.
S)*+$i'B
7 La %aria"*! a*!at )ria : !(t6 !1i'ia p)r , 5 2  *a 1+'$i' ! pr)"a"i*ia 1<=; !(
 ƒ  (x ) = P(X = x ) = h(x , N,
n, K ) =
4,6) =
4,6) =
4,6) =
( 6 )(
(10 4J (6)(4) 1 J  2 0 = ( 10
4 J
0 a!a x " 0 #  6
 
7 1 a!a x % 2
7 La /a'a'$ia ) &!ia !(
6 &x = ' (x) = (0 ×
2 24 2
— ) × ( )] 4 J   202 J
2 6 216 24 216 1 J   216
x = * (x) = [(— ) × ( ) + (1 — ) × ( ) + (4 — )
× ( )] 4 J   202 J   4 J   202 J   4 J   202 J
2 1746 6123
) + ( )] 112 J
2 = * (x)

 
La !(%ia$i' !(t6'ar !( ! 2.@
@.9 U' #+/a)r *a'a +' a) $)rri!'t!. Si (a*! '&!r) pri&), /a'a ta't)(
$i!'t)( ! *ar!( $)&) &ar$a !* a), p!r) (i ') (a*! '&!r) pri&), pi!r!
ta't)( $i!'t)( ! *ar!( $)&) &ar$a !* a). D!t!r&i'ar *a 1+'$i' !
pr)"a"i*ia *a !(p!ra'a &at!&6ti$a !* #+!/).
S)*+$i'B
La %aria"*! : i'i$a *a( /a'a'$ia( !' *ar!( p+!! t!'!r *)( (i/+i!'t!(
%a*)r!(
P<:; > X
= 1666
6 H.9 E* !=p!ri&!'t) a*!at)ri) $)'(i(t! !' *a'ar +'a &)'!a 3 %!$!(, D!1i'a :
*a %aria"*! a*!at)ria -+! r!pr!(!'ta !* '&!r) ! $ara( )"(!r%aa(. E'$+!'tr!
1<:;, E<:;, V<:; !(%ia$i' !(t6'ar.
S)*+$i'B
D!1i'i!') a(0 *)( (i/+i!'t!( (+$!()(.
P<;> P<K:::;, P<5; >P<KC::,:C:,::C;, P<2; >P<KCC:,C:C,:CC; P<3;
>P<KCCC;
8 8 (3) 3
8 8 (3) 3
8 8 (3) 1
La i(tri"+$i' ! pr)"a"i*ia !(
: 5 2 3
8
3
8
3
8
1
8
.9 U'a +r'a $)'ti!'! @ ")*a( $)' *)( '&!r)( 5, 2, 3 @ r!(p!$ti%a&!'t!. Si
(! t)&a' )( ")*a( ! *a +r'a (i' (+(tit+$i' : r!pr!(!'ta *a (+&a ! *)(
'&!r)( ! *a( )( ")*a( !=tra0a(.
D!t!r&i'! *a 1+'$i' ! pr)"a"i*ia 1<:;, !* %a*)r !(p!ra) E<:; *a %aria'a
! *a %aria"*! a*!at)ria
S)*+$i'B
 A* t)&ar *a( )( ")*a( t!'!&)( *a( (i/+i!'t!( p)(i"i*ia!(.
. = (1,2), (1,3), (1 ,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2),
(, 4,3)/
La %aria"*! : $)rr!(p)'! a 3, @, H, I
 
12 6
12 6
12 3
12 6
12 6
P(X = x)
6 6 3 6 6
&x = ' (x) =
2 = * (x) =
La %aria'a a*!at)ria !( ! JI
.9 A +' !p!'i!'t! ! +' a+t) *a%a) (! *! pa/a ! a$+!r) $)' !* '&!r)
! a+t)&%i*!( -+! *a%a. S+p)'/a -+! *a( pr)"a"i*ia!( ()' 552, 552. ., .,
5 5 r!(p!$ti%a&!'t! ! -+! !* !p!'i!'t! r!$i"a H, , 4, 55, 53 )
5 !'tr! *a( @ H ! *a tar! !' +' 0a ()*!a). E'$+!'tr! *a( /a'a'$ia( -+!
!(p!ra !* !p!'i!'t! para !(t! p!ri)) !(p!$01i$).
 
