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8/7/2019 39272-Factorizacion

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FACTORIZACIN (Objetivo 1.3)

Es el proceso de encontrar dos o ms expresiones cuyo producto sea igual a una expresindada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o ms

factores.

Caso 1. Factorizacin por factor comn (caso monomio):se escribe el factor comn (F.C.)como un coeficiente de un parntesis y dentro del mismo se colocan los coeficientes que son el

resultado de dividir cada trmino del polinomio por el F.C. Ejemplos:

a)Descomponer (o factorizar) en factores a 2 + 2. El factor comn (FC) en los dos trminoses a por lo tanto se ubica por delante del parntesis a( ). Dentro del parntesis se ubica el

resultado de:

222 22

+=+=+ aa

a

a

a

FC

a

FC

a, por lo tanto: a (a+2). As: a 2 + 2a = a(a + 2)

b) Descomponer (o factorizar) 10b - 30ab. Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores

comunes 2, 5 y 10. Tomamos el 10 porque siempre se toma el mayor factor comn. El factorcomn (FC) es 10b. Por lo tanto: 10b - 30ab 2 = 10b(1 - 3ab)

c) Descomponer: 18mxy 2 - 54m2x 2y 2 + 36 my 2 = 18my 2(x - 3mx 2 + 2)

d) Factorizar 6xy3 - 9nx 2y 3 + 12nx 3y 3 - 3n2x 4y 3 = 3xy

3(2 - 3nx + 4nx 2 - n2x 3)

Caso 2. Factorizacin por factor comn (caso polinomio)

a) Descomponerx (a + b) + m(a + b)

Estos dos trminos tienen como factor comn el binomio (a + b), por lo que se pone (a + b)

como coeficiente de un parntesis dentro del cual escribimos los cocientes de dividir los dos

trminos de la expresin dada entre el factor comn (a + b), o sea:

y

x a b m a bx m

a b a b

y se tiene:

x (a + b) + m(a + b) = (a + b)(x + m)


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b) Descomponer 2x (a - 1) -y (a - 1)

El factor comn es (a- 1), por lo que al dividir los dos trminos de la expresin dada entre el

factor comn (a - 1), con lo que tenemos:

2 1 12 y1 1

x a y ax ya a

, luego:

2x (a - 1) - y (a- 1) = (a - 1)(2x - y )

c) Descomponerm(x + 2) +x + 2

Se puede escribir esta expresin as: m(x + 2) + (x + 2) = m(x + 2) + 1(x + 2)

El factor comn es (x + 2) con lo que: m(x + 2) + 1(x + 2) = (x + 2)(m + 1)

d) Descomponera(x + 1) - x - 1

Al introducir los dos ltimos trminos en un parntesis precedido del signo (-), se tiene:

a(x + 1) - x - 1 = a(x + 1) - (x + 1) = a(x + 1) - 1(x + 1) = (x + 1)(a - 1)

e) Factorizar 2x (x +y +z) - x - y z. Con esto:

2x (x +y +z) - x - y -z= 2x (x + y +z) - (x +y +z) = (x +y +z)(2x - 1)

f) Factorizar (x - a)(y + 2) + b (y + 2). El factor comn es ( y + 2), y dividiendo los dos

trminos de la expresin dada entre (y + 2) tenemos:

2 b y 2

y2 2

x a y

x a by y

, luego:

(x - a)( y + 2) + b( y + 2) = ( y + 2)(x - a + b)


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g) Descomponer (x + 2)(x - 1) + (x - 1)(x - 3). Al dividir entre el factor comn (x - 1):

2 1 1 32 y 3

1 1

x x x xx x

x x

, por tanto:

(x + 2)(x - 1) - (x - 1)(x - 3) = (x - 1)(x + 2) - (x - 3) = (x - 1)(x + 2 - x + 3) = (x - 1)(5) = (x -

1)

h) Factorizarx (a - 1) +y (a - 1) - a + 1.

x (a - 1) +y (a - 1) - a + 1 = x (a- 1) +y (a - 1) - (a - 1) = (a - 1)(x +y - 1)

Caso 3. Factorizacin por factor comn (caso agrupacin de trminos):

a)Descomponerax + bx + ay + by

Los dos primeros trminos tienen el factor comn x y los dos ltimos el factor comn y .

Agrupamos los dos primeros en un parntesis y los dos ltimos en otro precedido del signo +

porque el tercer trmino tiene el signo (+):

ax + bx + ay + by = (ax + bx ) + (ay + by)

=x(a + b) +y(a+ b)

= (a + b)(x +y )

Hay varias formas de hacer la agrupacin, con la condicin de que los dos trminos agrupados

tengan algn factor comn, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los parntesis

despus de sacar el factor comn en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es

posible, la expresin dada no se puede descomponer por este mtodo.

