3º de educaciÓn secundaria obligatoria - … · a partir de entonces y con la ayuda del cálculo...

Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 9

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3º DE EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA

MATEMÁTICAS UNIDAD 9

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

a) Presentación b) Evaluación Inicial c) Conceptos d) Actividades e) Autoevaluación f) Otros recursos: bibliografía y recursos en red g) Refuerzos Educativos h) Ampliaciones / Propuesta de investigación


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A/ PRESENTACIÓN Los primeros resultados que se obtienen en una encuesta son un conjunto desordenado de datos en los que resulta muy difícil sacar algo en claro. Mediante su tratamiento estadística esos datos se vuelven claros, coherentes y comprensibles. El origen de la palabra “estadística" hay que buscarlo en el término “estado”, pues eran los gobernantes, reyes y soberanos los que desde la antigüedad se preocupaban de obtener todo tipo de información (población, tropas, riquezas, etc.) que constituían su patrimonio estatal. Los chinos utilizaban las tablas agrícolas 2.000 a.C. y en la Biblia se habla del censo ordenado por el emperador César Augusto justo en el año del nacimiento de Jesucristo. También se tienen datos de hechos parecidos entre los griegos y egipcios. Hasta el siglo XVIII esos datos que se obtenían se guardaban pero no se interpretaban. A partir de entonces y con la ayuda del cálculo de probabilidades, se empezó una nueva etapa en el desarrollo de la estadística que se basa en la formulación de predicciones. Se considera a Karl Pearson (1857-1936) como uno de los padres de la estadística moderna, pues fue maestro de las primeras generaciones de profesionales de esta rama de las matemáticas. Su interés por la estadística tenía mucho que ver con el estudio que llevaba a cabo sobre la herencia y evolución de las especies. En España, la estadística nace oficialmente durante el mandato de Isabel II, cuando en 1.856 se crea la Comisión de Estadística General del Reino. En 1.938 se creó el Servicio Nacional de Estadística, que en 1.945 derivó en lo que hoy conocemos como “Instituto Nacional de Estadística” (INE).

Desde hace tiempo las estadísticas no son utilizadas exclusivamente por el Estado. Banqueros, compañías de seguros, empresarios, periodistas, investigadores, científicos, profesores, deportistas, etc. las utilizan cuando recogen y organizan determinada información para analizarla, interpretarla y tomar decisiones para lograr sus propósitos. En esta unidad aprenderás a reconocer y diferenciar los elementos que intervienen en un estudio estadístico: los aspectos importantes de una encuesta, la construcción e interpretación de tablas de frecuencias, los modelos de gráficas más importantes y los criterios para escoger una u otra, así como la obtención e interpretación de unos valores llamados parámetros estadísticos, que resumen los datos obtenidos y describen las características fundamentales de los mismos.


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“La suerte está echada” Julio César (100 - 44 a.C.) Los primeros estudios de la teoría de la probabilidad nos llevan obligatoriamente a los juegos de azar. Aunque éstos se han realizado desde muy antiguo, no se han expresado en forma matemática hasta el siglo XVI. Es posible que los dados surgieran para perfeccionar los primitivos astrágalos (hueso del cordero que se encuentra en el tarso en la articulación con la tibia y el peroné). La palabra azar viene del árabe. Los dados que ellos utilizaban tenían dibujada en una de las caras una flor de azahar.

La palabra aleatorio proviene del término latino aleam que significa dado o suerte. Quizás sea bueno recordar aquí la frase de Julio César, con la que comenzábamos esta unidad, y que se comenta pronunció al cruzar el río Rubincón: “Alea jacta est” (la suerte está echada). El tratar de prever o adivinar el futuro ha sido algo permanente en la sociedad. Los presagios, los horóscopos son un ejemplo de ello. Si el hombre lograra dominar el azar, podría tener seguridad de lo que va a acontecer. Grandes matemáticos han estudiado el problema y han desarrollado estructuras matemáticas para ello. Y aunque las matemáticas son una ciencia exacta, aquí sólo nos dan un grado de probabilidad. Entre esos matemáticos destaca uno: Pierre Simon Laplace (1749 – 1827), matemático francés conocido fundamentalmente por la regla de la probabilidad que lleva su nombre. Desde 1774 escribió mucho sobre el teme y en 1812 publicó un libro titulado “Teoría analítica de las probabilidades”. El cálculo de probabilidades es la parte de las matemáticas que estudia la mayor o menor dificultad que tienen de verificarse ciertos hechos.


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B/ EVALUACIÓN INICIAL

1. Observa en la tabla el número de libros leídos por los alumnos de la clase de 3º

de ESO durante un año y contesta.

Número de libros 0 1 2 3 4 o más Frecuencia 5 10 6 4 2

a) ¿Cuántos alumnos tiene la clase? b) ¿Qué porcentaje de alumnos leyó dos o menos libros? c) ¿Qué porcentaje leyó tres o más libros? d) ¿Qué tanto por uno leyó tres o más libros? e) Expresa cada una de las frecuencias en tanto por uno. ¿Cuánto suma?

2. Ante la preocupación de que los pueblos empiecen a desaparecer, se ha hecho

una investigación para calcular la edad media de los habitantes de dos pueblos de una Comunidad Autónoma. Las edades vienen indicadas en las siguientes tablas.

Edad (pueblo A) 22 23 27 33 40 42 60 62 63 65 70 75 80 85 90 92

Personas 5 1 1 2 4 4 3 8 8 5 13 11 10 10 5 4

Edad (pueblo B) 22 23 27 33 40 42 60 62 63 65 70 75 80 85 90 92

Personas 32 25 32 44 82 76 43 32 40 63 62 45 13 12 4 4

a) ¿Cuántas personas hay menores de 23 años en cada pueblo? b) ¿Y mayores de 80? c) ¿Cuál es la media de edad en cada pueblo? d) ¿Qué porcentaje de personas tiene una edad superior a la media en cada

pueblo? e) ¿Cuál es la edad más común (moda de las edades) en cada pueblo? f) ¿Cuál es la mediana en cada pueblo? g) ¿Cuál es la diferencia entre la mayor y la menor edad de los habitantes de

cada pueblo? h) Compara los resultados obtenidos en los dos pueblos.


