3.vectores en el plano
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3.1. Sistemas de referencia3.2. Funciones y gráficas 3.3. Resolución de triángulos rectángulos 3.4. Magnitudes escalares y vectoriales 3.5. Vectores en el plano 3.6. Formas de expresión y transformaciones
Dr. Segundo Morocho C.10 de enero de 2012
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SISTEMAS DE REFERENCIAAquello a lo que nos vamos a referir para determinar la posición de un objeto
SISTEMA UNIDIMENSIONAL
Constituido por una recta, un origen y un sentido positivo y negativo.
Y P
P (x)
P (5) Y (-2)
Relación biunívoca (uno a uno), para cada valor hay uno y solo un punto en la recta y viceversa
Dr. Segundo Morocho C.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
10 de enero de 2012
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Dr. Segundo Morocho C.
SISTEMA BIDIMENSIONAL
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
La posición de un punto en el plano queda determinado por un par de números ordenados (x, y), llamados coordenadas rectangulares que corresponden a la intersección de una abscisa (x) y una ordenada (y).También hay una relación biunívoca entre un par ordenado y un punto en el plano y viceversaEjemplo 1: Representar la posición de los siguientes puntos en el planoA(5,1) B(-4,4) C(2,-4) D(-1,-3) E(4,-6) F(7,3)
G(-5,-5) H(-3,6) I(4,0) J(0,2) K(-6,0) L(0,-2)
Y (+)
2do
CUADRANTE 1er
CUADRANTE
(-) o X (+)
3er
CUADRANTE 4to
CUADRANTE
(-)
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L a representación en el sistema de coordenadas rectangulares es:
Determine que coordenadasrectangulares representan lossiguientes puntos:
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H
B
F
J
A
K
I
L
D
C
G
E
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
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SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
Eje numérico de referencia X denominado eje polar
La posición de un punto quedadeterminada por un parordenado (r, Φ), donde:
r es el radio vector y representa ladistancia positiva del origen alpunto y,
Φ es el ángulo polar y representala medida del ángulo desde el ejepolar hasta el radiovector, medido en sentidoantihorario.
También hay una relaciónbiunívoca entre un par ordenadoy un punto en el plano yviceversa
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r
Φ
o X (0°)
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Ejemplo: Determinar que coordenadas polares representan los siguientes puntos:
Ejemplo 1: Representar la posición de los siguientes puntos en el plano
A(50 km,120°)
B(20km,330°)
C(40km,45°)
D(30km,220°)
E(10km,180°)
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A y
15m B
40°
60° 10m C 5m 40°
x 45°
D
7m
12m 20°
E
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SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRAFICASDos ejes perpendiculares entre sí, éstos dividen al plano en los cuatro puntos cardinales.
La posición de un punto queda determinada por un par ordenado (r, rumbo), donde:
r representa la distancia positiva del origen al punto y,
rumbo representa la dirección medida a partir del Norte o Sur.
También hay una relación biunívoca entre un par ordenado y un punto en el plano y viceversa
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N
O E
s
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Ejemplo 2: Determinar quecoordenadas geográficas representanlos siguientes puntos:
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Ejemplo 1: Representar la posición de los siguientes puntos en el plano:
A(10kgf, S40°O)
B(4kgf,N30°E)
C(8kgf,S20°E)
D(6kgf,N60°O)
E(12kgf,SE)
F(5kgf, O)
N
A
100km
B 40°
80km 120km C
O 10° 15° E
45° 60km
70km 70° D
E
s
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SISTEMA TRIDIMENSIONAL
Esta constituido por tres ejes perpendiculares que se cortan entre sí, un origen. El espacio se ha dividido en 8 partes (octeto). Este sistema sirve para ubicar puntos en el espacio.
Para ubicar un punto se necesita tres valores (terna ordenada):
P (x, y, z)
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y
x
z
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FUNCIONES Y GRAFICAS
FUNCION.-
Al estudiar los fenómenos que se producen en la naturaleza, se comprueban queen ellos, generalmente hay dos (o más) magnitudes relacionadas entre sí. Estosignifica que al variar una de las magnitudes, la otra también cambia.
EJEMPLOS 1. La longitud de un tramo de riel de acero aumenta cuando se eleva su
temperatura.
2. La fuerza que un imán ejerce sobre un clavo disminuye cuando aumentamosla distancia entre ambos, etc.
Cuando esto sucede, es decir, cuando las magnitudes están relacionadas, decimosque una es función de la otra.
Así la longitud del riel es función de su temperatura, y la fuerza que el imán
ejerce sobre el clavo es también función de su distancia
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Se dice que una magnitud y (llamada variabledependiente) es una función de otra magnitud x(llamada variable independiente), cuando su valor esdeterminado por el valor de la x.