En el ejemplo anterior podemos agrupar el 1o. y 3er. trminos con el factor comn a y el 2o. y4o. con el factor comn b, y:

ax + bx + ay + by = (ax + ay) + (bx + by )

= a(x +y ) + b(x +y )


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= (x +y )(a+ b)

Este resultado es idntico al anterior, ya que el orden de los factores es indiferente.

b) Factorizar 3m2 - 6mn + 4m - 8n. Los dos primeros trminos tienen el factor comn 3m y los

dos ltimos el factor comn 4. Agrupando:

3m2 - 6mn + 4m - 8n = (3m2 - 6mn) + (4m - 8n)

= 3m(m - 2n) + 4(m - 2n)

= (m - 2n)(3m + 4)

c) Descomponer 2x 2 - 3xy - 4x + 6y . Los dos primeros trminos tienen el factor comnx y

los dos ltimos el factor comn 2, entonces los agrupamos pero introduciendo los dos ltimos

trminos en un parntesis precedido del signo - (porque el signo del 3er. trmino es - ) para lo

cual hay que cambiarles el signo, y tendremos:

2x 2 - 3xy - 4x + 6y = (2x2 - 3xy ) - (4x - 6y) =

x (2x - 3y ) - 2(2x - 3y ) =

(2x - 3y )(x - 2)

Otra alternativa es agrupar el 1o. y 3o. trminos con factor comn 2x, y el 2o. y 4o. con factor

comn 3y, con lo que tendremos:

2x 2 - 3xy - 4x + 6y = (2x2 - 4xy ) - (3xy - 6y ) =

2x (x - 2) - 3y (x - 2) =

(x - 2)(2x - 3y )

d) Descomponerx +z2 - 2ax - 2az2

x +z2 - 2ax - 2az2 = (x +z2) - (2ax + 2az2) = (x +z2) - 2a(x + 2az2) = (x +z2)(1 - 2a)


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Al agrupar los trminos 1o. y 3o., 2o. y 4o.:

x +z2 - 2ax - 2az2 = (x - 2ax ) + (z2 - 2az2) =

x (1 - 2a) +z2(1 - 2a) =

(1 - 2a)(x +z2)

e) Factorizar 3ax - 3x + 4y - 4ay.

3ax - 3x + 4y - 4ay = (3ax - 3x ) + (4y - 4ay ) =

3x (a- 1) + 4y (1 - a) =

3x (a - 1) - 4y (a - 1) =

= (a- 1)(3x - 4y )

En la segunda lnea del ejemplo anterior, los binomios (a -1) y (1 - a) tienen signos distintos;

para hacerlos iguales los cambiamos al binomio (1 - a) convirtindolo en (a- 1), pero para que

el producto 4y (1 - a) no vare de signo le cambiamos el signo al otro factor 4y convirtindolo

en - 4y. De este modo, como cambiamos los signos a un nmero par de factores, el signo del

producto no vara.

En el ejemplo anterior, al agrupar los trminos 1o. y 4o., 2o. y 3o.:

3ax - 3x + 4y - 4ay = (3ax - 4ay ) + (3x - 4y ) =

a (3x- 4y ) - (3x - 4y) =

(3x - 4y )(a - 1)

f) Factorizar: ax - ay + az+x -y+z.

ax-ay +az+x -y +z=(ax - ay + az) + (x -y +z) =

a(x -y +z) + (x -y +z) =

(x -y +z) + (a + 1)


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Caso 4. Factorizacin de un trinomio cuadrado perfecto:

La regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto dice que se extrae la raz cuadrada al

primer y tercer trminos del trinomio y se separan estas races por el signo del segundo

trmino. El binomio as formado, que es la raz cuadrada del trinomio, se multiplica por s

mismo o se eleva al cuadrado.

Ejemplos

a)Factorizarm2 + 2m + 1

2 y 1 1m m por lo tanto: m 2 + 2m + 1 = (m+ 1)(m + 1) = (m + 1)2

b) Descomponer 4x 2 + 25y 2 - 20xy. Al ordenar el trinomio:

2 24 2 y 25 5x x y y ,as: 4x 2 - 20xy + 25y 2 = (2x - 5y )(2x - 5y ) = (2x - 5y )2

Es importante destacar que cualquiera de las dos races puede ponerse como minuendo, por lo

que en el ejemplo anterior tambin se tiene:

4x 2 - 20xy + 25y2 = (5y - 2x )(5y - 2x) = (5y - 2x )

