3.estimarea statistica - intervale de incredere
TRANSCRIPT
![Page 1: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/1.jpg)
STATISTICA STATISTICA INFERENŢIALĂINFERENŢIALĂ
![Page 2: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/2.jpg)
Tipuri de distributiiTipuri de distributii
![Page 3: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/3.jpg)
Tipuri de distributii Tipuri de distributii (I)(I)
![Page 4: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/4.jpg)
Tipuri de distributii Tipuri de distributii (II)(II)
![Page 5: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/5.jpg)
Distributia normala (Gauss Distributia normala (Gauss Laplace)Laplace)
![Page 6: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/6.jpg)
Distributia normalaDistributia normala
![Page 7: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/7.jpg)
Curba normală (Curba normală (clopotul lui clopotul lui Gauss. Gauss. ))
22
2)(
2
1)(
x
exf
![Page 8: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/8.jpg)
Aria de sub curba normală Aria de sub curba normală văzută ca probabilitate văzută ca probabilitate Considerăm că valorile de sub curba normală sunt rezultatul unei ipotetice extrageri aleatoare
![Page 9: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/9.jpg)
ProbabilitateProbabilitate
![Page 10: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/10.jpg)
Frecvenţa relativă a apariţiei unui Frecvenţa relativă a apariţiei unui eveniment=PROBABILITATEeveniment=PROBABILITATE
HGB g/dL FrecventaFrecvenţa cumulată
Frecvenţa relativă
12 3 3 0,05
13,3 2 5 0,03
13,5 5 10 0,08
13,6 2 12 0,03
13,7 2 14 0,03
13,8 7 21 0,12
14,1 2 23 0,03
14,5 5 28 0,08
14,6 8 36 0,13
14,7 7 43 0,12
14,8 3 46 0,05
15 2 48 0,03
15,2 5 53 0,08
15,3 3 56 0,05
15,4 2 58 0,03
15,7 1 59 0,02
16,4 1 60 0,02
![Page 11: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/11.jpg)
Aria de sub curba normală Aria de sub curba normală văzută ca probabilitate văzută ca probabilitate
Utilizând simbolul p (de la „probabilitate”), spunem că :
![Page 12: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/12.jpg)
Distribuţia mediei de Distribuţia mediei de eşantionareeşantionare
unde:μ este media populaţiei, mi sunt mediile fiecărui eşantion constituit, k este numărul eşantioanelor.
POPULAŢIE
eşantion keşantion 3eşantion 2eşantion 1
![Page 13: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/13.jpg)
Populaţia EşantioaneDistribuţia mediei de
eşantionare
1 1,2,3 M1=2.00
2 1,2,4 M2=2.33
3 3,4,1 M3=2.67
4 2,3,4 M4=3.00
μ=2.5σ=1.29
Toate eşantioanele posibile pentru N=3
Σ=10.00m=10/4=2.5
Pentru exemplificare, se presupune o „populaţie” constituită din valorile 1,2,3,4
media mediilor eşantioanelor extrase (denumită medie de eşantionare) este identică cu media populaţiei (în cazul dat: m=μ=2.5).
![Page 14: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/14.jpg)
![Page 15: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/15.jpg)
Împrăştierea distribuţiei de Împrăştierea distribuţiei de eşantionare eşantionare
(eroarea standard a mediei)(eroarea standard a mediei)
nM
![Page 16: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/16.jpg)
EROARE STANDARD A MEDIEIEROARE STANDARD A MEDIEI
Nsm
abaterea standard a distribuţiei de eşantionare este o fracţiune din abaterea standard a populaţiei, fiind dependentă de mărimea eşantionului
Unde:
- sm este eroarea standard a mediei de eşantionare,
- este abaterea standard a populaţiei
- N este volumul eşantionului
![Page 17: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/17.jpg)
Prin creşterea volumului eşantionului, media eşantionului se apropie tot mai mult de media populaţiei
![Page 18: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/18.jpg)
![Page 19: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/19.jpg)
Teorema limitei Teorema limitei centralecentrale
![Page 20: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/20.jpg)
CCât de mare trebuie să fie un ât de mare trebuie să fie un eşantion pentru a putea fi eşantion pentru a putea fi considerat „suficient de considerat „suficient de
mare”mare”??