P<=; 1
) + ( ) 6
11 La /a'a'$ia !(p!raa !( 55
.9 U'a p!r()'a pi! pr!(ta) +' **a%!r) $)' $i'$) **a%!(, ') (a"! $+6* !( *a
-+! a"r! +' $a'a). P)r ta't), i't!'ta $)' $aa **a%! a(ta -+! $)'(i/+!
a"rir*). S!a *a %aria"*! a*!at)ria : -+! r!pr!(!'ta !* '&!r) ! i't!'t)(
'!$!(ari)( para a"rir !* $a'a).
a 9 D!t!r&i'! *a 1+'$i' ! pr)"a"i*ia ! :.
" 9 .C+a* !( !* %a*)r ! P <: P 5;Q
S)*+$i'B
La %aria"*! = (!ria 5, 2, 3, @ H
1 P(1) =
 J 4 3 60  J
P(4) = 4 3 2 1 × × ×   =
 J 4 3 2
=
+ + + + = 1  J J J J J
49 S! (a$a' 3 "a*)ta( (+$!(i%a&!'t! ! +'a $a#a -+! $)'ti!'! @ "a*)ta(
'!/ra( 2 "a*)ta( %!r!( $aa "a*)ta (! r!/r!(a a *a $a#a a't!( ! (a$ar *a
(i/+i!'t!, E'$+!'tr! *a i(tri"+$i' ! pr)"a"i*ia para *a %aria"*! : -+!
r!pr!(!'ta !* '+&!r) ! "a*)ta( %!r!(.
S)*+$i'B
Para -+! (!a i(tri"+$i' ! pr)"a"i*ia !"! $+&p*ir 
La %aria"*! : $)rr!(p)'! a 5 2 )'! '>3 *a pr)"a"i*ia !( P(x ) = 2
= 1
× (1 — P(x)3– x )
P(2) = ( 2 ) × (
27 27 27 27
5.9 A* i'%!rtir !' a$$i)'!( 1i'a'$i!ra(, +'a p!r()'a p+!! *)/rar +'a /a'a'$ia
! @ *ar!( !' +' a) $)' pr)"a"i*ia ! .3 ) "i!' t!'!r +'a pria !
5. *ar!( $)' pr)"a"i*ia ! .. C+6* (!r0a *a /a'a'$ia !(p!raa ! !(a
p!r()'a.
S)*+$i'B
 
× 07)
 J00 La /a'a'$ia )"t!'ia p)r *a p!r()'a !( ! H
55.9 S+p)'/a -+! +' $)&!r$ia't! ! #)!r0a a'ti/+a !(t6 i't!r!(a) !'
$)&prar +'a /ar/a'ti**a ! )r) para *a $+a* *a( pr)"a"i*ia!( ! p)!r 
%!'!r*a $)' +'a /a'a'$ia ! 2H, 5, a* $)(t), ) "i!' $)' +'a pria !
5H ()' r!(p!$ti%a&!'t! .22, .3, .2, .5@. C+6* !( *a /a'a'$ia
!(p!raa !* $)&!r$ia't!Q
La pr)"a"i*ia !( .22, .3, .2, .5@
&x = ' (x) = (2J0 × 022 + 100 × 036 + 0 × 028 —
1J0 × 014)
21)
70 La /a'a'$ia !(p!raa !( ! I
52.9 U' pi*)t) pri%a) !(!a a(!/+rar (+ a%i' p)r H. *ar!(. La
$)&pa0a ! (!/+r)( !(ti&a -+! p+!! )$+rrir +'a pria t)ta* $)'
pr)"a"i*ia ! .2, +'a pria ! H $)' +'a pr)"a"i*ia ! .5 +'a
! 2H $)' +'a pr)"a"i*ia ! .5. Si (! i/')ra' t)a( *a( )tra( pria(
par$ia*!(, -+! pri&a !"! $ar/ar $aa a ) *a $)&pa0a ! (!/+r)( para
)"t!'!r +'a +ti*ia &!ia ! US H Q
S)*+$i'
× 01))
01x  J00  = 0112x
 J00 = x
0112
 
x = 4464 28 E* %a*)r ! *a pri&a -+! *a $)&pa0a !"! $ar/a $aa a) !( ! @@J@.2O
53.9 S!a : +'a %aria"*! a*!at)ria $)' 1+'$i' ! !'(ia
1  <=; > a <3= =2 ; P = P 3
!' )tr) $a()
a; D!t!r&i'! !* %a*)r ! a para -+! *a 1+'$i' (!a !1!$ti%a&!'t! +'a 1+'$i'
! !'(ia ! pr)"a"i*ia
"; Ca*$+*! P <5 : 2;
La %aria"*! = $)rr!(p)'! a , 5, 2 3
a [(3(0) + 02 ) + (3(1) + 12 ) + (3 (2) + 22 ) + (3(3) + 32 )] = 1 a [0 + 4 + 10 + 18] = 1 a (32) = 1
1 a =
32 1
' a! a
1
 ƒ  32
(3x + x 2 )x = 32  ƒ 3(x )x + ƒ x 
2 x
1 1
 

