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UNIVERSIDADE FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL
DA PARAÍBADA PARAÍBA
Prof. Prof. TarcianaTarciana LiberalLiberalDepartamento de EstatísticaDepartamento de Estatística
Distribuição AmostralDistribuição Amostral
INTRODUÇÃO
• A Inferência Estatística é um conjunto de técnicas queobjetiva estudar a população através de evidências fornecidaspor uma amostra.
• É a amostra que contém os elementos que podem serobservados e, a partir daí, quantidades de interesse podemser medidas.
x
• A Distribuição Amostral retrata o comportamento de umaestatística (média, proporção, entre outras), casoretirássemos todas as possíveis amostras de tamanho “n”de uma população.
• Uma estatística é uma função da amostra. Uma amostraconsiste de observações de uma variável aleatória. Assim,estatísticas também são variáveis aleatórias e, por isso,possuem uma distribuição de probabilidade.
x
•Seja X uma variável aleatória qualquer. Considere a retiradade amostras de tamanho n (n grande -> n >= 30). Adistribuição amostral da média será NORMAL,independente da distribuição da v.a. X.
X
•No caso em que a distribuição de X é NORMAL, adistribuição de será NORMAL mesmo para pequenosvalores de n.
x
X
• Seja X1, X2, ..., Xn uma a.a.s. retirada de uma população X.Temos que X1, X2, ..., Xn são independentes, com E(Xi) = µ eVar(Xi) = σ2. Assim, se X tem distribuição normal ou n > 30(Teorema Central do Limite), temos que
x
• Suponha que podemos extrair todas as amostras de tamanho n
(sem reposição) de uma população finita de tamanho N, neste casotemos que:
µ µ σσ
X n
N n
N= =
−
− e
X 1
A quantidade é conhecida como o fator de correção amostralpara população finita, ou simplesmente “Fator de Correção”.
N n
N
−
− 1
x
• Se o tamanho da população for muito grande, infinito ou ainda aamostragem for feita com reposição, os resultados acima passam aser:
Obs: Uma população que tem um limite superior definido é chamadade finita. Em estatística, considera-se como população finita quando(n/N) > 0,05, ou seja, quando a fração amostral é maior do que 5 %.
µ µ σσ
X n= = e
X
para população finita, ou simplesmente “Fator de Correção”.
EXEMPLO 1
A altura dos estudantes da turma de Modelos de Probabilidadee Inferência Estatística tem distribuição normal com média 172cm e desvio padrão 9 cm. Uma amostra de 25 estudantes éretirada.
a) Qual a probabilidade de que a média amostral seja acimade 175 cm?
b) Qual a probabilidade de que a média amostral esteja entre170 e 176 cm?
c) Qual deve ser a altura média dos estudantes que permitaque em 90% das vezes a média amostral seja inferior a estevalor.
d) Quantos estudantes deveriam ter sido selecionados paraque a probabilidade da média amostral inferior a 174 cmfosse de 0,8.
De acordo com os estudos realizados pela Cagepa, no município de JoãoPessoa, o consumo mensal de água por residência tem distribuição normalcom média 20 m3 e variância de 144 m3.
a) Em uma amostra de 36 residências, qual a probabilidade de que a médiaamostral não se afaste da verdadeira média populacional por mais de 2m3?
b) Devida a escassez de água nos reservatórios, a empresa deseja estipularum consumo médio de forma que em 95% das vezes o consumo médio
Exemplo 2
um consumo médio de forma que em 95% das vezes o consumo médioamostral seja inferior a este valor. Qual deve ser o valor estipulado pelaCagepa?
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO
Considere uma população em que cada elemento éclassificado de acordo com a presença ou ausência dedeterminada característica.
Por exemplo, podemos pensar em eleitores escolhendo entre2 candidatos, pessoas classificadas de acordo com o sexo, eassim por diante.assim por diante.
Vamos considerar uma população em que a proporção deindivíduos com uma certa característica é p. Logo, podemosdefinir uma v.a. X como
• Retira-se uma a.a.s. de tamanho n dessa população. Sejao número de indivíduos com a característica de
interesse na amostra, temos que Sn ~ Binomial(n, p).
• A variável aleatória Sn tem distribuição exata dada por umabinomial com parâmetros n e p. Desta forma, probabilidades
∑=
=
n
i
in XS1
binomial com parâmetros n e p. Desta forma, probabilidadesenvolvendo a proporção amostral podem ser calculadas demodo exato usando esta distribuição.
• Caso o valor de n seja muito grande, essas probabilidadesdarão algum trabalho para serem calculadas e torna-seconveniente utilizar a aproximação Normal.
• Sabemos que tem distribuição normal para nsuficientemente grande. Seja , a proporção amostral,temos que:
n
SX n
=
Xp =ˆ
Obs: é conhecido como erro padrão da proporção.p̂σ
• Suponha que podemos extrair todas as amostras detamanho n (sem reposição) de uma população finita detamanho N, neste caso temos que:
1
)1(ˆˆ
−
−−==
N
nN
n
ppp pp σµ e
x
• Se o tamanho da população for muito grande, infinito ouainda a amostragem for feita com reposição, os resultadosacima passam a ser:
n
pppp
)1(ˆˆ
−== p e σµ
A quantidade é conhecida como o fator de correçãoamostral para população finita, ou simplesmente “Fator deCorreção”.
N n
N
−
− 1
Com base em dados históricos, uma companhia aérea estima em15% a taxa de desistência entre seus clientes, isto é, 15% dospassageiros com reserva não aparecem na hora do vôo. Paraotimizar a ocupação de suas aeronaves, essa companhia decideaceitar 400 reservas para os vôos em aeronaves que comportamapenas 350 passageiros.
Exemplo 2
apenas 350 passageiros.
a) Qual a probabilidade de que essa companhia não tenhaassentos suficientes em um desses vôos. Essa probabilidade éalta o suficiente para a companhia rever sua política de reserva?
x
Exemplo 3
Qual a probabilidade que o tempo médio das mulheres difira do tempo médio dos homens por pelo menos 0,6 meses?
x
menos 0,6 meses?
Exemplo 4
Um gerente cria a seguinte regra: se a frequência do anúncio tiver influência na manutenção da fatia de mercado a diferença entre a proporção no primeiro ano e no segundo deve ser no mínimo
x
fatia de mercado a diferença entre a proporção no primeiro ano e no segundo deve ser no mínimo de 5%. Qual a probabilidade da frequência do anúncio ter influência na preferência dos consumidores?