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3. En la liga de baloncesto ACB quieren investigar la puntuación que se da con más

asiduidad. Para ello encargan a unos alumnos de 3º de la ESO que realicen esta tarea. Éstos son los resultados: 88; 91;101;77;102; 86; 88; 75; 95; 101; 85; 88; 92; 91; 77; 103; 101; 102; 78; 75; 83; 88; 86; 95; 102; 101. a) Ordena los datos de menor a mayor. b) Representa esos datos en una tabla. c) Calcula las frecuencias absolutas y relativas para cada valor. d) Dibuja el diagrama de barras correspondiente.

4. Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100 niños de cierto colegio. La información obtenida se representa en el siguiente diagrama. Interpreta el resultado.


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5. ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar una moneda al aire salga cara? ¿Y de que salga cruz?

6. Forma todos los subconjuntos posibles en el conjunto A = a b c, ,

7. En una bolsa hay 20 bolas, todas iguales de peso y tamaño y todas ellas

numeradas. a) Escribe las frecuencias absolutas de las

bolas que están marcadas con los números 1, 2 y 4.

b) Escribe las frecuencias relativas de las bolas marcadas con los números 3 y 5.

c) ¿Qué porcentaje de bolas están marcadas con el número 3?

d) Al extraer, sin mirar, una de las bolas de la bolsa, ¿qué crees que es más fácil: sacar una bola con el número 1 o con el número 2?

8. Se lanza una moneda y aparece tres veces seguidas cara. ¿Qué es más fácil que

aparezca en el siguiente lanzamiento: cara o cruz? 9. Una bolsa A contiene 5 bolas: 3 rojas y 2 verdes, y otra bolsa B contiene 3 bolas:

2 rojas y 1 verde. Se saca una bola de una de las dos bolsas y gana quien saca una bola roja.

¿De qué bolsa te interesa sacarla?


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10. El juego del dominó consta de 28 fichas divididas en dos cuadrados iguales y en cada uno de ellos hay de 0 a 6 puntos.

a) ¿Cuántas fichas hay cuya suma de puntos

sea 5? b) ¿Cuántas fichas hay cuya suma de puntos

es mayor que 1? c) ¿Cuántas cuya suma de puntos sea la que

más veces se repite?

11. Por este laberinto echas 100 canicas.

a) ¿Cuántas canicas crees que caerán por cada camino?

b) Si no puedes echar las canicas, ¿qué procedimiento se te ocurre para realizar el mismo experimento?


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C/ CONCEPTOS

ESTADÍSTICA.

1.- Población y muestra.

2.-Variables estadísticas.

3.- Proceso estadístico.

3.1. Tablas estadísticas. Frecuencias.

3.2. Gráficas estadísticas.

3.3. Parámetros estadísticos.

3.3.1. Medidas de centralización

3.3.2. Medidas de dispersión.

PROBABILIDAD.

1.- Experimentos deterministas y aleatorios.

2.- Sucesos. Espacio muestral.

3.- Operaciones con sucesos.

3.1 Unión de sucesos.

3.2 Intersección de sucesos.

3.3 Sucesos incompatibles y sucesos compatibles.

3.4 Sucesos dependientes e independientes.

4.- Frecuencia de un suceso. Propiedades.

5.- Probabilidad de un suceso.

5.1 Regla de Laplace.

5.2. Propiedades de la probabilidad.


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D/ ACTIVIDADES

Sistema de trabajo: individual. Recursos: libro de texto y consultores de aula.

ESTADÍSTICA 1. Población y muestra.

1. Lee atentamente la pág. 252 de tu libro de texto y responde a estas preguntas: a) Define estadística. b) Escribe el concepto de “población” y “muestra”. c) Escribe tres ejemplos de cada una. d) ¿Es práctico el uso de una población para un estudio estadístico? e) ¿Qué características debe tener una muestra para que sea fiable?

2. Variables estadísticas ó caracteres estadísticos.

2. Lee con atención el apartado “Carácter estadístico” y elabora en tu cuaderno un cuadro sinóptico incluyendo la definición de cada una.

3. Haz el ejercicio 1 de la página 253.

4. Haz el ejercicio 18 de la página 260. 3. Proceso estadístico. Dentro del proceso estadístico se pueden distinguir tres partes: - Descripción del fenómeno: en esta parte se recogen los datos del hecho que se

quiere estudiar. - Análisis de los datos: donde se cuenta las veces que se repite cada resultado, se

clasifican y se estudia si hay alguna explicación que los justifique. - Predicción de los resultados: analizados los resultados, se predice si se volverá a

repetir ese hecho en un futuro. Vamos a centrarnos en la segunda parte. 3.1. Tablas estadísticas. Frecuencias. Una vez recogidos los datos del fenómeno a estudiar, resultará más fácil su estudio si los ordenamos y organizamos en tablas.

5. Busca y escribe las definiciones de: a) Intervalo. b) Amplitud del intervalo. c) Marca de clase.


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RECUERDA: Si la variable a estudiar es discreta con un número pequeño de datos, en una

columna aparecen en orden creciente los distintos valores de la variable y en otra el número de veces que aparece cada uno.

Si la variable es continua, o bien discreta con un número de datos muy grande, se agrupan los datos en intervalos (clases) de la misma amplitud, se

señala su marca de clase y se hace el recuento de cada uno de ellos.

6. Lee el apartado “Tabla de frecuencias” de la página 253 y luego responde: a) ¿Qué diferencias hay entre frecuencia absoluta y relativa? b) ¿Por qué puede ser a veces engañosa la frecuencia absoluta?

