Бодлого №367. 2 радиустай тойрог өөр нэг тойрогтой гадаад байдлаар A цэгт шүргэлцэнэ. A цэгийг дайрсан ерөнхий шүргэгч нь өөр ерөнхий шүргэгчтэй B цэгт огтолцоно. 4AB = бол нөгөө тойргийн радиусыг ол.

Бодолт. (1-р арга) r ба R нь тойргийн радиусууд, 2r = C ба D цэгүүд нь 2-р шүргэгчийг шүргэлтийн цэгүүд болог.

Тэгвэл 4BC AB BD= = = , 8CD = 2CD rR= болох ба

2 4rR = . Эндээс 8R = гэж гарна.

(2-р арга) . Хэрэв 1O ба 2O нь тойргийн төвүүд бол

1 2 90O BO∠ = o болно. Яагаад гэвэл хамар өнцгийн

биссектрисүүдийн хоорондох өнцөг учир. Тэгвэл BA нь

1 2O BO гурвалжны өндөр болно. (Тэгш өнцөгийн оройгоос

гипотенуз дээр буулгасан өндөр). Эндээс

21 2 16O A O A AB⋅ = = 2 8O A =

Бодлого №368. Хоёр тойрог гадаадад байдлаар C цэгт шүргэлцэнэ. Тойргийн радиусууд нь 2 ба 7болно. C цэгийг дайрсан ерөнхий шүргэгч нь өөр нэг ерөнхий шүргэгчтэй D цэгт огтолно. Тэгвэл жижиг тойргийн төвөөс D хүртлэх зайг ол.

Бодолт: 1O ба 2O нь жижиг ба том тойргийн төвүүд

1 2O DO өнцөг хамар өнцөгийн биссектрисүүдийн

хоорондох өнцөг учир 1 2 90O DO∠ = o . 1 2O DO тэгш өнцөгт

гурвалжнаас 21 1 1 2 2 9O D O C O O∠ = ⋅ = ⋅ гэж гарна. Эндээс

1 3O D = .

Бодлого №369. Багтсан дөрвөн өнцөгтийн диагнолиуд нь перпендикулияр бөгөөд P цэгт огтолцоно. P цэгийг дайрсан дөрвөн өнцөгтийн аль нэг талд перпендикуляр шулуун эсрэг талыг нь таллан хуваана гэж батал.

Бодолт: ABCD дөрвөн өнцөгтийн AD ба BC талыг уг шулуунаар огтлоход үүсэх цэгүүдийг N ба M гэе.

.PH AD ACB ADB α⊥ ∠ = ∠ = . Тэгвэл

90BPM DPH α∠ = ∠ = −o ,

90 (90 ) PCMCPM α α∠ = − − = ∠o o . Эндээс CMP гурвалжин

нь адил хажуут гэж гарна. PM CM= үүнтэй адилаар PM MB= . Эндээс PM нь BPC гурвалжны медиан болж батлах зүйл батлагдав.

Бодлого №370. Хоёр тойрог гадаад байдлаар A цэгт огтолцоно. A цэгийг гадаад ерөнхий шүргэлтийн цэгүүдтэй холбосон хөвгүүд нь 6 ба 8 бол тойргийн радиусуудыг ол.

Бодолт. 1O ба 2O тойргийн төвүүд болог. B ба C цэгүүд

шүргэлтийн цэгүүд ( 6, 8)AB AC= = BAC гурвалжин

нь тэгш өнцөгт учир ( A өнцөг нь тэгш) 10BC = . M цэг нь 2O оройгоос AC -д буулгасан өндрийн суурь болог.

Тэгвэл 2O MC ба CAB гурвалжинууд төсөөтэй гэдгээс

24 20108 3

CMO C BCAB

= ⋅ = ⋅ = гэж гарна. Үүнтэй адилаар

1154

O B = гэж олдоно.

Бодлого №371. α өнцөгийн талуудыг шүргэсэн бөгөөд мөн хоорондоо шүргэлцсэн хоёр тойргийн радиусуудын харьцааг ол.

