3..dio_tri

JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet

Teoretske osnove za izradu zadataka u narednom poglavlju nalaze se u knjizi «Otpornost materijala sa teorijom elastičnosti», autora Dr sci. Sadudina Hodžića, redovnog profesora na Rudarsko-geološko-građevinskom fakultetu u Tuzli, na stanicama broj 133 do 155.

81


7. Elastične linije

Zadatak 7.1 Za gredu prikazanu na slici 66. odrediti ugib na sredini raspona. Greda je od čelika i ojačana je čeličnim lamelama. Momenat inercije osnovnog nosača iznosi: Ix1=42500cm4, a momenat inercije ojačanog nosača iznosi: Ix2=85000cm4. Pri rješavanju koristiti «momentnu metodu».

l=1000cm

F2=100kN

B

F1=200kN

163cm

A

213cm

0,3l 0,3l 0,4l

Slika 66. Koeficijent korekcije momenata inercije:

5,08500042500

2

1 ===x

x

IIk

Određivanje otpora oslonaca:

kNFFFFkNF

lFlFlFM

AB

A

A

B

1301701002001701003,02007,0

03,07,00

21

21

=−+=−+==⋅+⋅=

=⋅⋅−⋅⋅+⋅=Σ

Momenti savijanja ispod sila:

kNcmFFMkNcmlFM

A

A

390004002007001704007005100010003,01703,0

12

1

=⋅−⋅=⋅−⋅==⋅⋅=⋅⋅=

Korigovan momenat savijanja:

kNcmMkM

kNcmMkM

19500390005,0

25500510005,0

22

11

=⋅=⋅=′=⋅=⋅=′

Momenat savijanja na početku lamela:

kNcmFM Aa 27710163170163 =⋅=⋅=

kNcmMkM aa 13855277105,0 =⋅=⋅=′ Momenat savijanja na kraju lamela:

kNcmFM Bb 27690213130213 =⋅=⋅=

kNcmMkM bb 13845276905,0 =⋅=⋅=′

82


MM

MM

kNcmMMM a 116451385525500

22

1///

1

11

=″

′′=

=−=′−′=″

kNcmM

kNcmM

b 56551384519500

600019500255002

=−=′−′=−=−

UF=100kN/1cm UM=10000kNcm/1cm

F1=200kN

F2=100kN A B

163 87137 400 213 l=1000cm

M/ a

M/ b

M/ 2

M/ 1

M// 2

Ma

M// 1

Mb

F8F7 142

M///

1

256,5F6F2 F5 271F4 F3

566,7500

F1

891,3

l=1000cm

768,5745,7

Slika 67. Slika 67. je nacrtana radi lakše orijentacije pri korištenju «momentne metode» za određivanje ugiba. Određivanje «fiktivnih sila»

F122258365

216327710

2163 kNcmM a =

⋅=

⋅=

F22189813513713855137 kNcmM a =⋅=⋅′=

F321 5,797682

213711645

2137 kNcmM

=⋅

=⋅″

=

F42

///1 1200000

24006000

2400 kNcmM

=⋅

=⋅

=

F52

2 780000040019500400 kNcmM =⋅=⋅′=

F622 5,245992

2875655

287 kNcmM

=⋅

=⋅″

=

83


F721204515871384587 kNcmMb =⋅=⋅′=

F822948985

221327690

2213

kNcmM b =

⋅=

⋅=

Određivanje fiktivnog otpora oslonaca (RA) ΣMB=0 RA⋅1000- F1⋅891,3- F2⋅768,5- F3⋅745,7- F4⋅566,7- F5⋅500- F6⋅271- F7⋅256,5- F8⋅142=0 RA=0,891⋅ F1+0,768⋅ F2+0,746⋅ F3+0,566 ⋅ F4+ +0,5 ⋅ F5+0,271 ⋅ F6+0,256⋅ F7+0,142⋅ F8 RA=2012203+1457768+595070+679200+3900000+66664+308365+418756 RA =9438026kNcm2 Određivanje fiktivnog «momenta savijanja» na sredini grede:

Slika 68.

