3;epy · 2019. 9. 21. · формулировать понятие определенного...

O\

OF

>,

cs rn

,H\,

6\

lF

N>

, .\N

B"N

FFc)FLII

*t

r

9,

.t:

q)

t

Ua

I

;'4

:

cr

=:

F

d:

F

J;;

()

A

.*

s;

XY

E

O

)<

E

(v

Cg

V

LrJ

!.1

s 3

gq

lF

!

q:

1<

F:

€

, t

s!

;g

.x

q)

Ex

3;E

PY

\t

/ o

:r

F|

:

I =

E i+

X;

q,

F

:+v

iT

AH

4

;iv

i *r!

: ()

r.a

R

:#

h

:F

E

VA

L

I i-f

,,

c

}o

?

>.,

E

:v

iv

cg

'i

g.

Hs

?

ssi1dr r'l

OOc-)

-la(Jco

-Xr-)La)

()F(J-FQrrl

FOTz

a.lC)

C)

FF(J(czxa

<1-

c{

Fcg

4

O

^q

z;

_q)

cc

s

>F

-

c)

i)

O

Q6

er '!

2-

v>O

J

a6l

2

СОДЕРЖАНИЕ

1. КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

3

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования «Великолукская государственная сельскохозяйственная академия»

ОТДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра социально-гуманитарных и естественнонаучных дисциплин

КОНТРОЛЬНО - ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

ДИСЦИПЛИНЫ

«Элементы высшей математики»

(математический и общий естественнонаучный цикл ЕН.01)

Специальность

09.02.04 Информационные системы (по отраслям)

Великие Луки 2019

4

Рассмотрены и рекомендованы к использованию заседанием кафедры социально-гуманитарных и естественнонаучных дисциплин, протокол № 1 от «28» августа 2019 г.

Контрольно-измерительные материалы подготовила: Е.В. Радкевич, старший преподаватель кафедры социально-гуманитарных и естественнонаучных дисциплин

Рецензент: О.В. Белова, старший преподаватель кафедры социально-гуманитарных и естественнонаучных дисциплин

Контрольно-измерительные материалы по результатам изучения учебной дисциплины «Элементы высшей математики» ориентированы на проверку степени достижения требований к минимуму содержания и уровню подготовки обучающихся в соответствии с федеральным государственным стандартом

среднего профессионального образования и являются основополагающим документом для организации контроля знаний, умений и навыков обучающихся в учебном процессе.

3

Общие положения

Фонд оценочных средств (ФОС) предназначен для контроля и оценки образовательных достижений обучающихся, освоивших программу учебной дисциплины «Элементы высшей математики».

ФОС включает контрольные материалы для проведения текущего контроля, промежуточной и итоговой аттестации.

ФОС разработан на основании положений: - основной профессиональной образовательной программы подготовки

специалистов среднего звена в соответствии с ФГОС по специальности 09.02.04

Информационные системы (по отраслям); - программы учебной дисциплины «Элементы высшей математики».

Результатом освоения учебной дисциплины «Элементы высшей математики» является:

- умение выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений;

- умение применять методы дифференциального и интегрального исчисления;

- умение решать дифференциальные уравнения; - знание основ математического анализа, линейной алгебры и

аналитической геометрии;

- знание основ дифференциального и интегрального исчисления.

Формой аттестации по учебной дисциплине «Элементы высшей математики» является дифференцированный зачет.

1 Формы контроля и оценивания элементов учебной дисциплины


Элемент учебной дисциплины

Форма контроля и оценивания

Текущий

контроль

Рубежный контроль

Промежуточная

аттестация

Раздел 1. Линейная алгебра.

Письменные опросы,

практические занятия, решение задач

Контрольная работа

Раздел 2.

Комплексные числа.

Письменный опрос,



Раздел 3.

Элементы векторной алгебры.




Раздел 4.

Элементы аналитической геометрии на




4

плоскости и в пространстве.

Раздел 5.

Математический анализ.




Итог дифференцированный зачет

2 Результаты освоения учебной дисциплины «Элементы высшей математики», подлежащие проверке на контрольной работе

В результате аттестации по учебной дисциплине осуществляется комплексная проверка следующих умений, навыков и знаний:

Результаты обучения

(освоенные умения, усвоенные знания)

Основные показатели оценки результата

Умения:

выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений

вычислять сумму и разность матриц;

вычислять произведение матрицы на число;

вычислять произведение матриц; вычислять определители первого и второго порядков; находить решение системы линейных уравнений методом Крамера; составлять матрицу, обратную данной; находить решение системы линейных уравнений матричным методом; находить решение системы линейных уравнений методом Гаусса; находить ранг матрицы; исследовать систему уравнений на количество решений.

применять методы дифференциального и интегрального исчисления

вычислять пределы функций;

избавляться от неопределенности при решении пределов;

исследовать функцию на наличие разрыв;

вычислять производные простых и сложных функций;

составлять уравнение касательной к графику функции в точке;

находить по закону движения скорость и ускорение в заданный момент времени;

применять дифференциал в приближенных вычислениях;

строить график функции, исследуя ее средствами дифференциального исчисления;

вычислять неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования, заменой переменной, интегрированием по частям;

вычислять определенные интегралы с помощью формулы Ньютона-Лейбница и заменой переменной;

5

находить площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями;

находить частные производные функции двух независимых переменных.

решать дифференциальные уравнения

находить общий интеграл и общее решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными и линейных дифференциальных уравнений первого порядка; находить частный интеграл и частное решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными и линейных дифференциальных уравнений первого порядка; находить общее и частное решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами; находить общее решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Знания:

основ математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии

формулировать понятие функции;

перечислять способы задания функций;

перечислять основные свойства функций;

перечислять элементарные функции;

формулировать понятие сложной функции;

формулировать понятие обратной функции;

формулировать понятие числовой последовательности;

перечислять способы задания числовых последовательностей;

формулировать понятие предела функции в точке и в бесконечности;

формулировать понятие односторонних пределов;

формулировать понятие непрерывности функции в точке;

перечислять типы точек разрыва;

формулировать понятие производной;

перечислять производные элементарных функций;

записывать правила дифференцирования; формулировать правило нахождение производной сложной функции;

исследовать и строить график функции;

формулировать понятие неопределенного интеграла и перечислять его свойства;

перечислять табличные интегралы;

записывать формулу интегрирования по частям;

формулировать понятие определенного интеграла и его геометрический смысл;

записывать формулу Ньютона-Лейбница;

формулировать понятие функции двух независимых переменных;

формулировать понятие дифференциального уравнения;

6

формулировать задачи Коши;

формулировать теорему о виде общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами;

формулировать понятие числового ряда;

перечислять признаки сходимости числовых рядов;

формулировать понятие матрицы;

перечислять основные виды матриц;

перечислять операции над матрицами;

записывать формулы вычисления определителей второго и третьего порядков;

перечислять свойства определителей; формулировать понятие системы линейных уравнений; формулировать понятия однородной и неоднородной системы линейных уравнений; формулировать понятия совместной и несовместной системы линейных уравнений; формулировать понятие определенной и неопределенной системы линейных уравнений; перечислять этапы решения системы линейных

уравнений методом Крамера; перечислять этапы решения систем линейных уравнений методом Гаусса; формулировать понятие обратной матрицы; перечислять этапы решения систем линейных уравнений матричным методом; формулировать понятие ранга матрицы; формулировать теорему Кронекера-Капелли; формулировать понятие комплексного числа; формулировать понятие вектора; формулировать понятие скалярного, векторного и смешанного произведения векторов; перечислять виды уравнений прямой на плоскости; формулировать признаки параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости; формулировать понятие окружности, эллипса, гиперболы и параболы; перечислять виды уравнений плоскости; формулировать свойства параллельности и перпендикулярности двух плоскостей; перечислять виды уравнений прямой в пространстве; формулировать свойства параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

основ дифференциального и интегрального исчисления

записывать формулу вычисления приближенного значения функции с помощью дифференциала;

формулировать геометрический и физический смыслы производной; формулировать приложение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, объемов тел вращения, пути пройденного точкой;

7

описывать процессы в физике и технике с помощью дифференциальных уравнений.

3 Оценка освоения теоретического курса учебной дисциплины


Основной целью оценки теоретического курса учебной дисциплины

«Теория вероятностей и математическая статистика» является оценка умений и знаний. Оценка теоретического и практического курса учебной дисциплины

«Теория вероятностей и математическая статистика» осуществляется с использованием следующих форм и методов контроля:

-текущий контроль – письменный опрос по теоретическому материалу/решение практических задач, выполнение практических работ;

-рубежный контроль – выполнение контрольных работ;

-промежуточная аттестация – дифференцированный зачет.

Дифференцированный зачет проводится в сроки, установленные учебным планом, и определяемые календарным учебным графиком образовательного процесса.