Бодолт. r ба R тойргийн радиусууд (CR r> ). Том тойргийн төвөөс өнцөгийн аль нэг талын шүргэлтийн цэг рүү радиус татаад түүнд жижиг тойргийн төвөөс перпендикуляр буулгая. Тэгвэл

R r+ гипотенузтай, R r− катеттай, энэ катетийн эсрэг талын хурц өнцөг нь 2α

байх тэгш өнцөгт

гурвалжин гарч ирнэ. Иймд sin2

R rR r

α−=

+. Эндээс

1 sin2

1 sin2

rR

α

α

−=

+ гэж гарна.

Бодлого №372. 60o тэнцүү хурц өнцөг дотор бие биеээ гадаад байдлаараа шүргэсэн хоёр тойрог багтсан жижиг тойргийн радиус нь r бол том тойргийн радиусыг ол.

Бодолт. R том тойргийн радиус болог. Том тойргийн өнцөгийн аль нэг нэг талын шүргэлтийн цэг рүү татсан радиусад жижиг тойргийн төвөөс перпендикуляр буулгая. Тэгвэл R r+

гипотенузтай, R -г катеттай энэ катетийн эерэг хурц өнцөг нь 30o байх тэгш өнцөгт гурвалжин бий болно. Тэгвэл 2( )R r R r+ = − эндээс 3R r= гэж гарна.

Бодлого №373. Адил хажуут трапец дотор хоёр тойрог оршино. Нэг тойрог нь 1 радиустай бөгөөд трапецад багтана. Нөгөө нь трапецийн хоёр тал ба нэг дүгээр тойргийг шүргэнэ. Хоёр дугаар тойргийг шүргэсэн хоёр талын үүсгэх өнцөгийн оройгоос тойргуудын шүргэлцсэн цэг хүртлэх зай нь хоёр дугаар тойргийн радиусаас 2 дахин их бол трапецийн талбайг ол.

Бодолт. 1O ба 2O нь тойргийн төвүүд болог. 1M ба 2M нь ABCD трапецийн AB талтай

тойргуудын шүргэсэн цэгүүд N -нь нэг дүгээр тойргийн AD суурийн шүргэсэн цэг. K нь тойргуудын хоорондоо шүргэсэн цэг. x -нь хоёр дугаар тойргийн радиус 2 2AO M гурвалжны

катет 2 2O M x= гипотенуз 2 3AO x= 21sin BAO3

∠ = 2ctg BAO 2 2∠ = 1 1AO M тэгш өнцөгт

гурвалжнаас 1 1 1 1 2 2M A O M ctg BAO= ⋅ ∠ = гэж гарна. 21 1 1 1O M BM M A= ⋅ . Учир

21 1

11

24

O MBMM A

= = . Эндээс трапецийн сууриуд нь 4 2 ба 2

2 гэж гарна. Тэгвэл

24 2 9 22 22 2ABCDS+

= ⋅ = .

Бодлого №374. Параллелограмм дотор хоёр тойрог оршино. Тэдгээрийн нэг нь 3 радиустай бөгөөд параллелограммд багтсан. Хоёрдугаар тойрог нь параллелограммын хоёр тал ба нэг- дүгээр тойргийг шүргэнэ. Параллелограммын нэг тал дээрх шүргэлтийн цэгүүдийн хоорондох зай нь 3 бол параллелограммын талбайг ол.

Бодолт. ABCD параллелограммд тойрог багтсан учир уг параллелограмм нь ромбо ёстой. 1O ба

2O -тойргийн төвүүд r ба R нь радиусууд болог. (R 3)= 1M ба 2M нь тойргуудын AB талыг

шүргэсэн цэгүүд. ( 2M нь 1M ба A хооронд оршино). 1 2M M 2 3rR= = бол 34

r = . K цэг нь 2O -

оос 1 1O M -д буулгасан перпендикулярийн суурь 2 2AM O ба 2 1O KO гурвалжнууд төсөөтэй гэдгээс

2 1AM = гэж гарна. Ийм учир 1 2 2 1 1 3 4AM AM M M= + = + = . 1 90AO B∠ = o учир

21 1 1 1O M BM AM= ⋅ эндээс 1

9 25;4 4

BM AB= = гэдгээс 752ABCDS = .

