4 21 02 ЈАКОСТ 1 na materijalite.pdf · 3 fn i x y n f m f y f x ym x m z 1.4. ПОИМ ЗА...
TRANSCRIPT
1
ЈАКОСТ 14М21ОМ02
ВОВЕД
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
наставник: Вонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
Д
1.1. ПОИМ ЗА ЈАКОСТ И ЗАДАЧИ НА ЈАКОСТА НА МАТЕРИЈАЛИТЕ ?
• наука која го проучува однесувањето на цврстите (деформабилни) тела во под дејство на надворешните оптоварувања
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
• дава одговор за димензиите, обликот и материјалот на елементите за постигнување на соодветна јакост, крутост и стабилност
ЗАДАЧИ НА ЈАКОСТА НА МАТЕРИЈАЛИТЕ
• Димензионирање
• Определување на најголем дозволен товар
• Проверка на јакост, крутост и стабилност
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
2
1.2. ПРЕТПОСТАВКИ ПРИ ПРИМЕНА НА ЈАКОСТА
1. Непрекинатост и хомогеност на материјалот (сите точки имаат исти механичко-физички карактерис.)
2. Изотропност на материјалот (исти механичко-физички карактер. во сите правци)
3. Идеална еластичност
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
(враќање во првобитната форма)
4. Мали деформации
5. Принцип на суперпозиција (собирање на дејството на оптоварувањето)
6. Рамни пресеци – Бернулиева хипотеза (рамност и нормалност на напр. прес. пред и после оптов.)
Fi
Fn
I
II
1.3. ПОИМ ЗА НАПРЕГАЊЕ И ОСНОВНИ ВИДОВИ НА НАПРЕГАЊА
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
F1
F2
I
дејство на надвор. оптовар. ⇒ напрегнато тело
замислен пресек ⇒ внатрешни сили
ОСНОВНИ НАПРЕГАЊА
1. Аксијално 2. Смолкнување
3. Торзија
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
4. Свиткување 5. Извивање
3
Fn
I
x
y
nF
M
Fy
FxMxMy
Mz
1.4. ПОИМ ЗА ВНАТРЕШНИ СИЛИ
внатрешните сили се редуцираат во тежиштето на напречниот пресек
F – главен вектор на сили
M – главен момент
начин на
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
F1
zFz
Fx - аксијална сила ΣX=0Fy - трансферзална сила ΣY=0Fz - трансферзална сила ΣZ=0Mx - момент на торзија ΣM(x)=0My - момент на свиткување ΣM(y)=0Mz - момент на свиткување ΣM(z)=0
6услови за рамнотежа
начин на определувањевнатрешни сили
Fn
I
y n
n
MpsrΔFΔA
1.5. ПОИМ ЗА НАПОН
FΔr
Среден напон
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
F1
x
z
kl
AFpsr Δ
Δ=
r
y
Fn
n
M
pn
σn
τnk
τnlnσr
rr
dAFd
AFp
dAn
rrr
=ΔΔ
=→
lim0
Напон на точка
нормален напон
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
x
z
F1
kl
222nknlnnp ττσ ++=
nknlnnp ττσ rrrr++=
nknl ττ rr ; тангенц. напон
1
ЈАКОСТ 1
4М21ОМ02
АКСИЈАЛНИ НАПРЕГАЊА (дел 1)
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
наставник: Вонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
АКСИЈАЛНИ НАПРЕГАЊА (дел 1)
2.1. ПОИМ ЗА АКСИЈАЛНО НАПРЕГАЊЕ
на линиски носач (стап) делува само аксијална сила
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
истегнување
притисок
ПРИМЕРИ ЗА АКСИЈАЛНО НАПРЕГНАТИ ЕЛЕМЕНТИ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
2
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
НАВЕДЕТЕ ДРУГИ ПРИМЕРИ ЗА АКСИЈАЛНО НАПРЕГНАТИ ЕЛЕМЕНТИ
2.2. НАПОНИ КАЈ АКСИЈАЛНО НАПРЕГАЊЕ ВО НОРМАЛНИ ПРЕСЕЦИ
Fσ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
A=σ
AF
=σ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
σ - нормален напон кај аксијално напрегање (N/mm2)
A – површина на напречниот пресек во (mm2)
F – големина на аксијалната сила во (N)
3
2.3. ДЕФОРМАЦИИ КАЈ АКСИЈАЛНО НАПРЕГНАТИ ЕЛЕМЕНТИ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
а) недеформиранелемент
б) деформиранелемент
lFl ⋅=Δ
а) истегнување б) збивање
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
AEl
⋅=Δ
A – површина на напречниот пресек во (mm2)
F – големина на аксијалната сила во (N)
Δl – апсолутна линиска деформација во (mm)
l – должина на елементот во (mm)
Е – Јунгов модул на еластичност во (N/mm2)
ε z =Δll
AElFl
⋅⋅
=Δ
Релативна деформација
Апсолутна линиска деформација
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
σ = E · εzХуков закон
εp = -μ · εzНапречна дилатација (контракција)
4
2.4. ЗАВИСНОСТ НАПРЕГАЊА - ДЕФОРМАЦИИ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
F – Δl дијаграм
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
σ – ε дијаграм
dAF
σσ ≤=
2.5. ЈАКОСНИ ПРЕСМЕТКИ ПРИ АКСИЈАЛНО НАПРЕГАЊЕ
Пресметки на напоните (контрола на цврстината)
s
Md k
σσ =
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
dozLAELFL Δ≤⋅⋅
=Δ 0
Пресметки на деформациите (контрола на крутоста)
5
dAF
σσ ≤=
d
FA
σ≥
2. Носивост(определување на максималното оптоварување)
1. Димензионирање (определување на големината на напр. пресек)
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
AF d⋅≤σmax
AF
=σ
(определување на максималното оптоварување)
3. Проверка на напоните
dσσ <
dσσ >
задоволува
незадоволува
1
ЈАКОСТ 1
4М21ОМ02
АКСИЈАЛНИ НАПРЕГАЊА (дел 2)
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
наставник: Вонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
АКСИЈАЛНИ НАПРЕГАЊА (дел 2)
γ ≠ 0 ( специфична тежина)
L0
A
Напонска состојаба
F
2.6. СОПСТВЕНА ТЕЖИНА КАКО АКСИЈАЛНА СИЛА
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
L0
Gx
Fak(x)
ΣX=0 → Fak(x) = Gx = A·x·γx
Gx=A·x·γ xA
F xakx ⋅== γσ )(
• Аксијалната сила и напонот, по должината на елементот се менуваат по линеарен закон.
• Најголем напон се појавува на местото на вклештување.
dL σγσ ≤⋅=max
Fak σxза x = L
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
γσ d
dL ≤
γσM
krL =
дозволена должина
критична должина
2
L0
A
Деформациона состојба
dxE
xdxE
dxdx
dxdx
xx
x
⋅⋅
=⋅=⋅=Δ
→Δ
=
γσε
ε
ALxLL ⋅⋅∫∫
2γγ
се разгледува диференцијален дел на елементотпроменлив напон по должината
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
x
Gx=A·x·γ
( )AE
LGAE
LLAL
AA
ELdx
ExdxL
⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅⋅⋅
=Δ
⋅⋅
==Δ=Δ ∫∫
22
200
γ
γγdx
AELGL⋅⋅⋅
=Δ2
Δdx
xF⋅+= γσL0
AПринцип на суперпозиција:состојбата на напрегање е збир од состојбите на напрегање од сопствена тежина и сила поединечно.
γ ≠ 0
2.7. ДЕЈСТВО НА СИЛА И СОПСТВЕНА ТЕЖИНА КАКО АКСИЈАЛНО НАПРЕГАЊЕ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
xAx +γσ
F AE
LGFL
AELG
AELFL
⋅
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=Δ
⋅⋅⋅
+⋅⋅
=Δ
0
00
2
2
σmax = σd
dLAF σγσ ≤⋅+=max
FApotrebno ≥
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
Ldpotrebno ⋅− γσ
Коментар: Елементите со константна површина на напречниот пресек се нерационални поради неискористеност на материјалот.
3
xx F γγ ⋅⋅
Идеа:да се направи елемент со целосно искористување на материјалот (σd по целата должина на елементот)
L0
Ax
σx
2.8. ЕЛЕМЕНТ СО КОНСТАНТЕН НАПОН ПРИ АКСИЈАЛНО НАПРЕГАЊЕ
идеален облик
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
dd
dx eFeAA σσ
σ⋅=⋅= 0
Fγ ≠ 0
A0
Проблем:комплицирана изработка
FA ≥
dLAF σγσ ≤⋅+= 1
1max
L3
Ln
A3
An
σx
2.9. СКАЛЕСТО СОСТАВЕНИ АКСИЈАЛНО НАПРЕГНАТИ ЕЛЕМЕНТИ
Идеа: да се направи едноставен елемент со големо искористување.