3.1 Структура контрольного задания

Задания для оценки освоения раздела 1 «Линейная алгебра»

Студент должен: знать: определение матрицы; виды матриц и их определения; виды

операций над матрицами; понятие определителя; правило вычисление определителя второго порядка; правило вычисление определителя третьего порядка; теорему разложения (Лапласа); определение системы линейных уравнений; запись системы линейных уравнений в матричном виде; классификацию систем линейных алгебраических уравнений по количеству решений; классификацию систем линейных уравнений по виду правой части; формулы Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений; метод решения систем линейных уравнений методом Гаусса; определение обратной матрицы; решение системы линейных уравнений матричным методом; определение ранга матрицы; способы нахождения ранга матрицы; теорему Кронекера-Капелли;

уметь: находить сумму и разность матриц; находить произведение матриц; возводить матрицу в натуральную степень; находить матрицу, транспонированную данной; вычислять определители второго и третьего порядков; записывать системы линейных уравнений в матричном виде; решать систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера; решать систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса; находить матрицу обратную данной; решать систему линейных уравнений матричным методом; находить ранг матрицы; исследовать систему на количество решений с помощью теоремы Кронекера-Капелли.

8

Вопросы для самоконтроля: 1. Что называется матрицей?

2. Перечислите виды матриц. 3. Какая матрица называется квадратной?

4. Что называется порядком квадратной матрицы?

5. Какие операции над матрицами Вы знаете?

6. Что называется суммой (разностью) матриц?

7. Какие матрицы можно складывать?

8. Что называется произведением матрицы на число?

9. Что называется произведением матриц?

10. Какие матрицы можно умножать?

11. Что называется транспонированием матрицы?

12. Что называется определителем квадратной матрицы?

13. Что называется возведением матрицы в натуральную степень?

14. Сформулируйте понятие определителя квадратной матрицы. 15. Запишите формулу вычисления определителя второго порядка?

16. Запишите формулу вычисления определителя третьего порядка?

17. Сформулируйте понятие минора элемента определителя. 18. Сформулируйте понятие алгебраического дополнения элемента

определителя. 19. Сформулируйте теорему разложения определителя (теорему Лапласа). 20. Перечислите свойства определителей. 21. Сформулируйте определение систем линейных уравнений. 22. Запишите систему линейных уравнений в матричном виде. 23. Что называется основной матрицей системы?

24. Что называется расширенной матрицей системы?

25. Что значит решить систему линейных уравнений?

26. Что называется решением системы линейных уравнений?

27. Какая система уравнений называется совместной?

28. Какая система уравнений называется несовместной?

29. Какая система уравнений называется определенной?

30. Какая система уравнений называется неопределенной?

31. Какая система уравнений называется однородной?

32. Какая система уравнений называется неоднородной?

33. Запишите формулы Крамера. 34. Расскажите порядок решения системы линейных уравнений методом

Гаусса. 35. Сформулируйте понятие обратной матрицы. 36. Перечислите этапы нахождения обратной матрицы. 37. Запишите формулу матричного метода системы линейных уравнений. 38. Сформулируйте понятие ранга матрицы. 39. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

Письменные опросы

9

Письменный опрос №1 «Матрицы и действия над ними».

Время выполнения 15 мин. Объект контроля: знание основных линейной алгебры и умения выполнять

операции над матрицами и решать системы линейных уравнений.

Основные показатели оценки результата: формулировать понятие матрицы; перечислять основные виды матриц; перечислять операции над матрицами; вычислять сумму и разность матриц; вычислять произведение матрицы на число; вычислять произведение матриц.

Вариант №1

1. Сформулируйте определение матрицы. 2. Что называется порядком квадратной матрицы? Приведите пример. 3. Что называется произведением двух матриц? 4. Какие матрицы можно складывать?

5. Что называется транспонированием матрицы?

6. Какая матрица называется треугольной?

Вариант №2

1. Сформулируйте определение квадратной матрицы. 2. Что называется единичной матрицей. 3. Что называется суммой матриц? 4. Какие матрицы можно умножать?

5. Что называется возведением матрицы в натуральную степень?

6. Что называется умножением матрицы на число?

Письменный опрос №2 «Определители. Правила вычисления определителей».



Основные показатели оценки результата: вычислять определители первого и второго порядков; записывать формулы вычисления определителей второго и третьего порядков; перечислять свойства определителей.

Вариант №1

1. Что называется определителем матрицы?

2. Запишите формулу вычисления определителя второго порядка. 3. Что называется минором элемента определителя?

4. Сформулируйте теореме разложения определителя (теорему Лапласа).

Вариант №2

1. Для какой матрицы можно вычислить определитель?

10

2. Запишите формулу вычисления определителя третьего порядка. 3. Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя?

4. Перечислите четыре свойства определителя.

Письменный опрос №3 «Системы линейных уравнений».



Основные показатели оценки результата: находить решение системы линейных уравнений методом Крамера; составлять матрицу, обратную данной; находить решение системы линейных уравнений матричным методом; находить решение системы линейных уравнений методом Гаусса; находить ранг матрицы; исследовать систему уравнений на количество решений;

перечислять свойства определителей; формулировать понятие системы линейных уравнений; формулировать понятия однородной и неоднородной системы линейных уравнений; формулировать понятия совместной и несовместной системы линейных уравнений; формулировать понятие определенной и неопределенной системы линейных уравнений; перечислять этапы решения системы линейных уравнений методом Крамера; перечислять этапы решения систем линейных уравнений методом Гаусса; формулировать понятие обратной матрицы; перечислять этапы решения систем линейных уравнений матричным методом; формулировать понятие ранга матрицы; формулировать теорему Кронекера-Капелли.

Вариант №1

1. Что называется системой линейных уравнений. 2. Что называется основной матрицей системы линейных уравнений?

3. Что называется решением системы линейных уравнений?

4. Какая система уравнений называется совместной?

5. Какая система уравнений называется определенной?

6. Какая система уравнений называется неоднородной?

7. Какая матрица называется обратной?

8. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли. 9. Запишите формулы Крамера.

Вариант №2

1. Запишите матричную форму записи системы линейных уравнений. 2. Что называется матрицей-столбцом неизвестных?

3. Что значит решить систему линейных уравнений?

4. Какая система уравнений называется несовместной?

5. Какая система уравнений называется неопределенной?

6. Какая система уравнений называется однородной?

7. Что называется рангом матрицы?

8. Запишите формулу решения системы матричным методом.

11

9. С чем смысл решения системы методом Гаусса?

Примеры заданий к контрольной работе по разделу 1 «Линейная алгебра»

Задание 1. Найти сумму или разность матриц:

а)

−

+

−121

213

042

131; б)

−−+

−−

95

83

31

48

31

94

;

в)

−

−−−

−−

−1043

8652

4853

10941; д)

−

− 1312104

10541

201

541;

д)

+

421

875

431

5

323

412

321

2 ; е)

−

421

875

431

8

1

323

412

321

4

1.

Задание 2. Найти произведение матриц:

а)

−

123

211

012

321

402

131

; б)

−

2

1

0

301

012

121

; в)

−−

112

221

21

30

02

;

г) ( )243

3

2

1

−

.

Задание 3. Вычислите ( ) ( )3АВBAТ + , если

−=

02

51A ,

−=

43

12B .

Задание 4. Вычислить определители второго порядка:

а) 42

31 −; б)

42

35

−−

; в) 42

01; г)

42

21; д)

33

11

−−

; е) 00

2517.

Задание 5. Вычислить определители третьего порядка:

а)

125

321

432

−; б)

191

1111

7191

−−

; в)

874

221

432

−−−

; г)

1700

1310

1532

Задание 6. Дан определитель 125

321

517

−

−. Выписать миноры для элементов,

которые расположены в первой строке.

12

Задание 7. Дан определитель 154

323

432

−−−

. Вычислить алгебраические

дополнения элементов, которые расположены в третьем столбце. Задание 8. Решить уравнения:

а) 0

111

32

942

=x

x

; б) 0

410

11

232

=−x

x

; в) 0

736

54

31

=−

−−x

x

.

Задание 9. Запишите системы линейных уравнений в матричном виде:

а)

=−−=−+

=++

023

8242

523

zyx

,zyx

,zyx

; б)

=+=++=+−

1152

8323

1142

zx

,zyx

,zyx

; в)

−=++−=++

=++

.zyx

,zyx

,zyx

2472

1323

1232

.

Задание 10. Решить системы уравнений методом Крамера, методом Гаусса и матричным методом:

а)

−=+−=+−=+−

3542

5523

042

zyx

,zyx

,zyx

; б)

=++=++=++

723

9342

523

zyx

,zyx

,zyx

; в)

−=++=++=++

.zyx

,zyx

,zyx

6432

4253

4232

.

Задание 11. Решить системы, если они являются совместными:

а)

=+−=+−=+−

1674

022

1232

zyx

,zyx

,zyx

; б)

=+−=+−=+−

3875

322

122

zyx

,zyx

,zyx

.

Задание 12. Решить однородную систему уравнений:

=++=−−=++

.zyx

,zyx

,zyx

0573

082

012

Задания для оценки освоения раздела 2 «Комплексные числа.»

