4- derivada definição e regras

FACULDADE PITGORAS

CLCULO DIFERENCIAL E INTREGAL IProf. Nilson Costa [email protected] So Luis 2011

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DERIVADASNesta aula, apresentaremos a definio de Derivada de uma Funo. Inicialmente, apresentaremos a noo de derivada a partir da reta tangente (interpretao geomtrica) ao grfico de uma funo. Posteriormente, definiremos funes derivveis e derivada de uma funo em um ponto. Ao final da aula, daremos outros significados ao conceito de derivada fazendo vrias aplicaes.2

A Reta Tangente e a DerivadaMuitos problemas interessantes de Clculo envolvem a determinao da reta tangente a uma curva dada num determinado ponto. Para uma circunferncia, sabemos da Geometria Plana que a reta tangente em um ponto a reta que tem com ela um nico ponto em comum. Essa definio no vlida para uma curva em geral. Por exemplo, na figura, a reta que queremos que seja a tangente curva no ponto T intercepta a curva em outro ponto S.3

A Reta Tangente e a DerivadaPara chegar a uma definio adequada de reta tangente ao grfico de uma funo num de seus pontos, comeamos pensando em definir a inclinao da reta tangente no ponto.Ento, a tangente determinada por sua inclinao e pelo ponto de tangncia4

A Reta Tangente e a DerivadaConsideremos uma funo f contnua em um certo x Dom(f ). Seja I o intervalo aberto que contm x e no qual f est definida. Consideremos P(x, f(x)) e Q(x + x, f (x + x)) pontos distintos do grfico da funo f . Tracemos a reta atravs de P e Q, ou seja, a secante PQ.

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A Reta Tangente e a DerivadaSuponha que Q se aproxima de P, deslocandose sobre o grfico da funo f . Cada vez que Q ocupar nova posio, trace a nova secante correspondente. A inclinao da reta secante PQ

onde x a diferena entre as abscissas de Q e de P, e y a diferena entre as ordenadas de Q e de P. Chamamos x e y por incremento de x e incremento de y, respectivamente.6

A Reta Tangente e a DerivadaSe Q se aproximar muito de P ou x 0, a reta secante PQ tender a uma posiolimite. esta posiolimite que queremos usar como a reta tangente ao grfico da funo f , no ponto P.

Obs. Olhar a planilha Excel7

A Reta Tangente e a DerivadaPortanto, definimos a inclinao da reta tangente ao grfico no ponto P por

se esse limite existir. Observe que se o limite for , ento, a reta tangente ao grfico da funo, em P, a reta perpendicular ao eixo das abscissas em x.8

A Reta Tangente e a DerivadaExemplo. Ache a inclinao da reta tangente ao grfico da funo definida por y = f (x) = x33x+4 nos pontos (a, f (a)), (1, f (1)) e (1, f (1)). Soluo: Temos f (a) = a3 3a + 4 e f (a + x) = (a + x)3 3(a + x) + 4. Logo,

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A Reta Tangente e a Derivada

ou seja, a inclinao da reta num ponto (a, f (a)) qualquer do grfico da funo f dado por m(a) = 3a2 3. Portanto, fazendo a = 1 e a = 1, temos m(1) = m(1) = 0. Isso quer dizer, que nos pontos (1, 2) e (1, 6) as retas tangentes nesses pontos so paralelas ao eixo das 10 abscissas. Veja a figura.


Definio. Se f for contnua em x0, ento, a equao da reta tangente ao grfico de f no ponto (x0, f (x0)) : y f (x0) = m(x0)(x x0)11

A Reta Tangente e a DerivadaExemplo. Determine a equao da reta tangente ao grfico da funo f (x) = x2, no ponto, (1, 3). Soluo: Seja m1 o coeficiente angular da reta tangente ao grfico de f (x) = x2 passando pelo ponto (1, f (1)) = (1, 3). Sejam P(1, 3) e Q(x0, x02 ) pontos da parbola. O coeficiente angular da reta secante parbola passando por P e Q :

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A Reta Tangente e a Derivada intuitivo que quando Q se aproxima de P (x0 aproxima-se de 1), os coeficiente de ambas as retas (secante e tangente) ficaro iguais. Logo,

A equao da reta tangente ao grfico de f , no ponto (1, 3) y 3 = 2(x 1).

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A Reta Tangente e a DerivadaNota. Segue da definio que a equao da reta normal ao grfico de f no ponto (x0, f (x0)) :

se m(x0) 0. O tipo de limite em,

usado para definir a inclinao da reta tangente, um dos mais importantes no Clculo e leva um nome 14 especial, conforme definio a seguir.