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
11 L
Ad ⋅−
≥γσ
L1
A2
F γ ≠ 0
A1
L2
3
( )( )212
12 LL
FL
AAdd
d
d
d
⋅−⋅−⋅
=⋅−
⋅≥
γσγσσ
γσσ
( )( ) ( )321
11
LLLF
LAA
ddd
nd
nd
dnn ⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅−
⋅=
⋅−⋅
≥−
−
γσγσγσσ
γσσ
2.10. ПЛАН НА ПОМЕСТУВАЊЕ НА ТОЧКИ ОД ЗГЛОБНО ПОВРЗАНИ СТАПОВИ
План на поместување е графичко претставување на поместувањата и деформациите со цел да се добие зависност (врска) помеѓу поместувањето на точка од конструкцијата и
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
поместувањето на точка од конструкцијата и деформацијата на стаповите.
4
A B
C
α1 α2
(1) E1,A1,L1(2) E2,A2,L2 α1 α2
C
F
FS2FS1
ΣX=0FS1·sinα1- FS2·sinα2=0
ΣY=0(δC= δCH +δC
V )
Статичка рамнотежа:
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
FF
FS1·cosα1+ FS2·cosα2=F
22
2S22
11
1S11 AE
LFΔLAELFΔL
⋅⋅
=⋅⋅
=
ΔL1ΔL2
C1C2
C’
δC→ FS1 и FS2
( C C C )
Деформација на елементи:
C
α1 α2
F ΔL1ΔL2
δ
( )( ) 1
21
211211
1111HC
cossin
cosLLsinL
cosssinL
ααα
ααα
ααδ
⋅+
+⋅Δ−Δ−⋅Δ=
=⋅−⋅Δ=
( )( ) 1
21
211211
1111VC
sinsin
cosLLcosL
sinscosL
ααα
ααα
ααδ
⋅+
+⋅Δ−Δ+⋅Δ=
=⋅+⋅Δ=
( ) ( )2VC
2HCC δδδ +=
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
C1C2
C’
δC 90-(α1+α2)
s1=C’C1
90-(α1+α2)
ΔL2= ΔL1·cos(α1+α2 )+s1 ·sin(α1+α2 )
( )( )21
21121 sin
cosLLsαα
αα+
+⋅Δ−Δ=
δCH
δCV поместувањето е
добиено преку деформациитеα1
Што е статички неопределен систем?Систем (конструкција) кај кој силите во елементите не може да се определат со равенките за рамнотежа.Како се решава?Со дополнителни деформациони услови ( ј )
2.11. СТАТИЧКИ НЕОПРЕДЕЛЕНИ АКСИЈАЛНО НАПРЕГНАТИ СИСТЕМИ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
(услови од јакоста).Колку дополнителни услови?Колку што е степенот на статичка неопределеност.Што е степен на статичка неопределеност?Разликата помеѓу бројот на непознати големини и статичките услови за рамнотежа.
5
( )10sinsin;0 21 L∑ =−= αα ssx FFF
( )20cos2;0 23 L∑ =−+= FFFF ssy α
( )3cos31 LLLLLLLll αΔ=Δ
Системи составени од стапови што се сечат во една точка
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
EAF
EAF ss αcos; 13
311
1l
ll
l =Δ=Δ
AF
AF ss 3
321
1 ; === σσσ
( )10
0
321 L=−++
=∑
FFFF
F
sss
y
( )20)()(
;0
32 L=++−++
=∑cbaFbaFaF
M
ss
A
A C
F
D
l3l1 l2
FS1 FS3FS2
'A 'C'D
Крути елементи потпрени на цврсти (деформабилни) врски
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
( )313
12 LLLLLLLLba
affff
+=
−−
FEA
FEA
FEA
FEA
aa b
s s
s s
2 2
2
1 1
1
3 3
3
1 1
1
l l
l l
−
−=
+a
f1
BA CD
b c
f2
f3
E=∞A B C
E
a1
α1
(1) E1,A1,L1
F
FS1
FA
4 непознати - 3 равенки = 1х стат. неопред.
FS1
Крути елементи потпрени на цврсти (деф.) врски
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
EA BD
Fa2
L
1
α2
(2) E2,A2,L2
FS2
FAy
FAx
FS 2ΣM(A)=0FS2·sinα2·a2+ FS1·sinα1·a1=F·L
6
E=∞A B CD
E
a1
α1
α2
FFS 1
FS 2
ΔL1
α
ΔL2
α2
Услов од деформации
сличност ACC’=ABB’
2'
1
1'
iLBB
sinLCCα
Δ=
Δ=
2
'
1
'
aBB
aCC
=
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
Fa2
L
C’
α1B’ 2sinα
2
2
2
1
1
1
sinL
aa
sinL
ααΔ
⋅=Δ
22
2S2
2
1
2
1
11
1S1
AELF
sinαsinα
aa
AELF
⋅⋅
⋅⋅=⋅⋅
FS2·sinα2·a2+ FS1·sinα1·a1=F·L
22
2S2
2
1
2
1
11
1S1
AELF
sinαsinα
aa
AELF
⋅⋅
⋅⋅=⋅⋅
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
S222
11
1
2
2
1
2
1S1 F
AEAE
LL
sinαsinα
aaF ⋅
⋅⋅
⋅⋅⋅=
22
11
1
2
2
12
2
21
22
S2
AEAE
LL
sinααsin
aasinαa
LFF
⋅⋅
⋅⋅⋅+⋅
⋅=
A B
a 2a
A
FC
A B
A
FCFA FB
1 2
Двострано вклештени елементи
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
( )10 LL=−+−=∑ BAz FFFF
( )2021 LLLL=Δ+Δ=Δ llB
02
22
1
11 =+EA
lFEA
lF akak
7
Мазна површинаИздолжување
2.12. ТЕМПЕРАТУРНИ НАПРЕГАЊА
ε α α= − =( )t t t2 1 Δ
( )Co/1α
Релативна дилатација
коефициент на линеарно ширење
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
Δ Δl l l= ⋅ = ⋅ ⋅ε α t
σ ε αz E E t= ⋅ = ⋅ ⋅ Δ
Издолжување
Нормален напон
1) Статички услов
ΣY=0 → FS2 + 2 · FS1 · cosα = 0
2 – 1 = 1x
A B C
α α
+Δt
FS1FS1FS2
FS2 = - 2 · FS1 · cosα
2) Деформационен услов
ΔL1 = ΔL2 · cosα
(1) E1,A1,L1
(2) E2,A2,L2
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
D
ΔL2ΔL1
ΔL1 = FS1·L1 / E1·A1
ΔL2 = αt·Δt·L2 - (FS2·L2 / E2·A2)
Решение
αcosAEAE21
AEαcosΔαF3
22
11
112
ttS1
⋅⋅⋅
⋅+
⋅⋅⋅⋅=
α
2.13. МОНТАЖНИ НАПРЕГАЊА
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
8
ΣY=0 → FS2 - 2 · FS1 · cosα = 0A B C
α α
FS2 = 2 · FS1 · cosα
δ = ΔL2 + (ΔL1 / cosα)
ΔL1 = FS1·L1 / E1·A1S1S1
S2
(1) E1,A1,L1
(2) E2,A2,L2
1) Статички услов
2) Деформационен услов
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
D
α α
ΔL2
ΔL1
1 S1 1 1 1
ΔL2 = FS2·L2 / E2·A2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
⋅⋅⋅
+⋅
⋅⋅=
αcos1
AE2AE1L
AEδF
311
222
22S2
δ Решение
1
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
ЈАКОСТ 14М21ОМ02
наставник: Вонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
3. СМОЛКНУВАЊЕ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
3.1. НАПРЕГАЊЕ ВО ДВА ПРАВЦА
• разгледуваме тенка правоаголна плоча затегната со рамномерно распределени сили кои дејствуваат нормално на контурните рамнини
• силите предизвикуваат напони кои се во врска со дилатациите по оските
)(1
)(1
2
2
xyy
yxx
E
E
• врската помеѓу напоните и дилатациите за рамнинската напонска состојба е:
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
y
y
x x
x
y n
x Ax
y Ay
n
n
pn
2sin2
2cos22
yxn
yxyxn
2sin2
sincos 22
yxn
yxn
• од плочата сечеме тространа призма за да ги определиме компоненталните напони во кос пресек
• компоненталните напони во кос пресек зависат од нормалните напони x и y и од аголот на косиот пресек
или
2
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
3.2. ЧИСТО СМОЛКНУВАЊЕ
x
y
A
B
C
D
O
k
n
n
x
xf
k
k x y
2sin
2cos
n
n
yx
02
00
nn
nn
• разгледуваме тенка плоча изложена на затегнување во x правецот и на притисок во y правецот
• оптоварувањето е со ист интензитет
• компоненталните напони во кос пресек се:
• екстремни нормални напони се добиваат за:
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
2sin
2cos
n
n
σy
σy
σx σx
τ
τ
τ
τ
σx=-σy=σ
04
04
nn
nn
Напонска состојба (σ = 0, τ ≠ 0) ЧИСТО СМОЛКНУВАЊЕ
Кај чисто смолкнување: • на страниците од елементот дејствуваат само тангенц. напони
• се појавува промена на правите агли од елементот но не и на должините од страните
• екстремни тангенцијални напони се добиваат за:
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
a b
c d
a
a
τ
ττ
τc’ d’
∆s
∆s – апсолутно смолкнување
– релативно смолкнување (агол на лизгање)
tg ≈ = ∆s / a
G
)1(2
EG
модул на лизгање
3.3. ВРСКА ПОМЕЃУ НАПОН И ДЕФОРМАЦИЈА ПРИ СМОЛКНУВАЊЕ
3
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
a
A
F ∆s
β
3.4. СМОЛКНУВАЊЕ ПОД ДЕЈСТВО НА СИЛА
A
F
AG
aFs
апсолутна деформација при смолкнување
AG
F
агол на лизгање при
смолкнување
G·A – крутост на смолкнување
напон при смолкнување
Δs = a · tg ≈ a · G
и
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
z
F
F
z
3.5. СЕЧЕЊЕ
• посебен случај на чисто смолкнување
• се појавува при дејство на две спротивно насочени трансферзални сили кои дејствуваат на мало растојание
• моментот од свиткување е занемарливо мал
• кога ќе ја достигне критичната вредност настанува сечење (кинење) на материјалот
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
3.6. ЈАКОСНИ ПРЕСМЕТКИ ПРИСМОЛКНУВАЊЕ
F
τ·A
τsr пресметковна состојба