Pon un ejemplo que lo aclare.

7. Realiza los ejercicios de la página 253. Calcula también las frecuencias relativas y porcentual.

RECUERDA: Frecuencia absoluta: es el número de veces que aparece repetido el valor de

una variable estadística xi .

Frecuencia relativa hi: es el cociente entre la frecuencia absoluta f i y el

número total de datos (N). hf

Ni

i

Frecuencia porcentual (%): es la frecuencia relativa hi multiplicada por 100.

Frecuencia absoluta acumulada ( Fi ) es la suma de las frecuencias absolutas

de los valores menores o iguales a xi . F f f fi n1 2 ...

Frecuencia relativa acumulada Hi : es la suma de las frecuencias relativas de

los valores menores o iguales a xi . H h h hi n1 2 ...

3.2. Gráficos estadísticos. A veces es conveniente expresar toda la información recogida en las tablas mediante un gráfico, pues así se visualiza de forma más clara y rápida los resultados obtenidos, la exactitud de los mismos y las relaciones que guardan entre sí distintas series estadísticas.

8. Con la ayuda de tu libro (página 254 y 255) haz un resumen de las principales representaciones gráficas de una tabla estadística. En cada una debes incluir en qué consiste y con qué variable estadística se utiliza.

9. Realiza los ejercicios de la página 255.


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10. En grupos de tres personas máximo, realizad esta actividad: Las edades de los visitantes a una exposición de pintura, en un día

determinado, son las siguientes: 34, 23, 45, 56, 37, 23, 59, 62, 33, 51, 19, 29, 45, 38, 54, 18, 37, 48, 26, 35, 42, 58, 60, 39, 22, 20, 57, 55, 48, 26, 27, 30, 34, 25, 57, 48, 50, 35, 41, 40, 36, 31, 34, 19, 23. a) ¿Cuál es la población estadística? ¿Cuál es la variable y de qué

tipo? b) Elaborad la tabla completa de frecuencias usando 9 intervalos. c) ¿Cuántas personas tienen menos de 34 años? d) ¿Qué porcentaje tienen 44 años o más? e) ¿Qué porcentaje representa el intervalo de mayor frecuencia? f) Representa los datos en un histograma. g) Representa los datos en un diagrama de sectores, agrupando los

tres primeros intervalos, los tres segundos y los tres terceros. 3.3. Parámetros estadísticos. Hasta ahora hemos visto que la estadística recoge información y la representa en tablas o gráficas. Pero no se queda ahí, saca conclusiones de esa información. Y para ello trata de condensar en un solo valor el resultado de todos los datos, es lo que se llama medidas de centralización. 3.3.1. Medidas de centralización.

11. Lee las págs. 256 y 257 y responde a estas preguntas:

a) Define media aritmética ( X ) y ¿cómo se calcula. b) ¿Qué nueva columna convendría añadir en las tablas

estadísticas para calcular esa media. c) ¿Se puede aplicar a todo tipo de variables estadísticas? d) ¿Cómo se define moda ( Mo ) en estadística? Compárala con la

definición del diccionario. e) ¿Qué ventajas e inconvenientes puede tener su utilización?

12. Realiza los ejercicios de la página 257.

13. Realiza los ejercicios 27 y 28 de la página 261. EJEMPLO ÚTIL DEL CÁLCULO DE LA MEDIANA: Observa estas dos series de números y cómo se calcula en ellas la mediana.

A) 4, 0, 3, 2, 1, 4, 1 (Número impar de datos) . Se ordenan de forma creciente: 0, 1, 1, 2, 3, 4, 4 . El valor que ocupa la posición central dejando el 50% de los datos por debajo y el 50% por encima, es el 2. Ese es la mediana. 0, 1, 1, 3, 4, 4

2


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B) 4, 0, 3, 2, 1, 4 (Número par de datos) . Se ordenan crecientemente: 0, 1, 2, 3, 4, 4 . Los valores centrales son 2 y 3: 0, 1, 4, 4

. La mediana Me = 2 3

22 5,

RECUERDA:

Las medidas de centralización, más importantes son: la media aritmética ( X ), la moda ( Mo ) y la mediana ( Me ). Nos indican en torno a qué valor central se distribuyen los datos.

La media aritmética : X = x f

N

x f x f x f

N

i ii

n

n n1 1 2 2 ...

La moda ( Mo ) es el valor con mayor frecuencia. La mediana ( Me ) es el valor de la variable estadística que ocupa el lugar central

una vez ordenados los datos de forma creciente.

3.3.2. Medidas de dispersión.

14. Se ha aplicado a dos grupos de alumnos de 3º de ESO un test de 100 preguntas, obteniéndose los siguientes resultados.

Grupo A 46 48 49 50 50 51 52 54

Grupo B 10 18 30 50 50 70 82 90

a) Calcula para cada grupo la media, moda y mediana. b) ¿Son reveladores los valores obtenidos para tener una idea clara

de la distribución? ¿Qué se hace necesario? c) ¿Cómo se llaman los nuevos valores que habría que calcular, y

cuáles de ellos son los más importantes?

15. Busca la definición de rango o recorrido, desviación y desviación media (DM) y anótalas en tu cuaderno.

16. Las notas obtenidas por dos alumnos en cinco exámenes de matemáticas son:

Alumno A: 3, 8, 5, 7, 4 Alumno B: 2, 9, 4, 5, 7 Calcula las notas medias, las medianas, los recorridos y las

desviaciones medias.

17. Lee la pág. 258 y 259 del libro y contesta:

a) Definición de varianza ( 2 ) y de desviación típica ( ) b) Escribe las fórmulas para calcularlas. c) ¿Qué información nos da el valor de la desviación típica? d) ¿Qué es el coeficiente de variación y para qué vale?

