UNIVERSIDAD DE OCCIDENTE FACULTAD DE CIENCIAS MÉDICAS

Asignatura: Matemática Básica

Docente: Lic. Juan Diego Pavón Tórrez Carreras: Tecnología Médica, Química y Farmacia.

Unidad I: Álgebra Contenido: Factorización. Objetivos: Comprender cada caso de factorización. Diferenciar los casos de factorización en la aplicación de los diferentes ejercicios. Combinar los diferentes casos de factorización en un solo ejercicio.

La Factorización es el proceso inverso de los productos Notables, es decir que se da el

resultado y uno hay que buscar los factores. Para aplicar los casos de factorización se debe de reconocer si el ejercicio es un binomio

(dos términos), trinomio (tres términos) o polinomios (cuatro o más términos), en resumen en el siguiente esquema:

Factor común: el factor común se le conoce en la aritmética como el máximo común

divisor, en el algebra es el número que divide a los demás número y la letra repetida con su menor exponente, luego este factor divide al ejercicio dado y el resultado se pone entre paréntesis. 𝟗𝟔 −𝟒𝟖𝒎𝒏𝟐 + 𝟏𝟒𝟒𝒏𝟑 = 𝟏𝟎𝟎𝒂𝟐𝒃𝟑𝒄− 𝟏𝟓𝟎𝒂𝒃𝟐𝒄𝟐 + 𝟓𝟎𝒂𝒃𝟐𝒄𝟐 −𝟐𝟎𝟎𝒂𝒃𝒄𝟐 = 𝟐𝟓𝒙𝟕−𝟏𝟎𝒙𝟓 + 𝟏𝟓𝒙𝟑−𝟓𝒙𝟐 = 𝒂𝟐𝟎 −𝒂𝟏𝟔 + 𝒂𝟏𝟐 −𝒂𝟖 + 𝒂𝟒 −𝒂𝟐 =

Factor común

Ejercicio

Binomio

Diferencia de cuadrado

Diferencia de cubo

Suma de cubo

Trinomio

Trinonio cuadrado perfecto

Trinomio de la forma x2+bx+c

Trinomio de la forma ax2+bx+c

Polinomio

Factor común por agrupación

Cubos perfectos

BINOMIOS

Diferencia de cuadrados: se le extrae la raíz cuadrada a ambos términos, y luego estas raíces se escribe en dos pares de paréntesis uno sumando y el otro restando. Recuerde que: al extraer la raíz cuadrada a las letras solo se le saca la mitad a los exponentes y si es raíz cúbica se le saca tercera, y así sucesivamente. 𝟏𝟗𝟔𝒙𝟐𝒚𝟒−𝟐𝟐𝟓𝒛𝟏𝟐 = 𝟏 −𝟗𝒂𝟐𝒃𝟒𝒄𝟔𝒅𝟖 =

𝟒𝒙𝟐𝒏−𝟏

𝟗=

𝟒𝟗𝒂𝟏𝟎𝒏−𝒃𝟏𝟐𝒙

𝟖𝟏=

Diferencia de cubos: se le extrae la raíz cúbica a ambos términos; luego a estas

raíces se escribe entre paréntesis pero restando, luego abrimos otro paréntesis con la primera raíz cúbica elevado al cuadrado mas el producto de las raíces cubicas encontradas mas la segunda raíz cúbica elevado al cuadrado. 𝟔𝟒𝒂𝟑 −𝟕𝟐𝟗 = 𝟏 −𝟑𝟒𝟑𝒏𝟑 = 𝒂𝟔 − 𝟏𝟐𝟓𝒃𝟏𝟐 = 𝟐𝟏𝟔 − 𝒙𝟏𝟐 =

Suma de cubos: se le extrae la raíz cúbica a ambos términos; luego a estas raíces se

escribe entre paréntesis pero sumando, luego abrimos otro paréntesis con la primera raíz cúbica elevado al cuadrado menos el producto de las raíces cubicas encontradas mas la segunda raíz cúbica elevado al cuadrado. 𝟑𝟒𝟑𝒙𝟑 + 𝟓𝟏𝟐𝒚𝟔 = 𝟏𝟎𝟎𝟎+ 𝒙𝟑𝒚𝟔 = 𝟖𝒂𝟑 + 𝟐𝟕𝒃𝟔 = 𝟓𝟏𝟐 + 𝟐𝟕𝒂𝟐𝟕 = TRINOMIOS

Trinomio cuadrado perfecto: se le extrae la raíz cuadrada del primer y al tercer término, estas raíces se escribe entre paréntesis con el signo del segundo término y elevado al cuadrado. Se debe de verificar que: el signo del tercer término siempre es positivo y que las raíces encontradas al multiplicarse por 2 de segundo término. 𝟏 + 𝟏𝟒𝒙𝟐𝒚+ 𝟒𝟗𝒙𝟐𝒚𝟐 = 𝟏 + 𝒂𝟏𝟎 −𝟐𝒂𝟓 =

𝟏𝟔𝒙𝟔−𝟐𝒙𝟑𝒚𝟐 +𝒚𝟒

𝟏𝟔=

𝟒𝟎𝟎𝒙𝟏𝟎+ 𝟒𝟎𝒙𝟓 + 𝟏 =

Trinomio de la forma x2+bx+c: se le extrae la raíz cuadrada al primer término y se coloca en dos pares de paréntesis, en el primer par de paréntesis se le escribe el signo del segundo término y la multiplicación de los signos del segundo y tercer término para el segundo par de paréntesis; luego se busca dos números que multiplicado de el tercer término y que sumado o restado de acuerdo a los signos(si son iguales se suman y son diferentes se restan) de el segundo término.