реална состојба
dss A
F ds = (0,75 0,8)de
4
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
dss A
F
ds
FA
AF ds
A
Fs
2. Носивост(определување на максималното оптоварување)
3. Проверка на напоните
1. Димензионирање (определување на големината на напр. пресек)
dss
dss
задоволува
незадоволува
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
1
1
b
2· 1 >
d
F
F
F
F
рамнини на сечење
3.7. ПРЕСМЕТКИ ПРИ СПОЈУВАЊЕ НА ЛОСТОВИ СО ОСОВИНА
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
dss d
F
d
F
A
F
4
2
42
22
cdc
c d
F
A
F
Напрегање на смолкнување на осовината
Напрегање на притисок
вистинскараспределба напритисокот
d
пресметковнараспределба напритисокот
вистинскараспределба напритисокот
d
пресметковнараспределба напритисокот
cdc
c d
F
A
F
1
2/
Аксијално напрегање на лостовите
ede
e db
F
A
F
)(
5
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
t1tt1
n n
2·t1 > t
tt
n
FF
FF
спој со подлошки
спој со преклоп
3.8. ПРЕСМЕТКИ ПРИ СПОЈУВАЊЕ НА ЕЛЕМЕНТИ СО ЗАКОВКИ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
FF/2
F/2F
F
преклопен еднореден спој
преклопен двореден спој
спој со подлошки (еднореден)
едносечна врска
двосечна врска
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
Напрегање на смолкнување на заковките
Напрегање на притисок
Аксијално напрегање на лимовите
ede
e db
F
A
F
)(
F
N k A d
F
F
c
d
cdc dN
F
db
6
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
b
b = · cos 45º
b = 0,7 · dl
F
A
F
7,022
l’
l=l’-10 mm
FF
завар
3.9. ПРЕСМЕТКИ ПРИ СПОЈУВАЊЕ НА ЕЛЕМЕНТИ СО ЗАВАРУВАЊЕ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
Да се определи потребниот бројзаковки со дијаметар d = 20 mmза сврзување на два лима содебелина δ1 = 8 mm и δ2 = 10mm, ако силата на истегнувањее F = 200 kN, тангенцијалниотнапон τd = 140 (N/mm2) и σc =320 (N/mm2).
d
F
Nd
2
41
c dN
F
NF
dd
2
4
NF
d c
1
491,3320208
10200
;555,4
1404
14,320
10200
3
2
3
N
N
Бројот на заковки треба да ги задоволи условите:
Се добива:
и
и
Пример 3.1:
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
Пример 3.2:
За конструкцијата прикажана на сликата да се проверат напоните на елементите
7
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
Од статичка анализа следи:
40kNпритисок50kN истегнување
mm
N159
4 / 203,14
105022
3
)(
BC
BCBC A
F
mm
N27
3005
10402
3
)(
AB
ABAB A
F
Напоните по должината на стаповите АВ и ВС изнесува :
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
2)( mm300mm25mm40mm20 CBCA
Во средината на стапот ВС со кружен напречен пресек (A = 314 mm2), нормалниот напон изнесува σВС= 159 N/mm2
Во точката С на местото каде е изработен отвор за осовинката, напречниот пресек се намалува и изнесува:
2
3
)()( mm
N167
300
1050
CBC
BCCBC A
F
Напонот при истегнување за точката С од стапот ВС изнесува:
Во средината на стапот АВ со правоаголен напречен пресек (A = 1500 mm2), нормалниот напон изнесува σАВ= 26,7 N/mm2 . Намалувањето на напречниот пресек на краевите (заради осовините) не влијае врз носивоста бидејки тие критични напречни пресеци не се изложени на истегнување
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
22
3
mm
N102
4/2514,3
N1050
osovina
BCC A
F
Напонот на сечење на осовината С изнесува:
8
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
22
3
mm
N7,40
4/2514,32
N1040
2
osovina
ABA A
F
Напонот на сечење на осовината А изнесува:
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
) најголема ( kN25
kN15
G
E
P
P
22
3
mm
N9,50
4/2514,3
N1025
osovina
GB A
F
Напонот на сечење на осовината В изнесува:
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
2, mm
N3,53
mm25mm30
kN40
dt
FABpA
2, mm
N0,32
mm25mm252
kN40
dt
FABpA
Напонот на притисок на осовината А од стапот АВ изнесува:
Напонот на притисок на осовината А од стапот лежиштето со ширина 2 х 25 mmизнесува:
1
ЈАКОСТ 14М21ОМ02
4. ТОРЗИЈА (УСУКУВАЊЕ)
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
наставник: Вонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
( )
Ротациони машински елементи кои пренесуваат силина:
• Разни трансмисиони вратила, вратила на запчести преносници,вратила на електромотори, пумпи, вентилатори и др.
4.1. ПОИМ ЗА ТОРЗИЈА
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
2
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
Mt1 Mt3Mt2
M
моментите на торзија дејствуваат во рамнина нормална на надолжната оска
Моментот на торзија има
4.2. МОМЕНТИ НА ТОРЗИЈА
0
0
321 =+−
=∑ttt
t
MMM
M
Статички услов за рамнотежа
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
Mt1 Mt2
Mt3
-
+Mt
дијаграмите на моментите на торзија се цртаат по должината на елементот
n
+Mt
предзнак + ако векторот на вртење има иста насока како и надворешната нормала (правило на десна рака)
4.3. ТОРЗИЈА НА СТАП СО КРУЖЕН НАПРЕЧЕН ПРЕСЕК
• напречните пресеци остануваат рамни и нормални на надолжната оска
ПРЕТПОСТАВКИ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
• растојанијата помеѓу напречните пресеци не се менуваат
• радиусите на напречните пресеци не се искривуваат и имаат иста должина
3
x
Mt
φ’ φ’+dφ θ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
L
x dx
φ’ φ +dφ
dx
a bMt
τa’
b’
r
γ
dφРазгледуваме мал дел оделементот изложен на торзија
• Разгледуваниот пресек е заротиран за агол dφ
• Елементот на обемот се наоѓа во состојба на чисто смолкнување
M
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
c dMt
r ρτ ⋅=p
t
IMнапон при
торзија
промената на аголот на усукување помеѓу два пресека на растојание Lсе пресметува:
( )p
tL
p
tL IG
LMdxIG
M⋅⋅
=⋅
== ∫0
θϕ
maxτT τ
ρτ ⋅=p
t
IMРаспределбата на тангенцијалните напрегања
по површината на кружен напречен пресек при дејство на момент на торзија е линеарна
Максимален напон се јавува на периферните влакна и изнесува:
M M
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
ρ RIM
p
t ⋅=τp
t
WM
=τили
RI
W pp =
каде што
поларен отпорен момент
4
x
L
Mt
x dx
φ’ φ’+dφ θ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
специфична аглова деформација
p
t
IGLM
⋅⋅
=θ деформација при торзија (агол на усукување)
p
t
IGM
L ⋅==
θθ ' pIG ⋅ торзиона крутост
4.4. ЈАКОСНИ ПРЕСМЕТКИ ПРИ ТОРЗИЈА
dtp
t
WM ττ ≤= d
p
t
IGM '' θθ ≤⋅
=
услов на напон услов на деформации
1. Димензионирање (определување на големината на напр. пресек)
dtmax ττ ≤d'' θθ ≤
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
2. Носивост(определување на максималното оптоварување)
3. Проверка на напоните
dtmax dmax θθ ≤
dtmax ττ ≤dtττ ≤
dtττ >задоволува незадоволува
dtpt WM τ≤ GIM pdt θ≤
C τ
4.5. ДИМЕНЗИОНИРАЊЕ НА ВРАТИЛА ПРИ ТОРЗИЈА
ПОЛНО ВРАТИЛОкружен напречен пресек
322
44 DRI p⋅
=⋅
=ππ
162/
3DDI
W pp
⋅==π
dtt
DM τ
π≤
⋅ 3 316 tMD
τπ⋅
≥
према дозволен напон
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
C
D=2R
Dπ16
dtτπ ⋅
dt
DG
M '
32
4 θπ
≤⋅
⋅4
'32
d
t
GMDθπ ⋅⋅
⋅≥
према дозволена спец. деформација
се усвојува поголемата вредност за D
5
Cr
R
τ
ШУПЛИВО ВРАТИЛОпрстенест напречен пресек
)1(162/
43
ψπ−
⋅==
DDI
W pp
dtt
DM τ
ψπ≤
−⋅ )1( 4
3 3 4 )1(16
ψτπ −⋅⋅⋅
≥dt
tMD
према дозволен напон
)1(323232
4444
ψπππ−
⋅=
⋅−
⋅=
DdDI p
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
ψ )1(16
dt
DG
M ')1(
324
4 θψπ
≤−
⋅⋅
4 4 )1('32
ψθπ −⋅⋅⋅⋅
≥d
t
GMD
према дозволена спец. деформација
се усвојува поголемата вредност за D
4.6. ТОРЗИЈА НА ЕЛЕМЕНТИ СО НЕКРУЖЕН НАПРЕЧЕН ПРЕСЕК