2, 3


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18. Las edades de los miembros de una familia son: 50, 48, 25, 13, 20, 18 y 15. Calcula: a) La media aritmética. b) La desviación media. c) La varianza. d) La desviación típica.

19. Se ha medido el peso y las edades de ciertas personas y se han encontrado los siguientes resultados:

Peso 65 70 72 68 65 91

Edad 25 22 30 32 35 60

PARA AMPLIAR:Haz los ejercicios de la página 259 del libro. 20.

RECUERDA: Las medidas de dispersión más importantes son: el recorrido, la desviación media, la

varianza ( 2 ) y la desviación típica ( ). Nos indican cuánto se acercan o alejan los datos recogidos respecto de las medidas de centralización. Rango o recorrido: es la diferencia entre los valores mayor y menor de la

variable estadística. Desviación media (DM): es la media aritmética del valor absoluto de las

desviaciones (D). DM= N

fxxn

i ii

Varianza: es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones.

2 = x x f x x f x x f

N

x x f

N

n n i ii

n

1

2

1 2

2

2

2 2

...

Desviación típica: es la raíz cuadrada de la varianza. = 2

21. En grupos de tres personas vais a seleccionar un tema de interés para vosotros sobre el que elaboraréis una o dos preguntas máximo y llevaréis a cabo todos los pasos del proceso estadístico estudiados aquí.

a) Seleccionar una población b) Escoger una muestra proporcional. c) Aplicar el cuestionario. d) Elaborar la tabla estadística. e) Construir la gráfica más adecuada. f) Calcular las medidas de centralización y dispersión. g) Analizarlas y sacar conclusiones.


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PROBABILIDAD 1. Experimentos deterministas y aleatorios (de azar). 22. Busca en el diccionario las definiciones de estos términos “determinista”

y “aleatorio”, y escríbelas aquí: Experimento determinista:...................................................................... ................................................................................................................ ................................................................................................................ Experimento aleatorio:............................................................................ ................................................................................................................ ................................................................................................................ 23. Escribe cuáles de los siguientes experimentos serían deterministas y

cuáles aleatorios:

a) La lotería primitiva............................................................... b) Que un balón lanzado al aire vuelva a caer.......................... c) La oxidación de los materiales de hierro............................... d) El resultado en el lanzamiento de un dado........................... e) El número de hembras y machos de una

camada de lobatos ................................................................ f) La intensidad luminosa de una bombilla.................................

RECUERDA: Experimento determinista es aquél cuyos resultados se pueden saber de

antemano. Experimento aleatorio es aquél cuyos resultados son imprevisibles.

2. Sucesos. Espacio muestral.

24. Lee las págs. 274 y 275 de tu libro y define en tu cuaderno estos términos:

a) Espacio muestral. ¿Con qué letra se representa? b) Suceso elemental. c) Suceso compuesto. d) Suceso seguro. e) Suceso imposible. f) Suceso contrario.

25. Realiza los ejercicios del 1 al 4 de la página 275 y el 5 sólo hasta la letra e)


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26. Completa la siguiente tabla:

Experimento Espacio muestral Sucesos element. Ej. Suceso comp.

Lanzar un dado E= 1 2 3 4 5 6, , , , , 1 2 3 4 5 6, , , , ,

“Salir par”= 2 4 6, ,

Lanzar una moneda

Lanzar un dado de quinielas

Lanzar dos monedas

Extraer 1 bola de 1 urna que tiene 1 roja, 1 verde y 1 azul.

Extraer una carta del palo de oros

Hay experimentos aleatorios que resultan de combinar dos o más experimentos simples, como es el caso del lanzamiento simultáneo de dos monedas. Estos experimentos se llaman compuestos. En estos experimentos, cada uno de los resultados posibles, es decir, de los sucesos elementales, estará formado por un par, una terna, etc., que refleja los resultados de cada experimento simple. Para obtener los elementos que forman el espacio muestral de un experimento compuesto, se parte de los espacios muestrales de los experimentos simples que lo forman y se hallan todas las combinaciones posibles. Este proceso se puede hacer de forma gráfica mediante un esquema que se llama “diagrama de árbol”. Observa el ejemplo del lanzamiento de tres monedas.

Resultados x resultados x resultados 2 x 2 x 2 = 8 resultados Por lo tanto el espacio muestral tiene 8 sucesos elementales.

E = ccc ccx cxc cxx xcc xcx xxc xxx, , , , , , ,


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27. Halla el espacio muestral E de los siguientes experimentos compuestos (ayúdate del diagrama de árbol) a) Lanzar un dado y una moneda a la vez. b) Extraer de una urna de dos en dos seis bolas numeradas. c) En un cajón se tienen tres polos y cuatro camisas, todos distintos.

Se mete la mano al azar y se saca en cada mano una prenda (indistintamente polos y camisas).

d) Ana quiere regalar a su hermano por su cumpleaños un jersey, pero duda si cerrado o a pico; gris o negro; y de lana o algodón. ¿Cuántas posibilidades tiene?

28. Lee la página 280 de tu libro y haz los ejercicios 20 y 21 de la 281. 3. Operaciones con sucesos. Una operación entre sucesos de un espacio muestral es la regla que nos permite obtener otro suceso del mismo espacio muestral. Vamos a estudiar dos: la unión y la intersección. 3.1. Unión de sucesos. En el experimento del lanzamiento del dado cuyo espacio muestral es E =

1 2 3 4 5 6, , , , , vamos a considerar los sucesos compuestos:

A: “Salir par” = 2 4 6, , y B: “Salir número primo” = 2 3 5, ,

El suceso unión, es decir, “Salir par o nº primo” es: A B = 2,3,4,5,6

3.2. Intersección de sucesos. Si se consideran los mismos suceso del ejemplo anterior,

el suceso “Salir par y nº primo” es: A B 2

29. Realiza los ejercicios: 5 f), g) de la pág. 275 y 30 de la 282.


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RECUERDA:

Dados dos sucesos A y B, el suceso unión A B lo forman los sucesos

elementales de A y de B. Dados dos sucesos A y B, el suceso intersección A B está formado por los

sucesos elementales comunes a A y a B.