Бодлого №375. Нэг радиустай тойрог өгөгдөв. Тойргийн гаднах M цэгээс MA ба MB гэсэн харилцан перпендикуляр шүргэгч татав. A ба B шүргэлтийн цэгүүдийн дунд AB жижиг нум дээр дурын C цэг авсан. Уг цэгийг дайруулан KL шүргэгч татав. MA ба MB шүргэгч, KL шүргэгч KL M гурвалжинг үүсэв. Энэ гурвалжны периметрийг ол.

Бодолт: KA KC= ба ,BL LC= учир

2 (LC CK) (ML LC) (CK KM) (ML LB)ML K KM ML+ + = + + = + + + = + +(AK KM) MB AM 1 1 2+ + = + = + =

Бодлого №376. R ба r радиустай тойргууд өгөгдсөн өнцөгийн талуудын шүргэх ба бие биенээ шүргэнэ. Тэгвэл мөн энэ өнцгийн талуудыг шүргэсэн, төв нь өмнөх хоёр тойргийн шүргэлтийн цэг дээр орших гуравдугаар тойргийн радиусыг ол.

Бодолт. Тойргийн радиусууд нь R ба r болог. Өнцөгийн аль нэг талыг A ба B цэгт шүргэсэн болог. K цэгт төвтэй гуравдугаар тойрог энэ талыг C цэгт шүргэсэн. Нэгдүгээр тойргийн төвөөс хоёрдугаар тойргийн 2O B радиуст 1O F перпендикуляр татав.

L цэгт 1O F ба KC -ийн огтлолын цэг. Тэгвэл 1O LK ба

1 2KM O FO= гурвалжнууд төсөөтэй бөгөөд төсөөгийн

коэффициент нь 1

1 2

O K rO O R r

=+

болно. Эндээс

2(R r)(R r)r r rKL O F

R r r R R r−

= ⋅ = − ⋅ =+ + +

1(R r) 2r rRKC KL LC KL O A rR r r R

−= + = + = + =

+ +.

Бодлого №377. 6, 10 ба 12 талтай гурвалжинд тойрог багтсан. Уг тойрогт хоёр их талыг огтлох шүргэгч татав. Таслагдсан гурвалжны периметрийг ол.

Бодолт: K цэгт ABC гурвалжны AB талыг шүргэсэн цэг. (AB 10, AC 12, BC 6)= = = P -нь

хагас периметр бол AK P BC 14 6 8.= − = − = AK хэрчимийн урт нь таслагдсан гурвалжны хагас периметртэй тэнцүү байдаг.

Бодлого №378 Гурвалжны тал нь 48 ба энэ тал дээр буулгасан өндөр нь 8,5 .Тэгвэл гурвалжинд багтсан тойргийн төвөөс уг уг талын эсрэг орог хүртлэх зайг ол. Багтсан тойргийн радиус 4

Бодолт: M цэг ABC гурвалжны AB талыг тойрог шүргэсэн болог. O нь багтсан тойргийн төв Pнь ABC гурвалжны хагас периметр бол 48P AM= +

1 48 8,5 12 172ABCS = ⋅ ⋅ = ⋅V хэрэв r - багтсан тойргийн радиус бол ABCS pr=V буюу

( )12 17 48 4AM⋅ = + ⋅ эндээс 3AM = , 2 2 5OA OM AM= + =

Бодлого №379 Өнцөг дотор гурван тойрог багтсан, жижиг ,дунд том. Том тойрог нь дунд тойргийн төвийг дайрна. Дунд тойрог нь жижиг тойргийн төвийг дайрна. Хэрвээ жижиг тойргийн радиус r бөгөөд түүний төвөөс өнцгийн орой хүртлэх зай нь a бол дунд ба том тойргийн радиусыг ол.

Бодолт: R нь дунд тойргийн радиус болог. Дунд ба жижиг тойргийн өнцгийн нэг талыг шүргэсэн

радиусыг татая. Үүссэн төсөөтэй гурвалжнууд r Ra R a

=+

болох ба arR

a r=

−болно. Дунд тойргийн

радиусыг олсноор дээрхийн адил том тойргийн радиусыг олно.

