39statika konstrukcija 2 - uvod

5/13/2018 39STATIKA KONSTRUKCIJA 2 - uvod - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/39statika-konstrukcija-2-uvod 1/39

Statika konstrukcija 2 1

STATIKA KONSTRUKCIJA 2

Mira Petronijević




Uslov za potpis

• Studenti mogu dobiti potpis iz Statike konstrukcija II ako su: – bili prisutni na 70% časova predavana

– bili prisutni na 90% časova vežbanja

– dobili ocenu veću od 5 za rad na testovima i individualnim vežbama

Individualne vežbe• Individualne vežbe se odvijaju po grupama, koje su istaknute na

tabli. Na individualnim vežbama studenti rade ukupno 3 GRAFIČKARADA, koja se prema potrebi dovršavaju kod kuće. Na vežbama,studenti će dobiti 3 kratka testa vezana za zadatka koje rade.

Ukoliko ne odgovore pozitivno na test, dužni su da sledećeg časausmeno odgovore na ista pitanja.

• Rok za predaju elaborata je petak, prve nedelje posle završetkanastave.

• Rad na času se ocenjuje ocenom od 5-10. Ocene od 6-10 sedodaju ukupnom broju poena na pismenom ispitu u junskom,septembarskom i oktobarskom roku, tekuć e školske godine, č imese olakšava polaganje pismenog dela ispita, u teku ć oj godini.




Uslovi za oslobađ

anje usmenog dela ispita

Studenti se mogu osloboditi usmenog dela ispita, ako:

• imaju položen ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA ,• imaju potpis iz STATIKE KONSTRUKCIJA I,

• polože 2 kolokvijuma iz STATIKE KONSTRUKCIJA II saocenom većom od 6:

I kolokvijum - iz Metode sila i Metode deformacije(VIII nedelje nastave)

II kolokvijum - iz Matrične analize konstrukcija (na krajusemestra)

Svaki kolokvijum se radi 2 časa.

Oslobađ anje od usmenog dela ispita važi jednu godinu(junski, septembarski, oktobarski, januarski i aprilski i

rok). Nakon toga se mora polagati ceo ispit.




Literatura

• M. Đurić: Statika konstrukcija, GK

• D. Nikolić: Statika konstrukcija: uticajpokretnog opterećenja,GK

• M. Đurić, P. Jovanović:Teorija okvirnihkonstrukcija

• M. Sekulović: Teorija linijskih nosača, GK

• M. Petronijević, M. Sekulović: Statikakonstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnihzadataka, GK




1. Uvod

Statički neodređeni linijski nosači

Metode analize

Klasi č na statikakonstrukcija

Matri č na analiza




• Analizira se nosač u celini, kao sistempovezanih štapova,

• Utvr đuje se statička odnosnodeformacijska neodređenost nosača,

• Usvaja se metoda za rešavanje,

• Formiraju se jednačine za određivanje

nepoznatih (uslovne jednačine)

1. Klasična analiza





Metoda silaPribližna

metoda deformacije




• U metodi sila za nepoznate se birajustatičke veličine X i – reakcije veza

• U približnoj metodi deformacijenepoznate veličine su obrtanja

čvorova ϕi i parametri pomeranjapomeranja Δ j





Primer

t° 50kN

50kN

10 kN\m




• Nosač sa razmatra kao sistem sastavljen oddiskretnih elemenata – štapova

• Nepoznate veličine su parametri u čvorovimastrukture štapova.

• U zavisnosti od izbora parametara u čvorovima,postoje 2 metode analize:

2. Matrična analiza

Metoda sila Metoda deformacije




• U metodi sila nepoznate su sile učvorovima: H=N*,V=T*,M=M*

• U metodi deformacije nepoznateveličine su pomeranja u

čvorovima: u*,v*, ϕ*

2. Matrična analiza




• Postoje 2 nivoa analize: analiza štapa i

analiza strukture štapova,• Analiza štapa: uspostavljaju se veze

između sila i pomeranja na krajevimaštapa,

• Analiza strukture štapova: formiraju se

jednačine za određivanje nepoznatih(uslovne jednačine) i unose graničniuslovi.

