Calcolo della probabilità

Cosa mi dice che domani il Sole sorgerà?Un ragionamento di tipo induttivo, che parte da osservazioni e cerca di stabilire regole universali. Consideriamo i due eventi:1 il Sole sorgerà2 il Sole non sorgeràMetto in un sacchetto una pallina bianca (sorge) ed una nera (non sorge). Ho una possibilità su 2 che il Sole sorga.

La probabilità è ovunque, ma pochi se ne accorgono.

Il Sole è sorto. Aggiungo una pallina bianca nel sacchetto. Ora ho 2 palline bianche su 3. la probabilità che il Sole sorga domani è maggiore di quella stimata ieri sera.Ogni sera mi porrò la stessa domanda …

Stiamo a vedere che succede.

Il Sole è sempre sorto. Nel sacchetto ci

sono ormai 29200 palline bianche e una

sola nera. Domani il Sole sorgerà

nuovamente, ne sono quasi certo.

Sono passati 80 anni, 29200 giorni.

Accidenti alla probabilità! Ormai credevo

di essere immortale. Ogni sera prima di

addormentarmi mi sono chiesto «domani

sarò ancora vivo? Ho accumulato 41245

palline bianche ed ora eccomi qua!!!»

Andrew Red1902 - 2015

Eh Eh!

La probabilità P(E) di un evento E è il rapporto tra il numero n di casi favorevoli al verificarsi di E eil numero N dei casi possibili. In formula:

P(E) = n / NEs. in un sacchetto ci sono 8 palline gialle, 4 palline verdi e 13 palline rosse. Qual è la probabilità di pescare una pallina gialla, estraendo una sola pallina? Quale quella di pescare una pallina verde?

Quale quella di pescarne una rossa?

P ( ) = 8 / 25 oppure moltiplicando per cento otteniamo la probabilitàin percentuale 800/25 = 32 %P ( ) = 4 / 25 = 400/25 = 16 %P ( ) = 13 / 25 = 1300/25 = 52 %

Torniamo ad argomenti di interesse scolastico, bleah!

Riflettiamo. Se sommiamo le probabilità di tutti gli eventi, cosa otteniamo?Riprendiamo l’esempio di prima:

( ) + P ( ) + P ( ) = 8 / 25 + 4 / 25 + 13 / 25 = 25 / 25 = 1

Ora, qual è la probabilità di pescare una pallina blu?Non essendoci palline blu nel sacchetto, la probabilità è nulla P ( ) = 0 / 25 = 0 In casi come questo si parla di EVENTO IMPOSSIBILE.Qual è invece la probabilità di pescare una pallina colorata?Nel sacchetto ci sono solo palline colorate; la probabilità è 1 oppure 100%.In questo caso si parla di EVENTO CERTO!

Quindi 0 P ( E ) 1

La probabilità di un evento è quindi compresa tra 0 = evento impossibile e 1 = evento certo.Chiamiamo un evento improbabile se 0 < P ( E ) < 0,5

evento incerto se P ( E ) = 0,5 evento probabile se 0,5 < P ( E ) < 1

Evento impossibile

Evento incerto

Evento certo

Evento improbabile Evento probabile0 0,5 1

A volte può essere comodo valutare la possibilità che un evento NON si verifichi, in questo caso si parla di EVENTO COMPLEMENTARE.

P ( non E ) = 1 – P ( E )

Lo SPAZIO CAMPIONARIO è l’insieme di tutti i possibili eventi.Prendiamo un dado dodecaedrico (12 facce):Spazio campionario = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

P ( x > 14 ) = 6 / 20P ( x 14 ) = P ( non x > 14 ) = 1 – 6 / 20 = 14 / 20

Tipi di problemi che possiamo risolvere per esercitarci con le probabilità.

Con un dado tutto è semplice, ma con due?

Puoi aiutarti con una tabella. Prendiamo un dado tetraedrico (4 facce) per comodità.I casi possibili sono 16.Il punteggio con la probabilità più alta è 5.P ( 5 ) = 4 / 16 = 1 / 4E con un dato da 6 facce? E uno da 12?