2

porque al desarrollar este binomio resulta: (5y - 2x )2

= 25y2

- 20xy + 4x2

que es una

expresin idntica a 4x 2 - 20xy + 25y2, ya que tiene las mismas cantidades con los mismos

signos.

c) Descomponer 1 - 16ax 2 + 64a2x 4

2 4 264 8 y 1 1a x ax , por lo tanto: 1 - 16ax 2 + 64a2x 4 = (1 - 8ax 2)2 = (8ax 2 - 1)2

d) Factorizar2

24

bx bx

Este trinomio es cuadrado perfecto, porque el doble producto de la raz cuadrada de

2 x x por la raz cuadrada de2

4 2

b b reproduce el segundo trmino. Luego:


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2

22

4 2

b bx bx x

e)Factorizar21

4 3 9

b b que es un cuadrado perfecto, porque la raz cuadrada

1 1

4 2 y la

raz cuadrada de2

9 3

b b conduncen al segundo trmino a travs de

12

2 3 3

b b , luego:

2 2 21 1 1

4 3 9 2 3 3 2

bb b b

f) Descomponera 2 + 2a(a - b) + (a - b)2

La regla para factorizar puede aplicarse a casos donde el primer o tercer trmino del trinomioo ambos son expresiones compuestas.

En este caso tenemos:

a 2 + 2a(a - b) + (a - b)2 = [a + (a- b)]

2 = (a + a - b)2 = (2a- b)

2


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Caso 5. Factorizacin de un trinomio de la forma 2 x bx c

Se descompone en dos factores binomios cuyo primer trmino es x, o sea la raz cuadrada del

primer trmino del trinomio.

En el primer factor, despus dex se escribe el signo del segundo trmino del trinomio, y en el

segundo factor, despus de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo

trmino por el signo del tercer trmino.

Si los dos factores binomios tienen en medio signos iguales, se buscan dos nmeros cuya suma

sea el valor absoluto del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del

tercer trmino del trinomio, mismos que sern los segundos trminos de los binomios.

Si los dos factores binomios tienen en medio signos distintos, se buscan dos nmeros cuya

diferencia sea el valor absoluto del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea el valor

absoluto del tercer trmino del trinomio. El mayor de estos nmeros es el segundo trmino del

primer binomio, y el menor es el segundo trmino del segundo binomio.

Ejemplos:

a) Factorizar x2 + 5x + 6

Este trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer trmino es la raz cuadrada de x2, o

seax:

x2 + 5x + 6 = (x )(x )

En el primer binomio, despus dex, se pone el signo (+) porque el segundo trmino del trinomio

(+) 5x tiene signo (+). En el segundo binomio, despus de x, se escribe el signo que resulta de

multiplicar (+ 5x) por (+ 6), y como (+) por (+) da (+), entonces:

x2 + 5x + 6 (x + )(x + )

Dado que en estos binomios hay signos iguales, buscamos dos nmeros cuya suma sea 5 y cuyo

producto sea 6. Dichos nmeros son 2 y 3, luego:

x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)


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b) Factorizar x2 - 7x + 12

Se tiene: x2 - 7x + 12 (x - )(x - )

En el primer binomio se pone ( - ) por el signo de (- 7x).

En el segundo se pone( - ) porque multiplicando( - 7x) por (+ 12) se tiene que( - ) por (+) da

( - ).

Como en los binomios hay signos iguales, buscamos dos nmeros cuya suma sea 7 y cuyo

producto sea 12. Dichos nmeros son 3 y 4, luego:

x2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)

c)Factorizarx2 + 2x - 15

Se tiene: x2 + 2x - 15 (x + )(x - )

En el primer binomio se pone + por el signo de + 2x

En el segundo se pone - porque multiplicando (+ 2x) por (- 15) se tiene que (+) por (-) da (-) .

Como en los binomios tenemos signos distintos, buscamos dos nmeros cuya diferencia sea 2 ycuyo producto sea 15. Dichos nmeros son 5 y 3. El 5, que es el mayor, se escribe en el primer

binomio:

x2 + 2x - 15 (x + 5)(x - 3)

d)Factorizarx2 - 5x - 14

As: x2 - 5x 14 (x - )(x + )

En el primer binomio se pone - por el signo de - 5x

En el segundo se pone (+) porque multiplicando - 5x por - 14 se tiene que (-) por ( -) da (+)


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Como en los binomios tenemos signos distintos, se buscan dos nmeros cuya diferencia sea 5 y

cuyo producto sea 14. Dichos nmeros son 7 y 2. El 7, que es el mayor, se escribe en el primer

binomio:

x2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2)

e) Factorizar a 2 - 13a + 40 ; a 2 - 13a + 40 = (a - 5)(a - 8)

f) Factorizar x2 - 6x - 216 ; x2 + 6x - 216 (x + )(x - )

Necesitamos dos nmeros cuya diferencia sea 6 y el producto 216, los cuales no se ven

fcilmente. Para hallarlos, se descompone en sus factores primos el tercer trmino:

216 2 Con estos factores primos

108 2 formamos dos productos.

