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4. ブール代数とカルノー図

このテーマの要点

論理演算の各種法則を理解する

論理式の簡略化法を習得する

論理演算を図解で確実に簡略化する方法を修得する

教科書の該当ページ

ブール代数 [p.12]

ド・モルガンの定理 [p.14]

カルノー図1 [p.18]

カルノー図2 [p.20]

復元則

吸収則

分配則

結合則

交換則

補元則

同一則

恒等則

公理

算術式

ブール代数の諸定理

算術演算との比較

ブール代数の諸定理 (p.12 表1)

A (A + B) A•A = A

一般に論理式は算術式より簡単になる

論理式

= A2 + AB

= A + AB

= A (1 + B)

= A1 + B = 1

A(A + B) = A A + AB = AA + AB = A + BA + AB = A + B

A = A

A + A = 1 A•A = 0

A(B + C) = AB + ACA + BC = (A + B)(A + C)

A + (B + C) = (A + B) + CA (BC) = (AB) C

A + B = B + A AB = BA

A + A = A A•A = A

0 + A = A 1•A = A

1 + A = 1 0 •A = 0

2

ド・モルガンの定理

定理式

3変数の場合

A + B = A B A B = A + B A + B = A B A B = A + B各変数を否定して全体を否定すると、積と和の変換ができる

A + B + C = A B + C

= A B C

2変数と同様

A

A

A B

A + B B

B

= A B C

= A B

A

A B

B

A B = A + B

論理式の簡単化

種々の法則を利用して論理式を簡単にできる

AB + AB + AB = A(B + B)+ AB分配則 補元則で1

= A+ AB吸収則

= A+ B

(A + B)(A + B)(A + B) = (AA + AB + AB + BB)(A + B)分配則 同一則でA 補元則で0

= A(1 + B + B)(A + B)公理で1

= AA + AB = AB

A B+ AC = AB AC = (A + B) (A + C)ド・モルガン それぞれに

ド・モルガン = A (1+ C+ B) + BC

= A + AC + BA + BC

公理で1

= A + BC分配則

3

論理式の標準形

F = AB + BC + CA

F = (A + B)•(B + C)•(C + A)

単純積 和の形

単純和 積の形

図に描いたもの

カルノー図

論理式

A(B + C)+ AB

複数の項の積　 AB, ABC, ABCD 単純積

複数の項の和　 A+B, A+B+C, A+B+C+D

単純和

乗法標準形

加法標準形

カルノー図

2変数

A: 0, 1B: 0, 1

3変数

A: 0, 1BC: 00, 01, 10, 11

4変数

AB: 00, 01, 10, 11CD: 00, 01, 10, 11

A = 1, B = 0

ABを表す

A = 0, C = 1B = 0, 1どちらでもよい

ACを表す

A = 1, B = 0, 1C = 1, D = 0, 1

ACを表す各升目は加法標準形の要素を表す大きな領域ほど簡単な式を表す

2n

4

論理式の簡単化

ABC + ABC + ABC + ABC = AB + BC + CA

②カルノー図を描く

③各項が示す領域に1を書く

①論理式を加法標準形に直す ④隣り合う2nの領域で、全ての1を網羅する最も簡単なグループを決定する

同じものを何度使ってもよい

⑤各グループが表す論理式を全て足す

AC + AB + BC

⑥見落としやすいパターン

CBD

1 111

5変数のカルノー図

2次元平面では1つにまとめられない変数が出てくる

離れている領域を考慮しながらまとめる3次元マップに展開する

A

C

C

B

5

E= 0

E= 1

E

E= 0

E= 1

A

A

E= 0

E= 1

C

C