Бодлого№380 1, 2, 3радиустай тойргууд бие биеээ гадаад байдлаар шүргэнэ. Эдгээр шүргэлтийн цэгүүдийг дайрсан тойргийн радиусыг ол.

, , C B A тойргийн төвүүд болог. Шүргэсэн хоёр тойргийн төвийг холбосон шулуун тэдгээрийн

шүргэлтийн цэгийг дайрна. Иймд M, N ба K шүргэлтийн цэгүүд нь ABC гурвалжны талууд дээр

оршино. K цэг нь AC хэрчим дээр, M цэг нь AB хэрчим дээр, N цэг нь BC хэрчим дээр оршдог гэе. Тэгвэл

3 2 53 1 42 1 3

AB AM MBAC AK KCBC BN NC

= + = + == + = + == + = + =

ABC гурвалжин тэгш өнцөгт учир 2 2 216 9 25AC BC AB+ = + = = тэгвэл багтсан тойргийн радиус 3 4 5 1

2 2AC BC ABr + − + −

= = =

M, N, K цэгүүдийг дайрсан тойрог ABC гурвалжинд багтана гэж батлая. Хэрвээ ABC

гурвалжинд багтсан тойрог AB талыг 1M цэгт шүргэсэн гэвэл

15 4 3AM 3

2 2AC BC AB AM+ − + −

= = = = болж 1M цэг M цэгтэй давхцана. Үүнтэй адил ABC

гурвалжинд багтсан тойрог AC ба BC талтай K ба N цэгт шүргэлцэнэ гэж батална. Эндээс шүргэлтийн цэгүүдийг дайрсан тойргийн радиус 1 байна.

Бодлого №381. a талтай адил талт гурвалжинд тойрог багтсан. Гурвалжин доторхи хэрчмийн урт нь b байх тойргийн шүргэгч татав. Тэгвэл энэ шүргэгчээр таслагдсан шүргэгчийн талбайг ол.

Бодолт: Таслагдсан гурвалжны хагас периметр p нь2a

-тай тэнцүү. Уг таслагдсан гурвалжинд

тойрог багтаая. b -тэй тэнцүү талын эсрэг өнцгийн оройгоос тойргийн ойр орших шүргэлтийн цэг

хүртлэх зай 2

2 2a bp b bα −

− = − = энэ тойргийн радиус нь r ба S нь олох ёстүй талбай гэвэл

22 3

a br −= ,

Бодлого №382.Өөр өөр радиустай гурван тойрог хос хосоороо гадаад байдлаараа шүргэлцэнэ. Тойргийн төвүүдийг холбосон хэрчим тэгш өнцөгт гурвалжин үүсгэнэ. Хэрэв том ба дунд тойргийн радиусууд нь 6 ба 4 бол жижиг тойргийн радиусыг ол.

x нь жижиг тойргийн радиус болог. Үүссэн гурвалжны талууд нь10 , 6 x+ ба 4 x+ болно.10 нь хамгийн их тал учир гипотенуз болно. Пифагорын теорем –оор

( ) ( )2 26 4 100x x+ + + = Эндээс 2x = гэж

гарна.

Бодлого №383. Адил талт гурвалжинд тойрог багтсан. Энэ тойргийг болон гурвалжны талуудыг гурван жижиг тойрог шүргэнэ.Хэрэв жижиг тойргийн радиусууд нь r бол гурвалжны талуудыг ол.

Бодолт: Өгөгдсөн Vнд багтсан тойргийн радиус нь R болон жижиг тойргийн төвөөс сонгосон өнцөгийн талыг шүргэсэн цэг рүү буулгасан том тойргийн радиуст перпендикуляр татая. Тэгвэл R r+ гипотенузтай R r+ катеттай энэ катетын эсрэг өнцөг нь 030 байх тэгш өнцөгт гурвалжин

үүснэ. Иймд ( )2R r R r+ = • − болох ба эндээс

3R r= гэж гарна. Тэгвэл гурвалжны тал нь 6 3r

Бодлого №384. 6,7 ба 8 радиустай 3 -н тойрог хос хосоороо гадаад байдлаараа шүргэлцэнэ. Эдгээр тойргуудын төв дээр оройтой гурвалжны талбайг ол.