S * i
2 E* * .
7 * * i
—
 J   1 J
2 = *(x) = [0 +
5H.9 S!a : +'a %aria"*! a*!at)ria $)' 1+'$i' ! !'(ia
1  <=; > a <@= =3 ; P = P 2
!' )tr) $a()
a; D!t!r&i'! !* %a*)r ! a para -+! *a 1+'$i' (!a !1!$ti%a&!'t! +'a 1+'$i'
! !'(ia ! pr)"a"i*ia
"; Ca*$+*! P <5 : 5,H;
S)*+$i'B
a; La %aria"*! : $)rr!(p)'! a , 5, 2
a [(4(0) + 02 ) + (4(1) + 12 ) + (4 (2) + 22 )]= 1 a [0 + J + 12] = 1 a [17] = 1
1 a =
1
1 1
4x 2
6418 10106 P(1 " x " 1 J) =1
461 2
E* * P .
&x = '(x) = [ 0 ×
i * t i t
t * i i i , t t i * ti ,
i i , ti * i i t 1 i i
:
t * i i
100 P
= 62 J0
La pr)"a"i*ia ! -+! *)( 'i)( %!a' t!*!%i(i' !'tr! H 5 )ra( !( !
2H $+a') 1<=;>= = P 5
 ƒ  (x ) = 2 — x 1 % x % 2
100 100 100
x)x =
2x —
 J0 (100)2 ( J0)2
) + (2( J0) — )] 2 2
P(J0 % x % 100) = —4800 — 11J0 = —JJ0 La pr)"a"i*ia ! -+! *)( 'i)( %!a' t!*!%i(i' !'tr! H 5 )ra( !( ! 9
H4H $+a') 1<=;>2 9 = 5 P = P 2
"; *a pr)"a"i*ia !'tr! 52 5H F)ra(
 ƒ  (x ) = x 0 % x % 1
1J0 P ( 120 % x % 1 J0
) = ƒ
= 184 J0
La pr)"a"i*ia ! -+! *)( 'i)( %!a' t!*!%i(i' !'tr! 52 5H )ra( !( !
5@H $+a') 1<=;>= = P 5
 ƒ  (x ) = 2 — x 1 % x % 2
1J0 P ( 120 % x % 1 J0
) = ƒ
( 2 —
 
P(120 % x % 1J0) = —10J0 + (—660 ) = —1710 La pr)"a"i*ia ! -+! *)( 'i)( %!a' t!*!%i(i' !'tr! 52 5H )ra( !( ! 9
545 $+a') 1<=;>2 9 = 5 = P 2
Pr)&!i) ! F)ra(
) = ƒ
1 a anana 5
2 = 0 J9 a!a a ƒ :n8n   ƒ (x) = x 0 % x % 1
2 2 2
x 2 2 P(1 % x % 2) = ƒ (2 — x)x = ƒ 2x — ƒ xx = 2x —  
2 1

21 = 10 J9 a!a a ƒ :n8n  ƒ (x)  = 2 — x a!a 1 % x % 2
2
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS 8 CONTINU AS
59 E' +'a $*a(! ! $i!'$ia( 'at+ra*!( ! 52 a*+&')( (! !*!/ir6 +'
r!pr!(!'ta't! ! /r+p), para *) $+a* (! +(ara !* '&!r) ! *i(ta ! $aa
a*+&'). S! a')ta' 52 pap!*!( $)' '&!r)( !* 5 a* 52 r!(p!$ti%a&!'t! (!
 
(a*/a (!a &!')r -+! H !t!r&i'! *a pr)"a"i*ia ! -+! !* '+&!r) (!a &a)r
-+! 3 p!r) &!')r -+! I.
 
 ƒ  12
1 = 1 —
12 ( J) + 1  J   7(—V)/ = 1 —   =12 12 12
7 a !<a<a P (x " J) 5 =
12
12 3
12
5.9 C)&) parti$ipa't! ! +'a !'$+!(ta ! $)'ta&i'a$i' !* air!, +'
i'(p!$t)r !$i! !=a&i'ar *a( !&i(i)'!( ! (!i( ! *)( 2@ $a&i)'!( ! +'a
$)&pa0a. Si $+atr) ! *)( $a&i)'!( !&it!' $a'tia!( !=$!(i%a( !
$)'ta&i'a't!( $+a* !( *a pr)"a"i*ia ! -+! 'i'/+') ! !**)( (!a part! ! *a
M+!(tra !* i'(p!$t)r 
 ƒ (x ) = P(X = x ) = h(x , N, n,
K ) =
6,4) =
=028
La pr)"a"i*ia ! -+! 'i'/+') ! !**)( (!a part! ! *a &+!(tra !( ! .2O
( N
 
54.9 U' i'/!'i!r) ! $)'tr)* ! $a*ia i'(p!$$i)'a +'a &+!(tra, t)&aa a*
aar, ! )( $a*$+*a)ra( &a'+a*!(, ! $aa *)t! -+! **!/a ! 5, a$!pta !*
*)t! (i a&"a( !(t6' !' "+!'a( $)'i$i)'!( ! tra"a#) ! )tra &a'!ra, (!
i'(p!$$i)'a t)) !* *)t! !* $)(t) (! $ar/a a* %!'!)r, !t!r&i'! *a
pr)"a"i*ia ! -+! +' *)t! (! a$!pta (i' i'(p!$$i' ai$i)'a*, (i $)'ti!'!
a. C+atr) $a*$+*a)ra( -+! ') !(t6' !' "+!'a( $)'i$i)'!( ! tra"a#)
". O$) $a*$+*a)ra( -+! ') !(t6' !' "+!'a( $)'i$i)'!( ! tra"a#)
S)*+$i'B
 
