3.gauss(sustitucion hacia atras).equipo2.3ev2

GAUSS (SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS)

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

METODOS NUMERICOS

GAUSS (SUSTITUCION HACIA TRAS)

BENAVIDES FAJARDO J. HUGO

2014302576

PEREA HERNANDEZ RUBEN

2014301385

MONTES MEDINA JOSUE OMAR

2014301227

PROF: MAD.SILVIANO ESCAMILLA GARCIA

3EV2

3EV2 Página 1


INDICE

Gauss simple(sustitución hacia atrás)………………………………..pag.3

Ejemplo propuesto………..………………………………..pag.6

Diagrama de flujo………………………………………………………..pag.9

Eliminación hacia adelante…………………………………pag.9

Sustitución hacia atrás…..…………………………….…..pag.10

Programa en C………………………………………………………….pag.11

Ejercicios propuestos ………………...………………………………..pag.13

Ejemplo 1…………………………………………………..pag.13

Ejemplo 2…………………………………………………..pag.14

Ejemplo 3…………………………………………………..pag.16

BIBLIOPGRAFIA………………………………………………………..pag.19

Gauss Simple (sustitución hacia atrás)

3EV2 Página 2


Esta técnica básica puede extenderse a sistemas grandes de ecuaciones desarrollando un esquema sistemático o algorítmico para eliminar incógnitas y sustituir hacia atrás. La eliminación de Gauss es el más básico de dichos esquemas. Aquí se presentan las técnicas sistemáticas para la eliminación hacia adelante y la sustitución hacia atrás que la eliminación gaussiana comprende. Dado que éstas técnicas son muy adecuadas para utilizarse en computadoras, se requieren algunas modificaciones para obtener un algoritmo confiable. En particular, el programa debe evitar la división entre cero. Al siguiente método se le llama eliminación gaussiana simple, ya que no evita este problema.

El método está ideado para resolver un sistema general de n ecuaciones:

a11x1+a12x2+a13x3+….+a1nxn=b1 (Ec. 1.1a)

a21x1+a22x2+a23x3+….+a2nxn=b2 (Ec. 1.1b)

an1x1+an2x2+an3x3+….+annxn=bn (Ec. 1.1c)

Como en el caso de dos ecuaciones, la técnica para resolver ecuaciones consiste en dos fases: la eliminación de las incógnitas y su solución mediante sustitució hacia atrás.

3EV2 Página 3


Las dos fases de la eliminación de Gauss: eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás. Los superíndices prima indican el número de veces que se han modificado los coeficientes y constantes. El procedimiento se repite después con las ecuaciones restantes. Por ejemplo, la ecuación (Ec. 1.1) se puede multiplicar por a31/a11 y el resultado se resta de la tercera ecuación. Se repite el procedimiento con las ecuaciones restantes y da como resultado el siguiente sistema modificado:

a11x1+a12x2+a13x3+….+a1nxn=b1 (Ec. 1.3a)

a´22x2+a´23x3+….+a´2nxn=b´2 (Ec. 1.3b)

a´32x2+a´33x3+….+a´3nxn=b´3 (Ec. 1.3c)

ań2x2+ań3x3+….+ańnxn=bń (Ec. 1.3d)

3EV2 Página 4


En los pasos anteriores, la ecuación (Ec. 1.1a) se llama la ecuación pivote, y a11 se denomina el coeficiente o elemento pivote.

Observe que el proceso de multiplicación del primer renglón por a11/a11es equivalente a dividirla entre a11 y multiplicarla por a21. Algunas veces la operación de división es referida a la normalización.

Se hace esta distinción porque un elemento pivote cero llega a interferir con la normalización al causar una división entre cero. Más adelante se regresará a este punto importante, una vez que se complete la descripción de la eliminación de Gauss simple.

Ahora se repite el procedimiento antes descrito para eliminar la segunda incógnita en las ecuaciones (Ec. 1.3c) hasta (Ec. 1.3d). Para realizar esto, multiplique la ecuación (Ec. 1.3b) por a`32/a`22 y reste el resultado de la ecuación (Ec. 1.3c). Se realiza la eliminación en forma similar en las ecuaciones restantes para obtener.

a11x1+a12x2+a13x3+….+a1nxn=b1

a´22x2+a´23x3+….+a´2nxn=b´2

a´´33x3+….+a´´3nxn=b´´3

a´ń2x2+a´ń3x3+….+ańnxn=bń

Donde el superíndice biprima indica que los elementos se han modificado dos veces.