F5/

Mb

M/ b

M// 2

M/ 2

MV

1 M

/V1 M

// 1

M/ a

Ma

l/2=500cm

F7

F2=100kN

B

F1=200kN

A

163 213l=1000cm

137 87400

F8 142

256,5271

F6F5

566,7500

768,5745,7

F3

F2

F1

100

245,7 135,3

F4/

268,5 391,3

RA =9438026 kNcm2 F1=2258365 kNcm2 F2=1898135 kNcm2 F1=797682,5 kNcm2

kNcmM

MM

IV

IIIIV

30005,06000400200

1

11

=⋅=

=

84


F4/

21 3000002

200 kNcmM IV

=⋅

=

kNcmMMM IVV 22500300025500111 =−=−′= F5

/ 21 4500000200 kNcmM V =⋅=

Fiktivni momenat savijanja: M(l/2)= RA⋅500- F1⋅391,3- F2⋅268,5- F3⋅245,7- F4

/⋅135,3- F5/⋅100

M(l/2)= 4719013000-883698224,5-509649247,5-195990590-40590000-450000000 M(l/2)=2639084939 kNcm3

Ugib na mjestu (l/2) je ujedno i maksimalni ugib. y(l/2)=ymax= M(l/2)/(E⋅Ix1)= 2639084939/(21000⋅42500)=2,96cm Zadatak 7.2 Za gredu prikazanu na slici 69. koja je od čelika i koja ima popriječni presjek kao na slici 70. poznat je maksimalni ugib. Greda ima maksimalni ugib: ymax=1o/oo od dužine grede. E=21000 kN/cm2. Dimenzionirati gredu, tj. odrediti parametar (R). q=50kN/m

B A

F=50kN

l/3 l=12,5m

2/3l

Slika 69. Određivanje momenta inercije popriječnog presjeka:

( ) ( ) ( ) ( )44444

22443

96,1164,0003,0785,091,2

77,04

42,024

214,02412

46,235,2

RRRRRI

RRRRRRI

x

x

⋅=⋅−⋅−⋅−⋅=

⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅

−⋅

−⋅⋅⋅

=πππ

Maksimalni ugib se očekuje na sredini raspona: x=l/2 Ugib na sredini raspona od kontinuiranog tereta:

xq IE

lqy⋅⋅

⋅⋅=

3845 4

)(

85


y

0,428R

0,428R

RR

x

0,23

R

0,35 R

2,46

R

0,77

R

0,77

R

2,35R

Slika 70. Ugib od sile (F) na mjestu x=l/2, to je slučaj gdje je a<x.

( ) ( )xx IE

axFxblIElxbFy

⋅⋅−⋅

+−−⋅⋅⋅⋅⋅

=66

3222

A B

F=50kN

a=l/3

x=l/2

b=2/3l

Slika 71.

( ) ( ) ( ) lyyy

IE

llFlll

IElllFy

qFl

xxF

⋅=+=

⋅⋅

−⋅

+

−

⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

001,0

632

232

2362

2/

3

222

)(

xxx

xxx

IEl

IElF

IElF

lIEl

IElFl

IElFl

⋅⋅⋅

+⋅⋅

⋅+

⋅⋅⋅⋅

=

⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅

⋅+

⋅⋅

⋅⋅⋅

=⋅

3845,2

129664811001,0

1384

5,05129636

1118

001,0

322

432

86


cmRllR

llRllR

llFR

llFlFIE x

2,241250000158,012500215,0000158,00215,0

0065,0888,016,410065,05001777,016,41

0065,001777,0001,096,121000

0065,000077,0017,0001,0

3 323 32

324

324

324

322

=⋅+⋅=⋅+⋅=

⋅+⋅=⋅

⋅+⋅⋅=⋅

⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅

⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅

Zadatak 7.3 Za gredu koja je dimenzionirana i ojačana lamelama (zadatak 5.2) odrediti ugib grede ispod sile, koristeći “momentnu metodu”.

M1

M2

M/ 1

M/ 2

M/ 1

M/ 1

RB RA

F4F3 F2

272M1

B A

F=300kN

l=10m

215 144385 256

96

314,7528,3

856,7592,5

F1 F5 F6

Slika 72.

I profil I4221 ili I42,5 ima otpornim momentom Wxo=1740cm3 sa I1= Ixo=36970cm4.

Momenat inercije lamela: 479767cmIxl = Ukupni momenat inercije presjeka, ojačan lamelama: I2= 41167377976736970 cmIII xlxoxu =+=+=FA=120kN FB=180kN

87


Određivanje fiktivnih sila:

317,011673436970

2

1 ===IIk

Momenti savijanja ispod sila:

kNcmkFMkNcmFM

A

A

22824600317,012060025800215120215

2

1

=⋅⋅=⋅⋅==⋅=⋅=

Korigovan momenat uvijanja:

kNcmMMM

kNcmMkM

146456,817822824

6,817825800317,0

122

11

=−=′−=′=⋅=⋅=′

Određivanje «fiktivnih sila»