a; *a %aria"*! : !( i/+a* para -+! !* *)t! ') (!a !%+!*t). D)'! N> 5, '>2
W> @
n, K ) =
1 J3 = 0 J
La pr)"a"i*ia ! -+! (! a$!pt! !* *)t! $)' $+atr) $a*$+*a)ra( !' &a*a(
$)'i$i)'!( !( ! .H4
"; *a %aria"*! : !( i/+a* para -+! !* *)t! ') (!a !%+!*t). D)'! N> 5, '>2
W> O
n, K ) =
1 J3 = 024
La pr)"a"i*ia ! -+! (! a$!pt! !* *)t! $)' )$) $a*$+*a)ra( !' &a*a(
$)'i$i)'!( !( ! .H4
2.9 U'a 1*)r!r0a ti!'! 5H %!0$+*)( ! r!part), -+! (! +ti*ia' pri'$ipa*&!'t!
para **!%ar 1*)r!( arr!/*)( 1*)ra*!( !' +'a $i+a, (+p)'/a -+! (!i( ! *)( 5H
$a&i)'!( ti!'!' pr)"*!&a( $)' *)( 1r!')(. S! (!*!$$i)'ar)' $i'$) %!0$+*)( a*
aar para pr)"ar*)(, $+a* !( *a pr)"a"i*ia ! -+! )( ! *)( $a&i)'!(
pr)"a)( t!'/a' 1r!')( !1!$t+)()(Q
S)*+$i'B
La %aria"*! : !( i/+a* 2! *)( $a&i)'!( pr)"a)(. D)'! N> 5H, '> X> H
 ƒ  (x ) = P(X = x ) = h(x , N,
n, K ) =
=
!1!$t+)()( !( ! .@2
25.9 E' +'a 16"ri$a ! $ir$+it)( !*!$tr'i$)(, (! a1ir&a -+! *a pr)p)r$i' !
 
!( *a pr)"a"i*ia ! -+! +' $)&pra)r a* r!%i(ar 5H +'ia!( a* aar 
!'$+!'tr! $+atr) !1!$t+)(a(Q
S)*+$i'B
La %aria"*! : $)rr!(p)'! a @ +'ia!( !1!$t+)(a(, )'! '>5H +'ia!( *a
pr)p)r$i' ! +'ia!( !1!$t+)(a( !( ! H >.H, para !(t) +ti*iar!&) (
+'a i(tri"+$i' "i ')&i'a*.
4
0J688
 ƒ (49 00J1J) =
00048J La pr)"a"i*ia ! -+! +' $)&pra)r !'$+!'tr! @ +'ia!( !1!$t+)(a( !( !
.@OH
22.9 U' i'%!(ti/a)r i'!$ta +' /!r&!' pat/!') a %ari)( rat)'!( a *a %!,
a(ta -+! aa 2 -+! a' $)'tra0) *a !'1!r&!a. Si *a pr)"a"i*ia !
$)'tra!r !* pa!$i&i!'t) !( ! 5. C+6* !( *a pr)"a"i*ia ! -+! (!a'
'!$!(ari)( rat)'!(Q
S)*+$i'B
La %aria"*! : $)rr!(p)'! a rat)'!(, )'! r>2 rat)'!( -+! a' $)'tra0) *a
!'1!r&!a *a P > 5 para !(t) +ti*iar!&)( +'a i(tri"+$i' "i')&ia*
'!/ati%a.
1 1 J62 J   1 1037 J
 
23.9 S!/' *)( r!/i(tr)( +'i%!r(itari)( 1ra$a(a !* H ! *)( a*+&')( ! $i!rt)
$+r(). C+6* !( *a pr)"a"i*ia ! -+! ! !(t+ia't!( (!*!$$i)'a)( a* aar,
&!')( ! 3 aa' 1ra$a(a)Q
S)*+$i'B
La %aria"*! : $)rr!(p)'! a , 5, 2 )'! '> !(t+ia't! (!*!$$i)'a)( P >
H > .H, para !(t) +ti*iar!&)( +'a i(tri"+$i' "i')&ia*
6  ƒ  (09 00 J,6) = (
0
6 = 1 × 1 × 073 J  = 073 J
6  ƒ  (19 00 J,6) = (
1
) × 00 J1 × (1 — 00 J)  J = 6 × 00 J × 0774 = 02322
6  ƒ  (29 00 J,6) = (
2
) × 00 J2 × (1 — 00 J) 4 = 1 J × 0002 J × 0814 J  = 0030 J
P > <: 3; > .3H ? .2322 ? .3H > .332
La pr)"a"i*ia ! -+! &!')( ! tr!( a*+&')( aa' 1ra$a(a) !( ! .33J2
2@.9 S!/' +' !(t+i) p+"*i$a) p)r +' /r+p) ! ()$i*)/)( ! *a U'i%!r(ia
! Ma((a$+(!tt(, apr)=i&aa&!'t! !* ! *)( $)'(+&i)r!( !*
tra'-+i*ia't! Va*i+& !' i$) !(ta), t)&ar)' !* 16r&a$) p)r pr)"*!&a(
p(i$)*/i$)(, D!t!r&i'! *a pr)"a"i*ia ! -+! !'tr! *)( (i/+i!'t!( O
$)'(+&i)r!( !'tr!%i(ta)( !' !(t! !(ta), p)r *) &!')( H aa' $)&!'a)
a t)&ar*) p)r pr)"*!&a( p(i$)*/i$)(.
S)*+$i'
La %aria"*! : $)rr!(p)'! a , 5, 2, 3, @ )'! '> $)'(+&i)r!( P > J
> ., para !(t) +ti*iar!&)( +'a i(tri"+$i' "i')&ia*
 ƒ  (09 06,8) =
8 ) × 060
 