![Page 21: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/21.jpg)
Estimarea intervalului de Estimarea intervalului de încredere pentru media încredere pentru media populaţieipopulaţiei
![Page 22: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/22.jpg)
Estimarea mediei şi Estimarea mediei şi dispersiei populaţieidispersiei populaţiei
![Page 23: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/23.jpg)
Curba normaCurba normalălă - - proprietateproprietate
n96.1m
n96.1m
m
95.0aria
Areun număr bine definit de
valori pe un interval simetric
în jurul mediei.
ESTIMAREA se bazează pe
această proprietate
![Page 24: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/24.jpg)
Intervalul de încredere pentru Intervalul de încredere pentru medie cu probabilitatea de medie cu probabilitatea de 95%95%
n
sm
n
sm 96.1,96.1
n96.1m
n96.1m
m
95.0aria
limita inferioară
limita superioară
z=1.96 se numeşte z critic deoarece reprezintă un prag limită, de o parte şi de alta a mediei
![Page 25: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/25.jpg)
Exemplu: Se consideră populaţia valorilor
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, pentru care se calculează =5.5 şi =3,0276.
Din această populaţie se extrag cinci eşantioane aleatoare (pentru uşurinţa calculelor, s-a ales pentru fiecare eşantion N=3).
Mediile şi abaterile standard pentru cele cinci eşantioane selectate au valorile:
![Page 26: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/26.jpg)
m1=5.00 m2=4.5 m3=4.0 m4=2.5 m5=5.5
s1=5.65 s2=4.94 s3=4.24 s4=2.12 s5=6.36
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, =5.5 şi =5.5 şi =3,0276. =3,0276. se extrag cinci eşantioane aleatoare (pentru uşurinţa se extrag cinci eşantioane aleatoare (pentru uşurinţa calculelor, s-a ales pentru fiecare eşantion N=3). calculelor, s-a ales pentru fiecare eşantion N=3).
Mediile şi abaterile standard pentru cele cinci eşantioane Mediile şi abaterile standard pentru cele cinci eşantioane selectate au valorile:selectate au valorile:
375.54
54321
mmmmm
împrăştierea distribuţiei de eşantionare este, mai mică decât împrăştierea variabilei la nivelul întregii populaţii, deoarece o parte a împrăştierii generale se concentrează, şi se „pierde”, în media fiecărui eşantion extras
0,95741110
0276,3
NSm
![Page 27: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/27.jpg)
Estimarea parametrilorEstimarea parametrilor
![Page 28: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/28.jpg)
Necesitatea estimăriiNecesitatea estimării
![Page 29: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/29.jpg)
Intervale de încredere şi Intervale de încredere şi limite de încredere limite de încredere
![Page 30: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/30.jpg)
Intervalul de încredere are 2 limite:
limita inferioară θi
limita superioară θs .
![Page 31: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/31.jpg)
Intervale de încredere Intervale de încredere
![Page 32: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/32.jpg)
Estimarea medieiEstimarea mediei
Intervalul ( x − ∂, x + ∂ ) acoperă parametrul media x (media) cu o probabilitate dată P
P(x − ∂ < m < x + ∂) =1−
1- este nivelul de încredere
prag de semnificaţie.
Interval de incredere pentru medie
![Page 33: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/33.jpg)
Nivele de încredereNivele de încredere
1. 1-0,05=0,95 (95%)
2. 1-0,01=0,99 (99%)
3. 1-0,001=0,999 (99,9%)
Prag de semnificatie
![Page 34: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/34.jpg)
Determinarea intervalului Determinarea intervalului de încrederede încredere
Etape:1. Stabilirea eşantionului2. Determinarea volumului eşantionului (n)3. Determinarea mediei eşantionului (m)4. Determinarea dispersiei eşantionului (s)5. Determinarea erorii standard a mediei6. Determinarea argumentului α z
7. Determinarea intervalului de încredere
n
ssm
zsmzsmm mm ;
![Page 35: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/35.jpg)
Intervalul de încredere al mediei când Intervalul de încredere al mediei când
se cunoaşte dispersia populaţiei (se cunoaşte dispersia populaţiei (22))
nux
nux
=0,05 sau =5% u=1,96
=0,01 sau =1% u=2,58
=0,001 sau =0,1% u=3,29
n este volumul selecţiei extrase
X este media selecţiei extrase
2 este dat şi este dispersia populaţiei
![Page 36: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/36.jpg)
Intervalul de încredere al mediei Intervalul de încredere al mediei când nu se cunoaşte dispersiacând nu se cunoaşte dispersia
I. N>120
n
Sux
n
Sux
reprezintă eroarea standard a mediei n
S
II. N<120
n
Stx
n
Stx 1n,1n,
unde t,n-1 se citeşte din tabelul cu distribuţia "t" la
nivelul şi n-1 grade de libertate
![Page 37: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/37.jpg)
Exemple.Exemple.
