4 ei l ei ei 2l - prontubeam.com€¦ · -matriz de rigidez.-matriz de masas concentradas. ......
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EJEMPLOEn el pórtico de la figura:
Determinar:-Matriz de rigidez.-Matriz de masas concentradas.- Matriz de masas consistentes.
1
2L
x
L
EIEI4 EI
Aθ Bθ
mm
m1.5
MATRIZ DE RIGIDEZ.a)Mediante aplicación del análisis matricial.
2
( )( )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++
=
100010001
100001010
1000cos0cos
''''''
'222221
121122
c
ba
bcc
ccaE
T
Tsensen
T
KKKKKK
K
αααα
4 EI
EIEI
A B
0c=α
º90a=α º90
b=α
y´
x´
3
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
LIE8
LIE60
LIE6
LIE60
00L*ΩE
L2IE44
L2IE460
L2IE46
L2IE4120
00L*ΩE
K
K'
LIE40
LIE6
0LΩE0
LIE60
LIE12
TKTK'
K
LIE4
LIE60
LIE6
LIE120
00LΩE
K
2
23
2
2322c
22b
2
2
Ta22aa22a
22b
2
2322a
4
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )
11cTc11cc11c
12cTc12cc12c
2
23
2
2311c
2
23
2
2312c
22cTc22cc22c
KTKTK'
KTKTK'
LIE8
LIE60
LIE6
LIE60
00L2*ΩE
L2IE44
L2IE460
L2IE46
L2IE4120
00L2*ΩE
K
LIE4
LIE6-0
LIE6
LIE60
00L2*ΩE
L2IE42
L2IE460
L2IE46
L2IE4120
00L2*ΩE
K
KTKTK'
==
==
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
==
5
( ) ( )
( ) ( )
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
B
yB
xB
A
yA
xA
E
B
yB
xB
A
yA
xA
222
2323
23
222
2323
23
E
θ'd'd'θ'd'd'
K'
m'p'p'm'p'p'
LIE12
LIE6-
LIE6
LIE4
LIE60
LIE6-
LIE6
LΩE0
LIE6-
LIE6-0
LIE60
LIE12
L2*ΩE00
L2*ΩE
LIE4
LIE6-0
LIE12
LIE6
LIE6
LIE6
LIE6-0
LIE6
LIE6
LΩE0
00L2*ΩE
LIE60
LIE12
L2*ΩE
K'
M
M
M
LLLMLLL
M
M
M
xBxA d'd' =
6
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ +
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
++=
++=
++=+
⇒
++=
+=
++=
+=
B
A
xA
E
B
A
xA
2
2
223
B
A
xBxA
B3xB2AB
BAxA2A
B2A2xA3xBxA
B3xB2AB
B2xB3xB
BAxA2A
A2xA3xA
θ'θ'd'
K'θ'θ'd'
LIE12
LIE4
LIE6
LIE4
LIE12
LIE6
LIE6
LIE6
LIE24
m'm'p'p'
θ'LIE12d'
LIE6θ'
LIE4m'
θ'LIE4θ'
LIE12d'
LIE6m'
θ'LIE6θ'
LIE6d'
LIE24p'p'
θ'LIE12d'
LIE6θ'
LIE4m'
θ'LIE6d'
LIE12p'
θ'LIE4θ'
LIE12d'
LIE6m'
θ'LIE6d'
LIE12p'
b) Mediante la aplicación directa de la definición de kij.
kij Acción que resulta según el grado de libertad i cuando se impone un movimiento (desplazamiento o giro) según el grado de libertad j, permaneciendo fijas las coordenadas de los demás grados de libertad.
7
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
333231
232221
131211
E
kkkkkkkkk
K'
Mediante la aplicación de la resistencia de materiales resulta:
8
221 LIE6K =
231 LIE6K =
33311 LIE24
LIE12
LIE12K =+=
212 LIE6K =
( )( ) L
IE4L2IE42K32 ==
( )( ) L
IE12L2IE42
LIE4K22 =+=
1dxA =' 1dxB ='
1A =θ'
21K 31K
22K 32K12K
9
2136L
IEk =
( )( ) L
IEL
IEk 4242
23 ==
( )( ) L
IEL
IEL
IEk 122424
33 =+=
1' =Bθ
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
LIE
LIE
LIE
LIE
LIE
LIE
LIE
LIE
LIE
KE
1246
4126
6624
2
2
223
'
23k 33k13K
C) Considerando la matriz de rigidez de un elemento viga sometido a flexión.
