4 第四章 矩阵 学时: 18 学时。 教学手段:...
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高等代数
4
矩阵
第四章 矩阵 学时:
18 学时。 教学手段:
讲授和讨论相结合,学生课堂练习,演练习题与辅导答疑相结合。 基本内容和教学目的:
基本内容: 矩阵的运算,可逆矩阵,初等矩阵及其性质和意义,分块矩阵。
教学目的: 1 .使学生理解和掌握矩阵等价的相关理论 2 .能熟练地进行矩阵的各种运算 ( 包括求逆,分块等 )
本章的重点和难点:掌握矩阵的运算以及它们的运算规律;伴随矩阵的概念及其在矩
阵求逆中的应用;基本关系式的应用;初等方阵的概念,性质和应用;矩阵的分块及意义。
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矩阵
4.2 矩阵的运算
高等代数
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矩阵
一、 矩阵的加法11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 ,
( ) , ( )
( )
n n
n nij nn ij sn
s s sn s s sn
n n
n nij sn ij ij sn
P s n A B
a a a b b b
a a a b b bA a B b
a a a b b b
a b a b a b
a b a b a bC c a b
定义 设数域 上的 矩阵 为
,则
矩阵 ( )
1 1 2 2s s s s sn sna b a b a b
A B C A B
称为矩阵
和 的和,记为
矩阵加法 : 1. 具有相同行、列数的矩阵 ( 即同型矩阵 ) 方可相加; 2. 同型矩阵 A, B 的对应元素相加组成同型矩阵 A + B.
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矩阵
1. ( ) ( )
2.
( )
(
3. (0) ,
0
4.
)
)
( )
( 0
i
sn sn
i j snj sn
A B C A B C
A B B A
O O
A A
A a
A B A
a A
A
B
A
性质 ;;
元素全为零的矩阵称为 ,记为 简记为
;矩阵 称为 ,记为
零矩阵
矩阵 的负矩阵
矩阵减法运算:;
* 由此引入
例 . 由产地 A1 , A2 调运大米和面粉到销地 B1 , B2 , B3
的数量(吨)分别如 A , B 矩阵所示,则调运粮食总量可以由矩阵如下 A + B 给出 . (见下页)
高等代数
4
矩阵
1 2 3 1 2 3
1 1
2 2
1 2 3
1
2
3 7 2 1 2 4
2 1 3 3 1 2
3 7 2 1 2 4
2 1 3 3 1 2
3 1 7 2 2 4 4 9 6
2 3 1 1 3 2 5 2 5
A B
A B
B B B B B B
A A
A A
B B B
A
A
高等代数
4
矩阵
11 12 1
21 22 21 2
1 2
11 12 1
21 22 21 2
1 2
( ) 1 2 1 2
11 12 1
21 22 2
( , , , ) ,
( , , , ) ,
( , ) ( , , , , , , , )
n
nsn n
s s sn
m
msm m
s s sm
s m n sn sm n m
n
n
a a a
a a aA
a a a
b b b
b b bB
b b b
C A B
a a a
a a a
设矩阵
定 矩
补
义 阵
充:
11 12 1
21 22 2
1 2 1 2
m
m
s s sn s s sm
b b b
b b b
a a a b b b
高等代数
4
矩阵
性质 5 max{r(A), r(B)}≤r(A, B)≤r(A) + r(B).
特别: r(A)≤r(A,β)≤r(A) + 1 , β为非零列向量 .
证明:矩阵 A 的最高阶非零子式总是 (A, B) 的非零子式 → r(A)≤r(A, B). 同理可以推出 r(B)≤r(A, B) →
max(r(A), r(B))≤r(A, B). 设 r(A) = r, r(B) = t, 把 A , B 分别作列变换化成列阶
梯形矩阵 A, B , 则 A , B 分别含 r 个和 t 个非零列,可设
A→A = (α1,···,αr,0, ···, 0) ; B→B = (β1, ···,βt, 0, ···, 0),
即矩阵 (A, B) 经过列变换化成为 (A , B) ,而 (A , B) 中只含有 r + t 个非零列 → r(A , B)≤ r + t → r(A, B) =
r(A , B)≤ r + t ,即 r(A,B) ≤ r + t .