F121 2773500

221525800

2215 kNcmM

=⋅

=⋅

=

F22

1 31487613856,8178385 kNcmM =⋅=⋅′=

F322 5,2819239

238514645

2385 kNcmM

=⋅

=⋅′

=

F422 1874500

225614645

2256 kNcmM

=⋅

=⋅′

=

F52

1 199987225625800256 kNcmM =⋅=⋅′=

F621 1857600

214425800

2144 kNcmM

=⋅

=⋅

=

Određivanje fiktivnih oslonaca ΣMB=0 RA⋅1000- F1⋅856,7- F2⋅592,5- F3⋅528,3- F4⋅314,7- F5⋅272- F6⋅96=0 RA=0,8567⋅ F1+0,5925⋅ F2+0,5283⋅ F3+0,3147 ⋅ F4+0,272 ⋅ F5+0,096 ⋅ F6 RA=2376057+1865640+1489404+589924+543965+178330 RA =7043320kNcm2 Fiktivni momenat ispod sile (F) M(F)= RA⋅600- F1⋅456,7- F2⋅192,5- F3⋅128,3 M(F)= 4225992000-1266657450-606136492-361708364 M(F)=1991489694 kNcm3

Ugib ispod sile:

cmIE

Myx

FF 56,2

36970210001991489694

)( =⋅

=⋅

=

88


Zadatak 7.4 Za prostu gredu prikazanu na slici 73., koja je od čelika i čiji je popriječni presjek prikazan na slici 74., odrediti parametar (δ) ako ugib grede na udaljenosti od oslonca (A), x=0,8⋅l ne smije preći veličinu od 0,5o/oo ukupne dužine grede

Slika 73. l=10m

B

F=100kN

0,7l

x=0,8l

0,3l

A

10δ

30δ

3δ 3δ

20δ

δδ

δ

y 3,4

y 2

,3

y 1

A1

A2 A3

A4 A5

y

x

Slika 74. Slika 75.

Pošto presjek ima jednu osu simetrije, tražimo koordinatu težišta po visini. Tabela 12. br Ai(cm2) yi (cm) Sx(cm3) 1 60⋅δ2 31,5⋅δ 1890⋅δ3

2 4⋅δ2 29,5⋅δ 118⋅δ3 3 4⋅δ2 29,5⋅δ 118⋅δ3 4 28⋅δ2 15⋅δ 420⋅δ3 5 28⋅δ2 15⋅δ 420⋅δ3 6 10⋅δ2 0,5⋅δ 5⋅δ3 Σ 134⋅δ2 - 2971⋅δ3

89


δδδ

⋅=⋅⋅

=ΣΣ

= 22,171342971

2

3

ASy x

T

Određivanje momenta inercije za težišnu osu (x)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

4

44444444

2233

2

3333

16933

5223455,04,322128016006,253005,36322

33,96012

32012

3233,732

383,78

383,710

317,228

317,2210

δ

δδδδδδδδ

δδδδδδδδδ

δδδδδδδδ

⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

+⋅⋅

⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+

+⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅

=

x

x

x

I

I

I

Slika 76.

9,33δ

7,83δ

10,8

3δ

7,83δ

22,1

7δ

B

F=100kN

b=0,3l

A

x

y

a=0,7l

x=0,8l l=10m

Slika 77. Jednačina ugiba (slučaj kada je x>a): l=1000cm; a=700cm; b=300cm; x=800cm E=21000kN/cm2; y=0,5o/oo od 1000cm; y=0,5cm

90


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

⋅−⋅+⋅−⋅−⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅

−+−−⋅

⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅−⋅

+−−⋅⋅⋅⋅⋅

=

3222

3222

3222

7,08,064,009,08,03,0210006

1000005,0

6

66

llllll

llI

l

axxbllxb

IEFy

IEaxFxbl

IElxbFy

x

x

xx

cmll

l

I

llI

Ill

x

x

x

58,1100005,005,0000006165,0

1044,016933

16933

1044,063

58,6

;210006

58,60005,0

4 24 24 2

24

4

22

2

=⋅=⋅=⋅=

⋅=⋅

⋅=

⋅=⋅

=

⋅⋅⋅

=⋅

δ

δ

δ

Usvaja se standardna veličina δ=1,6cm Stvarna veličina momenata inercije:

444 1109726,11693316933 cmIx =⋅=⋅= δ Stvarni ugib:

cmI

lyx

s 47,0110972210006

100058,6210006

58,6 22

=⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅

=

Pošto je zadatkom predviđen maksimalni ugib y=0,5cm, a stvarni je ys=0,47cm, računa zadovoljava. Zadatak 7.5 Dimenzionisati gredu prikazanu na slici 78., tj. odrediti parametar (a), ako je greda od čelika i ako ima dozvoljeno naprezanje na savijanje: σdf=15kN/cm2. Popriječni presjek grede prikazan je na slici 79. l=10m

91

l=10m

F2=100kN F1=200kN

CBA0,1l 0,3l0,2l0,4l

0,4l0,6l

Slika 79.


92

Slika 80. Slika 81.