Metoda deformacije




Primer




Osnovne pretpostavke:

1. Pretpostavkom o malim pomeranjima( pretpostavka o stati č koj linearnosti )

2. Pretpostavke o malim deformacijama( pretpostavka o geometrijskoj linearnost )

3. Hook ov zakon( pretpostavka o fizi č koj linearnost )

1.1 Linearna teorija štapa




• Uslovi ravnoteže elementa štapa su

linearne jednač ine:

00

0

t

n

dN p dsdT p ds

dM Tds

+ =+ =

− =

Uslovi ravnoteže elementa

ds

C'

C

pnd s pt d s

X

Y

M N

T M+dM

N+dN

T+dT

(I)




Veze izmeđ u pomeranja i deformacijskih

veli č ina štapa su linearne:

Geometrijske veze

u+duds

CC1

X

Y

φ

(1+ε )ds

α

φ

v v+dv

u C'

C1

'

dx+du

dy+d v

dx

α dy

( )t

du dx dy

dv dy dx

d ds

ε ϕ

ε ϕ

ϕ ϕ κ

= −

= +

−= −

(II)




• Klizanje popreč nog preseka ϕ t

X

Y

φ

Tehni č ka teorija

savijanja štapa

Timošenkov štap

osa štapa

O

O'

v

v(y)

φ-φt

u

u(y)y C

C(y)

φ

φt

C'(y)

C'




• Promena krivine κ

X

Y

φ

C 1

ds

C 1y

C y

C y

(1+ε )ds

ρ''

O'

O''

d φ

d ( φ - φ t )

φ

φt

φt +d φt

y

φ-φt

ρ'

( )1 t d

ds

ϕ ϕ κ

ρ

−= = −′′




Veze izmeđ u sila u preseku i

deformacijskih veli č ina štapa su linearne

Veze sila i deformacije

o

t

N t

EF

ε α = +

t

t

EI h

κ α Δ

= +

t

T k

GF

ϕ =

(III)y

O x

t o

t u

t oh

t(y)




• sile u presecima: M , N i T • pomeranja i obrtanja ose: u , v i φ

• deformacije: ε , κ i φt

Ukupan broj nepoznatih 9

Nepoznate veličine štapa:




00

0

t

n

dN p dsdT p ds

dM Tds

+ =+ =

− =

( )t

du dx dy

dv dy dxd

ds

ε ϕ

ε ϕ ϕ ϕ

κ

= −

= +−

= −

t

t

EI h

κ α Δ

= +

ot N t

EF ε α = +

t

T k

GF ϕ =

Jednačine štapa:

(III)

(I)

(II)

Jednačine: 6 diferencijalnih i 3 algebarske

⇐




Nepoznate: 6 veličina M , N , T , u , v i φJednačine: 6 diferencijalnih jednačina I i II

Sistem je moguće rešiti ako znamo 6

integracionih konstanti – 6 graničnih uslova

štapa

Nepoznate i jednačine štapa:




N i

M i

T i

M k

T k

N k

φi

vi vk

ui uk

φk

grani č ni uslovi po silama grani č ni uslovi po pomeranjima

Granični uslovi štapa

Mogu ć i grani č ni uslovi: max3 po silama, min 3 po pomeranjima

i k




3 grani č na uslova po silama i 3 po

pomeranjima

M i

Sik

M k

Sik

ui=vi=0 vk =0

Osnovne statički nezavisne veličine štapa:

Sik , M i , M k

Dobijaju se 2 nezavisna sistema sa po 3 diferencijalne jednač ine. Štap je stati č ki određ en.




Princip superpozicije: Z=Z 1+Z 2 +…+ Z n

Sile u presecima štapa

pt

M i

Sik

M k

Sik

pn

c co ik N N S= + k ic co

ik

M T T

l

−= +

' +c co i c k c

M M M M ξ ξ = +




M i

Sik

M k

R y

R x

pt pn

R x /2

Sik

+

(M i-M k )/2

T i,o

T k,o

+

-

N

T

M o M max

M i M k

ξ M k

ξ ’M i

M

Rx/2

Sile u presecima štapa




Stati č ki nepoznate veli č ine nosač a

Reakcije spoljašnjih veza

1.2 Nosači

C u,i

iC oi

i

i i

Reakcije unutrašnjih vezaSik , M i , M k

z o+z u

z s+z k +m

Broj nepoznatih : z o+z u + z s+z k +m




Deformacijski nepoznate veli č ine nosač a:

Komponente pomeranja krajeva štapa:

u i , v i , u k , v k

Broj nepoznatih : 2K

Ukupan broj stati č ki i deformacijski nepoznatih

veli č ina nosač a:

z o+z u + z s+z k +m + 2K




1. Uslovi ravnoteže čvorova

Jednačine

Pi,x

M i Pi,y

N ik

i

T ik

M ik

C ui

C oi

k

α ik

X

Y

0

0

0

X

Y

M

=

=

=

∑

∑∑

Broj uslova ravnoteže:2K + m




2. Uslovi kompatibilnosti pomeranja

a/ relativnih pomeranja

α ik

ψik

(φ-φt )i

ψik

τ ik

ψik τ ki

(φ-φt )k

vk

vi

ui

uk

popreč ni presek

popreč ni presek

i

k

i'

k’

δ k

δ i

lik+ Δlik

lik

ik k il u uΔ = −

( ) ( )cos sinik k i ik k i ik

l u u v vα α Δ = − + −

(z s )




θ i i

k

r

ψir

(φ-φt)i

θ i

k ψik

k'

i'

r'

θ i

(φ-φt)i

( )t ik ik ir ir iϕ ϕ τ ψ τ ψ − = + = +

ik ir ir ik τ τ ψ ψ − = −

( ) ( )cos sink i ik k i ik k iik

ik ik

v v u uv v

l l

α α ψ − − −−= =

( ) ( )cos sinr i ir r i ir r i

ir

ir ir

v v u uv v

l l

α α ψ

− − −−= =

(z k )




b/ apsolutnih pomeranja

coi

i

i'

ui

vi

βi

( zo )cos sini i i i oiu v c β β + =

k i'

k'

ψik

i

cui =(φ-φt )i

c ui = ( ϕ -ϕ t )i ( zu )

Broj uslova kompatibilnosti: z o+z u + z s+z k




Ukupan broj uslova kompatibilnosti

pomeranja čvorova i uslova ravnoteženosača je jednak broju nepoznatih aksijalnih

sila Sik i momenata na krajevima štapova

M ik , M ki , reakcija oslonaca i uklještenja C oi ,C ui i pomeranja čvorova u i i v i :

z o+z u +z s+z k +2K+m




Broj nepoznatih stati č kih veli č ina

C o, C u , Sik ,M i , M k : z o+z u + z s+z k +mBroj uslova ravnoteže: 2K+m

Statička klasifikacija nosača

< stati č ki preodređ enz o+z u +z s+z k = 2K stati č ki određ en

> stati č ki neodređ en




Broj nepoznatih komponenata pomeranja

u i ,v i : 2K Broj uslova kompatibilnosti : z o+z u + z s+z k

< kinemati č ki labilanz o+z u +z s+z k = 2K kinemati č ki prosto stabilan

> kinemati č ki višestruko stabilan

Kinematička klasifikacija nosača




Ako je z o+z u +z s+z k = 2K i D≠ 0

nosač je kinemati č ki prosto stabilan, tj.stati č ki određ enAko je z o+z u +z s+z k > 2K i D≠ 0 nosač je

kinemati č ki višestruko stabilan, tj.stati č ki neodređ en.n = z o+z u +z s+z k -2K - broj stati č ke neodređ enosti

Ako je z o+z u +z s+z k < 2K nosač jekinemati č ki labilan, tj.stati č ki preodređ en

Klasifikacija nosača




Primer 1

F

2I I I

50 kN

F

1 2 3 4 5

7

8

6

Broj čvorova K=8

Broj elemenata zo=7, zu=1,zs=7, zk =3Broj statičke n = zo+zu+zs+zk - 2K = 18-16=2

neodređenosti




Primer 2

7

8

2

1

3 4

5 6

Broj čvorova K=8

Broj elemenata zo=6, zu=1, zs=7, zk =4

Broj statičke n = zo+zu+zs+zk - 2K = 18-16=2

neodređenosti




Primer 3

1 2 3 4 5

67

8 9

1222 13

11110

12

Broj čvorova K=13Broj elemenata zo=4, zu=0, zs=20, zk = 4

Broj statičke n = zo+zu+zs+zk - 2K = 28 - 26 = 2

neodređenosti

39statika konstrukcija 2 - uvod

Documents