3º teorema del valor medio

Teorema del valor medio o de Lagrange Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en todo punto del intervalo abierto (a,b), entonces existe al menos un punto c donde f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a), es decir: Sea f(x) continua en [a,b], derivable en (a,b), entonces c ! (a,b) / f ( c )= f ( b ) − f ( a ) b −a "ntonces, el teorema expresa #ue existe al menos un punto en el intervalo (a,b) donde la tan$ente a la curva es paralela a la recta #ue pasa por % y & Demostración: amos a denir la recta #ue pasa por los puntos % y &, #ue #uedan denidos por: % : (a,f(a)) & : (b,f(b)) *ue$o la recta es: y ( x )=f ( a ) + f ( b ) − f ( a ) b −a ( x −a ) +enimos aora una funcin auxiliar $: $(x) = f(x) . y(x) omo f(x) es continua en [a,b], diferenciable en (a,b), tambi0n lo es y(x) y a su ve1 $(x) *a funcin $(x) adem2s verica las condiciones del teorema de 3olle, puesto #ue $(a) = $(b) = 4 5or dico teorema, sabemos #ue ay un punto c donde $6(c) = 4 *ue$o: g ' ( x ) = f ' ( x ) − y ' ( x )=f ' ( x ) − f ( b )− f ( a) b −a

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Teorema del valor medio, campo de cálculo o análisis de las matemáticas, demostrado detalladamente.

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Teorema del valor medio o de Lagrange

Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en todo punto del intervalo abierto (a,b), entonces existe al menos un punto c donde f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a), es decir:

Sea f(x) continua en [a,b], derivable en (a,b), entonces c (a,b) /

Entonces, el teorema expresa que existe al menos un punto en el intervalo (a,b) donde la tangente a la curva es paralela a la recta que pasa por A y B.

Demostracin:

Vamos a definir la recta que pasa por los puntos A y B, que quedan definidos por:

A : (a,f(a))B : (b,f(b))

Luego la recta es:

Definimos ahora una funcin auxiliar g: g(x) = f(x) y(x)

Como f(x) es continua en [a,b], diferenciable en (a,b), tambin lo es y(x) y a su vez g(x). La funcin g(x) adems verifica las condiciones del teorema de Rolle, puesto que g(a) = g(b) = 0. Por dicho teorema, sabemos que hay un punto c donde g(c) = 0. Luego:

Evaluada en el punto c:

Queda entonces demostrado el teorema.

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