30a

a a

12a

10a

10a 10a

12a

10a

10a 10ay

3 x

22

1

Određivanje koordinata težišta (yT) Pošto je presjek simetričan u odnosu na osu (x), xT=10a Presjek je podijeljen na 4 segmenta

22

21

15023010

20

aaaA

aA

⋅=⋅⋅⋅

=

⋅=

U presjeku su dvije identične površine A2

2222321

23

33212300202

12

aaaaAAAA

aA

⋅=⋅+⋅+⋅=+⋅+=Σ

⋅=

Statički momenti površine za osu (x)

3233

3222

3211

62

122

3150)20(15003032

6305,31205,31

aaaaAS

aaaaaaAS

aaaaAS

x

x

x

⋅=⋅⋅=⋅=

⋅=+⋅⋅⋅=

+⋅⋅⋅=

⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=


a

aa

⋅=⋅⋅ 9,20

3326936

2

3

AS

y

aaaaSSSS

xT

xxxx

=ΣΣ

=

⋅=⋅+⋅+⋅=++=Σ 693663150630 3333321

93

20a 19

,9a

10,1

a

12a

10a

10a 10a

xx T

y

x

10,1

a

10a

x

x

Slika 82.

Slika 81. Moment inercije za osu (x)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 444444223

223

33

22477,14994629087086,102012

20

4,201212

1212

1031,10212

9,192

63,69,1930

10

aaaaaaaaaa

aaaaaxaaxI

axa

xaa

x

⋅+⋅+⋅++⋅+⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅

+

+⋅⋅⋅+⋅⋅

+⋅⋅+

⋅⋅⋅+⋅⋅

⋅=

⋅=⇒⋅

=⋅⋅

34

max

max

4

10649,20

22242

9,2022242

aaa

yI

W

ayaI

xx

x

⋅=⋅⋅

==

⋅=⋅=

Otpori oslonaca grede Pošto je greda jedanput statički neodređena, rješavamo je iz uvjeta Σy=0 na mjestu oslonca (B)


Ugib od sile (FB)

l=10m

FB

CBA

b=0,4la=0,6l

Slika 83.

x

B

x

B

x

BF IE

lFIEl

llFIElbaFy

B ⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅

=32222

)(0192,0

3)4,0()6,0(

3

Ugib od sile (F2) F2=100kN

Ca=0,9l

xo=0,6l b=0,1l

BA

Slika 84.

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]xx

F

xF

IEllll

IEllly

lllIEl

llFy

ax

⋅⋅

=⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

⟨

3222

)(

2222)(

63,06,01,06

6,01,0100

6,01,06

6,01,0

2

2

Ugib od sile (F1)

x=0,6l

F1=200kN

CBb=0,6l a=0,4l

A

Slika 85.

( ) ( )[ ] ( )xx

F IElF

lllIEl

llFy

ax

⋅⋅⋅⋅

+⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

⟩

62,0

6,06,06

6,06,0 312221

)( 1

( ) ( )[ ] ( )

)()()(

33222

)(

21

1

63,36

2,02006,06,06

6,06,0200

BRFF

xxxF

yyyIEl

IEllll

IEllly

=+⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

+⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

94


kNFF

lIE

IElF

IEl

IEl

B

B

x

x

B

xx

88,2210192,062,4

0192,063,063,33

333

=⋅=

⋅⋅

⋅⋅⋅

=⋅⋅

+⋅⋅

1

FC FB FA

F2=100kN F1=200kN

CBA0,1l 2

0,3l0,2l0,4l 0,4l0,6l

l=10m

Slika 86.

kNFl

lFlFlFlF

M

A

BA

C

25,411,01004,088,2216,0200

101,04,06,0

0

21

=⋅+⋅−⋅=

⋅=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅

=Σ

kNFF

FFFFF

C

C

CBA

87,3688,22125,41100200

21

=++=+

++=+

Momenti savijanja:

kNcmlM

llllFlFlFM

kNcmM

llllFlFM

kNcmlllFM

B

BA

B

AB

A

3680100068,368,3

3,088,2215,02009,025,413,05,09,0

15250100025,15

25,152,02006,025,412,06,0

1650010005,166,164,025,414,0

)(

1)2(

)(

1)(

)1(

=⋅=⋅=

⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=

−=⋅−=

⋅−=⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅=

=⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅=

Dimenzioniranje grede:

xdf W

M max=σ

cmla

laal

11000101,00010338,0

5,16159601064

5,1615

33

3

3

=⋅=⋅=

⋅=⋅⋅⋅

=

95


UF=100kN/1cm UM=10000kNcm/1,5cm F2

1

A B C21

FA

Slika 87.

—M

1=M

max

+

FB

+

FC

F =200kN
=100kN
96

3..dio_tri

Documents