3.3. Sucesos incompatibles y sucesos compatibles.

¿SABÍAS QUE: Dados dos sucesos A y B, se dice que son incompatibles si BA

Dados dos sucesos A y B, se dice que son compatibles si BA

30. Cita un ejemplo de sucesos compatibles y de sucesos incompatibles utilizando:

a) Dos monedas b) Dos dados c) Un dado de quinielas.

3.4. Sucesos dependientes e independientes. Muchos experimentos aleatorios se pueden realizar de varias maneras. Vamos a analizar el siguiente ejemplo: Se tiene una urna con 5 bolas negras y 3 blancas y se quiere extraer dos bolas, una tras otra. Esto se puede hacer de dos maneras: Con reemplazamiento, es decir, una vez realizada la primera extracción y anotado el resultado, se devuelve a la urna para extraer la segunda. El resultado de la primera no influye en la segunda ya que no se cambian las condiciones. Son sucesos independientes. Sin reemplazamiento, es decir, una vez extraída la primera, no se devuelve a la urna y se extrae la segunda. Aquí sí cambian las condiciones al extraer la segunda. Son sucesos dependientes.

31. Se hacen dos lanzamientos sucesivos de un dado. a) ¿Son dependientes los sucesos “salir 6” en cada lanzamiento? b) ¿Y que salga 5 en el primer lanzamiento y 4 en el segundo? c) ¿Y que salga 3 en el primero y 3 en el segundo?

32. Para el sorteo de la O.N.C.E. se dispone de cinco bombos iguales y de cada uno de ellos se extraen los números que corresponden a las cifras que componen el número ganador. ¿Son sucesos dependientes la obtención de estas cifras? Razona la respuesta.

33. Indica si los siguientes sucesos son dependientes o independientes. a) Extracción de dos cartas de una baraja española

simultáneamente.


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b) Lanzamiento de una misma moneda al aire tres veces. c) Extracción de dos bolas de una urna, la primera roja y la

segunda azul devolviendo la primera a la urna.

RECUERDA: Sucesos compatibles son aquéllos que sí tienen algún suceso elemental en

común. A B .

Sucesos incompatibles son aquéllos que no tienen ningún suceso en común.

A B .

Sucesos independientes si el resultado de uno no influye en el resultado del otro.

Sucesos dependientes si el resultado de uno sí influye en el resultado del otro.

4. Frecuencia de un suceso. Propiedades.

34. Repasa los conceptos de frecuencia absoluta y frecuencia relativa que estudiaste en la unidad anterior de Estadística. ¿Cómo definirías frecuencia absoluta y relativa de un suceso?

35. Completa las siguientes oraciones leyendo previamente la pág. 276. - La frecuencia absoluta de un suceso va a ser siempre un nº

comprendido entre ..... f i ....

- La frecuencia relativa de un suceso va a estar entre 0 hi ....

- La suma de las frecuencias relativas de todos los sucesos elementales es ........

- La frecuencia del suceso seguro siempre es ...... - La frecuencia relativa del suceso imposible es ......

36. Realizamos el experimento aleatorio de “lanzar un dado” 25 veces y obtenemos estos resultados:

Número obtenido 1 2 3 4 5 6

Número de veces 5 3 4 3 6 4

a) ¿Cuál es la f i , hi de cada suceso elemental?

b) ¿Cuál es la f i , hi de estos sucesos?

- Salir par. - Salir múltiplo de 3. - Salir cara mayor que 1. - Salir cara menor que 1. - Salir el suceso E (espacio muestral)

5. Probabilidad de un suceso.

37. Formando grupos de 4 compañeros vais a realizar el siguiente experimento: Cada uno lanzará al aire una moneda de 1 euro 20 veces, anotando el número de caras obtenido. Luego sumáis el


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número de caras que habéis sacado entre todos a los 20, 40, 60,... y 200 lanzamientos.

Completad esta tabla:

Lanzamientos 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

f i (cara)

hi (cara)

Representa en un plano cartesiano en el eje X el nº de lanzamientos

y en el eje Y hi (cara), haciendo en este eje divisiones desde 0 al 1

de 0,1 en 0,1. Contesta a las siguientes preguntas: a) Si continuarais haciendo más lanzamientos, ¿hacia qué valor

parecen tender a estabilizarse las frecuencias relativas? b) ¿Cómo se llama en matemáticas ese valor? c) Escribe lo que dice la ley del azar o ley de los grandes números.

38. Haz los ejercicios 6 y 10 de la pág. 277. 5.1. Regla de Laplace.

39. Lee atentamente la pág. 277 del libro y define: a) Sucesos equiprobables. b) Casos favorables. c) Casos posibles. d) Probabilidad de un suceso P(A) según la ley de Laplace.

40. Calcula la probabilidad de que: a) Salga figura al sacar una carta de una baraja española de 40

cartas. ¿Y de que salga sota? b) No salga seis al lanzar un dado. c) Salga una bola roja al extraer una bola de una bolsa que tiene 40

bolas verdes, 25 rojas y 15 azules. ¿Y de que salga azul? d) Salga dos veces cara al lanzar dos monedas al aire. ¿Y de que

no salgan dos caras? ¿Y de que salgan al menos una cara? (Halla es espacio muestral primero utilizando el diagrama de árbol).

41. Haz el ejercicio 7 de la página 277. 5.2. Propiedades de la probabilidad. Existe una relación entre frecuencia relativa de un suceso y la probabilidad de que ese suceso ocurra. Por eso, muchas de las propiedades de las frecuencias relativas que estudiaste antes van a coincidir con las propiedades de la probabilidad.