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
доаѓа до депланација (искривување) на напречните пресеци
не важи хипотезата за рамни пресеци
t
t
WM
=maxτ
hbWt ⋅⋅= α
t
t
IGLM
⋅⋅
=θраспоред на напони по контурни точки за правоаголен
отпорен момент на торзија за некружен пресек
вредност на најголемите напони (на средина од подолгата страна)
агол на усукување
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
0.3330.3120.3070.2980.2810.2630.2490.2290.2140.1960.141β
0.3330.3120.3070.2980.2820.2670.2580.2460.2390.2310.208α
∞108643.002.502.001.751.501.00d/t
0.3330.3120.3070.2980.2810.2630.2490.2290.2140.1960.141β
0.3330.3120.3070.2980.2820.2670.2580.2460.2390.2310.208α
∞108643.002.502.001.751.501.00d/tТабела: Торзиони константи за правоаголни елементи
hbIt ⋅⋅= 3βр
напречен пресек поларен момент на инерција за некружен пресек
6
4.7. СТАТИЧКИ НЕОПРЕДЕЛЕНИ НОСАЧИ ИЗЛОЖЕНИ НА ТОРЗИЈА
A BG2, Ip2
MtG1, Ip1
00
=+−
=∑BtA
t
MMMM
Статички услов за рамнотежа
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
L1 L2
MAMB
BtA
еднаш статички неопределен систем
L1 L2
G2, Ip2Mt
G1, Ip1
MB
A BДеформационен услов:
011
1
11
1
22
2 =⋅⋅
−⋅⋅
+⋅⋅
p
t
p
B
p
B
IGLM
IGLM
IGLM
0=Bϕ
Решение:
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
MA
Mt MB+
-
Mt1
2
22
111LL
IGIG
MM
p
p
tB
⋅⋅⋅
+=
BtA MMM −=
Од условот за рамнотежа:
1
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
ЈАКОСТ 14М21ОМ02
наставник: Вонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
5. ГЕОМЕТРИСКИ КАРАКТЕРИСТИКИ НА РАМНИНСКИ НАПРЕЧНИ ПРЕСЕЦИ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
5.1. ПОИМ ЗА ТЕЖИШТЕ НА ТЕЛО
Гравитационите сили од елементарните делови од кои е составено телото, може да се заменат со дејство на една резултантна сила со големина колку што е тежината на телото и со нападна точка во тежиштето на телото
2
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
WyWyM
WxWxM
x
y
тежиштето на тенка плоча може да се определи од условот дека дека моментот од гравитационата сила (околу соодветната оска) е збир од моментите кои ги прават елементарните гравитациони сили околу истата оска.
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
5.2. ТЕЖИШТЕ НА ПОВРШИНА
xc
yc
тежиштето на површина се пресметува по аналогија со тежиштето на тенка плоча при што се употребува концептот на момент на површина околу оска.
AyA
yA
xAx ii
Cii
C
;
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
тежиште на елементарни фигури
3
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
5.3. ТЕЖИШТЕ НА ПОВРШИНА СО СЛОЖЕН ОБЛИК
321
322211
321
322211
AAAyAyAyA
AyA
y
AAAxAxAxA
AxA
x
CCCCiiC
CCCCiiC
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
Ако површината има оска на симетрија, тогаш тежиштето лежи на оската на симетрија
Ако површината има две оски на симетрија, тогаш тежиштето е во пресекот на тие две оски
Ако површината има точка на симетрија, тогаш тежиштето лежи во таа точка
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
Пример 5.1:
Да се определи тежиштето на сложената фигура дадена на сликата.
4
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
правоаг.триагол.полукругкруг
Решение 5.1:
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
23
33
mm1013.828
mm107.757
AAxX
mm 8.54X
23
33
mm1013.828
mm102.506
AAyY
mm 6.36Y
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
Пример 5.2:
Да се определи тежиштето на сложената фигура дадена на сликата.
5
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
Решение 5.2:
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
Статичкиот момент на рамната површина А во однос на една оска во истата рамнина е еднаков на збирот од производите на елементарните површини и на нивните нормални растојанија до оските.
Статичкиот момент на една површина А во однос на нејзините тежишни оски е еднаков на нула!!
5.4. СТАТИЧКИ МОМЕНТ НА ПОВРШИНА
Ayiiy
Axiix
dAxSxAS
dAySyAS
;
;
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
Аксијален момент на инерција на површина околу оска, по дефиниција е сума на производите од елементарните површини и квадратот на растојанието од нивните тежишта до разгледуваната оска.
5.5. АКСИЈАЛЕН МОМЕНТ НА ИНЕРЦИЈА
Ayiiy
Axiix
xdAIxAI
ydAIyAI
22
22
;
;
6
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
Поларниот момент на инерција по дефиниција ја претставува сумата на производите од елементарните површини и квадратите од растојанијата на нивните тежишта до некоја разгледувана точка.
yxip IIyxAI )( 22
бидејќи r2 = x2 + y2
5.6. ПОЛАРЕН МОМЕНТ НА ИНЕРЦИЈА
2iip rAI
xyop IIydAxdAyxdAII 2222 )(
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
Центрифугален момент на инерција на површина во однос на две ортогонални оски, по дефиниција е сума на производите на елементарните површини и двете растојанија на нивните тежишта во однос на разгледуваните оски.
За површини со најмалку една оска на инерција, центрифугалниот момент на инерција е еднаков на нула.
5.7. ЦЕНТРИФУГАЛЕН МОМЕНТ НА ИНЕРЦИЈА
Axy
iiixy
yxdAI
yxAI
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
Моментот на инерција на површина во однос на некоја оска паралелна со тежишната е еднаков на моментот на инерција на таа површина во однос на сопствената тежишна оска плус производот од површината и квадратот на растојанието помеѓу двете паралелни оски.
мом. на инерција на површина A во однос на оските x и y се:
Jx = Jx’ + A·dy2 и Jy = Jy’ + A·dx
2
сопствен
положбен
сопствен
положбен
Jxy = Jx’y’ + A·dx·dy
сопствен
положбен
5.8. ШТАЈНЕРОВА ТЕОРЕМА
7
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
5.9. МОМЕНТИ НА ИНЕРЦИЈА ЗА ЕДНОСТАВНИ ФИГУРИ
322
44 drI p
644
44 drII yx
Ixy = 0
С
d=2r
x
y
5.9.1. КРУЖЕН НАПРЕЧЕН ПРЕСЕК
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
y
С
b/2 b/2
b
h
h/2
h/212
3hbI x
12
3bhI y
Ixy = 0
5.9.2. ПРАВОАГОЛЕН НАПРЕЧЕН ПРЕСЕК
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
5.9.3. ТРИАГОЛЕН НАПРЕЧЕН ПРЕСЕК
x
y
b
h
0
T
y0
x0
b/3
h/3
12
3hbIx
12
3bhI y
24
22 hbIxy
AhII xx
2
0 3
36
3
0
hbIx
36
3
0
bhI y
2312
23
0
hbhhbI x
8
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
5.10. МОМЕНТИ НА ИНЕРЦИЈА ЗА СЛОЖЕНИ ФИГУРИ
За сложени површини кои се состојат од неколку елементарниповршини со познати моменти на инерција, вкупниот момент наинерција на таа сложена површина во однос на произволна оска еалгебарска сума на моментите на инерција на сите поодделниповршини во однос на истата оска .
xI ][mm4x1I ][mm4
x2I
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
x
b
a
Momentot na inercija na presekot vo odnos na bilo koja oska nema da se promeni ako celiot presek ili poodelni negovi delovi paralelno gi pridvi`ime vo pravec {to e paralelen so taa oska
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
9
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
Пример 5.3:
Да се определат аксијалните моменти на инерција за напречен пресек даден на сликата.
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
Решение 5.3:
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
a
a
b
h
yc1
ycyc2C
yc
xc
C1
C2
x
yA y A y
A Acc c
1 1 2 2
1 2
2000 50 1600 100 10
2000 160076 67
( )
, (mm)
a=20 (mm), b=80 (mm), h=100 (mm)
Пример 5.4:
Да се определат аксијалните моменти на инерција за напречен пресек даден на сликата.