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矩阵
性质 6 r(A + B)≤r(A) + r(B)
证明: 设 A , B 均为 s×n 矩阵,且 A = (α1, α2, ···, αn), B = (β1, β2, ···, βn).对矩阵 (A + B, B) = (α1 +β1, α2+ β2, ···, αn+ βn, β1, β2, ···, βn)
作列变换: ( - 1)×cn+i + ci 上,则将矩阵 (A + B, B) 化成矩阵 (A, B), 于是据性质 6 ,就有 r(A + B)≤r(A + B, B) = r(A, B)≤r(A) + r(B).
矩阵加法满足结合律,交换律;减法作为加法的逆运算,不是一个独立的运算;矩阵加 ( 减 ) 法中有关秩的性质 5 , 6 是不同于我们以往所学代数运算性质研究的两个独特的性质,应特别予以重视 .
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矩阵
二 矩阵乘法
定义 2 前提: ( ) , ( )ik sn kj nmA a B b ;
法则: AB = C ( )ij smc ,其中 1 1 2 21
n
ij i j i j in nj ik kjk
c a b a b a b a b
称 C为 A,B的乘积.
矩阵乘法的意义: 1 1 2 21
n
ij ik kj i j i j in njk
c a b a b a b a b
;
11 12 111 1 1
21 2 2
1 2
1
1 2
nj n
j n
i i in ij
s sj sn
s s sn
a a ab b b
b b bAB a a ai c i
b b ba a a
j j
.
高等代数
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矩阵
0 3 41 0 1 2
1 2 11 1 3 0 , ,
3 1 10 5 1 4
1 2 1
0 3 41 0 1 2
1 2 11 1 3 0
3 1 10 5 1 4
1 2 1
1 0 0 1 ( 1) 3 2 ( 1) 6 7
( 1) 0 1 1 3 3 0 1 2 6 .
0 0 5 1 ( 1) 3 4 1 17 10
A B
C AB
例1
矩阵乘法: 两矩阵 A = (aik) , B = (bkj) 相乘为 AB = (cij)1. A 的列数 = B 的行数,两矩阵 A , B 方可相乘;2. AB 的第 i 行、第 j 列元素 cij 等于 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素乘积的和 .
高等代数
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矩阵
实例: 设
1 11 1 12 2 13 3
2 21 1 22 2 23 3
3 31 1 32 2 33 3
4 41 1 42 2 43 3
x a y a y a y
x a y a y a y
x a y a y a y
x a y a y a y
(1) 3
1
( 1,2,3,4)i ik kk
x a y i
;
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
3 31 1 32 2
y b z b z
y b z b z
y b z b z
(2) 2
1
( 1,2,3)k kj jj
y b z k
→ 问题:确定 1 2 3 4, , ,x x x x 与 1 2,z z 的关系.
解: 3 3 2 3 2 2 3
1 1 1 1 1 1 1
( )i ik k ik kj j ik kj j ik kj jk k j k j j k
x a y a b z a b z a b z
2 3
1 1
( )ik kj jj k
a b z
2
1ij j
j
c z
( 1,2,3,4i ) → 即
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4
矩阵
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
3 31 1 32 2
4 41 1 42 2
x c z c z
x c z c z
x c z c z
x c z c z
(3) , 其中1
n
ij ik kjk
c a b
( 1,2,3,4i ; 1,2j ).
换一个角度认识问题:
设
1
2
3
4
x
xX
x
x
,
11 12 13
21 22 23
31 32 33
41 42 43
a a a
a a aA
a a a
a a a
,1
2
3
y
Y y
y
, 11 12
21 22
31 32
b b
B b b
b b
, 1
2
zZ
z
→ (1) X AY ; (2) Y BZ (验证)
→ ( ) ( )X AY A BZ AB Z CZ ,即
1
2
3
4
x
xX
x
x
11 12 1311 12
21 22 23 121 22
31 32 33 231 32
41 42 43
( )
a a ab b
a a a zb b
a a a zb b
a a a
11 12
21 22 1
31 32 2
41 42
c c
c c z
c c z
c c
(3) .