Студент должен: знать: определение комплексного числа; алгебраическую форму записи

комплексного числа; операции над комплексными числами; определение сопряженных комплексных чисел; определение равных комплексных чисел; понятие модуля комплексного числа; понятие аргумента комплексного числа; изображение комплексных чисел на комплексной плоскости; тригонометрическую форму записи комплексного числа; показательную форму записи комплексного числа; формулу Муавра; формулу извлечение корня п-ой степени из комплексного числа;

уметь: выделять действительную и мнимую части у комплексного числа; находить сопряженное данному комплексное число; вычислять сумму (разность) комплексных чисел; находить произведение комплексных чисел;

13

находить частное комплексных чисел; изображать комплексное число на комплексной плоскости; вычислять модуль комплексного числа; находить аргумент комплексного числа; по алгебраической форме записи комплексного числа находить тригонометрическую и показательную форму записи; находить произведение и частное комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме; возводить с помощью формулы Муавра комплексное числа в натуральную степень; извлекать корень п-ой степени из комплексного числа.

Вопросы для самоконтроля: 1. Что называется мнимой единицей?

2. Запишите комплексное число в алгебраической форме. 3. Что называется действительной частью комплексного числа?

4. Что называется мнимой частью комплексного числа. 5. Какие комплексные числа называются равными?

6. Какие комплексные числа называются сопряженными?

7. Как найти сумму двух комплексных чисел?

8. Как найти разность двух комплексных чисел?

9. Как найти произведение двух комплексных чисел, записанных в алгебраической форме?

10. Как найти частное двух комплексных чисел, записанных в алгебраической форме?

11. Дайте основные определения комплексной плоскости. 12. Изобразите комплексное число на комплексной плоскости. 13. Что называется модулем комплексного числа?

14. Запишите формулу для вычисления модуля комплексного числа. 15. Что называется аргументом комплексного числа?

16. Как найти аргумент комплексного числа по алгебраической форме записи?

17. Что называется тригонометрической формой записи комплексного числа?

18. Как вычислить произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме?

19. Как вычислить частное комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме?

20. Что такое показательная форма записи комплексного числа?

21. Как возвести в натуральную степень комплексное число?

22. Какую формулу нужно использовать для извлечения корня п-ой степени из комплексного числа?


Письменный опрос №4 «Комплексные числа».

Время выполнения 20 мин. Объект контроля: знание основ линейной алгебры.

14

Основные показатели оценки результата: формулировать понятие комплексного числа; записывать комплексные числа в алгебраической, тригонометрической и показательной форме; изображать комплексные числа на комплексной плоскости.

Вариант №1

1. Запишите комплексное число в алгебраической форме записи. Пояснить где действительная, где мнимая части.

2. Какие комплексные числа называются сопряженными?

3. Запишите формулу суммы комплексных чисел. 4. Запишите произведение комплексных чисел, записанных в

алгебраической форме. 5. Запишите частное комплексных чисел, записанных в

тригонометрической форме. 6. Запишите формулу возведения в натуральную степень комплексного

числа.

Вариант №2

1. Записать тригонометрическую форму записи комплексного числа. Пояснить где модуль, где аргумент комплексного числа.

2. Какие комплексные числа называются равными?

3. Запишите формулу разности комплексных чисел. 4. Запишите произведение комплексных чисел, записанных в

тригонометрической форме. 5. Запишите частное комплексных чисел, записанных в алгебраической

форме. 6. Запишите формулу извлечения корня п-ой степени из комплексного

числа.

Примеры заданий к контрольной работе разделу 2 «Комплексные числа»

Задание 1. Для комплексных чисел iz 541 −= и iz 732 +−= найти:

а) 21 zz + ; б) 21 zz − ; в) 21 zz ; г) 2

1

z

z

Задание 2. Изобразите на комплексной плоскости комплексные числа iz 291 −= и iz 622 −= .

Задание 3. Вычислите: а) 3830257iiii +++ ; б) ( )111 i− .

Задание 4. Вычислить ( )( )i

ii

−+−+

3

2953.

Задание 5. Разложить на комплексные множители 92 2 +a .

Задание 6. Найти 3 1 i+− .

15

Задание 7. Комплексные числа iz +−= 11 и iz += 32 представить в

тригонометрической форме и найти 21 zz и 2

1

z

z.

Задания для оценки освоения раздела 3 «Элементы векторной алгебры»

Студент должен: знать: определение вектора; понятие длины вектора; определение

коллинеарных и компланарных векторов; формулу вычисления длины вектора; определения и свойства скалярного, векторного и смешанного произведения векторов;

уметь: вычислять длину вектора по его координатам; находить координаты вектора, если известны координаты начала и конца вектора; вычислять скалярное произведение векторов; находить угол между двумя векторами; вычислять проекцию вектора на направление, заданное другим вектором; вычислять векторное произведение векторов; находить площадь треугольника и площадь параллелограмма построенного на векторах; проверять коллинеарность векторов; вычислять смешанное произведение векторов; вычислять объем параллелепипеда и треугольной пирамиды, построенных на векторах; проверять компланарность векторов.

Вопросы для самоконтроля: 1. Что называется вектором?

2. Что называется длинной (модулем) вектора?

3. Какой вектор называется нулевым?

4. Какие вектора называются коллинеарными?

5. Какие вектора называются сонаправленными?

6. Какие вектора называются равными?

7. Что называется умножением вектора на число?

8. Что называется ортом вектора?

9. Какие векторы называются компланарными?

10. Перечислите линейные операции над векторами?

11. Что называется проекцией вектора на ось?

12. Что называется разложением вектора по базису?

13. Запишите формулу вычисления длины вектора. 14. Как вычислить координаты вектора, если известны координаты

начала и конца вектора?

15. Что называется скалярным произведением векторов?

16. Перечислите свойства скалярного произведения векторов. 17. Запишите формулу угла между двумя векторами. 18. Запишите признак перпендикулярности двух векторов. 19. Какая тройка векторов называется упорядоченной?

20. Какая тройка векторов называется правой?

16

21. Что называется векторным произведением двух векторов?

22. Перечислите свойства векторного произведения. 23. Запишите формулу вычисления векторного произведения. 24. Как с помощью векторного произведения вычислить площади

параллелограмма и треугольника?

25. Что называется смешанным произведением векторов?

26. Перечислите свойства смешанного произведения. 27. Запишите формулу вычисления смешанного произведения. 28. Как проверить комланарность векторов?

29. Как вычислить объем параллелепипеда и треугольной пирамиды,

построенных на векторах?


Письменный опрос №5 «Элементы векторной алгебры».

Время выполнения 20 мин. Объект контроля: знание основ математического анализа, линейной

алгебры и аналитической геометрии.

Основные показатели оценки результата: формулировать понятие вектора; формулировать понятие скалярного, векторного и смешанного произведения векторов.

Вариант №1

1. Сформулируйте понятие вектора.

2. Какие вектора называются компланарными?

3. Запишите формулу вычисления длины вектора.

4. Сформулируйте понятие скалярного произведения.

5. Запишите формулу вычисления векторного произведения.

6. Сформулируйте понятие смешанного произведения.

7. Запишите формулу вычисления площади треугольника построенного на векторах.

Вариант №2

1. Сформулируйте понятие коллинеарных векторов.

2. Какие вектора называются равными?

3. Что называется разложением вектора по базису?

4. Запишите формулу вычисления скалярного произведения.

5. Сформулируйте определение векторного произведения.

6. Запишите формулу вычисления смешанного произведения.

7. Запишите формулу вычисления объема треугольной пирамиды, построенной на заданных векторах.

Примеры заданий к контрольной работе разделу 3 «Элементы векторной алгебры»

17

Задание 1. Даны координаты точек А и В. Найти: 1) координаты вектора АВ ; 2)

модуль вектора АВ ; 3) разложение вектора АВ по базису, если: а) ( ) ( )054210 ;;B;;A − ; б) ( ) ( )413201 ;;B;;A − ; в) ( ) ( )321153 −− ;;B;;A .

Задание 2. При каких значениях и векторы kjia ++−= 3 и kjib 46 +−= коллинеарны.

Задание 3. Определить координаты точки В, с которой совпадает конец вектора ( )413 ;;АВ −= , если его начало совпадает с точкой ( )321 ;;A .

Задание 4. Даны векторы а) ( )321 ;;а − , ( )112 −;;b , ( )243 ;;c − ; б) ( )213 −− ;;а ,

( )121 −;;b , ( )101 ;;c − . Вычислить: 1) ba , 2) ba , 3) ( )c,b,a .

Задание 5. Даны вершины треугольника АВС: ( )510 ;;А − , ( )113 ;;В −− ,

( )214 ;;С − . Вычислить: 1) внутренний угол при вершине В; 2)

внешний угол при вершине С; 3) проекцию вектора CB

на направление вектора CA

.

Задание 6. Даны вершины пирамиды АВСD: ( )132 ;;А , ( )214 −;;В , ( )736 ;;С ,

( )421 ;;D − . Вычислить: 1) площадь треугольника АВС; 2)

объем пирамиды АВСD; 3) длину высоты DH.

Задание 7. Выяснить, являются ли данные векторы перпендикулярными: а) ( )431 ;;а − , ( )215 ;;b ; б) ( )937 ;;а − , ( )073 ;;b .