10
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
a
a
b
h
yc1
ycyc2C
yc
xc
C1
C2
x
a=20 (mm), b=80 (mm), h=100 (mm)
I I Ia h
A y y
mm
xc xc s xc p c c1 1 1
3
1 12
32 4
12
20 100
122000 76 67 50 3089245
( )
( , ) ( )
I I Ia b
A y y
mm
xc xc s xc p c c2 2 2
3
2 22
32 4
12
20 80
121600 110 76 67 1830755
( )
( , ) ( )
I I Ixc xc xc 1 2
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
a
a
b
h
yc1
ycyc2C
yc
xc
C1
C2
x
a=20 (mm), b=80 (mm), h=100 (mm)
I I Iyc yc yc 1 2
I Ia h
mmyc yc s1 1
3 34
12
20 100
1266667
( )
I Ia b
mmyc yc s2 2
3 34
12
20 80
12920000
( )
1
ЈАКОСТ 14М21ОМ02
7. СВИТКУВАЊЕ (Дел 1)
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
наставник: Вонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
LКоја е разликата со аксијално напрегање и торзија?
ѓ
7.1. ПОИМ ЗА СВИТКУВАЊЕ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
L
wθ
доаѓа до искривување на пррвобитно правата оска
BA
M=Fh M=Fh
l
ЧИСТО СВИТКУВАЊЕ(само нанападни моменти)
СВИТКУВАЊЕ ОД СИЛИ(нанападни моменти + трансферзални сили)
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
- M
FAK
FTR
2
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
7.2. ЧИСТО СВИТКУВАЊЕ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
неутрална линија
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
• при чисто свиткување се јавува само нормален напон σz , што произлегува од условите за рамнотежа на елементарна површина
3
y
x
z
σz dA
dA
yx
0
00
0
00
=Σ
=Σ=Σ=Σ
=Σ=Σ
z
y
x
iz
iy
ix
M
MMF
FF
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
)(0;0
)(0;0
)(0;0
cdAyMM
bdAxM
adAF
Azx
Azy
Aziz
∫
∫
∫
=+−=Σ
==Σ
==Σ
σ
σ
σ
yJM
x
=σ
MM
распределба на напоните по висината на напречниот пресек
максимални напони
7.3. НАПОНИ ПРИ ЧИСТО СВИТКУВАЊЕ
z
y
C
h/2
h/2
hy
ymax
0=σ
maxσ
0≠σ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
xx Wy
J== maxmaxσ
b maxσ
М – голем. на мом. на свиткување во посматраниот пресек од носачот
Ix – аксијален момент на инерција на напречниот пресек
y – растојание од тежиштето до разгледуваното место по висина на пресекот
Wx – отпорен момент на напречниот пресекmaxyJ
W xx =
M
M Mz T
y
x
y1= ymax
σdole
σgore =σmax
+
-
неутрална лин.
y2
максималниот напон е:
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
yI
M
x
xz ⋅=σ
1yIM
x
xgore ⋅=σ
2yI
M
x
xdole ⋅=σ
напони во горни слоеви (збивање)
напони во долни слоеви(истегнување)
напони за растојание y
maxyJ
W xx =
xx WMy
JM
== maxmaxσ
максималниот напон е:
отпорен момент [m3]
4
• обликот на напречниот пресек не влијае на обликот на дијаграмите на нормалните напони, односно распределбатапо висината е секогаш линеарна.
• максимални напони се јавуваат на најодалечените влакна (слоеви), а во тежиштето напоните имаат вредност “0”.
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
F/2L/2 L/2
h
h<<L F
F/2 b
z
y
C
F/2x
x
Ftrx
Mx
7.4. СВИТКУВАЊЕ ОД СИЛИ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
F/2
F/2
F+
-
Ftr
+ FL/4
M
x
F/2
xFM x ⋅=2
2)(FF xtr =
во пресекот x имаме:
σ
τ
се појавува депланација (искривување) на напречните
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
пресеци од дејството на тангенц. напрегања
5
- грешката е мала
- пресметките се поедноставуваат
yI
M
x
xz ⋅=σ
Определување на нормалните напони при свиткување од сили
7.5. НАПОНИ ПРИ СВИТКУВАЊЕ ОД СИЛИ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
- влијанието на трансферзалната сила на нормалните напрегања заh<<L е занемарливо
Изразот за определување на нормалните напони е ист за чисто свиткување и за свиткување од сили
xx WMy
JM
== maxmaxσ
Определување на тангенцијалните напони при свиткување од сили
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
y
x
x
tr
bS
JF
=τ
z
y
C
h/2
h/2
h
b
y
A1
ymax
0=τ
0=τ
x
0≠τ
maxτ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
bISF
x
xtr
⋅⋅
=τ
Ftr – големина на трансверзалната сила во посматраниот пресек од носачот
Sx – статички момент од површината над или под разгледуваното место по висина на напречниот
Ix – аксијален момент на инерција на напречниот пресек
b – ширина на напречниот пресек на разгледуваното место по висина на пресекот
1
ЈАКОСТ 14М21ОМ02
7. СВИТКУВАЊЕ (Дел 2)
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
наставник: Вонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
z
y
C
h/2
bISF
x
xtr
⋅⋅
=τ
( ) ( )yyyybSx +⋅⋅−⋅= maxmax 21
( )22b
7.6. ТАНГЕНЦИЈАЛНИ НАПОНИ ОД СВИТКУВАЊЕ ЗА КАРАКТЕРИСТИЧНИ НАПРЕЧНИ ПРЕСЕЦИ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
zC
h/2
h
b
y
A1
ymax
( )22max2
yybSx −⋅=
( )22max2
yybbI
F
x
tr −⋅⋅⋅
=τ
( )22max2
yyIF
x
tr −⋅⋅
=τ
0=τy
0=τ
AT
hb
hTy
IT
x
⋅=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
=⋅⋅
=23
122
22 3
2
2maxτ
за y = ymax
за y= 0
( )22max2
yyIF
x
tr −⋅⋅
=τ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
0=τ
AFtr⋅=
23τ
парабола од II ред
xC
2
xh/2
h/2 t
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
h/2
b
t
tISFτ
x
xtr
⋅⋅
=
bISFτ
x
xtr
⋅⋅
=
• обликот на напречниот пресек влијае на обликот на дијаграмите на тангенцијалните напони.
• на најодалечените влакна (слоеви) напоните имаат вредност “0” а во
h
tt
x
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
имаат вредност 0 , а во неутралната линија се јавуваат максимални напониb
tISFτ
x
xtr
2⋅⋅
=
bISFτ
x
xtr
⋅⋅
=
7.7. ЈАКОСНИ ПРЕСМЕТКИ НА ЕЛЕМЕНТИ ИЗЛОЖЕНИ НА СВИТКУВАЊЕ
1. Димензионирање (определување на гол. на нап. пресек)
dozxx W
MyJ
M σσ ≤== maxmax
maxmax
dozx
MW
σmax≥ + проверка на тангенцијални напони
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
2. Носивост (определување на макс. оптоварување)
3. Проверка на напоните
dσσ <
dσσ >
задоволува
незадоволува
xdozdoz WM σ≤max
xWM max
max =σ
3
Да се нацртаат дијаграмите на нормалните напони за опасниот пресек и тангенцијалните напони за максимална трансферзална сила.
7.8. ПРИМЕР ЗА ОПРЕДЕЛУВАЊЕ НА НАПОНСКА СОСТОЈБА ПРИ СВИТКУВАЊЕ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
а=20 mm
Определување реакции и цртање на дијаграмите на статичките големини
KNFM BA 5,70 =⇒=∑KNFM AB 5,40 =⇒=∑
Определување реакции
Трансферзални сили
kN]kN[57
][5,41, ==− AATR
FFFF
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
m][12510 ,xxqFA =⇒=⋅−
kN][5,7, −=−= BBTR FF
Нападни моменти
0[5.4
0
1
=⋅=⋅=
=
B
A
A
MlFM
Mm]kN
( ) kNm][03,72max =⋅⋅−+⋅=xxqxlFM A
Определување на геометриски карактеристики на напречен пресек
aaaaa
aaaaaaA
Ayy
i
iiT 59.4
82102365.65
=⋅+⋅
⋅⋅+⋅⋅=
⋅=
∑∑
( ) ( ) ( ) ( )23
23
59.1612691.15
125 aaaaaaaaaaIx ⋅⋅+
⋅+⋅⋅+
⋅=6a
a 5ay
xT
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
4.59
a2.
41ay
x
T
483.51 aIx =
344
max,11, 172035
2041.22083.51
41.283.51 mm
aa
yIW x
x =⋅⋅
===
344
max,22, 90328
2059.42083.51
59.483.51 mm
aa
yIW x
x =⋅⋅
===
a
4
Цртање на дијаграми на нормални напрегања
1
T
σ1
-
+
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
2 σ22
6
1,
max1max, /8,40
1720351003.7 mmN
WM
x
=⋅
==σ
26
2,
max2max, /8,77
903281003.7 mmN
WM
x
=⋅
==σ
2
1 τ1
T
τ2 gore
τ2 dole
τΤ = τ max
3559 aF
3max,,
32,
3,1,
534,10259.459.4
55.991.15
0
aaaaSS
aaaaS
SS
xTx
x
xx
=⋅⋅==
=⋅⋅=
==
Цртање на дијаграми на тангенцијални напони
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
3 τ32
42 /7,0583.51
55.9 mmNaa
aFTRgore =⋅
⋅=τ
24
3
2 /4,383.51
55.9 mmNaaaFTRdole =⋅
⋅=τ
24
3
max /8,383.51
534.10 mmNaaaFTR =
⋅⋅
=τ
Кои напони се доминантни?