× (1 — 06)7 = 8 × 06 × 000164 = 000787
1
8 ) × 062
× (1 — 06)6 = 28 × 036 × 00041 = 04133 2
 ƒ (39 06,8) =
(  ƒ  (49 06,8) =
8 ) × 063
× (1 — 06) J  = J6 × 0216 × 001024 = 01238 3 8 ) × 064
× (1 — 06)4 = 70 × 0126 × 002 J6  = 02322 4
P > <: 3; > .HH ? . ? .@533 ? .523 ? .2322 > .IIIO
La pr)"a"i*ia ! -+! p)r *) &!')( $i'$) aa' $)&!'a) a t)&ar*)( p)r 
pr)"*!&a( p(i$)*/i$)( !( ! .IIIO
2H.9 La pr)"a"i*ia ! -+! +'a p!r()'a -+! %i%! !' $i!rta $i+a t!'/a +'
p!rr) (! !(ti&a !' .3. D!t!r&i'! *a pr)"a"i*ia ! -+! *a !$i&a p!r()'a
!'tr!%i(taa a* aar !' i$a $i+a (!a *a -+i'ta !' p)(!!r +' p!rr).
S)*+$i'B
La %aria"*! : $)rr!(p)'! a 5 p!r()'a !'tr!%i(taa(, )'! r>H *a P > .3
para !(t) +ti*iar!&)( +'a i(tri"+$i' "i')&ia* '!/ati%a
 ƒ  (10 9 03, J) 
= (
) × (07) J 
× (03) J  = 126 × 01681 × 000243 = 00 J1 J 4
La pr)"a"i*ia ! -+! *a !$i&a p!r()'a !'tr!%i(taa (!a *a -+i'ta !' p)(!!r 
+' p!rr) !( ! .H5H
2.9 S+p)'/a -+! $i!rt) !(t+ia't! ti!'! +'a pr)"a"i*ia ! ,H ! apr)"ar 
!* !=a&!' ! i'/*!( !' $+a*-+i!r i't!'t) -+! a/a. C+6* !( *a pr)"a"i*ia !
-+! *) *)/r! apr)"ar !' !* $+art) i't!'t)Q
 
La %aria"*! : $)rr!(p)'! a @, )'! r>5 *a P > .H para !(t) +ti*iar!&)(
+'a i(tri"+$i' "i')&ia* '!/ati%a
 ƒ  (49 07 J,1) =
(
3 ) × (02 J)3 
× (0 7 J)1  = 1 × 001 J62 J × 07 J  = 001172 0
La pr)"a"i*ia ! -+! *)/r! apr)"ar !' !* $+art) i't!'t) !( ! .55I2
2.9 D! a$+!r) $)' +' r!p)rt! ! *a (!$r!taria ! &)%i*ia, !' B)/)t6 (!
r!/i(tra' !' pr)&!i) ,H p!at)'!( atr)p!**a)( a *a (!&a'a < 0a(;.
D!t!r&i'! *a pr)"a"i*ia ! -+! !' tr!( 0a( ! +'a (!&a'a $+a*-+i!ra
)$+rra' !'tr! $a()( ! p!r()'a( atr)p! **aa( !' *a $i+a.
S)*+$i'B
La %aria"*! : $)rr!(p)'! a $a()( ! p!r()'a( atr)p!**aa( !( *a $+ia,
!* pr)&!i) !( ! .H !' (i!t! 0a(, p)r *) ta't) !' tr!( 0a( !* pr) &!i) (!ria
! 3.2, p)r ta't) (! +ti*iara *a i(tri"+$i' ! p)i()'.
T!'i!') a(0 Y> 3.25
P(6 % x % 8) = 0011 + 0027 + 0061 =
00 La pr)"a"i*ia ! -+! !' tr!( 0a( ! +'a (!&a'a )$+rra' !'tr! $a()(
! p!r()'a atr)p!**aa( !( ! .44
2.9 E* '&!r) ! $a&i)'!( !' pr)&!i) -+! **!/a' a +'a $!'tra* ! a"a(t)(
!' $i!rta $i+a, !( ! 52 p)r 0a. C+6* !( *a pr)"a"i*ia ! -+! !' +' 0a
$+a*-+i!ra **!/+!' &!')( ! '+!%! $a&i)'!( a !(a $!'tra* ! a"a(t)(Q
S)*+$i'B
La %aria"*! : $)rr!(p)'! a , 5, 2, 3, @, H, , , $a()( ! p!r()'a(
atr)p!**aa( !( *a $+ia, !* pr)&!i) !( ! 52 p)r 0a, $)' "a(! !' !(t) (!
+ti*iara *a i(tri"+$i' ! p)i()'.
 