Задание 8. Доказать, что точки А, В, С, D лежат в одной плоскости: а) ( )121 ;;А − , ( )213 ;;В − , ( )223 ;;С − , ( )343 ;;D − .

Задания для оценки освоения раздела 4 «Элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве.»

Студент должен: знать: понятие декартовой плоскости; различные виды уравнений прямой

на плоскости; формулу расстояния между двумя точками; формулы координат середины отрезка; понятие расстояния от точки до прямой; формулу вычисления угла между двумя прямыми на плоскости; понятие о координатах точки в пространстве; различные уравнения плоскости и прямой в пространстве; основные задачи на плоскость и прямую в пространстве; определение скрещивающихся прямых; определения окружности, эллипса, гиперболы и параболы; понятие эксцентриситета;

уметь: изображать точку по заданным координатам на плоскости; изображать прямую на плоскости; определять угол между прямыми на плоскости; находить различные виды уравнений прямой; по виду уравнения кривой второго порядка определять ее тип; строить кривые второго порядка по заданным характеристикам; записывать различные уравнения плоскости; находить угол между плоскостями; определять параллельность и перпендикулярность двух плоскостей; проверять компланарность прямых в пространстве.

18

Вопросы для самоконтроля: 1. Дайте понятие декартовой плоскости. 2. Координаты точки на плоскости. 3. Что называется линией на плоскости?

4. Перечислите виды уравнений прямой на плоскости. 5. Запишите уравнение прямой с угловым коэффициентом. Опишите

частные случаи. 6. Запишите общее уравнение прямой. 7. Запишите уравнение прямой, проходящей через две точки. 8. Запишите уравнение прямой, проходящей через данную точку в

заданном направлении. 9. Запишите уравнение прямой в отрезках. 10. Запишите формулу расстояния между двумя точками. 11. Сформулируйте понятие деления отрезка в заданном отношении. 12. Запишите формулу координат середины отрезка. 13. Запишите формулу вычисления расстояния от точки до прямой. 14. Что называется углом между двумя прямыми?

15. Запишите формулу вычисления угла между двумя прямыми. 16. Сформулируйте условие перпендикулярности двух прямых на

плоскости. 17. Сформулируйте условие параллельности двух прямых на

плоскости.

18. Координаты точки в пространстве.

19. Запишите формулу расстояния между двумя точками в пространстве.

20. Перечислите виды уравнений плоскости. 21. Запишите общее уравнение плоскости. 22. Запишите уравнение плоскости, проходящей через три точки.

23. Что называется нормальным вектором плоскости?

24. Запишите уравнение плоскости, проходящей через данную точку в

направлении нормального вектора. 25. Запишите уравнение плоскости в отрезках. 26. Запишите формулу вычисления расстояния от точки до плоскости. 27. Что называется углом между двумя плоскостями?

28. Запишите формулу для вычисления угла между двумя плоскостями.

29. Сформулируйте условие параллельности двух плоскостей. 30. Сформулируйте условие перпендикулярности двух плоскостей. 31. Перечислите виды уравнений прямой в пространстве. 32. Запишите уравнение прямой в пространстве, проходящей через две

заданные точки. 33. Что называется направляющим вектором прямой?

34. Запишите каноническое уравнение прямой. 35. Запишите параметрическое уравнение прямой.

19

36. Запишите формулу вычисления угла между двумя прямыми в пространстве.

37. Сформулируйте условие параллельности двух прямых в пространстве.

38. Сформулируйте условие перпендикулярности двух прямых в пространстве.

39. Какие прямые называются скрещивающимися?

40. Сформулируйте условие компланарности двух прямых. 41. Запишите формулу вычисления угла между прямой и плоскостью. 42. Сформулируйте условие параллельности прямой и плоскости. 43. Сформулируйте условие перпендикулярности прямой и плоскости. 44. Что называется кривой второго порядка?

45. Что называется окружностью?

46. Запишите каноническое уравнение окружности. 47. Что называется эллипсом?

48. Запишите каноническое уравнение эллипса. 49. Что такое эксцентриситет?

50. Что называется гиперболой?

51. Запишите каноническое уравнение гиперболы. 52. Что называется параболой?

53. Запишите каноническое уравнение параболы. 54. Что такое директриса?


Письменный опрос №6 «Аналитическая геометрия на плоскости».



Основные показатели оценки результата: перечислять виды уравнений прямой на плоскости; формулировать признаки параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.

Вариант №1

1. Запишите общее уравнение прямой.

2. Запишите формулу расстояния между двумя точками. 3. Запишите условие параллельности двух прямых.

4. Запишите формулу угла между двумя прямыми. 5. Запишите уравнение прямой. Постройте эту прямую на плоскости.

Вариант №2

1. Запишите уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2. Запишите формулы координат середины отрезка. 3. Запишите условие перпендикулярности двух прямых.

20

4. Запишите формулу расстояния от точки до прямой. 5. Запишите уравнение прямой. Постройте эту прямую на плоскости.

Письменный опрос №7 «Кривые второго порядка».



Основные показатели оценки результата: формулировать понятие окружности, эллипса, гиперболы и параболы.

Вариант №1

1. Запишите общее уравнение кривой второго порядка. 2. Что называется эллипсом?

3. Что называется параболой?

4. Постройте эллипс 12564

22

=+yx

.

Вариант №2

1. Что называется окружностью?

2. Что называется гиперболой?

3. Что называется эксцентриситетом?

4. Постройте гиперболу 11639

22

=−yx

.

Письменный опрос №8 «Аналитическая геометрия в пространстве».



Основные показатели оценки результата: перечислять виды уравнений плоскости; формулировать свойства параллельности и перпендикулярности двух плоскостей; перечислять виды уравнений прямой в пространстве; формулировать свойства параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

Вариант №1

1. Запишите уравнение плоскости, проходящей через три точки.

2. Запишите условие параллельности двух плоскостей. 3. Запишите формулу вычисления расстояния от точки до плоскости. 4. Запишите каноническое уравнение прямой в пространстве.

5. Запишите условие перпендикулярности двух прямых в пространстве. 6. Запишите условие перпендикулярности прямой и плоскости.

21

Вариант №2

1. Запишите уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

2. Запишите условие перпендикулярности двух плоскостей. 3. Запишите формулу вычисления угла между двумя плоскостями. 4. Запишите уравнение прямо, проходящей через две заданные точки.

5. Запишите условие параллельности двух прямых в пространстве. 6. Запишите условие параллельности прямой и плоскости.

Примеры заданий к контрольной работе разделу 4 «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве»

Задание 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки ( )2;11 −М

и ( )1;32 −М и привести его к:

а) общему уравнению прямой; б) уравнению прямой с угловым коэффициентом; в) уравнению прямой в отрезках.

Задание 2. Даны вершины треугольника АВС: ( )7;3−А , ( )9;8В , ( )1;3 −С . Найти: 1) длины сторон треугольника; 2)

уравнения сторон треугольника; 3) уравнение и длину медианы АМ

;

4) уравнение и длину медианы BH

;

5) внутренний угол A

;

6) площадь треугольника; 7) уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника,

параллельно противоположной стороне; 8) систему неравенств определяющих, определяющих данный треугольник.

Задание 3. Составить уравнение окружности, если: а) ее центр находится в точке ( )0;0O , а радиус равен 4; б) ее центр находится в точке ( )3;1 −O , а радиус равен 2.

Задание 4. Найти радиус окружности и ее центр, если ее уравнение имеет вид: а) 02 22 =++ yxx ;

б) 0422 =++ yyx ;

в) 01562 22 =−++− yyxx .

Сделать рисунки. Задание 5. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

а) его полуоси равны 5 и 3; б) большая ось равна 10, а расстояние между фокусами равно 6; в) расстояние между фокусами равно 12, а эксцентриситет равен 0,6; г) большая ось равна 30, а эксцентриситет равен 0,6. Сделать рисунки.

22

Задание 6. Составить каноническое уравнение гиперболы, если: а) его полуоси равны 12 и 8; б) мнимая ось равна 10, а расстояние между фокусами равно 20; в) эксцентриситет равен 1,5, а расстояние между фокусами 24; г) мнимая ось равна 30, а эксцентриситет равен 1,25. Сделать рисунки.

Задание 7. Составить каноническое уравнение параболы, если: а) расстояние между фокусом и директрисой равно 4; б) фокус находится в точке ( )0;3F .

Сделать рисунки. Задание 8. Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через точку ( )3;2;10 −M и перпендикулярна:

а) вектору ( )1;2;4 −n ;

б) вектору ( )1;2;0 −n

в) прямой 4

3

23

1 −=

−=

− zyx;

г) оси Oz .

Задание 9. Дано уравнение плоскости 012432 =−+− zyx . Найти: а) нормальный вектор плоскости; б) координату 0y точки ( )2;;1 0 −yA , которая принадлежит данной

плоскости; в) координаты точки пересечения с осью Ох;

г) длину отрезка, отсекаемого плоскостью на оси Oz.

Сделать рисунки. Задание 10. Плоскость проходит через три заданные точки ( )2;0;31 −M ,

( )3;2;32 −M , ( )1;4;03M . Вычислить: а) расстояние от точки ( )2;6;30 −M до данной плоскости; б) острый угол между данной плоскостью и плоскостью

01222 =−−− zyx .