10
L
X2X1
X3 X4
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
4
3
2
1
22
22
2233
2233
S4
S3
S2
S1
x
x
x
x
L4EI
L2EI
L6EI‐
L6EI
L2EI
L4EI
L6EI‐
L6EI
L6EI‐
L6EI‐
L12EI
L12EI‐
L6EI
L6EI
L12EI‐
L12EI
f
f
f
f
11
1 1
33311241212
LIE
LIE
LIEk =+=
3LIE12
3LIE12
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
333231
232221
131211
EKKKKKKKKK
K'
2L
x
L
EIEI4 EI
12
2LIE6
2126L
IEk =1A =θ'
2136L
IEk =
2LIE6
1B =θ'
13
2LIE6
1 1
2216L
IEk =
LIE4
( )( ) L
IEL
IEL
IEk 122424
22 =+=
1A =θ'
( )( )L2
IE44
14
( )( ) L
IEL
IEk 4242
23 ==1B =θ'
( )( )L2
IE42
1 1
2316L
IEk =2LIE6
15
( )( ) L
IE4L2IE42K32 ==
1A =θ'( )( )L2
IE42
( )( ) L
IE12LIE4
L2IE44K33 =+=
1B =θ'
LIE4
( )( )L2
IE44
MATRIZ DE MASASA)Matriz de masas concentradas.
16
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
00000000Lm4
M
Lm,Lm,
L2m51 ,,
Lm50 ,,Lm50 ,,
Lm50 ,, Lm50 ,,
Lm51 ,,Lm51 ,,
Lm2 ,Lm2 , )Lm4xx ≡Según
b) Matriz de masas consistentes.Teniendo en cuenta la matriz de masas consistentes de un elemento barra:
17
L
X2X1
X3 X4
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
4
3
2
1
22
22
I4
I3
I2
I1
xxxx
43L22-L13-341322L22-1315654L13-2254156
420ffff
&&
&&
&&
&&
LLLLLL
LL
Lm
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
44434241
34333231
24232221
14131211
mmmmmmmmmmmmmmmm
M
Lm,Lm,
Lm 2,5,1 x'Bθ
'Aθ
18
21m 31m
( )210
Lm786m51420
Lm156420
Lm156m 211 =++= ,
( ) ( )210LmL26L24
420L2m51L4
420Lmm 222
22 =+=,
( ) ( )( )210LmL18L23
420L2m51m 22
32 −=−=,
210LmL11L22
420Lmm12 ==
1A =θ'&&
22m 32m
210Lm11
420Lm22m21 ==
210Lm11
420Lm22m31 ==
x&&
19
210Lm11
420Lm22m13 ==
1B =θ'&&
( ) ( )( )210LmL18L23
420L2m51m 22
23 −=−=,
23m 33m
( ) ( )210LmL26L24
420L2m51L4
420Lmm 222
33 =+=,
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
22
22
210Lm
20
A C DB 1x 2x
L LL
21k
11k
A C DB
A C DB C1M 1M
AV−CV +
CV DV
( ) ( )
LMV
LMV
LMk
IELM
IELM
IELk
cA 25
23
433
2162
11
111
112
11
==
=−
=+−
−
A CB A CB
1M41M32M3 1
− +
EJEMPLO
21
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
===+=
==
==
==
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−++==
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−++=
+−
−+
−
33
33
2221
1211
11222112321
33
33
31121
1
1
11
548
542
542
548
)(;;542
512;
512
530;
1036
548;
512
31
23
2111
32
314
212
3132
2112
LIE
LIE
LIE
LIE
kkkk
K
símetriaporkkkkL
IEVVk
LIEV
LIEV
LIEV
LIEV
LIEk
LIEM
LMLIE
Lvv
IELM
LLMLMLIE
Lvv
CC
DC
CA
AAB
A
AAc
ω
ω
ω