4 )
1
P(x " ) = 0066 + 0044 + 002 JJ + 00127 J + 000 J3 + 000183 +
0000442
+ 00000737 +
000000614
P(x " ) = 01JJ La pr)"a"i*ia ! -+! **!/+!' a* &!')( 4 $a&i)'!( a *a $!'tra* ! a"a(t)( !(
! .5HH4
24.9 Si Y !( *a i(tri"+$i' ')r&a* tipi1i$aa, !'$+!'tr! !* 6r!a "a#) *a $+r%a -+!
$a!
". E'tr! > 9 2, > 9 ,5H
$. A *a !r!$a ! > 5,@@
S)*+$i'B
P(@ = —113) = P(@ X 113)
P(@ = —113) = 1 — P (@ " 113) = 1 — 08708 = 0122 E* 6r!a "a#) *a $+r%a a *a i-+i!ra ! > 95.53 !( ! .5242 ) 52.42
". E'tr! > 9 2, > 9 ,5H
 
P (—206  " @ " —01 J)  = P (206 X @ X 01 J)
= (1 — P(@ " 01 J)) — (1 — P(@ " 206))
= (1 — 0JJ6) — (1 — 08030) = (04404 ) — (0017) =
 
$. A *a !r!$a ! > 5,@@
P(@ X 144) = 1 — P(@ X 144) = 1 — 02J1 =
0074 E* 6r!a "a#) *a $+r%a a *a !r!$a ! > 5.@@ !( ! .@4 ) I.@4
3.9 Si *a %aria"*! a*!at)ria Y ti!'! +'a i(tri"+$i' ')r&a* tipi1i$aa, !'$+!'tr!
*a &!#)r apr)=i&a$i' ! *a( ta"*a( para !* %a*)r ! X, ta* -+!
a. P <Y Z W; > ,3H
". P <Y W; > ,HH
$. <W) Y X5; > ,4H
a. P <Y Z W; > ,3H
P(@ X k) = 1 — P (@ " k)
P(@ X k) = 1 — 03J00 = 06J W $)rr!(p)'! a* %a*)r ! *a ta"*a i'%!r(a ! i(tri"+$i' ')r&a* tipi1i$aa +-!
!( i/+a* a .3OH3
". P <Y W; > ,HH
P(@ " k) = 0JJ00 W $)rr!(p)'! a* %a*)r ! *a ta"*a i'%!r(a ! i(tri"+$i' ')r&a* tipi1i$aa -+!
!( i/+a* a .52HJJ5
$. <W) Y X5; > ,4H
P(k0 " @ " k1 ) = P(@ " k1 ) — (1 — P (@ " k0 )) = 0 JJ00 — (1 —
0 JJ00)
= 0JJ00 — 04J00 = 01000 W $)rr!(p)'! a* %a*)r ! *a ta"*a i'%!r(a ! i(tri"+$i' ')r&a* tipi1i$aa -+!
!( i/+a* a 3.45
35.9 La( ')ta( ! +' !=a&!' !$) a +'a $*a(! ! 3 a*+&')( (i/+!' +'a
i(tri"+$i' N)r&a* $)' &!ia @.2 !(%ia$i' !(t6'ar 5.3.
a; Ca*$+*ar !* '&!r) ! a*+&')( $)' ')ta !'tr! H I.
"; N+&!r) ! a*+&')( $)' ')ta !'tr! @ J
S)*+$i'B
x —
&  J —
x —
= = = 21 J 13 13
P(062 " @ " 21J) = P(@ X 21J) — P(@ X 062) = 08422 — 07324 =
02J2 E* '&!r) ! a*+&')( $)' ')ta !'tr! H !( ! .2H2 \ 3 >4.2 !( !$ir 
apr)=i&aa&!'t! 4 a*+&')(.
"; '&!r) ! a*+&')( !'tr! @ J
13 18
= = = 138 13 13
P(—01 J  " @ " 138) = P (@ X 138) — (1 — P(@ X 01 J))
= 0162 — (1 — 0JJ6) = 0162 — 04404 = 047J8
E* '&!r) ! a*+&')( $)' ')ta !'tr! @ !( ! .@H \ 3 > 5.52 !( !$ir
apr)=i&aa&!'t! 5 a*+&')(
32.9 E* p!() ! *a( 'ara'#a( (i/+! +'a i(tri"+$i' ')r&a* ! &!ia 5 /
!(%ia$i' t0pi$a 2 /. U' a*&a$!'i(ta a $)&pra) 5. X/. Ca*$+*ar
a; Wi*)( ! 'ara'#a( -+! (! !(p!ra p!(!' &!')( ! 5H /.
"; Wi*)( ! 'ara'#a( $+) p!() (! !(p!ra -+! !(t! !'tr! 5 2 /.
S)*+$i'B
[ > 5 ) > 2
x —
 