Задание 11. Даны две плоскости 0722 =−+− zyx и 0542 =+++− kzyx . При каких значения k эти плоскости:

а) параллельны; б) перпендикулярны?

Задание 12. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку ( )1;2;1A перпендикулярно двум плоскостям 0132 =−+− zyx и 02 =++ zyx .

Задание 13. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки ( )3;1;2 −A и ( )1;3;4В

параллельно вектору ( )4;1;3−а .

Задание 14. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку ( )0;1;20 −М параллельно:

а) вектору ( )1;2;3−а ;

23

б) прямой 4

3

23

1 −=

−=

− zyx;

в) оси Оу.

Задание 15. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки ( )1;0;21 −M и ( )3;2;12M , и привести его к виду:

а) каноническому; б) параметрическому?

Задание 16. Найти точку В, которая симметрична точке ( )13;6;3 −−A

относительно плоскости 02332 =++− zyx .

Задание 17. Вычислить расстояние от точки ( )1;3;2 −M до прямой

+=+=+=

tz

ty

tx

413

2

1

.

Задание 18. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку

( )1;0;2−M и содержит прямую

=−+−=−+−

07223

0622

zyx

zyx .

Задания для оценки освоения раздела 5 «Математический анализ»

Студент должен: знать: понятие функции; способы задания функций; основные свойства

функций; понятие графика функции; элементарные функции; определение предела функции в точке, в бесконечности; определение односторонних пределов; основные теоремы о пределах; первый и второй замечательные пределы; определение непрерывности функции в точке; классификацию точек разрыва; определение производной; таблицу производных; правила дифференцирования; правило вычисления производной сложной функции; геометрический и физический смысл производной; применение производной при исследовании и построении графиков функций; определение неопределенного интеграла; свойства неопределенного интеграла; таблицу интегралов; методы вычисления неопределенных интегралов; определение определенного интеграла; свойства определенного интеграла; формулу Ньютона-Лейбница; геометрические и физические приложение определенного интеграла; определение функции двух переменных; понятие области определения функции двух переменных; понятие множества изменения функции двух переменных; определение границы области; понятие частного значения функции двух переменных; понятие частной производной функции двух переменных; понятие частных и полных дифференциалов функции двух переменных; понятие производной по направлению; понятие градиента; определение дифференциального уравнения; определение задачи Коши для дифференциального уравнения; определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными; определение линейного дифференциального уравнения первого порядка; определение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами; теорему о

24

решении линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами; понятие числового ряда; необходимый признак сходимости рядов; признаки сходимости числовых рядов; определение знакочередующегося ряда; признак Лейбница; определение степенного ряда; понятие области сходимости и радиуса сходимости степенного ряда;

уметь: строить графики функции с помощью элементарных преобразований; определять четность, нечетность функций; находить область определения функций; вычислять пределы функции; раскрывать

неопределенности

,

0

0, 1 ; определять типы точек разрыва функции;

вычислять производные простых и сложных функций; применять производную для решения практических задач; по средствам дифференциального исчисления исследовать и строить графики функций; вычислять неопределенные интегралы методами непосредственного интегрирования, заменой переменной, интегрированием по частим; вычислять определенный интеграл; вычислять площади фигур и объемы тел вращения; применять определенный интеграл для решения прикладных задач; находить частные производные первого и второго порядка функции двух переменных; вычислять производную по направлению и градиент функции двух переменных; решать дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными; решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка; решать линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами; определять сходимость знакоположительных радов; определять сходимость знакочередующихся рядов; находить радиус и область сходимости степенных рядов.

Вопросы для самоконтроля: 1. Дайте определение функции. 2. Что такое область определения функции? 3. Что такое множество значений функции?

4. Что называется графиком функции?

5. Перечислите способы задания функций. 6. Какая функция называется четной?

7. Какая функция называется нечетной?

8. Какая функция называется возрастающей (неубывающей)?

9. Какая функция называется убывающей (невозрастающей)?

10. Что называется промежутками монотонности функции?

11. Перечислите основные элементарные функции их свойства и графики. 12. Какая функция называется ограниченной?

13. Дайте определение предела функции в точке. 14. Дайте определение пределы функции в бесконечности. 15. Дайте определение левостороннего и правостороннего предела. 16. Перечислите основные теоремы о пределах. 17. Сформулируйте первый замечательный предел.

25

18. Сформулируйте второй замечательный предел. 19. Дайте определение непрерывной в точке функции. 20. Какая точка называется точкой разрыва?

21. Перечислите типы точек разрыва. 22. Дайте определение сложной функции. 23. Что называется производной функции?

24. Перечислите основные правила дифференцирования. 25. Перечислите производные основных элементарных функций?(таблица

производных) 26. Сформулируйте правило вычисления производной сложной функции. 27. Что называется дифференциалом функции?

28. Сформулируйте правило вычисления дифференциала функции. 29. Запишите формулу вычисления приближенного значения функции с

помощью дифференциала. 30. Сформулируйте необходимый и достаточный признак монотонности

функции на интервале. 31. Что называется критической точкой?

32. Дайте определение точки максимума (минимума) функции. 33. Что называется экстремумом функции?

34. Сформулируйте необходимое и достаточное условие экстремума функции в точке.

35. Какая функция называется выпуклой (вогнутой) на интервале?

36. Сформулируйте необходимый и достаточный признаки выпуклости функции на интервале.

37. Что называется точкой перегиба?

38. Сформулируйте необходимый и достаточный признаки перегиба. 39. Что называется асимптотой графика функции?

40. Перечислите виды асимптот. 41. Сформулируйте геометрический и физический смыслы производной. 42. Дайте определение первообразной функции. 43. Сформулируйте геометрический смысл неопределенного интеграла. 44. Дайте определение неопределенного интеграла. 45. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла. 46. Перечислите табличные интегралы. 47. Что называется непосредственным интегрированием?

48. В чем заключается смысл интегрированием заменой переменных?

49. Запишите формулу интегрирования по частям. 50. Дайте определение определенного интеграла. 51. Перечислите свойства определенного интеграла. 52. Запишите формулу Ньютона-Лейбница. 53. Запишите формулу вычисления площади фигуры, ограниченной

графиками функций. 54. Запишите формулу вычисления объема тела вращения. 55. Сформулируйте физический смысл определенного интеграла. 56. Сформулируйте определение функции двух переменных.

26

57. Что называется областью определения функции двух переменных?

58. Что называется областью изменения функции двух переменных?

59. Что называется границей области?

60. Что такое внутренние точки области?

61. Какая область называется открытой?

62. Какая область называется замкнутой?

63. Что называется частным значением функции двух переменных?

64. Что называется частным приращением функции двух переменных?

65. Что называется частной производной функции двух переменных?

66. Перечислите частные производные первого порядка функции двух переменных.

67. Перечислите частные производные второго порядка функции двух переменных.

68. Какая производная называется смешанной?

69. Что называется полным дифференциалом функции двух переменных?

70. Что называется производной по направлению?

71. Запишите формулу для вычисления производной по направлению. 72. Что называется градиентом функции двух переменных?

73. Запишите формулу градиента. 74. Что называется дифференциальным уравнением?

75. Что называется порядком дифференциального уравнения? 76. Что называется решением дифференциального уравнения?

77. Что называется интегральной кривой?

78. Что называется общим решением дифференциального уравнения?

79. Что называется общим интегралом дифференциального уравнения?

80. Что называется частным решением дифференциального уравнения?

81. Что называется частным интегралом дифференциального уравнения?

82. Что называется задачей Коши?

83. Что называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными?

84. Что называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка?

85. Что называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами?

86. Сформулируйте теорему о решении линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

87. Что называется числовым рядом?

88. Сформулируйте необходимый признак сходимости числовых рядов. 89. Сформулируйте признак сравнения знакоположительных рядов. 90. Сформулируйте предельный признак сравнения знакоположительных

рядов. 91. Сформулируйте признак Даламбера. 92. Сформулируйте радикальный признак Коши. 93. Какой ряд называется знакочередующимся?

94. Сформулируйте признак Лейбница.

27

95. Какой ряд называется абсолютно сходящимся?

96. Какой рад называется условно сходящимся?

97. Какой ряд называется степенным?

98. Что называется областью сходимости степенного ряда?

99. Запишите формулу для вычисления радиуса сходимости степенного ряда.

Письменный опрос №9 «Функция одной независимой переменной».



Основные показатели оценки результата: формулировать понятие функции; перечислять способы задания функций; перечислять основные свойства функций; перечислять элементарные функции; формулировать понятие сложной функции; формулировать понятие обратной функции.

Вариант №1

1. Запишите определение функции. 2. Перечислите способы задания функций.

3. Какая функция называется возрастающей (убывающей)?

4. Какая функция называется ограниченной?

5. Перечислите основные элементарные функции.

6. Изобразите схематически графики степенной функции.

Вариант №2

1. Запишите определение графика функции.

2. Перечислите основные свойства функций.

3. Какая функция называется четной (нечетной)?