Колку се тангенц. напони во опасниот пресек?
1
ЈАКОСТ 14М21ОМ02
9. ЕЛАСТИЧНА ЛИНИЈА
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
наставник: Вонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
F
z
y
z
φ
φ
yymax=f
О ( ) ј ѓ
8.1. ПОИМ ЗА ОТКЛОН И НАКЛОН
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
Отклон (y) е растојание помеѓу произволна точка од недеформираната оска на носачот и истата таа точка на деформираната оска. Максималниот отклон се бележи со “f” (ymax=f).
Наклон (ϕ=y’) е аголот што го заклопува тангентата на кривата во одредена точка со првобитната недеформирана оска, односно тоа е аголот за кој се завртува напречниот пресек после деформирањето.
8.2. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА РАВЕНКА ЗА ЕЛАСТИЧНА ЛИНИЈА
x
zx
IEM
yy
⋅±=
′+′′ )(
2/32 )1(
F
z
y
z
φ
φ
yymax=f
F
z
y
z
φ
φ
yymax=f
Општ облик на диференцијалната равенка за еластична линија.-нелинеарна диф. равенка
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
x
zx
IEM
y⋅
−=′′ )(
-важи за големи поместувања
За мали деформации y’2<<1, за координатен систем поставен како на сликата и за знаци на моментите како што се договорени во статиката:
2
z
y’>0 y’ =0 y’ <0y → +y
x
zx
IEM
y⋅
−=′′ )(
Отклонот (y) е позитивен кога има иста насока како позитивната насока од y - оската.
Наклонот (ϕ=y’) е позитивен ако тангентата на еластичната линија, повлечена од лево кон десно, е наклонета во правецот позитивната y - оска .
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
yy >0 y =0 y <0
zy
y’<0 y’ =0 y’ >0y
x
→ -yx
zx
IEM
y⋅
+=′′ )(
Методот на непосредна интегрирација се состои во двократно последователно интегрирање на диференцијалната равенка
x
zx
IEM
y⋅
−=′′ )(
каде што: Mx(z) - закон за промена на моментот на свиткување по должина на носачот
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
При секое интегрирање се јавува по една непозната интеграциона константа. Константите се определуваат со примена на условите за потпирање и условите на познати деформации во карактеристични точки.
Е - Јунгов модул на еластичностIx – акс.момент на инерција за напр. пресек
8.3. ЕЛАСТИЧНА ЛИНИЈА ЗА ПРОСТА ГРЕДА ОПТОВАРЕНА СО КОНТИНУИРАН ТОВАР
z z
y
E·Ix = konst.
LFA=qL/2 FB =qL/2y’=0
Mx(z) q
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
y
2zqz
2q
2zqzFM
22
A)z(x⋅
−⋅
=⋅
−⋅=l
2zqz
2qyEI
2
x⋅
+⋅
−=′′l
x
zx
IEM
y⋅
−=′′ )(
законот за промена на моментот на свиткување
Диференцијалната равенка за деформациите на еластичната линија на гредата се добива:
3
EI yq z q z
Cx ′ = −⋅⋅ +
⋅+
l
2 2 6
2 3
1
21
43
2462CzCzqzqyEIx +⋅+
⋅+⋅
⋅−=
l
После првата интеграција се добива:
општа равенка на наклоните на еластичната линија на гредата
После втората интеграција се добива:
општ израз за уклоните на еластичната линија на гредата
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
гредата
Интеграционите константи С1 и С2 се добиваат од условите на потпирање
За z=0, y=yA=0
За z=L, y=yB=0
z z
yLFA FB
w’=0
Mx(z) q
z z
yLFA FB
w’=0
Mx(z)
z z
yLFA FB
w’=0
Mx(z) q
21
43
024
060
20 CCqq
+⋅+⋅
+⋅⋅
−=l
43 ⋅⋅ lqlq l
21
43
2462CzCzqzqyEIx +⋅+
⋅+⋅
⋅−=
l
За z=0, y=yA=0 се добива:
За z=L, y=yB=0 се добива:
Од равенството:
C2 0=
3l⋅q
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
02462
0 1 +⋅++⋅−= lClqlq l
241l
=qC
Конечните равенки за деформациите на гредата се:
yq
EIz z z
x=
⋅ ⎛⎝⎜⎞⎠⎟ −
⎛⎝⎜⎞⎠⎟ +
⎛⎝⎜⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
l
l l l
4 3 4
242′ =
⋅−
⎛⎝⎜⎞⎠⎟ +
⎛⎝⎜⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥y
qEI
z z
x
l
l l
3 2 3
241 6 4
z
y
E·Ix = konst.q
Ly’=0
A B
fϕA ϕB
q5 4lуклонот е максимален таму каде
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
xIEqfy
⋅⋅⋅⋅
==384
5max
l
xBB IE
qy⋅⋅
⋅−=′=
24
3lϕ
уклонот е максимален таму каде што тангентата на еластичната линија е хоризонтална (y’=ϕ=0), односно за z=L/2
наклонот е максимален на потпорите
xAA IE
qy⋅⋅
⋅=′=
24
3lϕ(за z=0) (за z=L)
4
8.4. ЕЛАСТИЧНА ЛИНИЈА ЗА КОНЗОЛА ОПТОВАРЕНА СО КОНТИНУИРАН ТОВАР
z z
y
E·Ix = konst.q
LL-z
Mx(z)
A B
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
22
22 zqzqqyEIx⋅
+⋅⋅−⋅
=′′ ll
x
zx
IEM
y⋅
−=′′ )(
законот за промена на моментот на свиткување
Диференцијалната равенка за деформациите на еластичната линија на конзолата е:
( )2
2
)(zlqM zx
−⋅−=
y
После првата интеграција се добива:
општа равенка на наклоните на еластичната линија на конзолата
После втората интеграција се добива:
општ израз за уклоните на еластичната линија
EI yq
z qz q z
Cx ′ =⋅
− ⋅ +⋅
+l
l2 2 3
12 2 6
EI yq z
qz q z
C z Cx =⋅
⋅ − ⋅ +⋅
+ ⋅ +l
l2 2 3 4
1 22 2 6 24
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
на конзолата
Интеграционите константи С1 и С2 се добиваат од условите на потпирање
За z=0, y=yA=0 и ϕА=0
z z
y
q
LL-z
Mx(z)
z z
y
q
LL-z
Mx(z)
A B
За z=0, y=yA=0 се добива:
За z=0, y’=y’А=0 се добива:
Од равенствата за y i y’ се добива:
01 =C
02 =C
1
322
60
200
20 Cqqq
+⋅
+⋅−⋅⋅
= ll
2
4322
024
060
20
20 Cqqq
++⋅
+⋅⋅−⋅⋅
= ll
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
Конечните равенки за деформациите на конзолата се:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
=4324
4624 lll
l zzzEI
qyx⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
=′323
336 lll
l zzzEI
qyx
24622
5
б ј
z z
y
E·Ix = konst.q
Lymax=f
ϕB=y’max
A B
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
уклонот и наклонот се максимални на слободниот крај од конзолата, односно за z=L
xB IE
qy⋅⋅
⋅=′=
6
3
maxlϕ
xEIqfy8
4
maxl⋅
==
8.5. МЕТОД НА СУПЕРПОЗИЦИЈА
Наклонот и отклонот на еластичната линија во било кој пресек на носачот е еднаков на алгебарскиот збир од наклоните и отклоните на поодделните елементарни оптоварувања во истиот пресек.
,n
,2
,1
,n21 y.....yyy;y.....yyy +++=+++=
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
Кога носачот е оптоварен со повеќе товари, деформациите на истиот може да се определат и со примената на методот на суперпозиција
A BL/2
q
L/2
FM
A BL/2
q
L/2
FM
A B
L
q
A B
L
A B
L
q
A B
L/2 L/2
F
A B
L/2 L/2
F
A B
L
M
A B
L
M
.....)(2/ ==
qzy l.....)( =′ q
Ay
.....)(2/ ==
Fzy l.....)( =′ F
Ay
.....)(2/ −==
Mzy l.....)( −=′ M
Ay
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
A BL/2
q
L/2
FM
A BL/2
q
L/2
FM
)(2/
)(2/
)(2/2/
Mz
Fz
qzz yyyy llll ==== ++=
)()()( MA
FA
qAAA yyyy ′+′+′==′ ϕ
1
ЈАКОСТ 1
4М21ОМ02
9. ЛИНИСКИ СТАТИЧКИ НЕОПРЕДЕЛЕНИ НОСАЧИ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
наставник: Вонр.проф. д-р Виктор Гаврилоски
НЕОПРЕДЕЛЕНИ НОСАЧИ
9.1. ПОИМ ЗА СТАТИЧКИ НЕОПРЕДЕЛЕН НОСАЧ
Статички определени: Статички неопределени:
1x
1x
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
∑ ∑ ∑ === 0M,0Y,0X
За определување на реакциите доволни се статичките услови за рамнотежа
1x
3xЗа решавање на статички неопределен носач потребни се дополнителни равенки од деформационите услови
9.2. РЕШАВАЊЕ НА СТАТ. НЕОПРЕД. ЛИНИСКИ НОСАЧИ СО МЕТОД НА СУПЕРПОЗИЦИЈА
1. Определување на степенот на стат. неопределеност :
snm −=s - број на реакции што може да се опред. од стат. услови за рамнотежаn - број на непознатите реакции m степен на статичката неопределеност
9.2.1. ПОСТАПКА ЗА РЕШАВАЊЕ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
m - степен на статичката неопределеност2. Отфрлање на прекубројните потпори и нивна замена со непознати големини (реакции)
3. Поставување на услови на деформации на местата на отстранување на прекубројните врски.