P(@ " —1J) = P(@ X 1J) = 1 — P(@ X 1J) = 1 — 0332 = 00668
L)( Xi*)( ! 'ara'#a -+! (! !(p!ra p!(!' &!')( ! 5H /ra&)( !( 5 \
. > Xi*)(
x —
= = = 100 20 20
P(—100  " @ " 100) = P (@ " 100) — (1 — P(@ X 100))
= 08416 — (1 — 08416) = 08416 — 01J84 =
06832 L)( Xi*)( ! 'ara'#a -+! (! !(p!ra !'tr! 5 2 /ra&)( !( 5 \ .JO32
> 32 Xi*)(
33.9 E* D!parta&!'t) ! Ta*!'t) ]+&a') ! +'a +'i%!r(ia a !$) +'
!(t+i) ()"r! *a i(tri"+$i' ! *a( !a!( !* pr)1!()ra) a )"(!r%a) -+!
(! i(tri"+!' ')r&a*&!'t! $)' +'a &!ia ! 3@ aR )( +'a !(%ia$i' t0pi$a ! a)(. D! +' t)ta* ! @ pr)1!()r!( Fa**ar a; C+a't)( pr)1!()r!( a $)' !a &!')r ) i/+a* a 3H aR)(Q
"; C+a't)( ! HH a)( ) &6(Q
S)*+$i'B
[ > 3@ ) > J
P(x " 3 J) = @2
6
P(@ " 016) = 0J636 L)( pr)1!()r!( $)' !a &!')r ) i/+a* a 3H a)( ()' ! @ \ .H3 >
22H.@@ apr)=i&aa&!'t! 22H pr)1!()r!(.
". pr)1!()r!( $)' HH a)( ) &6(.
P(x X JJ) = @2
 
P(@ X 3J) = 1 — P(@ " 3J) = 1 — 0767 =
0000233 L)( pr)1!()r!( $)' HH a)( ) &6( !( ! @ \ .233 > .432 pr)1!()r!(
3@.9 E' +'a pa'a!r0a (! $)rta' pa'!$i**)( $)' +' p!() -+! (! a#+(ta a +'a
i(tri"+$i' ')r&a* ! &!ia 5 / !(%ia$i' t0pi$a 4. C+6* !( *a
 
P(—222  " @ " 000) = P (@ " 000) — (1 — P(@
X 222))
= 0J000 — (1 — 0867 ) = 0J000 — 001321 = 04867 L)( pr)"a"i*ia ! t!'!r +' pa'!$i**) $)' +' p!() !'tr! / 5/ !( !
.@OJI4
3H.9 La +ra$i' &!ia ! +' *a%a%a#i**a( !( ! 5H aR )(, $)' +'a !(%ia$i'
t0pi$a i/+a* a .H a  )(. Si *a %ia ti* ! !*!$tr))&(ti$)( (! i(tri"+! ')r&a*&!'t!, a**a *a pr)"a"i*ia ! -+! a* $)&prar +' *a%a%a#i**a( !(t! +r! &6( ! 5 aR)(.
S)*+$i'B
[ > 5H ) > .H
P(@ % 2) = P(@ % 2) = 1 — P(@ % 2) = 1 — 0772J =
00228 La pr)"a"i*ia ! -+! !* *a%a%a#i**a +r! 5 !( ! .22O
3.9 S! a !t!r&i'a) -+! para %ar)'!( ')r&a*!( !' +'a $i!rta p)"*a$i'
')r&a*&!'t! i(tri"+ia, *a t!&p!rat+ra &!ia !( ! 3 ^C !(%ia$i'
!(t6'ar ! ,H^C. Si (! $)'(i!ra' 5 ! !(ta( p!r()'a(.  C+a'ta( (!
p+!! !(p!rar -+! t!'/a' +'a t!&p!rat+ra $)&pr!'ia !'tr! 3 ^C 3I,J^CQ
S)*+$i'B
= = = 12 0 J   0 J
P(0 " @ " 12) = P(@ " 12) — P(@ " 0) = 0884 — 0J000
= 0384 E* t)ta* ! p!r()'a( -+! (! p+!! !(p!rar !( ! 5 \ .3@4 > 3O@.4
apr)=i&aa&!'t! 3H p!r()'a( t!'r6' t!&p!rat+ra( !'tr! 3^C 3I.J^C
3.9 U' $a*!'ta)r ! a/+a r!-+i!r! p)r tr&i') &!i) 3 &i'+t)( para
$a*!'tar @ /a*)'!( ! a/+a a(ta +'a t!&p!rat+ra !t!r&i'aa. Si *)(
ti!&p)( ! $a*!'ta&i!'t) (! i(tri"+!' ')r&a*&!'t! $)' +'a !(%ia$i'
!(t6'ar ! ,H &i'+t)(. Q+ p)r$!'ta#! ! *)( ti!&p)( ! $a*!'ta&i!'t) ()'
(+p!ri)r!( a 35 &i'+t)(Q
S)*+$i'
P(@ X 2) = 1 — P(@ X 2) = 1 — 0772J =
00228 E* p)r$!'ta#! ! *)( ti!&p)( ! $a*!'ta&i!'t) (+p!ri)r!( a 35 &i'+t)( !( !
@ \ .22 > .452 \ 5 > 45.2
3.9 L)( r!(+*ta)( ! +'a pr+!"a )"#!ti%a ! (!*!$$i' !$a a 2 p!r()'a(
i'i$ar)' -+! *a i(tri"+$i' ! p+'t+a$i)'!( !ra ')r&a*, $)' &!ia p+'t)(
!(%ia$i' t0pi$a ! p+'t)(. Ca*$+*ar $+6't)( !=a&i'a)( a' )"t!'i)
+'a p+'t+a$i' !'tr! 3 @ p +'t)(, $+6* !( *a &i'i'a p+'t+a$i' p)r !"a#)
! *a $+a* !(t6' !* H ! *)( !=a&i'a)( Q
S)*+$i'B
N > 2
 