𝒎𝟐 −𝟐𝟎𝒎− 𝟑𝟎𝟎 = 𝒎𝟐 −𝟖𝒎−𝟏𝟎𝟎𝟖 = 𝒎𝟐 −𝟑𝟎𝒎− 𝟔𝟕𝟓 = 𝒄𝟐 + 𝟐𝟒𝒄 + 𝟏𝟑𝟓 =

Trinomio de la forma ax2+bx+c: en este trinomio emplearemos el método del aspa simple que lo configura el siguiente esquema;

Las reglas del método del aspa simple son: 1. Luego de ordenar el trinomio, se descompone cada uno de los términos extremos en

un producto de factores. 2. Estos factores se multiplican en aspa y se debe cumplir que la suma de los

productos sea igual al término central. 3. Al cumplirse lo anterior, los factores se toman en forma horizontal.

Por ejemplo: 10x2-13x-3 Descomponiendo adecuadamente los extremos, tenemos:

𝟑𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 −𝟏𝟎 = 𝟒𝒏𝟐 + 𝒏− 𝟑𝟑 = 𝟐𝟏𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 −𝟐 = 𝟒𝟒𝒏+ 𝟐𝟎𝒏𝟐−𝟏𝟓 = POLINOMIOS

Factor común por agrupación de términos: se agrupa de dos en dos o de tres en tres los términos según convenga entre paréntesis teniendo cuidado con los signos menos (-) que cambia los signos que agrupamos, luego se le extrae el factor común a cada paréntesis y por ultimo un factor común general. 𝟑𝒂𝒙 −𝟐𝒃𝒚 −𝟐𝒃𝒙−𝟔𝒂 + 𝟑𝒂𝒚 + 𝟒𝒃 =

𝒂𝟑 + 𝒂 + 𝒂𝟐 + 𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒂𝒙𝟐 = 𝟑 −𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒃𝒙𝟐 −𝟔𝒂𝒙 = 𝟑𝒂𝟑 −𝟑𝒂𝟐𝒃+ 𝟗𝒂𝒃𝟐 −𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 −𝟑𝒃𝟐 =

Cubos perfectos: se le extrae la raíz cubica al primer y cuarto término y estas raíces encontradas se escribe entre paréntesis con el signo del segundo término y elevado al cubo. Recuerde que: el signo del tercer término siempre será positivo , además se debe cumplir, 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐= 𝟑 ∗ 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓𝒂 𝒓𝒂í𝒛 𝒄𝒖𝒃𝒊𝒄𝒂 𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒂 𝒓𝒂í𝒛 𝒄𝒖𝒃𝒊𝒄𝒂 𝒕𝒆𝒓𝒄𝒆𝒓 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐= 𝟑 ∗ 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓𝒂 𝒓𝒂í𝒛 𝒄𝒖𝒃𝒊𝒄𝒂 ∗ 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒂 𝒓𝒂í𝒛 𝒄𝒖𝒃𝒊𝒄𝒂 𝟐

𝟏𝟐𝟓𝒂𝟑 + 𝟏𝟓𝟎𝒂𝟐𝒃+ 𝟔𝟎𝒂𝒃𝟐 + 𝟖𝒃𝟑 = 𝟔𝟒𝒙𝟗−𝟏𝟐𝟓𝒚𝟏𝟐−𝟐𝟒𝟎𝒙𝟔𝒚𝟒 + 𝟑𝟎𝟎𝒙𝟑𝒚𝟖 = 𝟑𝒂𝟏𝟐 + 𝟏 + 𝟑𝒂𝟔 + 𝒂𝟏𝟖 =

𝟏 + 𝟑𝒂𝟐 + 𝟑𝒂−𝒂𝟑 =

Puede haber ejercicios que le pueden combinar algunos casos de factorización pero si aprendemos a diferenciarlo desde el esquema inicial será muy fácil de resolver.

Ejercicios propuestos. Aplique los casos de factorización. 𝟑𝒂𝒙𝟐 −𝟑𝒂 =

𝟖𝟏𝒙𝟒𝒚+ 𝟑𝒙𝒚𝟒 =

𝒙 −𝟑𝒙𝟐− 𝟏𝟖𝒙𝟑 =

𝟑𝒙𝟐− 𝟑𝒙−𝟔 =

𝟏 −𝒂𝟖 =

𝒂𝟔 − 𝟏 =

𝒙𝟒 −𝟒𝟏𝒙𝟐 + 𝟒𝟎𝟎 =

𝒂𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝒂𝒙𝟑 −𝟖𝒂𝟐 −𝟏𝟔𝒂 =

𝒙𝟗 −𝒙𝒚𝟖 =

𝒙𝟓 −𝟒𝟎𝒙𝟑 + 𝟏𝟒𝟒𝒙 =

𝟒𝒙𝟒− 𝟖𝒙𝟐 + 𝟒 =

𝒙𝟕 + 𝒙𝟒 −𝟖𝟏𝒙𝟑−𝟖𝟏 =

𝒙𝟏𝟕−𝒙 =

𝟑𝒙𝟔− 𝟕𝟓𝒙𝟒−𝟒𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝟎 =

𝒂𝟔𝒙𝟐−𝒙𝟐 + 𝒂𝟔𝒙− 𝒙 =

𝒂𝟐 −𝒂𝒙 𝒙𝟒 −𝟖𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝟏 =

Estudie antes de cualquier circunstancia y practique los ejercicios propuestos, puede consultar el Álgebra de Aurelio Baldor de la pagina 143 en adelante .