A Derivada de uma FunoDefinio (A Derivada de uma Funo). Uma funo f derivvel no ponto x0 se existe o seguinte limite

Nota. Fazendo-se a mudana de varivel x = x x0, temos e f (x0) chamada derivada de f no ponto x0 . Como x0 um ponto arbitrrio, podemos calcular a derivada 15 de f para qualquer ponto x Dom(f ),


Assim, f uma funo de x e f (x0) um nmero real. Nota. Outras notaes para a derivada de y = f (x) so:

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A Reta Tangente e a DerivadaNota. O processo de clculo da derivada chamado de derivao. Se uma funo possui uma derivada em x0, a funo ser derivvel em x0. Isto , a funo f ser derivvel em x0 se f (x0) existir. Uma funo ser derivvel em um intervalo se ela for derivvel em todo nmero no intervalo. Se f derivvel em todos os pontos do seu domnio, dizemos, simplesmente, que f derivvel. Se f (x0) no existe ou , dizemos que f no derivvel em x0.17

A Reta Tangente e a DerivadaExemplo: Obtenha a funo derivada da funo f (x) = x3 3x + 4. Soluo:

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A Reta Tangente e a DerivadaExemplo. Obtenha a derivada da funo f (x) = x3 3x + 4 no ponto x0 . Soluo:

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A Reta Tangente e a DerivadaNota. No exemplo anterior, f (x) = x3 3x + 4 possui derivada f (x) = 3x2 3. Como o domnio de f o conjunto dos nmeros reais, e 3x2 3 existe para qualquer nmero x real, f uma funo derivvel.Nota. A funo F : ( D - {x0} ) R, definida por

representa, geometricamente, o coeficiente angular da reta secante ao grfico de f no passando pelos pontos 20 (x0, f (x0)) e (x, f(x)).

A Reta Tangente e a DerivadaLogo, quando f derivvel no ponto x0, a reta, de coeficiente angular f (x0) e que passa pelo ponto (x0, f (x0), a reta tangente ao grfico de f no ponto (x0, f (x0). Da, se f admite derivada em x0, temos que a equao f (x0) no ponto (x0, f (x0)) :

A equao da reta normal ao grfico de f no ponto (x0, f (x0) :21

A Reta Tangente e a DerivadaExemplo: Ache uma equao da reta tangente e da reta normal curva f (x) = x3 3x +4 no ponto (2, 6). Soluo: A inclinao em qualquer ponto (a, f (a)) do grfico da funo f (x) = x3 3x +4 dado pela derivada de f em a. Mas, a derivada de f f (x) = 3x2 3. Logo, no ponto (2, 6) a reta tangente tem inclinao f (2) = 3(2)2 3 = 9. Como a equao da reta que passa no ponto (x0, y0) e de inclinao m dada por y y0 = m(x x0 ), temos, ento, que a equao da reta procurada dada 22 por...

A Reta Tangente e a Derivaday f (2) = f (2)(x 2), ou seja, y 6 = 9(x 2). Segue que, 9x y 12 = 0. Como a inclinao da reta normal 1/m, uma equao da reta normal ao grfico no ponto (2, 6)

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A Reta Tangente e a DerivadaO exemplo a seguir, alm de sugerir a definio de derivada lateral, ilustra que nem toda funo contnua num ponto x0 derivvel em x0 . Exemplo. Seja f a funo valor absoluto definida por

Claramente que f contnua em 0, no entanto

no existe.24


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A Reta Tangente e a DerivadaTeorema. Se uma funo f for derivvel em x0 , ento f ser contnua em x0 . Nota. (i) A definio de derivada feita usando-se o conceito de limite. Segue deste fato as definies de derivada lateral direita e a esquerda que apresentamos a seguir. Seja f uma funo definida em x0 , ento: a derivada direita de f em x0, denotada por f + (x0), 26

A Reta Tangente e a Derivadase o limite existir. a derivada esquerda de f em x0, denotada por f (x0), se o limite existir. (ii) Do Teorema anterior, segue que no existe a derivada de f , no ponto x0, se f descontnua em x0 .