4. Решавање на систем од алгебарски равенки и определување на прекубројните реакции
5. Цртање на дијаграмите на статичките големини
2
L
q 1) Носачот е еднаш стат. неопр.2) Одвишната врска се
отстранува и се заменува со непозната
3) Се поставува условот на деформацијаq
0=By
A B
9.2.2. ПРИМЕР НА ОДВИШНА ВРСКА ОД ПОДВИЖНО ЛЕЖИШТЕ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
FB( ) ( ) 0=+ BF
Bq
B yy
( )
x
BFB IE
LFy B
⋅⋅⋅
−=3
3
( )
x
qB IE
Lqy⋅⋅
⋅=
8
4q
FB
=
+0
38
34
=⋅⋅⋅
−⋅⋅
⋅
x
B
x IELF
IELq
LqFB ⋅⋅=83
L
q
FB
A BMALqFB ⋅⋅=
83
8
2LqM A⋅
=FA
LqFA ⋅⋅=85
FA
/8 L
+- FB Lx ⋅=
5
085
)( =⋅−⋅⋅=⋅−= xqLqxqFF Axtr
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
5/8 L 3/8 L
MA
5/8 L 3/8 LMmax+
-
Lx ⋅=8
2max
22
max
2
max
1289
64225
885
85
2
LqM
LqLqLLqM
xqMxFM AA
⋅⋅=
⋅⋅
⋅−⋅
−⋅⋅⋅⋅=
⋅−−⋅=
L
q 1) Носачот е еднаш стат. неопр.2) Одвишната врска се
отстранува и се заменува со непозната
3) Се поставува условот на деформацијаq
0=Aθ
A B
MA
9.2.3. ПРИМЕР НА ОДВИШНА ВРСКА ОД ВКЛЕШТУВАЊЕ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
0Aθ
( ) ( ) 0=+ MA
qA θθ
( )
x
AMA IE
LM⋅⋅⋅
=3
θ
( )
x
qA IE
Lq⋅⋅
⋅=
24
3
θ
q=
+ 0324
3
=⋅⋅⋅
+⋅⋅
⋅
x
A
x IELM
IELq
8
2LqM A⋅
−=
θA
MA
θA
3
L
q
FB
A BMALqFB ⋅⋅=
83
8
2LqM A⋅
=FA
LqFA ⋅⋅=85
FA
/8 L
+- FB Lx ⋅=
5
085
)( =⋅−⋅⋅=⋅−= xqLqxqFF Axtr
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
5/8 L 3/8 L
MA
5/8 L 3/8 LMmax+
-
Lx ⋅=8
2max
22
max
2
max
1289
64225
885
85
2
LqM
LqLqLLqM
xqMxFM AA
⋅⋅=
⋅⋅
⋅−⋅
−⋅⋅⋅⋅=
⋅−−⋅=
A
BMA
( ) ( )FF
BCB
lyy
lyBC Δ=+
Δ=
F
FAx
h
C
FBC
F
греда E·Ix стап E·A
yB
Услов од деформации:
9.2.4. ПРИМЕРИ СО ОДНАПРЕД ПОЗНАТИ ДЕФОРМАЦИИ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
L
( )FBy
( )
( ) ( )BC
FB
FB
BCBB
lyy
lyyBC Δ=−
Δ=+FAyyB
B
FFBC
( )BCFBy
BClΔAEhFl BC
BC ⋅⋅
=Δ
A B
C
D
E
q
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )FCDE
FABE
qABE
FCDE
FABE
qABE
CDE
ABE
yyy
yyy
yy
=−
=+
=
Услов од деформации:
q
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
A BE
q
F
D
C
E
F
Закон за акција и реакција
4
A
BC
qδ
yB = δ
Услов од деформации:
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
yB δ
5384 48
4 3qEI
FEIx
B
x
⋅−
⋅=
l lδ
FEI q
EIBx
x=
⋅−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
48 53843
4
l
lδ
9.3. ТРОМОМЕНТНО ПРАВИЛО
Тромоментното правило базира на можноста за воведување на фиктивен зглоб и разложување на носачот на одреден број прости носачи.
q
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
l Kk-1 k
l K+1
k+1
l K
k-1
kl K+1
k+1
q M KM K-1 M K+1
M M M EIk k k k k k k x kd
k− + + +⋅ + + + ⋅ = −∑ ∑1 1 1 12 6l l l l l( ) ( )ϕ ϕ
l K
k-1
kl K+1
k+1
q M KM K-1 M K+1
Тромоментно правило (Равенка на три моменти ) илиКлапејронова равенка, применета за потпора “k”
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
Равенка се однесува за насоки на моментите како на сликата.
∑ lkϕ - сума од сите наклони од надворешни сили за левиот дел од носачот
∑ dkϕ - сума од сите наклони од надворешни сили за левиот дел од носачот
5
Тромоментните равенки се поставуваат во секоја потпора освен за првата и последната потпора ако не се вклештувања
M1 M2 M3
xx x
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
xx xxx x
F
xx x
Mn+1=F·a
a
xx x
M
Препустите се редуцираат во потпора
В
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
xx xxx x
Ln=0
xx x
Вклештувањето се заменува со неподвижно лежиште на растојание L=0
F
A B
q
l l/2l/2
C
MC=0F
A B
q
l l/2l/2
C
MBMA=0
MBF
l/2l/2
B C1ϕ
BD
ПРИМЕРИ НА ПРИМЕНА НА ТРОМОМЕНТНО ПРАВИЛО
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
FC
l/2l/2
FB''
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅−−
⋅=⋅++⋅+⋅
xxxB EI
lqEIlFEIlllMl
24166020
32
325 2l⋅
=qM B
1
ЈАКОСТ 14М21ОМ02
10. ИЗВИВАЊЕ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
наставник: Вонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
10.1. ПОИМ ЗА ИЗВИВАЊЕ
Извивањето е вид на напрегање кое настанува под дејство на аксијална сила на притисок чија големина е таква да го нарушува рамнотежниот облик на оптоварениот носач
Анализата на напоните и димензионирањето на аксијално напрегнати елементи базираат на условот напоните да бидат помали од дозволениот
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
условот напоните да бидат помали од дозволениот напон (σmax ≤ σd).
Кај притиснати стапови може да дојде до лом и покрај тоа што пресметковниот напон од притисокот бил помал од дозволениот.
Основните состојби на рамнотежа: стабилна, индиферентна и лабилна.
стабилна состојбасе враќа во првобитната рамнотежна полож.
индиферентна состојбасе задржува новатаположба како рамнотежна
лабилна состојбапродолжува процесот
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
F
F
H
F<Fkr
F
F
H
F=Fkr
F
FF>Fkr
2
10.2. ОЈЛЕРОВА КРИТИЧНА СИЛА
2min
2
rkr
IEFl
⋅⋅=π
ll ⋅= μr редуцирана должина
најмал момент на инерција minIЈунгов модул на еластичност E
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
llR =
1=μ
llR ⋅= 7,0
7,0≅μ
llR ⋅= 5,0
5,0=μ
llR ⋅= 2
2=μ
10.3. ПРЕСМЕТКИ ПРИ ИЗВИВАЊЕ
2
2
2min
2
rr
krkr
EAIE
AF
λππσ ⋅
=⋅⋅⋅
==l
критичен напон на притисок
FFkr=ν степен на сигурност од извивање
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
minIAlrr=λ виткост на стапот
IF
EF
Ekr
r rmin = ⋅=
⋅⋅πνπ2
22
2l l димензионирање според критична сила
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
1
ЈАКОСТ 14М21ОМ02
11. ХИПОТЕЗИ НА ЈАКОСТА
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
наставник: Вонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
едноосна напонска состојба
F
σ1
σ1 σ1
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
s
krdoz k
σσσσ =≤= max1
кај еластично-пластични материјалиσkr=σR,кај крти материјалиσkr=σМ.
F
σ1
• лесно експериментално определување преку σ-ε дијаграм
повеќеосна напонска состојба
• скапи и сложени експерименти за определување на гранична
σ1 σ1
σ2
σ2
σ1 > σ2
σ1 σ1
σ2
σ2
σ3
σ3 σ1 > σ2 > σ3
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
за определување на гранична состојба
хипотезите на јакоста ни даваат можност за определување на граничната (опасна) напонска состојба за повечеосни напонски состојби.