Fie dată o populaţie cu repartiţie normală având media şi dispersia 2=1296. S-a extras o selecţie de volum n=9 pe baza căreia s-a calculat =195.
Să se calculeze intervalul de încredere ale mediei a
populaţiei.
x
Rezolvare. nux
nux
129
1296
n
Pentru diferite nivele de încredere se obţine:
=0,05 171,48218,52 (p= 95%)
=0,01 64,04225,96 (p= 99%)
=0,001 155,52234,48 (p= 99,9%)
![Page 38: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/38.jpg)
Exemple.Exemple.
Se consideră repartiţia procentuală de grăsime a laptelui la rasa Roşia. Pentru o selecţie de n=93 s-a obţinut media X=3,95 şi S2=0,07.
Să se estimeze procentul mediu de grăsime a laptelui de vacă la această rasă de vacă.
Rezolvare. n<120
n
Stx
n
Stx 1n,1n, t0,05;93-1= t0,05,92=1,986
t0,01;92=2,631;t0,001;92=3,402
Se estimează cu o probabilitate de 95 % că 3,9053,995
Se estimează cu o probabilitate de 99 % că 3,894,01
Se estimează cu o probabilitate de 99,9 % că 3,87 4,03
![Page 39: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/39.jpg)
Propunem spre rezolvare următoarea Propunem spre rezolvare următoarea problemă:problemă:
Pentru un lot format din 50 de vaci din rasa Bălţata româneasca
s-au obţinut următoarele valori pentru producţia de lapte:
7 27 23 7 16
18 10 9 16 11
11 6 29 12 15
19 8 26 22 17
29 29 7 27 14
29 19 23 16 24
28 24 11 21 8
19 13 25 7 18
Considerând ca acest caracter are o repartiţie normala, sa se estimeze cu probabilitatea de 95%, 99% şi 99,9% intervalul de încredere al parametrului "producţia medie zilnica de lapte" la vacile din aceasta rasa.
![Page 40: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/40.jpg)
Este necesar să se Este necesar să se calculezecalculeze
![Page 41: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/41.jpg)
![Page 42: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/42.jpg)
![Page 43: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/43.jpg)
Exprimarea corectă este Exprimarea corectă este următoarea:următoarea:
![Page 44: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/44.jpg)
Interpretarea intervalului Interpretarea intervalului de încrederede încredere
![Page 45: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/45.jpg)
Determinarea volumului n al Determinarea volumului n al eşantionulueşantionuluii
n
szm
n
szm
ervalint
n
sz 22
2
s
zn
![Page 46: 3.Estimarea Statistica - Intervale de Incredere](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022061515/55cf98eb550346d0339a75bd/html5/thumbnails/46.jpg)
Exemplu.
Să se afle numărul de observaţii ce trebuie efectuate pentru a estima talia medie a populaţiei bărbaţilor adulte dacă se ştie că S2=9 cm2 şi se cere o precizie =1 cm, care să fie asigurată cu probabilitatea 1-= 0.95
=0.05S=3 cmz=1,96 35574,35
1
396,1
2
n
z=1,96
pentru n=34z0,05;34=2,033 37197,37
1
3033.2
2
n
Sunt necesare 37 de observaţii pentru estimarea taliei Sunt necesare 37 de observaţii pentru estimarea taliei medii cu precizia de 1 cm.medii cu precizia de 1 cm.