Una función se escribirá simbólicamente: y = f(x)
Y = 3X Y = 2X3 + 5 Y = X2
Toda ecuación es función pero no toda función es ecuación.
GRAFICOS
Es la representación lineal de una función en un sistema de coordenadas rectangulares.
Tiene una relación de indicativo.
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FUNCION DIRECTAMENTE PROPORCIONAL
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando su cociente esconstante, de modo que al aumentar una, la otra tambiénaumenta (en el mismo orden de magnitud) y recíprocamente.
Si x e y son dos magnitudes directamente proporcionales, debe cumplirseque:
Esto significa que: y es directamente proporcional a x.
Constante de proporcionalidad
Se llama así al cociente entre las dos magnitudes (k)
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kxykx
y o
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EJEMPLOS
1. Una persona al recoger el agua que sale de una manguera, obtiene los siguientes datos:
En 5 segundos (s) recoge 15 litros (lt)
En 10 s recoge 30 lt
En 30 s recoge 90 lt, etc.
a) Podemos decir que hay una proporción directa entre el volumen de agua y el tiempo empleado en la operación.
Si
b) ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad entre las magnitudes?
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s
l
s
l
s
l
30
90
10
30
5
15
S
Lk
s
lk TAMBIÉN 3
5
15
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2. Al soltar un cuerpo desde cierta altura obtuvimos los siguientes datos:
En un tiempo t1 = 1 s recorrió una distancia d1 = 5 m
En un tiempo t2 = 2 s recorrió una distancia d2 = 20 m
En un tiempo t3 = 3 s recorrió una distancia d3 = 45 m
¿Podemos decir que la distancia recorrida d es directamente proporcional al tiempo de caída t?
No
Por tanto en este caso la distancia no es directamente proporcional al tiempo.
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s
m
s
m
s
m
3
45
2
20
1
5
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PROCEDIMIENTO PARA GRAFICAR UNA FUNCIÓN
Paso 1. Se elabora una tabla de datos, que se disponen en forma detablero a dos columnas o filas.
Paso 2. Para cada par de la tabla de datos, se dibuja, en el plano unpunto.
Paso 3. Se unen estos puntos por una línea de curvatura suave.
EJEMPLOS:
1. Al graficar la función y = ax obtenemos una recta que pasa porel origen, por lo que se dice que es una relación de proporcionalidad
directa.
El coeficiente a se llama pendiente (m = constante) y da la
inclinación de la recta con respecto a los ejes.
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Si a es + la recta esta en los cuadrantes 1 y 3
Si a es – la recta esta en los cuadrantes 2 y 4
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Al graficar la función y = ax + b; obtenemos una recta, tambiénnos indica una relación de proporcionalidad directa.El término b da el desplazamiento (sobre el eje y) del origen a larecta
Si b es – el desplazamiento es hacia abajo
-b
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Si b es + el desplazamiento es hacia arriba
+b
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Deducción de ecuaciones lineales
Y 4 8 16 40
x 1 2 4 10
Y 6 10 18 14
X 1 2 4 3
Y 3 4 10
X 1 2 8
y 2 0 -4
x 5 3 -1
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Y 7 21 70
X 1 3 10
y 2 5 9
x 6 15 27
y 1 4 10
x 0 1 3
y -12 -2 18
x -2 0 4
Deducción de ecuaciones lineales
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PROPORCIÓN INVERSA.
Dos magnitudes son inversamente proporcionalescuando su producto es constante, de modo que alaumentar una, la otra disminuye (en el mismo ordende magnitud) y recíprocamente.
Esto significa que:
y es inversamente proporcional a x.
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x
kykxy o
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EJEMPLOS
1. Supongamos que una persona realiza un viaje por automóvil en unadistancia de 180km entre una ciudad y otra. Sea x la velocidad delauto e y el tiempo transcurrido en el viaje, es fácil concluir que:
Si x = 30km/h y = 6h
Si x = 60km/h y = 3h
Si x = 90km/h y = 2h, etc.
El tiempo de viaje entre las dos ciudades es inversamente proporcional a la velocidad desarrollada.