42. Haz los ejercicios que faltan de la página 277.


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43. De una baraja española de 40 cartas, se extrae una carta al azar. Calcula la probabilidad. a) Sea un cuatro o caballo. b) Sea un cinco o un oro. c) No sea figura. d) Sea cinco y oro. e) Sea un as. f) Sea una sota o caballo. g) Sea un nº inferior a cinco. h) Sea oro o capa o basto o espada. i) Sea figura o espada.

RECUERDA: Probabilidad es el valor al que tiende la frecuencia relativa cuando se llevan a

cabo un nº muy grande de experimentos. Regla de Laplace: En un experimento aleatorio de sucesos equiprobables, la

probabilidad de un suceso A, P(A) = nº de casos favorabes a A

nº de casos posibles

Propiedades de la probabilidad: - La probabilidad de un suceso P(A) es un nº: 0 1P A( )

- La probabilidad del suceso seguro es 1 - La probabilidad del suceso imposible es 0 - Siendo A y B dos sucesos del mismo espacio muestral E: . Si son incompatibles: P A B P A P B( ) ( ) ( )

. Si son compatibles: P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )

. Si son independientes: P A B P A P B( ) ( ) ( )

- La probabilidad del suceso contrario A P A P A es: ( ) ( )1

44. A modo de repaso haz estos ejercicios: del 31 al 36 de la página 282. 6. Tipos de problemas.

45. Lee las páginas 278 y 279 de tu libro y haz los ejercicios de la 279.

46. Lee las páginas 280 y 281 de tu libro y haz los ejercicios de la 281 que no están ya hechos.

PARA AMPLIAR: Haz los ejercicios del 37 al 47 en las páginas 47. 282 y 283 del libro.


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E/ AUTOEVALUACIÓN

Alumno/a............................................................................................Grupo....... 1. Di, en cada caso, cuál es la población y cuál la variable que se quiere estudiar y

si ésta es cualitativa o cuantitativa, especificando si es discreta o continua: a) Tiempo dedicado a las tareas domésticas por los hombres y las

mujeres que trabajan fuera del hogar. b) Estudios que quieren hacer las alumnas y los alumnos de un centro

escolar al terminar la ESO. c) Intención de voto en unas elecciones autonómicas. d) Horas que dedican a ver televisión los estudiantes de la ESO en

España. e) Número de aparatos de radio que hay en los hogares de la Comunidad

de Madrid.

2. a) En 80 observaciones, la frecuencia relativa de un valor de la variable fue de 0,375. ¿Cuál es su porcentaje? ¿Cuál es su frecuencia absoluta?

b) En una encuesta la frecuencia relativa de un valor de la variable fue 0,475 y la frecuencia absoluta 38, ¿cuál fue el número de observaciones?

3. Si las notas de Matemáticas de 25 alumnos son: 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6,

6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10:

a) Elabora una tabla completa de frecuencias absolutas y relativas. b) Representa estos datos en un diagrama de barras c) Halla la nota media, el valor de la mediana y la moda. d) Haz un diagrama de sectores con esas mismas notas cualitativas: IN

(menos de 5), SF (5), B (6), N (7 y 8) y SB (9 y 10).


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4. Hemos preguntado a 20 alumnos de 3º de la ESO por el número de horas semanales que dedican al estudio, con los siguientes resultados: 6, 1, 5, 15, 20, 10, 6, 1, 12, 19, 15, 17, 22, 25, 9, 3, 2.5, 0, 4, 11

a) Agrupa los datos en cinco intervalos. b) Elabora una tabla de frecuencias en la que aparezca también la marca

de clase. Representa estos datos en un histograma. Dibuja también el polígono de frecuencias.

c) Determina la media de horas semanales de estudio. d) Halla el intervalo de la mediana y el intervalo modal. e) Calcula el recorrido y la desviación típica.

5. Se dan las series siguientes: X: 3, 4, 5, 25, 40 Y: 8, 8, 8, 21, 35

Z: 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6 Calcular la media aritmética, la mediana, la moda, la desviación media y la desviación típica de cada serie. ¿Cuál es la serie más dispersa?


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6. Calcular la media, moda y mediana a partir del siguiente polígono de frecuencias:

7. Indica cuáles de los siguientes experimentos corresponden a fenómenos deterministas y cuáles a fenómenos aleatorios:

a) Pesar a una persona en una báscula. b) Mezclar un ácido y una base. c) Determinar el peso de la primera persona que baje por la escalera a las

10 de la mañana. d) Determinar si una bombilla es defectuosa en una partida de 500

bombillas.

8. Sea M = 1 2 3 30, , , . . . , Se llama A al suceso “elegir múltiplo de 3” y B al suceso

“elegir múltiplo de 7”. Determinar los sucesos A, B, A B, A B, A B , y

A B .

9. Se ha lanzado una moneda 75 veces obteniéndose 43 caras. ¿Cuál es la

frecuencia relativa del suceso “salir cruz”?

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7


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10. Se lanzan al aire dos dados. Halla:

a) El espacio muestral. b) El suceso “la suma de puntos es 11”. c) La probabilidad del suceso “la suma de puntos es 11”.

11. Sacamos una carta de una baraja española. Calcula la probabilidad:

a) De que sea basto. b) De que sea una sota o un rey. c) De que sea espada o figura. d) De que no sea un caballo.

12. En una urna hay 4 bolas blancas, 2 rojas y 3 azules. Se extraen con

reemplazamiento, tres bolas, que resultan ser 2 blancas y 1 roja. A continuación se extrae otra bola. Calcula la probabilidad de que sea:

a) Blanca b) Roja c) Azul 13. En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han tomado carne 16 hombres y

20 mujeres, tomando pescado el resto. Si elegimos una persona al azar, a) ¿Qué probabilidad hay de que sea hombre? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya tomado pescado? c) ¿Qué probabilidad hay de que sea hombre y haya tomado pescado?