Бодолт: 2 тойргийн төвийг холбосон шулуун нь тэдгээрийн шүргэлтийн цэгийг дайрах учир тойргийн төвүүд дээр оройтой гурвалжны талууд нь 13,14,15болно. Талбай нь гурвалжны талбай периметр нь хагас

периметр гэвэл ( )1 13 14 15 212

P = + + =g Героны

томьёогоор

( )( )( ) ( )( )( )13 14 15 21 21 13 21 14 21 15

21 8 7 6 7 3 4 84

S P p p p= − − − = ⋅ − − − =

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Бодлого №385. r ба 12 радиустай тойргууд өгөгдсөн.Тэдгээрийн төвүүдийн хоорондох зай нь

( )a a R r> + Гадаад ерөнхий шүргэгч ба дотоод ерөнхий шүргэгчүүдийн шүргэлтийн цэгүүдийн

хоорондох хэрчмийн уртыг ол.

Бодолт: 1O ба 2O нь r ба R радиустай тойргийн төвүүд болог. A ба B цэгүүд нь гадаад шүргэгчийн

шүргэлтийн цэгүүд C ба D цэгүүд дотоод шүргэгчийн шүргэлтийн цэгүүд болог. P цэг нь 1O -ээс

2O B -д буулгасан перпендикулярийн суурь болог. Тэгвэл 1 2O PO тэгш өнцөгт гурвалжнаас

( )2 2 21 1 2 2O P O O O P a R r= − = − − гэж гарна.

Q нь 1O -ээс 2O D -д буулгасан перпендикулярийн суурь болог. 1 2Q QQ тэгш өнцөгт гурвалжнаас

( )22 2 21 1 2 2Q Q O O O Q a R r= − = − − ( )22

1CD O Q a R r= = − −

Бодлого № 386. Гортиг ба шугамын тусламжтайгаар хоёр тойргийн ерөнхий шүргэгчийг байгуул.

Зураг 1 зураг 2

Зураг 3 зураг4

Бодолт: (1-р арга) 1O ба 2O нь R ба r радиустай тойргийн төвүүд болог. ( )R r⟩ Ямар нэг шулуун

тойргуудыг A ба B цэгт шүргэх ба эдгээр цэгүүд 1 2O O шулууны нэг талд оршдог гэж үзье.Жижиг

тойргийн төвөөс 1O A радиуст 2O H перпендикуляр татая.тэгвэл 1 2O ABO нь тэгш өнцөгт болно. 1 2O HO

тэгш өнцөгт гурвалжны катет нь 1O H R r= − ба гипотенуз нь 1O 2O болно.эндээс дээрхи байгуулалт

гарна. Тэгш өнцөгт гурвалжныг R r− катет ба 1O 2O гипотенузаа байгуулна. 1O H катетийн

үргэлжлэлийн том тойрогийг огтлолцохцэг нь олох ёстой. A цэг болно. A цэгийг дайруулан 1O A -д

перпендикуляр татах ба түүнд 2O цэгээс 2O B перпендикуляр буулгая. 1 2O ABO нь тэгш өнцөгт болох

учир ( )2 1 1O B AH O A O H R R r r= = − = − − = Иймд B цэг 2O төвтэй тойрог дээр оршино. 2O B AB⊥

учир AB шулуун энэ тойргийн шүргэгч болно. H цэг 1O 2O шулууны хувьд хоёр өөр байрлалд оршиж

болох учир бодлого хоёр шийдтэй. R r= үед байгуулалт хялбар дотоод шүргэгчийн байгуулалт нь дээрхитэй ижил. Ялгаа нь юу вэ? Гэвэл 1 2O HO гурвалжин нь 1O 2O гипотенуз ба R r+ катетаар

байгуулагдана.( ( )R r− катетаар биш) Дотоод ерөнхий шүргэлтийг байгуулахад тойргийн төвүүдийн