La constante es:k = 30X60 = 180Km
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Al graficar una función de este tipo se tienen las siguientes características:
Su gráfica es una curva que se denomina hipérbola
Al graficar la variable dependiente con el recíproco de la variableindependiente se obtiene una recta (Linealizar)
Si a es positivo la hipérbola se encuentra en el primer cuadrante ysi a es negativo la curva se encuentra en el cuarto cuadrante
Los ejes x e y se dicen asíntotas (por más que se prolonguen lacurva nunca los llega a alcanzar) de la hipérbola
EJEMPLOS.- Graficar:
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x
ay
m
l20
l
R100
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FUNCION DIRECTA CON LOS CUADRADOS
Una Función de este tipo es y = ax2, tiene las siguientes características:
y es directamente proporcional a x2
su gráfica es una curva que se denomina parábola
al graficar la variable dependiente con el cuadrado de la variable independiente se obtiene una recta (Linealizar)
La constante (pendiente de la recta) se obtiene dividiendo y para x2
Si a es positivo las ramas se abren hacia arriba y si a es negativo las ramas se abren hacia abajo.
EJEMPLOS.- Graficar: y = 6x2
t = - 65x2
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RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS RECTÁNGULOS
Seis elementos: 3 lados, dos ángulos agudos y un ángulo recto
A
α
c
b
β
B
a
C
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Para resolver un triángulo rectángulo se aplica:
a) TEOREMA DE PITAGORAS:
El cuadrado de la medida de la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.
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222 bac
22 bac
22 bca
22 acb
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b) FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO
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FUNCION SIMBOLO DEFINICION FORMULA
Seno sen α
Coseno cos α
Tangente tan α
hipotenusa
adyacentecateto
adyacentecateto
opuestocateto
hipotenusa
opuestocateto
c
a
c
b
b
a
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EJEMPLOS
1. En el triángulo ABC, determinar:
a) B en términos de a, b
b) b en términos de a, c
c) a en términos de c, C
d) C en términos de b, c
e) b en términos de c, B
f) c en términos de a, C
2. Resolver el triángulo rectángulo:
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C
a
b
A c B
X y = 22cm Z
28°
z x
Y
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3. Resolver el triángulo rectángulo:
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c=37m
E D
d
e=52m
C
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MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES MAGNITUD ESCALAR
Es la magnitud física representada por un número real positivo onegativo acompañado del nombre de la unidad
EJEMPLOS:Longitud: 10m Temperatura: 23°K = -250°CTiempo: 15s Energía: 10JMasa: 10Kg Carga eléctrica: 2C
MAGNITUD VECTORIALEs la magnitud física que para su representación requiere se indique
tamaño (módulo o magnitud), dirección y sentido;acompañado del nombre de la unidad.
EJEMPLOS:Desplazamiento: 10m al norte Fuerza: 5Kgf, 125°Velocidad: ; S70°O Aceleración:
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REPRESENTACION GRAFICA DE UNA MAGNITUD VECTORIAL
Las cantidades vectoriales son representadas gráficamente por flechasllamadas vectores.
Los vectores sonsegmentosorientados
Todo vector quedadeterminado por:
Tamaño; representa en una escala seleccionada su valor numérico(módulo o magnitud)
Dirección; ángulo (θ)que forma el vector con el eje +x en sentido antihorario
Sentido; es la saeta (punta de flecha)
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b
B
A θ
a
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NOTAS: En un vector se distinguen también su origen (punto A) y su extremo
(punto B)
Línea de acción del vector, es la recta a lo largo de la cual esta dirigido elvector (recta ab)
Los vectores se representan con letras mayúsculas y una flecha en laparte superior
El módulo del vector se representa con la misma letra pero sin flecha
10 de enero de 2012 Dr. Segundo Morocho C.
b
B
A θ
a
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EJERCICIOS
1. Representar gráficamente los siguientes vectores
10 de enero de 2012 Dr. Segundo Morocho C.
);15( SmA
)140;50( KgfB
)70;40( ESh
KmC
)225;28( cmD
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2. Determinar el módulo y dirección de los siguientes vectores
10 de enero de 2012 Dr. Segundo Morocho C.
N y
M
h
Km20 45°
O E 80° x
3m
S N
N y
P
500Km
35°
O E 45° x
45cm
S Q
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CLASES DE VECTORES
VECTOR LIBRE.- Cuando el punto de aplicación (origen) se trasladaa cualquier punto sin alterar el efecto de su acción
VECTOR DESLIZANTE.- Es aquel en que el punto de aplicación se
traslada a lo largo de su línea de acción
10 de enero de 2012 Dr. Segundo Morocho C.
P
P
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CLASES DE VECTORES
VECTOR FIJO.- Cuando no se puede mover el punto de aplicación
VECTORES IGUALES.- Cuando tienen la misma
magnitud, dirección y sentido
10 de enero de 2012 Dr. Segundo Morocho C.
P
R
T
TR
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CLASES DE VECTORES
VECTOR NEGATIVO.- (Opuesto de otro dado).- Si tienen la misma
magnitud, la misma dirección pero sentido opuesto
VECTOR NULO.- Es aquel en el cual el origen y el extremo
coinciden, En este caso su módulo es igual a cero, carece de dirección ysentido
10 de enero de 2012 Dr. Segundo Morocho C.