4. Какая функция называется периодической?

5. Перечислите основные элементарные функции.

6. Изобразите схематически графики тригонометрических функций.

Письменный опрос №10 «Предел функции одной независимой переменной».

Время выполнения 15 мин. Объект контроля: умения применять методы дифференциального и

интегрального исчисления; основ математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.

Основные показатели оценки результата: формулировать понятие числовой последовательности; перечислять способы задания числовых последовательностей; формулировать понятие предела функции в точке и в бесконечности; формулировать понятие односторонних пределов;

28

формулировать понятие непрерывности функции в точке; перечислять типы точек разрыва.

Вариант №1

1. Сформулируйте определение предела функции )(xf при ax→ .

2. Сформулируйте определение предела функции )(xf при 0−→ ax .

3. Какая функция называется бесконечно большой? Приведите пример.

4. Как раскрывается неопределённость вида

0

0 , содержащая в числителе

и знаменателе рациональные многочлены?

5. Запишите первый замечательный предел.

Вариант №2

1. Сформулируйте определение предела функции )(xf при →x .

2. Сформулируйте определение предела функции )(xf при 0+→ ax .

3. Какая функция называется бесконечно малой? Приведите пример.

4. Как раскрывается неопределённость вида

, содержащая в числителе

и знаменателе рациональные многочлены?

5. Запишите второй замечательный предел.

Письменный опрос №11 «Производная функции одной независимой переменной».



Основные показатели оценки результата: формулировать понятие производной; перечислять производные элементарных функций; записывать правила дифференцирования; формулировать правило нахождение производной сложной функции; исследовать и строить график функции.

Вариант №1

1. Дайте определение производной. 2. Запишите правила дифференцирования:

( ) = vu =

v

u

3. Продолжите следующие формулы:

( ) =nx ( ) =xln

( ) =xcos ( ) =ctgx

29

( ) =xa ( ) =xarcsin

4. В чем заключается геометрический смысл производной функции. 5. Напишите схему исследования функции на монотонность.

Вариант №2

1. Дайте определение производной. 2. Запишите правила дифференцирования:

( ) =uс ( ) = vu

3. Продолжите следующие формулы:

( ) =x ( ) =xalog

( ) =xsin ( ) =tgx

( ) =xe ( ) =arctgx

4. В чем заключается механический смысл производной функции. 5. Напишите схему исследования функции на экстремум.

Письменный опрос №12 «Неопределенный интеграл».



Основные показатели оценки результата: формулировать понятие неопределенного интеграла и перечислять его свойства; перечислять табличные интегралы; записывать формулу интегрирования по частям.

Вариант №1

1. Сформулируйте определение первообразной функции )(xf .

2. Перечислите основные свойства неопределённого интеграла. 3. В чем заключается вычисление неопределённого интеграла методом

подстановки. 4. Продолжите следующие формулы:

=dx0 =x

dx

=xdxcos =x

dx

2sin

=+ 21 x

dx =

− 22xa

dx

Вариант №2

30

1. Сформулируйте определение неопределенного интеграла функции )(xf .

2. Перечислите основные свойства неопределённого интеграла. 3. В чем заключается вычисление неопределённого интеграла методом

интегрирования по частям. 4. Продолжите следующие формулы:

=dxxn =dxa

x

=xdxsin =x

dx

2cos

=+ 22

xa

dx =

− 21 x

dx

Письменный опрос №13 «Определенный интеграл».



Основные показатели оценки результата: формулировать понятие определенного интеграла и его геометрический смысл; записывать формулу Ньютона-Лейбница.

Вариант №1

1. Сформулируйте определение определённого интеграла. 2. Запишите формулу Ньютона-Лейбница. 3. Запишите формулу вычисления площади фигуры, ограниченной

графиком функции )(xfy = , прямыми ax = и bx = и осью Ох.

4. В чем заключается смысл вычисления определённого интеграла методом замены переменного.

Вариант №2

1. Сформулируйте геометрический смысл определённого интеграла. 2. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

3. Запишите формулу вычисления объема тела вращения фигуры, ограниченной графиком функции )(xfy = , прямыми ax = и bx = и осью Ох вокруг оси Ох.

4. Запишите формулу вычисления длины дуги кривой.

Письменный опрос №14 «Функция нескольких переменных».

Время выполнения 20 мин.

31

Объект контроля: умения применять методы дифференциального и интегрального исчисления; основ математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.

Основные показатели оценки результата: формулировать понятие функции двух независимых переменных.

Вариант №1

1. Сформулируйте определение функции двух переменных. 2. Сформулируйте определение границы области. 3. Сформулируйте определение открытой области. 4. Сформулируйте понятия частного значения функции двух переменных. 5. Сформулируйте определение частного приращения функции двух

переменных. 6. Перечислите частные производные второго порядка. 7. Сформулируйте понятие смешанной производной. 8. Запишите формулу полного дифференциала функции двух переменных. 9. Сформулируйте понятие производной по направлению. Запишите

формулу вычисления производной по направлению.

Вариант №2

1. Сформулируйте понятие области определения и области изменения функции двух переменных.

2. Сформулируйте определение внутренних точек области. 3. Сформулируйте определение замкнутой области. 4. Что геометрически представляет собой функция двух переменных. 5. Сформулируйте понятие частной производной функции двух

переменных. 6. Перечислите частные производные первого порядка. 7. Запишите главную часть приращения функции. 8. Сформулируйте понятие частных дифференциалов функции двух

переменных. 5. Сформулируйте понятие градиента функции двух переменных.

Запишите формулу градиента.

Письменный опрос №15 «Дифференциальные уравнения первого и второго порядка».



Основные показатели оценки результата: формулировать понятие дифференциального уравнения; формулировать задачи Коши; формулировать теорему о виде общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

32

Вариант №1

1. Сформулируйте общие положения при составлении дифференциального уравнения по условию задачи.

2. Сформулировать задачу о радиоактивном распаде, записать для нее дифференциальное уравнение.

3. Сформулировать задачу о падении тела в атмосферной среде, записать для нее дифференциальное уравнение.

4. Дать определение дифференциального уравнения. 5. Дать определение общего решения дифференциального уравнения. 6. Сформулируйте основные принципы решения дифференциального

уравнения с разделяющимися переменными. 7. Сформулируйте основные принципы решения линейного

дифференциального уравнения первого порядка. 8. Запишите линейное однородное дифференциальное уравнение второго

порядка с постоянными коэффициентами. 9. Сформулируйте теорему об общем решении линейного неоднородного

дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Вариант №2

1. Записать дифференциальное уравнение показательного роста и показательного убывания и получить его решение. Привести примеры прикладных задач решаемых с его помощью.

2. Сформулировать задачу о гармонических колебаниях, записать дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

3. Сформулировать задачу о падении тела в атмосферной среде, записать для нее дифференциальное уравнение.

4. Дать определение дифференциального уравнения. 5. Дать определение частного решения дифференциального уравнения. 6. Сформулируйте основные принципы решения однородных

дифференциальных уравнений. 7. Сформулируйте основные принципы решения линейного

дифференциального уравнения первого порядка. 8. Запишите линейное неоднородное дифференциальное уравнение

второго порядка с постоянными коэффициентами. 9. Сформулируйте теорему об общем решении линейного однородного

дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Письменный опрос №16 «Ряды».

Время выполнения 20 мин.

33

Объект контроля: умения применять методы дифференциального и интегрального исчисления; основ математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.

Основные показатели оценки результата: формулировать понятие числового ряда; перечислять признаки сходимости числовых рядов.

Вариант №1

1. Сформулируйте определение числового ряда. Привести примеры. 2. Дать определение сходящегося ряда. 3. Сформулировать необходимый признак сходимости ряда. 4. Сформулировать признак сравнения рядов. 5. Сформулировать признак Даламбера. 6. Сформулировать признак Лейбница для знакочередующихся рядов. 7. Дать определение условно сходящегося ряда. 8. Дать определение степенного ряда. Привести примеры. 9. Сформулировать понятие радиуса сходимости степенного ряда.

Вариант №2

1. Сформулировать определение суммы ряда. 2. Дать определение расходящегося ряда. Привести примеры. 3. Сформулировать необходимый признак сходимости ряда. 4. Сформулировать предельный признак сравнения рядов. 5. Сформулировать радикальный признак Коши. 6. Дать определение знакочередующегося ряда. Привести примеры. 7. Дать определение абсолютно сходящегося ряда. 8. Запишите формулу радиуса сходимости степенного ряда. 9. Сформулировать понятие области сходимости степенного ряда.

Примеры заданий к контрольной работе по разделу 5 «Функция одной независимой переменной»

Задание 1. На числовой прямой задана точка 0х . Записать интервал, который является ε-окрестностью точки 0х , если:

а) ;,,,х 20130 ==

б) ;,,,х 10340 =−=

в) .,,,х 30250 =−=

Задание 2. Дана функция 1

2

−+

=x

x)x(f .