хоорондох зай радиусуудын нийлбэрээс багагүй үед боломжтой.Хэрэв 1 2O O r R= + бол ерөнхий

шүргэгч цорын ганц байна.(Энэ тохиолдолд тойргууд гадаад байдлаар шүргэлцэнэ.) (2-р арга) R r⟩ болог. Тойргуудын гомотетийн төвийг ольё. Үүний тулд 1-р тойрогт 1 1O M дурын радиус

татаад 2-р тойрог түүнтэй P 2 2О М радиус татна.Энэ үед 1М ба 2М цэгүүд нь 1O 2O шулууны нэг талд

оршиж болно.Эсвэл хоёр өөр талд оршиж болно. (Зураг3) ,(зураг 4) Ямарч тохиолдолд олох ч ёстой гомотетийн төв Q цэг нь 1М 2М ба 1O 2O шулуунуудын огтлолын цэг болно. 1-р тохиолдолд

гомотетийн коэффициент ньRr

ба 2-р тохиолдолд (-Rr

байна.) Гомотетийн хувиргалтаар шүргэгч,

шүргэгчид харгалзах учир Q цэгийг дайруулан аль нэг тойрогт шүргэгч татахад хангалттай. Энэ нь нөгөө

тойргийн шүргэгч болно. Бодлого №387. r радиустай тойрог дээр тойрог дээр үүсэх гурван нумын уртын харьцаа 3: 4 :5 байхаар гурван цэгийг сонгосон ба эдгээр цэгүүдэд шүргэгч татав. Эдгээр шүргэгчүүдээр үүссэн гурвалжны талбайг ол.

Үүссэн нумуудын өнцгийн хэмжээ нь

0 03 360 9012

=g , 0 04 360 12012

=g , 0 04 360 15012

=g

Болно. Иймд гурвалжны өнцгүүд 0 0 090 ;60 ;30

болно. Бага катет нь ( )3 1r + ба их катет нь

( )3 3r + болно

Бодлого №388. Үл огтлолцох хоёр тойргийн төвүүдийн хоорондрх зай а. Тэгвэл гадаад ерөнхий шүргэгч ба дотоод ерөнхий шүргэгчүүдийн огтлолын цэгүүд нь нэг тойрог дээр оршино гэж батал.Энэ тойргийн

радиусыг ол.

Бодолт: Өнцөгт багтсан тойргийн төв уг өнцгийн биссектрисс дээр оршидог ба хамар өнцгийн биссектриссүүдийн хоорондох өнцөг нь тэгш байдаг. Тэгвэл гадаад ерөнхий шүргэгч ба дотоод ерөнхий шүргэгчүүдийн огтлолцолын цэгүүдээс тойргийн төвүүдийг холбосон 1O 2O хэрчим ньтэгш өнцгөөр

харагдана.Иймд эдгээр цэгүүд нь 1O 2O =a диаметртэй

тойрог дээр оршино. Эндээс тойргийн радиус нь 2ar = гэж гарна.

Бодлого №389. Хоёр тойрогт татсан ерөнхий гадаад шүргэгчийн дотоод шүргэгчүүдээр хашигдсан хэрчмийн урт нь дотоод шүргэгч хэрчмийн r урттай тэнцүү гэдгийг батал.

Бодолт: P ба Q нь 1-р хэрчмийн төгсгөлийн цэгүүд болог. PQ a= , x ба y нь P цэгээс 1-р тойргийн

шүргэлтийн цэг хүртлэх хэрчим y нь Q цэгээс 2-р тойргийн шүргэлтийн цэг хүртлэх хэрчим b нь дотоод

ерөнхий шүргэгчийн хэрчим P цэгээс 2-р тойрогт татсан шүргэгчүүд тэнцүү a y x b+ = + Үүний адилаар

Q цэгийн хувьд a x y b+ = + Эндээс a b= ба ( )x y= байна.