El procedimiento puede continuar usando las ecuaciones pivote restantes. La última manipulación en esta secuencia es el uso de la (n-1) ésima ecuación para eliminar el término xn−1de la n-ésima ecuación. Aquí el sistema se habrá transformado en un sistema triangular superior

3EV2 Página 5


3EV2 Página 6


3EV2 Página 7


Diagrama de flujo3EV2 Página 8


Diagrama de Flujo Gauss Simple eliminación hacia adelante

Diagrama de Flujo Gauss Simple sustitución hacia atrás

3EV2 Página 9


Programas en C (Gauss simple)

#include <math.h>

3EV2 Página 10


#include <stdio.h> /*para printf(),scanf()*/

#include <conio.h> /*para getch(),clrscr()*/ //

#include <stdlib.h> /*para exit()*/ //

#include <dos.h>

#define NUMEL 20

#define INTERVALOS 0 float A[25][25], B[25], S[25],X[25];

printf("\n METODO DE GAUSS SIMPLE");

printf("\n Numero de Ecuaciones = ");

scanf("%d",&n);

printf("\n Inserte cada uno de los coeficientes\n");

for(i=1;i<=n;i++)

{

printf("\n Fila %d \n",i);

for(j=1;j<=n;j++)

{

printf(" Ingrese A(%d,%d) = ",i,j);

scanf("%f",&A[i][j]);

} }

printf("\n Inserte cada uno de los terminos independientes\n");

for(i=1;i<=n;i++)

{ {

printf(" Ingrese B(%d) = ",i);

scanf("%f",&B[i]);

} }

printf("\n Tolerancia para el calculo = ");

scanf("%f",&tol);

Gauss( n,tol, &er );

printf("\n\n RAICES DEL SISTEMA\n ");

for(i=1;i<=n;i++)

{

3EV2 Página 11


printf("\n X(%d) = %6.4f",i,X[i]);

}

printf("\n\n Fin del programa");

getch();

}

void Gauss( int n, float tol, int *er)

{

int i,j;

// IMPRESION DE LOS COEFICIENTES RECIBIDOS

/* printf("\n IMPRESION DE COEFICIENTES\n");

for(i=1;i<=n;i++)

{

printf("\n Fila %d \n",i);

for(j=1;j<=n;j++)

{

printf(" A(%d,%d) = %f",i,j, A[i][j]);

}

printf("\n");

}

getch();

*/

*er = 0;

for (i=1;i<=n;i++)

{ S[i] = abs(A[i][1]);

for(j=2;j<=n;j++)

if( abs(A[i][j]>S[i])) S[i] = A[i][j]; }

Ejercicios propuestos

METODO DE GAUSS

3EV2 Página 12


El método de Gauss resuelve un sistema de ecuaciones lineales de forma simultánea. El método consiste de dos fases. La primera fase se le conoce como “eliminación hacia adelante”, debido a que realiza una eliminación de coeficientes comenzando de arriba hacia abajo, hasta dejar una matriz de coeficientes del tipo triangular superior. La segunda se le conoce como “sustitución hacia atrás”, por que se parte de la última ecuación del sistema, para despejar la incógnita, la cual, ya se puede resolver debido a que en esa última ecuación únicamente se desconoce una incógnita, por el hecho de tener un sistema de ecuaciones de tipo matriz triangular superior.

1.-Resolver un sistema lineal por Gauss (sustitución hacia atrás)

2x +3y −z = 5

4x +4y −3z = 3

−2x +3y −z = 1

Hacemos ceros por debajo del pivote 2 en la primera columna.

f 1f 2f 3 [

2 3 −14 4 −3

−2 3 −1

531]

f ´ 1=f 1

f ´ 2=f 2−42f 1

f ´ 3=f 3−−22f 1

Hacemos ceros por debajo del pivote −2 en la segunda columna

f ' 1f ' 2f ' 3 [

2 3 −10 −2 −10 6 −2

5−76 ]

f ´ 1=f ´ 1f ´ 2=f ´ 2

f ´ 3=f 3− 6−2

f 1

Y ya tenemos una matriz triangular superior (con ceros por debajo de la diagonal principal).

f ' ' 1f ' ' 2f ' ' 3 [

2 3 −10 −2 −10 0 −5

5−715 ]

SUSTITUCIÓN HACIA ATRAS

Despejamos las incógnitas empezando por la ecuación de abajo y progresamos hacia arriba.

2x +3y −z = 5

3EV2 Página 13


−2y −z = −7

−5z = −15

Empezamos por la z

z = −15/(−5) = 3

y = (−7 + z)/(−2) = (−7 + 3)/(−2) = 2

x = (5 − 3y + z)/2 = (5 − 3(2) + (3))/2 = 1

2.-Resolver un sistema lineal por Gauss con pivote

x +y −z = 0

2x +y +z = 7

3x −2y −z = −4

En este primer paso buscamos el pivote en la primera columna. Cogemos como pivote el elemento de mayor valor absoluto. Hacemos ceros por debajo del pivote.