14. La probabilidad de un suceso es 0,2. ¿Cuál es la probabilidad del suceso

contrario?


25

15. Si en un dado tenemos que P(1) = P(2) = P(3) = 1/7 y P(4) = P(5) = P(6) = x. ¿Cuál es el valor de x?

16. Lanzamos tres monedas; ayudándote con el diagrama de árbol, calcula:

a) Probabilidad de sacar 3 caras. b) Probabilidad de sacar exactamente 1 cara. c) Probabilidad de sacar al menos 1 cara. d) Probabilidad de sacar más de 1 cara.


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F/ BIBLIOGRAFÍA

- Consultores de aula. - Hojas de cálculo: Excel - Parámetros estadísticos

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/descartes.htm

- Simulación de experimentos aleatorios: . Hoja de cálculo Excel con su función Aleatorio. . www.elosiodelosantos.com/menu.html - Las leyes del azar:

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/3.html http://roble.pntic.mec.es/%7Ejbrihueg/probl.htm#probabilidad

- Descartes: Programa informático del MEC http://www.cnice.mecd.es/Descartes/descartes.htm


http://www.elosiodelosantos.com/menu.html

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/3.html

http://roble.pntic.mec.es/~jbrihueg/probl.htm#probabilidad



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G/ REFUERZOS EDUCATIVOS

Alumno/a...........................................................................................Grupo..... Sistema de trabajo: individual, monitorías de carácter individual o grupal. Recursos: todos los utilizados en la unidad.

1. Repasa y estudia todos los “RECUERDA” que has encontrado en esta unidad.

2. Basándote en los contenidos propuestos al principio de la unidad y en lo estudiado antes, elabora un mapa conceptual (puedes ayudarte también con los que trae el libro)

3. Indica si las siguientes variables son cualitativas, cuantitativas discretas o cuantitativas continuas:

a) El color de los ojos. b) El número de hijos de una familia. c) El gasto de agua por unidad familiar.

4. Según el Instituto Galego de Estadística, los habitantes de derecho que viven en aldeas son aproximadamente 388.000 en A Coruña, 160.000 en Lugo, 29.000 en Ourense y 23.000 en Pontevedra. Si queremos entrevistar a 600 personas de las aldeas sobre el ganado, ¿qué muestra tendremos que tomar en cada provincia?

5. La tabla muestra los resultados del estudio realizado en las fincas de una región. En ella figuran la superficie en hectáreas y el número de fincas correspondiente.

Superficie 0 1, 1 2, 2 3, 3 5, 510, 10 15, 15 25,

Nº de fincas 54 70 58 108 210 140 80

a) Haz la tabla completa de frecuencias. b) ¿Qué porcentaje de fincas tiene una superficie inferior a 3

hectáreas? c) ¿Qué porcentaje tiene una superficie mayor a 10 hectáreas? d) Dibuja el histograma.

6. Aquí tienes una tabla con los resultados de lanzar 50 veces un dado.

Cara 1 2 3 4 5 6

Nº de veces 8 12 5 9 6 10


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a) Haz la tabla completa de frecuencias. b) Dibuja el diagrama de barras. c) Halla la media aritmética, la moda, la mediana, la desviación

media, la varianza y la desviación típica. d) Dibuja el diagrama de sectores considerando obtener dos

resultados: obtener par y obtener impar.

7. Halla la media, mediana y moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5 y 4

8. El profesor de Educación Física de 3º ESO ha recogido a lo largo de varios años los datos sobre la capacidad de sus alumnos para realizar flexiones de brazos sobre el suelo. Los resultados aparecen recogidos en la tabla.

Número de flexiones

Número de alumnos

[0, 5) 41

[5, 10) 43

[10,15) 61

[15,20) 56

[20,25) 32

[25,30) 11

[30,35) 04

[35,40) 01

[40,45) 01

a) Elabora la tabla de frecuencia con la marca de clase. b) Representa los datos mediante un histograma. c) Calcula la media aritmética, el intervalo modal, el intervalo de la

mediana, el recorrido, la desviación media y la desviación típica (Consulta, si lo necesitas, los ejemplos de la unidad del libro).

d) A la vista de los valores obtenidos, ¿la distribución es homogénea? Justifica la respuesta.

9. Se ha realizado un estudio sobre el número de hijos en 400 familias con los siguientes resultados:

Nº de hijos 0 1 2 3 4 5 6 Nº de familias 131 127 57 61 12 9 3

a) Calcula la media aritmética, la moda y la mediana. b) Halla el recorrido. c) Calcula la varianza y la desviación típica.


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10. Al pesar terneros se han obtenido los resultados de la tabla.

Peso

Terneros

[100,110) 2

[110,120) 4

[120,130) 5

[130,140) 15

[140,150) 12

[150,160) 0

[160,170) 2

a) Calcula la media aritmética, el intervalo modal y el intervalo de la

mediana. b) Recorrido. c) Varianza y desviación típica.

11. Sea el experimento de lanzar un dado y una moneda y observar sus caras superiores. Se pregunta: a) ¿Es un experimento aleatorio o determinista? b) ¿Cuál es su espacio muestral? c) ¿Cuál es su suceso seguro? d) ¿Cuál es el suceso contrario de “Salir par y cara”? e) ¿Cuál es el suceso contrario de “salir mayor que 2 y cruz”?

12. Se lanzan dos dados de distinto color y se observan los números de sus caras superiores. Si se llama A al suceso “su suma es menor que 7” y B al suceso “su diferencia es menor que 3”, escribir en forma de conjunto los siguientes sucesos:

a) A b) B c) A B d) A B

e) A B

f) A B

13. Dos equipos de baloncesto A y B acuerdan jugar una serie de partidos de forma que se proclama campeón el mejor de tres partidos (es decir el primero que gane dos). a) Describe el espacio muestral de las distintas situaciones que se

pueden presentar. b) ¿Qué es más probable, que gane A o que gane B?