Бодлого №390. PQST адил хажуут трапецийн PQ ба ST хажуу тал дээр MN хэрчим суурьтай

параллель байхаар M ба N цэгүүдийг сонгоё. PMNT ба MQSN трапец бүрт тойрог багтааж

болно.Хэрэв ;PQ c= MN d= ( )2c d⟩ бол. Анхны трапецийн суурийг ол.

Бодолт:(1-р арга) PQ ба ST шулуунууд огтлолын цэг дээр төвтэй

PMNT трапецад багтсан тойргийг MQSN трапецад багтсан тойрогт хувиргах гомотет нь эхний трапецийг 2-р трапецад хувиргана. Иймд PMNT ба MQSN трапецууд төсөөтэй. 2TP x= ,

2QS y=TP MNMN QS

= гэдгээс2

4axy =

Хэрэв K ба L цэгүүд нь тойргуудын PQ талыг шүргэсэн цэгүүд

болог. KL MN d= = , PQ PK KL LQ x y d= + + = + + Эндээс

x y c d+ = − болох ба x ба y нь ( )2

2 04at c d t− − + = квадрат

зураг 1 тэгшитгэлийн шийд нь болно. (2-р арга) 2TP x= , гэе. K ба L цэгүүд нь тухайн тойргуудын PQ талыг шүргэсэн цэгүүд ( K нь M ба P -ийн дунд оршино. ) A нь тойргуудын шүргэсэн цэг Тэгвэл QL y= ,

;2dKM MA ML= = = PK x= Хэрэв r ба R нь радиусууд бол

2

2xdr = , 2

2ydR = , 2d KL rR= = Иймд

2

4dxy =

;c QL KL KP y d x= + + = + + өөрөөр хэлбэл x y c d+ = −

Эндээс x ба y нь ( )2

2 04

dt c d t− − + = тэгшитгэлийн шийд

болно.

Бодлого №391. Тэгш өнцөгт трапец өгөгдөв. Суурьтай параллель ямар нэг шулуун уг трапецийг гурвалжин багтсан болох хоёр трапецад хуваана. Анхны трапецийн хажуу талууд c ба d (c d)<

бол суурийг ол.

Бодолт. Уг шулуун AB d= ба CD c= хажуу талуудыг M ба N цэгт

огтлоно. AD ба BC сууриудыг x ба у гэе. (x y) AB< ба CD

шулуунуудын огтолцсон цэгт төвтэй AMND трапецад багтсан тойргийг MBCN трапецад багтсан тойрогт хувиргах эхний трапецийг хоёр дугаар трапецад хувиргана. Иймд AMND ба MBCN трапецүүд төсөөтэй. Иймд AD MNMN BC

= эндээс MN xy= ,BC MN BN CN+ = +

MN AD AM DN+ = + гишүүнчлэн нэмбэл x 2 xy y c d+ + = + буюу 2( )x y c d+ = + түүнээс гадна 2 2 2(y x) d c− = − хялбарчилаад x ба

y хувьд шугаман системд шилжинэ. y x d c

y x d c

+ = +

− = − x y< учир x

2d c d c+ − −

= ,

2d c d cy + + −

= . Эндээс 2 2 2 2

;2 2

d d c d d cx y− − + −= =

Бодлого №392. Гурвалжны талбайг ( ) aS p a r= − ar томъёогоор олж болно гэж батал. Үүнд ar -нь

a талыг шүргэсэн гадаад багтсан тойргийн радиус. p - хагас периметр .

Бодолт. O нь ar радиустай тойргийн төв. Уг тойрог BC a= талыг Q цэгт, AB c= талын

үргэлжлэлийг M цэгт, AC b= талын үргэлжлэлийг N цэгт шүргэнэ. Тэгвэл

ABC AOB AOC ABCS S S S= + − =V V V V

1 1 12 2 2

AB OM AC ON BC OQ⋅ + ⋅ − ⋅ =1 1 12 2 2a a ac r b r a r⋅ + ⋅ − ⋅ =

( )2 a a

c b a r p a r+ −= ⋅ = − ⋅

Бодлого №393. ABC гурвалжны талбай с ба BAC өнцөг нь 60o . BC талыг шүргэсэн AB ба AC талуудын үргэлжлэлүүдийг шүргэсэн тойргийн радиус ABC ба ACB өнцөгийг ол.