11 12 13 11 1 12 2 13 311
21 22 23 21 1 22 2 23 322
31 32 33 31 1 32 2 33 333
41 42 43 41 1 42 2 43 34
a a a a y a y a yxy
a a a a y a y a yxy
a a a a y a y a yxy
a a a a y a y a yx
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矩阵
例2 一般线性方程组
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
s s sn n s
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
(1)
若取列向量为
11 12 1 1
21 22 2 21 2
1 2
, , , ,
n
nn
s s sn s
a a a b
a a a b
a a a b
,则(1)可表为
1 1 2 2 n nx x x (向量表达式) (2)
若取
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
s s sn
a a a
a a aA
a a a
,
1
2
n
x
xX
x
,
1
2
s
b
bB
b
,则(1)可表为
AX B (矩阵表达式) (3)
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
s s sn n s
a a a x b
a a a x bAX B
a a a x b
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矩阵
例3 空间中,设由坐标系 1 1 1( , , )x y z 到坐标系 2 2 2( , , )x y z 的坐标旋转公式:
1 11 2 12 2 13 2
1 21 2 22 2 23 2
1 31 2 32 2 33 2
x a x a y a z
y a x a y a z
z a x a y a z
,则它与矩阵表达式 1 2X AX 是一致的.其中
1
1 1
1
x
X y
z
, 2
2 2
2
x
X y
z
, 11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
→ 若再作一次坐标轴的旋转, 设
由第二个坐标系 2 2 2( , , )x y z 到第三个坐标系 3 3 3( , , )x y z 的坐标旋转公式为
2 3X BX ,则由 1 1 1( , , )x y z 到坐标系 3 3 3( , , )x y z 的坐标变换公式为 1 3( )X AB X .
1 11 12 13 2
1 1 21 22 23 2 2
1 31 32 33 2
x a a a x
X y a a a y AX
z a a a z
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4
矩阵
x ·M y1 y2 x2
x1
θ φ x Y
实例:将直角坐标系 xoy 旋转 θ 度到 x1oy1, 再旋转 φ 度到x2oy2 . 设 M 点在三个坐标系下的坐标依次为 (x,y),
(x1,y1),(x2,y2) ,利用平面解析几何的坐标旋转公式有
1 1 1
1 1 1
1 2 2 1 2
1 2 2 1 2
cos sin
sin cos
cos sin
sin cos
cos sin
sin cos
cos sin
sin cos
x x y xxA
y x y yy
x x y x xB
y x y y y
A
B
其中
高等代数
4
矩阵
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
( cos sin )cos ( sin cos )sin
(cos cos sin sin ) (sin cos cos sin )
cos( ) sin( ).
sin( ) cos( )
cos( ) sin( )
sin( ) o (
,
c s )
x x y
y x y
x x y x y
x y
x y
y x y
x
y
于是
类似可得即
若用矩阵表示,则有 1 2 2
1 2 2
( ) ( ) ,
cos sin cos sin
sin cos sin cos
cos cos sin sin cos sin sin cos
sin cos cos sin sin sin cos cos
cos( ) sin( )
sin(
x x xA A B AB
y y y
AB
其中
2
2
cos( ) sin( )
s
,) cos(
in( ) cos( )
)
.xx
yy
即
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4
矩阵
性质 1 ( ) ( )AB C A BC (矩阵的乘法满足结合律)
证明: 设 ( ) ,ij snA a ( ) ,jk nmB b ( )kl mrC c → 分两步进行:
① 左,右运算所得矩阵同类型(行,列对应相同).
( ) , ( ) ,ik smAB C VC V AB v VC s r 其 进而 是 矩阵 .
( ) , ( ) ,jl nrA BC AW W BC w AW s r 其 进而 是 矩阵 .
→ 故左,右两矩阵均为 s r 矩阵.
② 1 1 1 1 1
( )m m n m n
ik kl ij jk kl ij jk klk k j k j
VC i l v c a b c a b c
中第 行第 列元素 (7)
1 1 1 1 1
( )n n m n m
ij jl ij jk kl ij jk klj j k j k
AW i l a w a b c a b c
中第 行第 列元素 (8)
→ 由 符号的交换性可知 (7) = (8) , 故有结合律成立.
高等代数
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矩阵
性质 2 一般讲 AB BA (矩阵乘法一般不满足交换律).