54 2 Por tanteo, variando los

27 3 factores de cada producto

9 3 obtendremos los dos nmeros

3 3 que buscamos, as:

1

2 2 2 = 8 3 3 3 = 27

2 2 2 3 = 24 3 3 = 9

2 2 3 = 12 2 3 3 = 18

27 - 8 = 19, no sirven

24 - 9 = 15, no sirven

18 - 12 = 6, s sirven


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Los nmeros que buscamos son 18 y 12, porque su diferencia es 6 y su producto necesariamente

216, ya que para obtener estos nmeros empleamos todos los factores que obtuvimos en la

descomposicin de 216, por tanto:

x2 + 6x - 216 = (x + 18)(x - 12)

7) Factorizar a 2 - 66a + 1080

a 2 - 66a + 1080 (a - )(a - )

Necesitamos dos nmeros cuya suma sea 66 y el producto 1080.

Al descomponer 1080 tendremos:

1080 2 2 2 2 = 8 3 3 3 5 = 105

540 2 2 2 2 3 = 24 3 3 5 = 45

270 2 2 3 5 = 30 2 2 3 3 = 36

135 3

45 3

15 3

5 5

1

105 + 8 = 113, no sirven

45 + 24 = 69, no sirven

30 + 36 = 66,s sirven

Los nmeros que buscamos son 30 y 36, porque su suma es 66 y su producto necesariamente

1080, ya que para obtener estos nmeros empleamos todos los factores que obtuvimos en la

descomposicin de 1080, por tanto:

a 2 - 66a + 1080 = (a - 36)(a - 30)


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Descomposicin de un polinomio en factores por el mtodo de evaluacin (Ruffini)

Paolo Ruffini (1765-1822): Cuntos aos viv?

Matemtico y mdico italiano, nacido en Roma.

Al estudiar la divisibilidad porx - a demostramos que si un polinomio entero y racional en x se

anula para x = a, el polinomio es divisible porx - a. Este mismo principio aplica a la

descomposicin de un polinomio en factores por el Mtodo de Evaluacin.

Ejemplos

1) Descomponer por evaluacinx3

+ 2x

2

-x - 2

Los valores que daremos a x son los factores del trmino independiente 2: + 1, - 1, + 2 y - 2.

Veamos si el polinomio se anula parax = 1,x = - 1,x = 2,x = - 2, y si se anula para algunos de

estos valores, el polinomio ser divisible porx menos ese valor.

Aplicando la divisin previamente explicada se ver si el polinomio se anula para estos valores

dex y simultneamente se encontrarn los coeficientes del cociente de la divisin. En este caso:

+1

1 2 1 2

1 3 2

1 3 2 0

El residuo es 0, o sea que el polinomio dado se anula parax = 1, luego es divisible por (x - 1).

Dividiendox3 + 2x2 -x - 2 entrex - 1 el cociente ser de segundo grado y sus coeficientes son

+1, +3 y +2, luego el cociente es +1x

2

+3x +2 = x

2

+3x +2 y como el dividendo es igual alproducto del divisor por el cociente, se tiene:

x3 + 2x2 -x - 2 = (x - 1)(x2 + 3x + 2) (factorizando el trinomio) = (x - 1)(x + 1)(x + 2)

2) Descomponer por evaluacin x3 - 3x2 - 4x + 12

Coeficientes del polinomio

Coeficientes del cociente


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Los factores de 12 son (1, 2, 3, 4, 6, 12)

1

1 3 4 +12

1 2 6

1 2 6 6

El residuo es 6, luego el polinomio no se anula parax = 1, y no es divisible por (x - 1)

-1

1 3 4 +12

1 +4 0

1 4 0 +12

El residuo es 12, luego el polinomio no se anula parax = - 1 y no es divisible porx - (- 1) =x +

1

+2

1 3 4 +12

+ 2 2 12

1 1 6 0

El residuo es 0, luego el polinomio se anula parax = 2 y es divisible por (x - 2)

El cociente de dividir el polinomio dado x3 - 3x2 + 4x + 12 entrex - 2 ser de segundo grado y

sus coeficientes son +1, - 1 y - 6, luego el cociente ser +1x2 - 1x 6 =x2 -x 6.

Por tanto:x3 - 3x2 + 4x + 12 = (x - 2)(x2 -x - 6) (factorizando el trinomio) = (x - 2)(x - 3)(x + 2)







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