Бодолт. 1O нь өгөгдсөн тойргийн радиус. N - нь тойргийн AC шулуунтай шүргэх цэг. 1AO N тэгш

өнцөгт гурвалжнаас 1 30 3AN O N ctg= ⋅ =o . Нөгөө талаас AN нь ABC гурвалжины хагас

периметртэй тэнцүү (№4805-р бодлогыг харах). ABC гурвалжинд багтсан тойргийн радиус

2 3 3 2 33

ABCSp

−= = −V . Хэрэв O энэ тойргийн төв бол p AC талтай шүргэх цэг бол

( )1 1 12 2 2 3 1O O AO aO O N OP= − = − = − F нь O цэгээс 1O K хэрчимийн үргэлжлэлд татсан

перпендикулярын суурь болог. Тэгвэл 11

1

1 2 3 3cos22( 3 1)

O FOO FO O

+ −∠ = = =

− 1 30OO F∠ = o .

Хэрэв 1OO ба BC хэрчмүүд Q цэгт огтолцдог бол 1 60AQB O QK∠ = ∠ = o . Эндээс

60 30 30BCA AQB QAC∠ = ∠ − ∠ = − =o o o .

Бодлого №394. ABC гурвалжинд багтсан тойргийн радиус 3 1− . BAC өнцөг 60o , BC талыг

шүргэсэн, AB ба AC -ийн үргэлжлэлийг шүргэсэн тойргийн радиус 3 1+ . ABC ба ACB өнцгүүдийг ол.

Бодолт. O ба 1O нь 3 1− , 3 1+ радиустай тойргийн

төвүүд P ба N нь тойргуудын AC талыг шүргэсэн цэгүүд M нь A өнцөгийн 1AO биссектрис ба BC талын

огтлолын цэг. Тэгвэл 1 12 2 4OO AO AO O N OP= − = − = .

BC талыг шүргэсэн цэгт татсан том тойргийн радиусын үргэлжлэл дээр OF перпендикуляр буулгая. Тэгвэл

1 3 1 3 1 2 3O F = − + + = − 11

1

3cos2

O FFOOO O

∠ = = .

Эндээс 1FOO∠ = 30o , 60CMA∠ = o

60 30 30ABC CMA MAB∠ = ∠ − ∠ = − =o o o 90ACB∠ = o .

Бодлого №395. Суурьтай паралель шулуунаар трапец гурван трапецад хуваагдсан трапец тус бүрд тойрог багтааж болдог ба нөгөө хоёр трапецад багтсан тойргийн радиусыг ол.

Бодолт. NM нь доод MBCN трапецийн их суурь болог. A - MB ба NC шулуунуудын огтлолын цэг x -ээр олох радиусыг тэмдэглэе. ABC гэрвалжинд багтсан хос тойргууд нь түүнтэй төсөөтэй гурвалжинд багтсан AMN хос тойргуудтай харгалзана. Иймд r xx R

= 2x rR x rR= = .

Бодлого №396. Тойрогт нэг цэгээс хоёр шүргэгч татав. Шүргэгч тус бүрийн урт 12. Шүргэлтийн цэгүүдийн хоорондах зай 14,4 бол тойргийн радусыг ол.

Бодолт. A нь өгсөн цэг болог. B ба C нь шүргэлтийн цэг O тойрогийн төв. OA шулуун нь BC -д

перпендикуляр бөгөөд дундаж M цэгийг дайрна. OCB OAC∠ = ∠ , 7.2 3sin12 5

cmOACAC

∠ = = =

4cos5

OAC∠ = OCM гурвалжнаас 9cos

cmOCOCM

= =∠

Бодлого №397. A цэгээс R тойргийн B ба C -д шүргэх хоёр шулуун татав. ABC гурвалжин эь адил талт. Түүний талбайг ол.

Бодолт. O нь тойргийн төв. 30 , 3OAB AB R∠ = =o эндээс 21 3 3sin 60

2 4ABCRS AB AC= ⋅ ⋅ =o

V .