Найти ).(f);(f);(f);(f);(f 53203 −−−

Задание 3. Дана функция 12 −= x)x(f . Найти ).a(f);a(f);a(f);a(f);(f 12122 −+

Задание 4. Построить графики функций:

34

а) 12 −= xy ; б) 322 −+= xxy ; в)

+

−+−−

=

.xесли,x

,xесли,x

,xесли,

y

13

1212

23

2

;

Задание 5. Даны функции )u(fy = , )x(u = . Найти функцию ))x((fy = :

а) 2uy = , xsinu = ;

б) usiny = , 2

xu = ;

в) uy = , xu = .

Задание 6. Дана сложная функция. Представить ее в виде цепочек основных элементарных функций:

а) )xcos(lny = ;

б) )xln(cosy 2= ;

в) ( )xcosy3= ;

г) ( )3xcosy = .

Задание 7. Найти области определения следующих функций:

а)

−−

=x

xlny

318

42; б)

45

53

2 +−

−=

xx

xy ; в) ( ) xlnx

y−

=3

2.

Задание 8. Выяснить четность (нечетность) следующих функций:

а) ( )42 += xlny ; б) ( )42 −= xlnxy ; в) xexy = ; г)

92

2

−=

x

xy .

Задание 9. Вычислить пределы:

а) 274

8143

2

2

xххx

limx −+

+−→

; б) 252

10113

2

2

2 ++

++−→ xx

хxlim

x;

в) 63

5

2 −+

→ x

xlimx

; г) xsin

xsinlimx 12

17

0→;

д) 371 lim

x

x x

+

→.

Задание 10. Найти точки разрыва функции и определить типы разрывов:

а) 2+

=x

xy ; б) xy

1

2−

= ; в) 23

1

2 +−=

xxy .

Задание 11. Вычислить производные следующих функций:

а) 4

45 73

xxxy ++= ; б) xctgxy 412 += ; в)

xsin

xcosy

+=

1.

Задание 12. Найти производную третьего порядка функции xxy 5cos3 4 += .

Задание 13. Найти дифференциал функции:

35

а) xlny2= ; б) 1++= xey

x ; в) x

arcsiny1

= .

Задание 14. Пусть точка движется прямолинейно по закону 12)( 2 −+= tttx .

Определить скорость и ускорение в момент времени 20 =t . ( t - время в секундах, )(tx - перемещение в метрах.) Задание 15. Исследовать и построить графики функций:

а) 5123 +−= xxy ; б) 21

2

x

xy

−= ; в) xlnxy

2= .

Задание 16. Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования:

а)

+− dx

xxx

13cos5 2 ; б) ( ) − dx

xx 436 2 ; в) + 2161 x

dx.

Задание 17. Вычислить неопределенный интеграл методов замены

−+

+dx

xx

x

353

512

4

3

.

Задание 18. Вычислить неопределенный интеграл методом интегрирования по частям ( ) + xdxx cos5 .

Задание 19. Вычислить определённый интеграл ( )dxxx −+2

0

2 34 .

Задание 20. Вычислить определённый интеграл методом подстановки

( ) dxx −3

2

312 .

Задание 21. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями 42 +−= xy , 0=y , 2−=x , 2=x .

Задание 22. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями xy = , 0=y , 1=x , 4=x .

Задание 23. Скорость движения точки изменяется по закону 123 2 ++= ttv ,

измеряемая в м/с. Найти путь s, пройденный точкой за 10 с от начала движения. Задание 24. Высота кучи зерна, имеющей коническую форму, равна 2,5 м, а окружности ее основания 20 м. масса 1 м3 зерна равна 750 кг. Какова масса зерна в куче

Задание 25. Найти частные значения функций:

а) ( )22

2

yx

xy,xf

−= в точке ( )35;P ;

б) ( )zx

yxlgxz,y,x

+

++=

2

23 в точке ( )9911 ;;P − .

36

Задание 26. Найти частные производные первого и второго порядка следующих функций:

а) 22yxz = ; б) xy

ez = ; в) 2

1111886 52 −+−−= yxxyyxz .

Задание 27. Найти полные дифференциалы следующих функций:

а) yxz 52 += ; б) ( )yxsinz += 4 ; в) xyez = .

Задание 28. Найти производную функции ( )y;xfz = в точке ( )00 y;xA в направлении вектора ( )yx a;aa :

а) 22

yx

yxz

+

−= , ( )12 −;A , ( )43;a − ;

б) x

yarcsinz

2

= , ( )12;A , ( )12;a .

Задание 29. Найти градиент функции ( )y;xfz = в точке ( )00 y;xA :

а) yxxyz23 4+= , ( )21;A − ;

б) ( )xyxlnz 24 2 += , ( )21;A .

Задание 30. Являются ли функции решениями данных дифференциальных уравнений:

а) 05425

1 =−++= yyy,eCeCyxx ; б) 2

8

18yy,

xy −== .

Задание 31. Решить дифференциальные уравнения первого порядка: а) yyyx =+ 122 ; б) yxyx += ; в) x

eyy =− .

Задание 32. Найти частное решение данного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях 0=− yyx , при 2,4 00 −== xy .

Задание 33. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения: 81524 3 =+−= )(y,xxy .

Задание 34. Решить следующие дифференциальные уравнения второго порядка: а) 045 =+− yyy , б) 02 =− yy , в) xyy 88 =+ .

3.2 Структура контрольно-оценочных материалов (КОМ) дифференцированного зачета

1 Паспорт

Назначение: КОМ предназначены для контроля и оценки результатов освоения учебной

дисциплины «Элементы высшей математики» по специальности

Информационные системы (по отраслям) (09.02.04).

37

В результате освоения учебной дисциплины «Элементы высшей математики» обучающиеся по специальности Информационные системы (по отраслям) (09.02.04)должны уметь:

• выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений;

• применять методы дифференциального и интегрального исчисления; • решать дифференциальные уравнения.

В результате освоения учебной дисциплины обучающиеся по специальности Информационные системы (по отраслям) (09.02.04) должны знать:

• основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии;

• основы дифференциального и интегрального исчисления.

2 Задания для экзаменующегося

Вопросы к дифференцированному зачету

1. Матрицы. Виды матриц.

2. Операции над матрицами.

3. Определители. Правила вычисления определителей. 4. Свойства определителей.

5. Системы линейный уравнений. Основные понятия.

6. Решение системы линейных уравнений методом Крамера.

7. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

8. Обратная матрица. Способ нахождения обратной матрицы.

9. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы.

10. Ранг матрицы. Способ нахождения ранга матрицы. 11. Теорема Кронекера–Капели. Схема исследования системы

линейных уравнений на количество решений.

12. Декартовы координаты на плоскости.

13. Виды уравнений прямой на плоскости.

14. Угол между прямыми на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

15. Окружность и ее каноническое уравнение.

16. Эллипс и его каноническое уравнение.

17. Гипербола и ее каноническое уравнение.

18. Парабола и ее каноническое уравнение.

19. Декартовы координаты в пространстве.

20. Виды уравнений плоскости.

21. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

22. Виды уравнений прямой в пространстве.

23. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. 24. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

25. Векторы. Основные понятия.

38

26. Проекция вектора на ось.

27. Разложения вектора по базису.

28. Действия над векторами, заданными своими координатами.

29. Скалярное произведение векторов.

30. Векторное произведение векторов.

31. Смешанное произведение векторов.

32. Комплексные числа. Основные понятия.

33. Различные формы записи комплексных чисел. 34. Действия с комплексными числами. 35. Функция. Основные понятия. Способы задания. 36. Основные свойства функций. 37. Основные элементарные функции и их графики. 38. Числовая последовательность. способы задания числовой

последовательности. Предел числовой последовательности. 39. Предел функции в точке и в бесконечности. Односторонние

пределы. 40. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательный

пределы. 41. Непрерывность функции. Точки разрыва. Классификация точек

разрыва. 42. Производная функции. Правила дифференцирования. Таблица

производных. 43. Производная сложной функции. 44. Дифференциал функции. Применение дифференциала в

приближенных вычислениях. 45. Монотонность функции. Необходимый и достаточный признаки

монотонности. Исследование функции на монотонность. 46. Экстремум. Необходимое и достаточное условия экстремума. 47. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. 48. Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба. 49. Асимптоты графика функции. 50. Первообразная. Неопределенный интеграл. Геометрический смысл

неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. 51. Таблица интегралов. 52. Вычисление неопределенного интеграла методами

непосредственного интегрирования, заменой переменного, интегрированием по частям.

53. Определенный интеграл. Геометрический смысл неопределенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной.

54. Геометрические приложения определенного интеграла. 55. Основные понятия функции двух переменных. Частные

производные функции двух переменных. 56. Градиент и производная по направлению. 57. Экстремум функции двух переменных.

39

58. Дифференциальные уравнения. Основные понятия. 59. Виды дифференциальных уравнений первого порядка. 60. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами. Теорема о их решении. 61. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго

порядка с постоянными коэффициентами. 62. Числовые ряды. Основные понятия. Гармонический ряд.

Необходимый признак сходимости числового ряда. 63. Признаки сходимости знакоположительных рядов. 64. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. 65. Степенные ряды. Область и радиус сходимости числового ряда.