= = — = —333 6 6
P(— J % @ % — 333) = (1 — P(@ % 333)) — (1 — P(@ % J))
= (1 — 0 J6 J ) — (1 — 0 ) = 000043 J —
0000001
= 0000434
 
L)( !=a&i'a)( -+! t+%i!r)' p+'ta#! !'tr! 3 @ p+'t)( !( ! 2 \
.@3@ > . ) !* . ! p!r()'a(
". p+'t+a$i' &0'i&a p)r !"a#) !* H ! *)( !=a&i'a)(.
x — & @ =
x = 07J × 6 + 60 =
64J La &i'i'a p+'t+a$i' -+! (! !'$+!'tra p)r !"a#) !* H ! *)( !=a&i'a)(
!( ! J@.H
34.9 S+p)'i!') -+! *a( ta**a( ! *)( a+*t)( ! +' pa0( A (i/+!' +'a
i(tri"+$i' ')r&a* $)' &!ia 5 $&. !(%ia$i' t0pi$a H $&. -+! *a( ta**a(
! *)( a+*t)( !' +' pa0( B (i/+!' +'a i(tri"+$i' ta&"i' ')r&a*, p!r) $)'
&!ia 5 $&. !(%ia$i' t0pi$a 5H $&., $)'t!(tar ! &a'!ra #+(ti1i$aa !'
$+6* ! *)( )( pa0(!( !( &6( pr)"a"*! !'$)'trar a+*t)( $)' ta**a (+p!ri)r a
54H $&. )'! !( &6( pr)"a"*! !'$)'trar a+*t)( $)' ta**a $)&pr!'ia
!'tr! 5H 5H $&.
S)*+$i'B
 J J 1 J — 180 1 J
@C =
P(@ % 3) = 1 — P(@ % 3) = 1 — 086J0 = 00013J
P(@ % 1) = 1 — P(@ % 1) = 1 — 08416 = 01J84 E( &6( pr)"a"*! !'$)'trar a+*t)( $)' ta**a (+p!ri)r a 54H $& !' !* pa0( B a
-+! a +'a pr)"a"i*ia ! .5H@ $)' r!(p!$t) a* pa0( A, -+! ti!'! +'a
pr)"a"i*ia ! . 53H
 
P(—1 % @ % 1) = P(@ % 1) — (1 — P(@ % 1)) = 08416 — (1 — 08416)
= 08416 — 01J84 = 06832
Pa0( B
x —
= = = 033 1 J   1 J
P(—033  % @ % 033) = P (@ % 033) — (1 — P(@ % 033))
= 0623 — (1 — 0623) = 0623 — 03707
= 02J E( &6( pr)"a"*! !'$)'trar a+*t)( $)' ta**a !'tr! 5H $& 5H $& !' !* pa0(
 A a -+! a +'a pr)"a"i*ia ! .32 $)' r!(p!$t) a* pa0( B, -+! ti!'! +'a
pr)"a"i*ia ! .2H4
Gra$ia( a* !(arr)**) ! !(t! ta**!r &! ! a) $+!'ta -+! *a( %aria"*!(
a*!at)ria( *a( i(tri"+$i)'!( ! pr)"a"i*ia ()' ! /ra' +ti*ia a -+!
a') +' "+!' +() ! *a( 1)r&+*a( -+! !(ta( ')( )1r!$!' p)!&)( ar 
()*+$i' r6pia a pr)"*!&a( -+! (! ')( p+!!' p  r!(!'tar !' $+a*-+i!r part!
 
R)"a).Aria'a.2.M)+*) ! pr)"a"i*ia. UNAD. B)/)t6. D.C.