[1 1 −12 1 10 6 −2

076 ]←→

f 1f 2f 3 [3 −2 12 1 11 1 −1

−470 ]

f ´ 1=f 1

f ´ 2=f 2−23f 1

f ´ 3=f 3−13f 1

Ahora el máximo valor, el pivote 7/3 está en la segunda columna por lo que no hace falta intercambiar filas.

f ' 1f ' 2f ' 3 [3 −2 −1

073

53

053

−23

−429343

]f ' ' 1=f ´ 1f ' ' 2=f ´ 2

f ' ' 3=f 3−

5373

f ' 2

Y ya tenemos una matriz triangular superior (con ceros por debajo de la diagonal principal)

3EV2 Página 14


f ' 1f ' 2f ' 3 [3 −2 −1

073

53

0 0−137

−4293397

]

SUSTITUCIÓN HACIA ATRÁS: Despejamos las incógnitas empezando por la ecuación de abajo y progresamos hacia arriba.

3x −2y −z = −4

73

y + 53

z =293

− 137

z = −397

Despejamos las incógnitas empezando por la ecuación de abajo y progresamos hacia arriba.

3x −2y −z = −4

73

y + 53

z =293

− 137

z = −397

Empezamos con la z

z = −(39/7)/(−13/7) = 3

y = ((29/3) − (5/3)z)/(7/3) = 2

x = (−4 + 2y + z)/3 = 1

3.-Resolver el siguiente sistema de

3EV2 Página 15


ecuaciones:

3x1– 0.1x2 – 0.2x3 = 7.85

Ec.10.1x1 + 7x2 -0.3x3 = -19.3 Ec.2

0.3x1 -0.2x2 + 10x3 = 71.4 Ec.3

ELIMINACION HACIA ADELANTE

Ecuación pivote = Ec.1Elemento pivote = x1 (incógnita a eliminar de las ecuaciones

restantes) Se normaliza la ecuación 1 para restarla en Ec.2:

⎛ 0.1⎞Ec.1= Ec.1( factor) , donde factor =

⎝ 3 ⎠0.1x1 – 0.003333x2 – 0.006666x3 = 0.261666 Ec.1’

Para obtener la nueva Ec.2, se restan las

ecuaciones Ec.2 = Ec.2 – Ec.1’

0x1 + 7.003333x2 -0.293334x3 = -19.561666 Ec.2

Se normaliza la ecuación 1 para restarla en Ec.3:

⎛ 0.3 ⎞Ec.1' = Ec.1( factor) , donde factor = ⎜ ⎟⎝ 3 ⎠

0.3x1 – 0.01x2 – 0.02x3 = 0.785 Ec.1’

Para obtener la nueva Ec.3, Se restan las

3EV2 Página 16

⎜ ⎟


ecuaciones Ec.3 = Ec.3 – Ec.1’0x1 -0.19x2 +10.02x3 = 70.615 Ec.3

El nuevo sistema de ecuaciones después de eliminar x1 de las ecuaciones 2 y 3, queda:

3x1 – 0.1 x2 – 0.2x3 = 7.85 Ec.1+ 7.003333x2

-0.293334x3 = -19.561666

Ec.2-0.19x2 +10.02x3 = 70.615 Ec.3

Nueva ecuación pivote = Ec.2Elemento pivote = x2 (incógnita a eliminar de las ecuaciones

restantes) Se normaliza la ecuación 2 para restarla en Ec.3:

Ec.2' = Ec.2( factor) , donde factor = ⎛ − 0.19 ⎞⎝ 7.003333 ⎠

– 0.19x2 + 0.007958x3 = 0.530707 Ec.2’

Para obtener la nueva Ec.3, se restan las

ecuaciones Ec.3 = Ec.3 – Ec.2’

10.012042x3 = 70.084293 Ec.3

El nuevo sistema de ecuaciones después de eliminar x2 de la ecuación 3, queda:

3x1 – 0.1 x2 – 0.2x3 = 7.85 Ec.17.003333x2 -0.293334x3 = -19.561666

Ec.210.012041x3 = 70.084293

Ec.3

SUSTITUCION HACIA ATRAS:

3EV2 Página 17


Despejando x3 de la Ec.3:



3EV2 Página 18


BIBLIOGRAFIA:

“Métodos Numéricos para ingenieros”

Chapra S. y Canale R.

McGraw-Hill. Chapra S. y Canale R.

URL:

http://www.unioviedo.es/compnum/expositiva/Presentaciones_web/T5_sist_lineales.pdf

http://www.gridmorelos.uaem.mx/~mcruz//cursos/mn/gauss.pdf

http://cdigital.uv.mx/bitstream/123456789/29521/1/BadilloRiosyOrtizdelaLuz.pdf

http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-02.pdf

3EV2 Página 19

http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-02.pdf



http://www.gridmorelos.uaem.mx/~mcruz//cursos/mn/gauss.pdf



3.gauss(sustitucion hacia atras).equipo2.3ev2

Documents