证明: 举出反例即可,一般有三类情况:
① sn nmA B s m 乘 ( )可行,反之则不成,故乘法交换律不成立;
② 23 32 32 23A B B A → 左边为 2阶矩阵,右边为 3阶矩阵;
③ 设1 1
1 1A
,1 1
1 1B
→0 0
00 0
AB
,而
2 20
2 2BA
→ 矩阵乘法一般不满足交换律.
高等代数
4
矩阵
性质 3 0AB 0 0A B 或 ( 两不为 0的矩阵的积可能为 0 ) .
证明: 见性质 2的证明.
性质 4 AB AC B C ( 即 矩阵乘法一般不满足消去律 ) .
证明: 如1 1 1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 1 1 0 0
1 1 0 0
1 1 0 0
.
性质 5 ,sn n sn s sn snA E A E A A , 其中
1
1k
kk
E
称为 k阶单位矩阵.
证明: 验证即可.
性质 6 ( ) , ( )A B C AB AC B C A BA CA .
证明略. ( 这里由于乘法不满足交换律,故乘法对加法的分配律分为左,右
分配律加以叙述 ) .
1 0 3 1 2 3 1 2
0 1 2 1 3 2 1 3
1 0 03 1 2 3 1 2
0 1 0 .2 1 3 2 1 3
0 0 1
- -;
- -
- -- -
高等代数
4
矩阵
三 幂运算
定义 设 A是 n阶矩阵,规定1
1( )
k k
A Ak N
A A A
.
此为归纳定义法,即有 2 1 3 2, , , m
m
A A A AA A A A AAA A AA A 个
;
结合律成立→ 1 2 kA A A 才有确定意义→ m
m
AA A A 才有确定意义,
即可引入幂运算的概念,故没有结合律就没有幂运算.
性质 1-2 ( )k l k l k l klA A A A A ; .
一般讲 ( )k k kAB A B .(事实上, ( )( ) ( ) ( )( )AB AB AB AA A BB B ).
高等代数
4
矩阵
四 数量乘法
定义 矩阵 ( )ij snka 称为矩阵 ( )ij snA a 与数 k的数量乘积,记为
( ) ( )ij sn ij snkA k a ka .
性质 1. ( )k l A kA lA ; 2. ( )k A B kA kB ;
3. ( ) ( )k lA kl A ; 4. 1A A ;
5. ( ) ( ) ( )k AB kA B A kB .
证明: 仅证 5. 其它类似可证. 设 ( ) ( )ij sn jt nmA a B b ,
→ ( ) ( ) ( )k AB kA B A kB, , 均为 s m 矩阵,且第 i行、第 t列的元素
依次为 1 1 1
, ( ) ,n n n
ij jt ij jt ij jtj j j
k a b ka b k a b
1 1
( )n n
ij jt ij jtj j
a kb k a b
→ 即有性质 5成立.
高等代数
4
矩阵
五 矩阵转置
定义 11 12 1
1 2
n
s s sn
a a a
A
a a a
,称矩阵
11 1
12 2/
1
s
s
n sn
a a
a aA
a a
为 A的转置矩阵.
/ A s n A n s 是 矩阵 是 矩阵 .
性质 1. // / /A A A ( ) ; 3. / / /AB B A( ) ;
2. / / /A B A B ( ) ; 4. / /kA kA( ) .
证明: 仅证 3.其它类似可证.
设
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
s s sn
a a a
a a aA
a a a
,
11 12 1
21 22 2
1 2
m
m
n n nm
b b b
b b bB
b b b
→
高等代数
4
矩阵
① / AB s m AB m s 是 矩阵 ( )是 矩阵,
/ / / / A n s B m n B A m s 是 矩阵, 是 矩阵 是 矩阵 .
② /
1 1
( , ) ( ) ( , )
ij ji
n n
ik kj jk kik k
c c
AB i j a b AB i j b a
中 元素是 中 元素是 ,
/ / / /( , ) , ( , ) ( , )ki jkB i k b A k j a B A i j 中 元素是 中 元素是 中
元素为 / / ( , )B A i j 中 元素为1 1
n n
ki jk jk kik k
b a a b
.
① ②由 , 即知命题成立.