Практические задания для дифференцированного зачета

1. Найти матрицу ВАС −= 4 , если

−=

342

812

032

А ,

−=

031

142

301

В .

2. Найти произведение матриц

−−

−

−

−

153

420

182

312

503

121

.

3. Вычислить определители второго порядка 34

91,

64

89 −−,

73

81

−.

4. Вычислить определитель третьего порядка 245

132

041

−−

.

5. Решить систему уравнений методом Крамера

=−+=+−=−+

.zyx

,zyx

,zyx

164

332

72

6. Решить систему уравнений методом Гаусса

=++=++=+−

.zyx

,zyx

,zyx

82

112

3

7. Найти обратную матрицу для матрицы

−−−

=302

812

031

А

40

8. Решить систему уравнений матричным методом

=++=++=−+

.zyx

,zyx

,zyx

1073

32

23

9. Решить систему уравнений, если она совместна

=++=++=+−

.zyx

,zyx

,zyx

574

123

2352

10. Вычислить предел 5111

−

→

−+

x

x x lim .

11. Вычислить пределы: 1543

3522

2

−−−−

→ хx

хxlimx

, 153

324

2

−−

→ x

xlimx

,

153

522

3

−−

→ x

хxlimx

.

12. Вычислите предел x

xlimx 5sin

17sin

0→.

13. Вычислите предел x

xlimx 3

15sin

0→.

14. Вычислите предел 107

1032

2

2 −−−−

→ xx

хxlimx

.

15. Исследовать функцию 6

5

−=

x

x)x(f на непрерывность в точке

60 =x .

16. Исследовать функцию 323 xx)x(f −= и построить ее график. 17. Вычислить значение производной функций xlnx)x(f −= 28 и

xx)x(f 53 −= в точке 40 =x .

18. Найти производную функции ( )724 5 xxxy −+= .

19. Найти производную функции 42

811

+−

=x

xy .

20. Найти производную функции 82 5 −= xey .

21. Найти производную функции ( )23 24 −−+= xxlny .

22. Найти неопределённый интеграл −+−

dxx

xxx 24 23

.

23. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной

dxexx22 .

24. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной ( ) + dxx

4116 .

41

25. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной ( ) − dxxcos 16 .

26. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной xdxcosxsin

6 .

27. Вычислите определенный интеграл ( ) +3

0

15 dxx .

28. Вычислите определенный интеграл ( ) −1

0

5 xdxx .

29. Вычислите определенный интеграл +2

02

432dx

x

xx.

30. Скорость движения точки изменяется по закону 46 2 += tv ,

измеряемая в м/с. Найти путь s, пройденный точкой за 5 с от начала движения. 31. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс

криволинейной трапеции, ограниченной линиями xy = , 0=y , 1=x , 4=x .

32. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями xy = , 0=y , 1=x , 4=x .

33. Решить дифференциальное уравнение 04 =+ yy .

34. Решить задачу Коши: 118427 23 −=++−= )(y,xxxy .

35. Решить дифференциальное уравнение xy 11= .

36. Исследовать на сходимость знакоположительный ряд, применяя

признак Даламбера ( )

= +1

2

!2n

n

n.

37. Исследовать на сходимость знакоположительный ряд, применяя

признак Коши

n

nn

n

=

+1

510.

38. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

знакочередующийся ряд ( )

=

−−

1

1

!

1

n

n

n.

39. Даны векторы );;(a 129 − и );;(b 034 . Найти скалярное произведение данных векторов, угол между векторами, длину вектора b , координаты векторов bас += , bаd −= , аf 3−= .

40. В прямоугольной системе координат построить точки ( )00;A ,

( )43 −;B , ( )43;C − . Определить расстояние между точками А и В, В и С, А и С. 41. Построить кривую второго порядка ( ) 92 22 =−+ yx .

42

42. Найти точки пересечения кривых 44 =− yx и ( ) 14 22 =++ yx в прямоугольной системе координат.

43. Исследовать и построить график функции ( ) 233 −+−= xxxf .

44. Найти частные производные функции ( )32 2yxlnz += .

45. Вычислить ( )( )i

ii21

821

++++ .

46. Вычислить квадратные корни i68 + .

3 Пакет экзаменатора

3.1 Условия

Форма проведения итоговой аттестации по дисциплине «Элементы высшей математики» – дифференцированный зачет

Дифференцированный зачет состоит из теоретической и практической частей. В теоретической части два вопроса. В практической части две задачи на

разные изученные темы. Всего экзаменующемуся предложено 30 билетов для сдачи дифференцированного зачета.

Время выполнения задания – 1-1,5 часа

Оборудование: шариковая ручка, бланки с вариантами контрольных работ,

чистые листы.

Литература для обучающегося.

Основные источники: 1. Баврин, И. И. Математика: учеб. и практикум для СПО / И. И.

Баврин. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Юрайт, 2019. — 616 с. —

(Профессиональное образование). — Режим доступа: https://www.biblio-

online.ru/bcode/426511, по подписке. – Загл. с экрана. – Яз. рус. 2. Высшая математика: учеб. и практикум для СПО / М. Б. Хрипунова

и др. — М.: Юрайт, 2019. — 472 с. — (Профессиональное образование). —

Режим доступа: https://www.biblio-online.ru/bcode/437476, по подписке. – Загл. с экрана. – Яз. рус.

Дополнительные источники: 1. Орлова И. В. Линейная алгебра и аналитическая геометрия для

экономистов: учеб. и практикум для СПО / И. В. Орлова, В. В. Угрозов, Е. С. Филонова. — М.: Юрайт, 2019. — 370 с. — (Профессиональное образование). — Режим доступа: https://www.biblio-online.ru/bcode/442441 (дата обращения: 29.08.2019), по подписке. – Загл. с экрана. – Яз. рус.

2. Павлюченко Ю. В. Математика : учеб. и практикум для СПО / Ю. В. Павлюченко, Н. Ш. Хассан. — 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Юрайт, 2019. — 238 с. — (Профессиональное образование). — Режим доступа:

https://www.biblio-online.ru/bcode/426511




43

https://www.biblio-online.ru/bcode/433558, по подписке. – Загл. с экрана. – Яз. рус.

3. Резниченко С. В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах в 2 ч. Часть 1: учеб. и практикум для СПО / С. В. Резниченко. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Юрайт, 2019. — 302 с. — (Профессиональное образование). —


4. Резниченко, С. В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах в 2 ч. Часть 2: учеб. и практикум для СПО / С. В. Резниченко. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Юрайт, 2019. — 288 с. — (Профессиональное образование). —


Методические пособия: 1. Методические указания для практических занятий по дисциплине

«Элементы высшей математики», специальность 09.02.04 Информационные системы (по отраслям) / подгот. Е.В. Радкевич. – Перераб. и доп. – Великие Луки: РИО ФГБОУ ВО Великолукская ГСХА, 2018. – 45 с.

2. Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся по дисциплине «Элементы высшей математики», специальность 09.02.04 Информационные системы (по отраслям) / подгот. Е.В. Радкевич. – Перераб. и доп. – Великие Луки: Изд-во ФГБОУ ВО Великолукская ГСХА, 2018. – 60 с.

Интернет-ресурсы, базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:

1. Единое окно доступа к образовательным ресурсам [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://window.edu.ru/, свободный. – Загл. с экрана. –

Яз. рус. 2. Math.ru [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.math.ru/,

свободный. – Загл. с экрана. – Яз. рус.

3.2 Критерии оценки

Критерии оценки тестового задания

В процентном соотношении оценки (по пятибалльной системе) выставляется выставлять в следующих диапазонах:

“2” – менее 60% “3” – 60%-75%

“4” – 75%-90%

“5” – 90%-100%

Критерии оценки устного ответа




http://window.edu.ru/

http://www.math.ru/

44

«5» (отлично) Обучающийся в полном объеме ответил на все вопросы и дополнительные вопросы поставленные преподавателем, умеет работать со всеми видами источников, проявив самостоятельность и знания межпредметного характера, применять принципы учебной дисциплины в жизни.

«4» (хорошо) Обучающийся раскрыл содержание вопросов, но в его ответе содержатся недочеты или одна не грубая ошибка; при ответе на поставленные вопросы имеются незначительные замечания и поправки со стороны преподавателя. Обучающийся может самостоятельно добывать знания, пользуясь различными источниками, имеет развитые практические умения, но необязательно их применять.

«3» (удовлетворительно) Обучающийся раскрыл более, чем на 50% содержание вопросов, но его ответ содержит недочеты или 2-3 негрубые ошибки, при ответе на поставленные вопросы преподаватель оказывал ему значительную помощь в виде наводящих вопросов.

Обучающийся знает только основные принципы, умеет добывать знания лишь из основных источников, частично сформированы знания и умения.

«2» (неудовлетворительно) Обучающийся раскрыл менее, чем на 50% содержание вопросов, его ответ содержит более двух грубых ошибок, при ответе на поставленные вопросы преподаватель оказывал ему постоянную помощь. Обучающийся не умеет самостоятельно работать с источниками, не знает принципов учебной дисциплины, у него не сформированы знания и умения.

3;epy · 2019. 9. 21. · формулировать понятие определенного...

Documents