2D3D
ХИПОТЕЗИ НА ЈАКОСТА
σekv(1D)
≤ σdoz(1D)
2
Хипотеза на најголеми нормални напони (I хипотеза)
ekvσσσ == 1max dozσσ ≤max
Хипотеза на најголеми линиски дилатации (II хипотеза)
dcek
deek
σσσμσσσσσμσσ
≤+−=≤+−=
)()(
213
321
Хипотеза на најголеми тангенцијални напони (III хипотеза) / Tresca -Coulomb
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
Хипотеза за специфична потенцијална енергија за промена на формата (IV хипотеза) / von Mises -Hencky
d22
31ek 4 στσσσσ ≤+=−=
d31322123
22
21ek σσσσσσσσσσσ ≤−−−++=
која хипотеза ќе се примени, зависи од материјалите и случаите на оптеретувања
ЈАКОСТ 14М21ОМ02
12. СЛОЖЕНИ НАПРЕГАЊА
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
наставник: Вонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
12.1. ПОИМ ЗА СЛОЖЕНО НАПРЕГАЊЕ
F1 F2 F3
Fi Fn
T
F1 F2 F3
Fi Fn
T
F1
T
MR
z
x
Fak (z)
M
Mx
MyFtr(x)
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
FiFRy
Ftr(y)
Mztr(x)
внатрешните сили се редуцираат во тежиштето на напречниот пресек
FR – главен вектор на сили
MR – главен момент
3
начин на определување
F1
Fi
T
FR
MR
z
y
x
Fak (z)
Ftr(y)
Mz
Mx
MyFtr(x)
F1
Fi
T
F1
Fi
T
FR
MR
z
y
x
Fak (z)
Ftr(y)
Mz
Mx
MyFtr(x)
основни видовинапрегање
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
Fx - аксијална сила Σx=0 аксијално/извивањеFy - трансферзална сила Σy=0 смолкнувањеFz - трансферзална сила Σz=0 смолкнувањеMx - момент на торзија ΣM(x)=0 торзијаMy - момент на свиткување ΣM(y)=0 свиткувањеMz - момент на свиткување ΣM(z)=0 свиткување
определувањевнатрешна големина напрегање
Основно напрегање е вид на напрегање кое настанува под дејство на само една внатрешна големина (една компонента на сила или на момент)
Сложено напрегање е вид на напрегање кое настанува под дејство на најмалку две внатрешни големини (компоненти на сила или на момент).
• едноосна состојба на напрегање (на пр: аксијално
Сложените напрегања може да се поделат на:
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
• едноосна состојба на напрегање (на пр: аксијално напрегање и свиткување, косо свиткување) При определување на напонската состојба се собираатколинеарните напони и се споредуваат со максимално дозволените.
• повеќеосна (рамнинска или просторна) состојба на напрегање (на пр: свиткување и торзија) При определување на напонската состојба се применуваат хипотезите на јакоста.
12.2. КОСО СВИТКУВАЊЕ
xC ααsin⋅= FFx
проекции на силите
Доколку рамнината во која лежат силите или моментите не се поклопува ниту со една од главните централни оски на инерција велиме дека имаме косо свиткување или свиткување во две рамнини
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
z
z
l
x
y
yE
F
O
A
B
D
Fy
Fx
αα
coss⋅= FFy
x
αα
sincos⋅⋅=⋅⋅=
lFMlFM
y
x
моменти на свиткување во опасен пресек
4
Fy
+ + + + +B C
O x Fx
- - - - - -
+ + + + + +
B C
Ox
E x
y
определување на напони при косо свиткување
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
y
y- - - - - -
A Dσ(Mx) y
- -
+ +
A D
σ(My)
xJsinFly
JcosFlx
JM
yJM
yxy
y
x
xyx
αασσσ ±±=±±=+=
A
B C
D
O x
σmax
β
iy
ixyo
α
xo
maxy
ymax
x
xA x
JM
yJM
−−=σ
maxy
ymax
x
xB x
JM
yJM
−+=σ
maxy
ymax
x
xC x
JM
yJM
++=σ
maxy
ymax
x
xD x
JM
yJM
+−=σ
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
σmin
y
xo
σ
yx
2;
2 maxmaxbyax ==каде што
x
y
y
x
MM
JJ
xytg ==β
положбата на неутралната линија е определена со условот
0=±± xJM
yJM
y
y
x
x за што се добива
2y
2x fff +=
dyx MM
σσ ≤+=
определување на деформации при косо свитк.
димензионирање при косо свиткување
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
dozyx
max WWσσ ≤+
1
ЈАКОСТ 14М21ОМ02
12. СЛОЖЕНИ НАПРЕГАЊА
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
наставник: Вонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
12.3. АКСИЈАЛНО НАПРЕГАЊЕ И СВИТКУВАЊЕ
Доколку во разгледуваниот напречен пресек од некој елемент, се појават аксијални сили и моменти на свиткување, се добива сложено напрегање составено од аксијално напрегање и свиткување.
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
σο
F2
x
x
n
n
F1
l
z
h
n
n -
+
+ +
σf σmax
yo
12.3.1. Акс. напрег. и свиткување во рамнина
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
nb
n
σf σmin
a) b) c) d)
yI
MA
F
x
xak ±±=σAI
MFy x
x
ak−=0
пресметка на напонска состојба
положба на неутрална линија
2
12.3.2. Акс. напрег. и косо свиткување
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
xI
My
IM
AF
y
y
x
x ±±±=σ
пресметка на напонска состојба
AI
MFa x
x
aky −=
положба на неутрална линија
AI
MFa y
y
akx −=
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
++
--
12.3.3. Екцентричен притисок
0
0
xFMyFM
F
y
x
⋅=⋅=
статички големини
пресметка на
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
xJ
xFyJ
yFAF
yx
00 ⋅±
⋅±±=σ
рнапонска состојба
xI
My
IM
AF
y
y
x
x ±±±=σ
3
2200 b
JxFh
JyF
AF
yxB
⋅−
⋅−−=σ
2200 b
JxFh
JyF
AF
yxA
⋅−
⋅+−=σ
напонска состојба во точки од напр. пресек
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
2200 b
JxFh
JyF
AF
yxD
⋅+
⋅+−=σ
2200 b
JxFh
JyF
AF
yxC
⋅+
⋅−−=σ
AxIa x
y ⋅−=
0
положба на неутрална линија
AyI
ao
yx ⋅
−=
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
++
--
12.4. СВИТКУВАЊЕ И УСУКУВАЊЕ
A
B
x
Mx
z
xMt
FTRy
SF
l
Mt
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
y
Mx
Mt
FTRy
4
τ'' σ
x
F
Mt
dB
A
Mx
FTRy
E2 E1
τ''
τ'τ''τ'
τ'
пресметка на напонска состојба
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
y
xI
My
IM
y
y
x
x +=σ
ρτ ⋅=p
T
IM
(I хипотеза) doz22 )4(
21 στσσ ≤++
doz22 )465,035,0( στσσ ≤++
doz22 4 στσ ≤+
doz22 3 στσ ≤+(IV хипотеза)
(III хипотеза)
(II хипотеза)
dozek
WM σ≤
22
22
22
22
75,0
65,035,0
)(21
TfIVek
TfIIIek
TffIIek
TffIek
MMM
MMM
MMMM
MMMM
+=
+=
++=
++=
јакосни пресметки
(I хипотеза)
(IV хипотеза)
(III хипотеза)
(II хипотеза)
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
Tfek
пример: Да се димензионира вратилото.
дадено:
D1 = 800 mm;
D2 = 1000 mm;
G 400 N;
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
2Ft1
G1
x
y
Ft1
30o
Fy1
Fx1
Mt2Ft2
G2
x
y
Ft2
45o
Fy2
Fx2
Mt
G1 = 400 N;
G2 = 600 N;
P = 100 kW;
n = 200 vr/min;
c = 0,5 m;
l = 1,5 m;
σdoz = 65 N/mm2
5
cl/2
D 1D 2
Mt
l/2kNm78,4955,0 ==
nPMt
kN12/2 11 == DMF tt
y
30o
F 1Mt
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
kN303 11 == tN FF
kN12/2 11 DMF tt2Ft1
G1
x
Ft1
Fy1
Fx1
kN10/2 22 == DMF tt
kN363 22 == tN FF
2Ft2
G2
x
y
Ft2
45o
Fy2
Fx2
Mt
3,58 KNm
B AD C
Fy2 Fy1
FyB FyA
-9,2 KNm
kN812145sin
kN4,1830sin0
222
0111
,FGF
FGF
Ny
Ny
=+=
=+=
V
V – вертикална рамнина
H
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
B AD C
Fx2 Fx1
FxB FxA
15,74 KNm 15,59 KNm
H – хоризонтална рамнина
kN21,2145cos
kN18,3130cos0
22
011
==
==
Nx
Nx
FF
FF
kNm14,16
kNm11,182
)(2
)()(
2)(
2)()(
=+=
=+=
HDVDDf
HAvAAf
MMM
MMM
kNm73,1878,411,18 2222)()((max) =+=+== tAfAekek MMMM
kNm78,4)( =−DAtM
еквивалентен момент
моменти во опасни пресеци
МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТСКОПЈЕ
ЈАКОСТ НА МАТЕРИЈАЛИТЕВонр. проф. д-р Виктор Гаврилоски
dozek
WM σ≤
dozek
dM σπ
≤⋅32
3 mm1436514,3
1073,1832323
6
3 =⋅⋅⋅
=⋅⋅
≥doz
ekMdσπ
димензионирање