高等代数
4
矩阵
/ / / /
/ /
(1, 1, 2),
2 1 0 2 1 0
1 1 3 , (1, 1, 2) 1 1 3 (9, 2, 1),
4 2 1 4 2 1
1 2 1 4 2 1 4 1
1 , 1 1 2 1 1 2 1
2 0 3 1 0 3 1 2
9
2 (9, 2, 1) ( ) .
1
A
B AB
A B B A
AB
例:设矩阵
则
又 ,故
高等代数
4
矩阵
4.3 矩阵乘积的行列式与秩
高等代数
4
矩阵
1. (定理 1) A, ( )nB M P AB A B .
证明: 见 P94,证明略.
推论 1 1 2 1 2 1 2, , , ( )k n k kA A A M P A A A A A A .
定义 6 ( ( ))nA M P 称为非退化矩阵 0A ;否则称为退化矩阵.
(1) ( ( ))nA M P 非退化 ( )r A n ;
(2) , ( ( ))nA B M P , 则 AB退化 ,A B中至少有一个是退化的.
证明: AB退化 0AB 0A B 0A 或 0B ,A B中至少
有一个是退化的.
高等代数
4
矩阵
P124 1
2. ( ) r r
M
N M N M N
M N r
.
r
等价 线表 等价 线表
线表
推论
证明:设Ⅰ 的一个极大无关组是 ,Ⅱ 的
补充命题 向量组Ⅰ 向量组Ⅱ (Ⅰ )
一个极大无关
组是 Ⅰ Ⅱ
,即
(Ⅱ )
( Ⅰ ) (Ⅱ ).
3. (定理 2) ( )nm msr A B ≤ min[ ( ), ( )]nm msr A r B .
即 乘积的秩≤各因子的秩 .
证明: 只要证明 ( )r AB ≤ ( ), ( )r A r B 即可.
高等代数
4
矩阵
设
11 12 1
21 22 2
1 2
m
m
n n nm
a a a
a a aA
a a a
,
11 12 1
21 22 2
1 2
s
s
m m ms
b b b
b b bB
b b b
1
2
m
B
B
B
,
1 2, , , mB B B 为 B的行向量组, 1 2, , , nC C C 是 AB的行向量组
→ AB
11 12 1 1 11 1 12 2 1
21 22 2 2 21 1 22 2 2
1 2 1 1 2 2
m m m
m m m
n n nm m n n nm m
a a a B a B a B a B
a a a B a B a B a B
a a a B a B a B a B
1
2
n
C
C
C
→
1 1 2 2 1, 2, ,i i i im mC a B a B L a B i n
即 1 2 1 2{ , , , } { , , , }n mC C C B B B 线表 2. ( )r AB ≤ ( )r B .
类似可证 ( )r AB ≤ ( )r A . 故该命题成立.
高等代数
4
矩阵
证明 ( )r AB ≤ ( )r A :设 1 2, , , mA A A 是矩阵 A的列向量组,
1 2, , , sD D D 是 AB的列向量组 →
1 2( , , , )mAB A A A
11 12 1
21 22 2
1 2
s
s
m m ms
b b b
b b b
b b b
11 1 21 2 1( ,m mb A b A b A
12 1 22 2 2 1 1 2 2, , )m m s s ms mb A b A b A b A b A b A 1 2( , , , )sD D D
→ 1 2 1 2{ , , , } { , , , }s mD D D A A A 线表 2. ( )r AB ≤ ( )r A .
推论 1 2( )tr A A A ≤1min ( )j
j tr A
.
高等代数
4
矩阵
4.4 矩阵的逆
高等代数
4
矩阵
一 矩阵逆的概念 设 Mn(P) = {A|A 是数域 P 上的 n 阶矩阵 } ; 矩阵相仿复数,有加、减、乘运算,是否也可以引入除法运算? → 对任意的 A M∈ n(P) , AE = EA = A ,而对任意的 x P, ∈ 1x = x1 = x , 即 n 阶单位矩阵 E 与数 1 起的作用是类似的 → 当 x ≠ 0 时, xx - 1 = 1
, 相仿的,可引入以下概念:
定义 7-8 A( M∈ n(P)) 称为可逆矩阵 ,若存在 B M∈ n(P)使得 AB = BA = E (1) 这时称 B 为 A 的逆矩阵 , 记为 A - 1 = B.