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14. En el siguiente diagrama de barras se ha representado la antigüedad de los 60 coches de una comunidad de vecinos.

Dados los sucesos: A = antigüedad inferior a 3 años, B = antigüedad

superior a 4 años y C = antigüedad superior o igual a 2 años, estudia si A y B, A y C, B y C son compatibles o incompatibles.

15. Con los datos de la actividad anterior, calcula las frecuencias relativas de los siguientes sucesos

ä) A d) A g) A C j) A C

b) B e) B h) B C k) B C

c) C f) A B i) A B l) A B

16. En informática se usa como unidad de información el bit, que puede tomar dos valores 0 y 1. Continúa el siguiente diagrama de árbol para encontrar todas las cadenas formadas por 4 bits.

a) ¿Qué probabilidad hay de que tenga sólo dos bits 1? b) ¿Y de qué tenga exactamente tres bits 0? c) ¿Qué probabilidad hay de que tres bits sean iguales? d) ¿Y de que haya dos bits 1 y dos bits 0?

17. De una baraja española de 40 cartas hemos separado los ases y los reyes. Con este grupo de cartas realizamos el experimento de sacar dos cartas.

a) ¿Cuál es el espacio muestral? b) Escribe un suceso imposible de este experimento. c) Los sucesos sacar oros y sacar rey, ¿cómo son? d) ¿Qué sucesos componen la unión de los sucesos sacar oro y

sacar rey? e) ¿Qué sucesos elementales forman el suceso sacar dos reyes? f) ¿Y el suceso sacar oros?


31

18. En una baraja se realizan tres extracciones sucesivas, introduciendo en la baraja, cada vez, la carta extraída. a) ¿Son sucesos dependientes los resultados de sacar,

sucesivamente, rey, sota y as? b) ¿Y en el caso en que no haya devolución de la carta extraída? c) ¿Cuál es la P(espada o copa)? d) ¿Cuál es la P(espada o rey)? e) ¿Cuál es la P(espada y rey)? f) ¿Cuál es la P(no obtener espada)? g) ¿Cuál es la P(un cuatro o un seis)? h) ¿Cuál es la P(el rey de oros)? i) ¿Cuál es la P(una carta menor que 5)?

19. En una urna hay tres bolas numeradas del 1 al 3. Se sacan una tras otra las tres. a) Escribe el suceso “el primer nº que sale es 3”. Halla su

probabilidad. b) Escribe el suceso contrario al anterior. Halla su probabilidad. c) ¿Cuánto suman las dos probabilidades? ¿Por qué?

20. En una urna hay cuatro bolas numeradas del 1 al 4. Se sacan dos bolas a la vez. a) Escribe los sucesos que forman el espacio muestral. b) Halla la probabilidad del suceso las dos bolas tienen nº par. c) Escribe el suceso las dos bolas tienen nº impar. Halla su

probabilidad. ¿Es este suceso contrario al del caso anterior?

21. Observa el desarrollo del dado de quinielas de la figura e indica qué resultado será el más fácil de obtener y cuál el más difícil. ¿Los sucesos son equiprobables?.

22. La plantilla de un equipo de fútbol está formada por 25 jugadores: 6 delanteros, 7 centrocampistas, 9 defensas y 3 porteros. Si se toma un jugador al azar. a) ¿Qué probabilidad hay de que sea un defensa? b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea un portero? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un delantero o un

centrocampista?


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H/ AMPLIACIONES

Alumno/a..............................................................................................Grupo.....

Sistema de trabajo: individual. Recursos: Todos los utilizados en la unidad

1. Un diario publicó esta información: CAUSAS DE ACCIDENTES MORTALES

a) ¿Cuántas personas murieron por cada una de las causas? b) El 75% de las distracciones son fruto de la euforia o de la lentitud de

reflejos que producen el alcohol y otras drogas. Según esto, ¿qué porcentaje de accidentes está relacionado con el alcohol y las drogas?

2. La tabla muestra algunos datos sobre el número de televisores por hogar, obtenidos de una muestra de 200 hogares elegidos al azar, usando la guía de teléfonos.

Nº de televisores

0

1

2

3

4

5

f i 120 3

h i 0,05 0,01

% 27,5

Completa la tabla con todos los tipos de frecuencias.

38%

15%19%

28%

Alcohol y drogas

Maniobras antirreglamentarias

Velocidad inadecuada

Distracciones


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3. En el año 1997 el cambio del dólar frente a la peseta y la lira tuvo estos valores:

pesetas: X = 126,7 = 2,16

lira: X = 1.540,4 = 23,3 a) ¿Cuál de las dos monedas se mantuvo más estable frente al

dólar? b) Compara sus coeficientes de variación.

4. ¿Qué le ocurre a la media aritmética y a la desviación típica, si a todos los datos les sumamos un mismo número? ¿Y si se les multiplica por un mismo número?

Comprueba tu conjetura con estos datos: 3, 5, 6, 3, 4, 2, 3.

5. Sabemos que para mañana la probabilidad de que haga sol es de 0,6, la probabilidad de que haga viento es de 0,3 y la probabilidad de que haga sol y viento de 0,1. Calcula:

a) La probabilidad de que haga sol o viento. b) La probabilidad de que no haga ni sol ni viento. c) La probabilidad de que haga sol y no viento. d) La probabilidad de que haga viento y no sol.

6. Se lanzan dos dados de 8 caras y se suman los puntos. ¿Son equiprobables los sucesos elementales? En caso contrario, ¿qué puntuación tiene más probabilidad de salir?

7. En un centro escolar, los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera, entre inglés o francés. En un determinado curso, el 90% estudia inglés, y el resto, francés. El 30 % de los que estudian inglés son varones, y de los que estudian francés, son chicos el 40 %. Elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

3º de educaciÓn secundaria obligatoria - … · a partir de entonces y con la ayuda del cálculo...

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