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A Reta Tangente e a DerivadaExemplo. Seja f a funo definida por

(a) Determine um valor de b tal que f seja contnua em b. Soluo: (a) Para que f seja uma funo contnua em b, pelo menos limite de f(x) com x tendendo para b deve existir. Deste modo precisamos que28


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A Reta Tangente e a DerivadaExemplo(Interpretao Cinemtica). Do estudo da cintica sabemos que a posio de um ponto material em movimento, sobre uma curva C (trajetria) conhecida, pode ser determinada, em cada instante t, atravs de sua abscissa s, medida sobre a curva C. A expresso que nos d s em funo de t s = s(t), e chamada equao horria. Sendo dado um instante t0 e t um instante diferente de t0, chamamos velocidade mdia do ponto entre os instantes t0 e t o quociente31

A Reta Tangente e a Derivadae chama-se velocidade escalar do ponto no instante t0 o limiteEm outras palavras, a derivada da funo s = s(t) no ponto t = t0 igual velocidade escalar do mvel no instante t0 . Sabemos ainda que a velocidade v de um ponto material em movimento pode variar de instante para instante. A equao que nos d v em funo do tempo t v = v(t) e chamada equao da velocidade do ponto. 32

A Reta Tangente e a DerivadaA acelerao mdia do ponto entre os instantes t e t0 o quociente

e, a acelerao escalar do ponto no instante t0 o limite:

Em outras palavras, a derivada da funo v = v(t) no ponto t = t0 igual acelerao escalar do mvel no 33 instante t0 .


Como o processo do clculo da derivada de uma funo, a partir da definio, em geral lento, as regras de derivao que veremos a seguir nos possibilitaro encontrar derivadas com maior facilidade.34

Regras de DerivaoProposio (Regras de Derivao). Sejam f , g e h funes derivveis e c uma constante real. Ento:

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A Reta Tangente e a DerivadaProva: D1. A derivada da funo constante: Dada a funo f (x) = c, c R, temos que

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A Reta Tangente e a DerivadaD2. A derivada da funo potncia: Dada a funo f (x) = xn, n um nmero natural nonulo, temos que:

Fazendo-se a mudana de varivel x + x = t, temos que x = t x. Segue que, quando x 0, ento t x. Portanto,

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A Reta Tangente e a DerivadaAs demais propriedades seguem da aplicao imediata da definio. Nota. A propriedade D3 pode ser estendida para uma soma de n parcelas, e a D5 estendida para um produto de n fatores, ou seja,

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A propriedade D4 no caso particular que g(x) = c, onde c uma constante, resume-se a: f (x) = ch(x).

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Exerccios Propostos1-Usando a definio de derivada em um ponto, mostre que a derivada da funo f (x) =1/x2 , para x 0 f (x0) = 2/(x0) 3.

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Exerccios Propostos1-Determine as derivadas das funes atravs de suas propriedades.

soluo42

Exerccios Propostos

Soluo:

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Exerccios Propostos3. Determine as constantes a e b em cada caso:

Soluo: 4. Determine as equaes das retas tangente e normal ao grfico de f no ponto de abscissa x0 .

Soluo:

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Exerccios Propostos5. Determine as abscissas dos pontos do grfico de f(x) = x3+2x24x, nos quais a reta tangente : (a)Horizontal; (b) Paralela reta 2y + 8x 5. Soluo:6. Em que ponto(s) da curva f (x) = x3 x2 1 a reta tangente tem ngulo de inclinao /4. Soluo:

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Exerccios Propostos7. Calcule a derivada da funo polinomial

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Derivadas

AGORA A SUA VEZ BONS ESTUDOS

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Referncias Bibliogrficas[1] GUIDORIZZI, H. L. Um curso de clculo. 5.ed. So Paulo: LTC, 2001. [2] THOMAS, George B. Clculo. v.1. 10.ed. So Paulo: Addison Wesley, 2006. ISBN-13: 9788588639065 / ISBN-10: 8588639068.[3] STEWART, James. Clculo. v.1. So Paulo: Thomson Learning, 2005. ISBN: 8522104794. [4] LEITHOLD, Louis. O clculo com geometria analtica. v.1. So Paulo: Harbra, 1994.48

Referncias Bibliogrficas[5] FLEMMING, Diva Marlia. Clculo A. 5a edio. So Paulo: Makron Books Ltda., 1.992. [6] HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. Clculo: um curso moderno e suas aplicaes. 9.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. ISBN: 9788521616023.[7] LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce. H. Clculo com aplicaes. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. ISBN: 9788521614333. [8] ANTON, Howard. Clculo: Um Novo Horizonte Vol. 1. 6a edio. Porto Alegre: BOOKMAN, 2.000.49

4- derivada definição e regras

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