H
H
o
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CLASES DE VECTORES
VECTOR UNITARIO.- Es aquel cuyo módulo es 1
Para obtener un vector unitario se divide el vector para su módulo
Por tanto
El tiene la misma dirección y sentido que el y
no tiene unidades
10 de enero de 2012 Dr. Segundo Morocho C.
A
AU A
AUAA
AU
A
A
AU
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DESCOMPOSICION DE UN VECTOR EN EL PLANO
y
α
x
Módulo de un vector
Dirección en función de sus componentes
10 de enero de 2012 Dr. Segundo Morocho C.
yA
xA
A
yx AAA ,
coscos AAxA
Ax
AsenAyA
Aysen
22
yx AAA
x
y
A
Atan
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ANGULOSDIRECTORES
Son aquellos que forman el vector con los ejes positivos x e y de un sistema
de coordenadas rectangulares, varían entre 0° y 180°, no existe
convención para el giro
Los ángulos directores en el plano son:
α es el que forma el vector con el eje positivo de las x
β es el que forma el vector con el eje positivo de las y
y
β
α
x
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P
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VECTORES BASE O UNITARIOS NORMALIZADOS
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yA
xA
i
j
iA
AU
x
xAx
jA
AU
y
y
Ax
jAiAA yx
jiU A
coscos
A
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EJERCICIOS
1.- La magnitud de un vector es 8cm, y forma un ángulo de 35° con elsentido positivo del eje x. Determinar:
a) Las componentes del vector
b) Las coordenadas del vector
c) Los ángulos directores
d) El vector en función de los vectores base
e) El vector unitario
2. Dado el vector , determinar:
a) Las componentes rectangulares del vector
b) Las coordenadas del punto extremo del vector
c) El módulo del vector
d) La dirección
e) Los ángulos directores
f) El vector unitario
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P
KgfjiF )47(
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3. El módulo de un vector es 12Km y su vector unitarioDeterminar:
a) El valor de m
b) Los ángulos directores
c) El vector en función de sus vectores base
d) Las componentes rectangulares del vector
e) Las coordenadas del punto extremo del vector
f) La dirección
4. El módulo de un vector es 30m y tiene como ángulos directoresα = 65° y β = 155°. Determinar:
a) El vector unitario
b) El vector en función de los vectores base
c) Las componentes rectangulares del vector
d) Las coordenadas del punto extremo del vector
e) La dirección
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H
G
)342,0( jmiUH
EJERCICIOS
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5. El módulo del vector es 17cm, y forma un ángulo de 215° con el ejepositivo de las x. Determinar:
a) Los ángulos directores
b) Las componentes rectangulares del vector
c) Las coordenadas del punto extremo del vector
d) La dirección
e) El vector en función de los vectores base
f) El vector unitario
6. Las coordenadas de los puntos inicial y final del vector son (3,2)my (-5,-2)m respectivamente. Determinar:
a) Las componentes del vector
b) El módulo
c) La dirección (rumbo)
d) Los ángulos directores
e) El vector en función de los vectores base
f) El vector unitario
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M
Q
EJERCICIOS
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FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS TRANSFORMACIONES
1. EN FUNCIÓN DE SU MODULOY ÁNGULO
Coordenadas polares
A es el módulo del vector
θ ángulo medido desde el eje +Xhasta el vector en sentidoantihorario
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EJEMPLO
y
8Kgf
125°
x
);(FF
)125;8( KgfF
F
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FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS TRANSFORMACIONES
2. EN FUNCIÓN DE SUSCOORDENADASRECTANGULARES
Donde:
Coordenadas del punto extremo
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EJEMPLO
y
x
);( yx GGG
ycomoasix GG
mG )5;3(
G
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FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS TRANSFORMACIONES
3. EN FUNCIÓN DE LOSVECTORES BASE
Donde:
Componentes rectangulares delvector
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EJEMPLO
y
x
y
comoasí
X CC
)( jCiCC yX
KmjiC )37(
C
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FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS TRANSFORMACIONES
4. EN FUNCIÓN DE SUSCOORDENADASGEOGRAFICAS
Donde:
D es el módulo del vector
Rumbo es la dirección
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EJEMPLO
N
250cm
25°
O E
S
);( rumboDD
)25;250( ENcmD
D
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FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS TRANSFORMACIONES
5. EN FUNCIÓN DE SU MODULOY SU UNITARIO
Donde:
E es el módulo del vector
Es el vector unitario del
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EJEMPLO
EUEE
EU
E
)843,0538,0(27 jiKgfE
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