1 2 3 4

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

P ( 7 ) = 6 / 36 = 1 / 6 P ( 13 ) = 12 / 144 = 1 / 12

Che ne dici? I punteggi con la probabilità maggiore si trovano sulla diagonale e la loro probabilità è l’inverso del numero delle facce. Il loro valore è il successivo del punteggio più alto del singolo dado.Es. dado tetraedrico 4 facce

punteggio più probabile 4 + 1 = 5P ( 5 ) = 1 / 4 dado cubico 6 faccepunteggio più probabile 6 + 1 = 7P ( 7 ) = 1 / 6dado dodecaedrico 12 faccepunteggio più probabile 12 + 1 = 13P ( 13 ) = 1 / 12

Quindi possiamo estendere queste considerazioni ai dadi ottaedrici e a quelli icosaedrici.dado ottaedrico 8 faccepunteggio più probabile 8 + 1 = 9

P ( 9 ) = 1 / 8dado icosaedrico 20 faccepunteggio più probabile 20 + 1 = 21

P ( 21 ) = 1 / 20

Il numero di casi possibili è il quadrato del numero di facce:4^2 = 166^2 = 368^2 = 6412^2 = 14420^2 = 400

E con tre dadi? Potrei costruire una tabella tridimensionale. Nel caso del dado a forma di tetraedro sarebbe … un po’ complesso!!!

1 2 3 4123

41

2

3

4

Si ottengono in questo modo 64 caselle cubiche (4^3) che rappresentato il numero dei punteggi possibili.

111

3 Punteggio minimo

444

12 Punteggio massimo

E se usassimo un albero?

Sì, però lanciamo tre monete. Testa o croce?

T C T C T C T C

T C T C

T C

I casi possibili sono 8, ovvero 2^3 e sono:TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCCNel caso del lancio di tre dadi con 4 facce, 4^3 = 64 come visto prima.

Una partita a pari e dispari?

OK, lo zero non vale!Gioco pari …

2 3 4 5

1 2 3 4 5 6

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

Qualcuno fa il furbo. Ci sono 13 numeri pari e 12 dispari!P ( pari ) = 13 /25 > 1 / 2

Va bene, con lo zero i casi possibili salgono a 36 e i punteggi pari sono 18 così come quelli dispari.P ( pari) = 18 / 36 = 1 / 2

Ancora un paio di cosette …

Due eventi si dicono incompatibili se non si possono verificare contemporaneamente … se l’uno esclude l’altro, insomma.

Ad esempio, se abbiamo un sacchetto con delle palline colorate ed estraggo una pallina. Se ne afferro una gialla, non ne potrò aver pescata una verde, giusto?

E dimmi, qual è la probabilità di pescare una pallina gialla o una rossa?

Sommo P ( ) e P ( ), ho verificato con l’alberello e funziona.P ( ) + P ( ) = 3 / 10 + 5 / 10 = 8 / 10 In generale P ( E1 o E2) = P ( E1 ) + P ( E2 ) se E1 e E2 sono eventi incompatibili

Due eventi si dicono compatibili se si possono verificare contemporaneamente … se l’uno NON esclude l’altro.

Ad esempio, se lanciamo un dado e ci chiediamo quale sia la probabilità che esca un punteggio superiore a 3 o un numero pari. C’è intersezione.2

46

5

pari

Maggiori di 3

Si deve sottrarre l’intersezione.P ( x = 2n o x > 3) = P ( x = 2n ) + P (x>3) – P (x = 2n e x > 3) = 3 / 6 + 3 / 6 – 2 / 6 = 4 / 6.

In generale: P ( E1 o E2) = P ( E1 ) + P ( E2 ) – P (E1 ) P ( E2 ) se E1 e E2 sono eventi compatibili

Passiamo a qualcosa di più complesso. Riduciamo a 5 le palline. Dimmi, qual è la probabilità di pescare una pallina gialla e una rossa in due estrazioni successive?

Ci sono 2 casi. Nel primo getto via la prima pallina pescata come rappresentato a sinistra. P ( e ) = 4 / 12 = 1 / 3 indipendentemente dall’ordineNel secondo rimetto la pallina nel sacchetto (sotto).P ( e ) = 4 / 16 = 1 / 4 indipendentemente dall’ordine

E se volessi tenere in considerazione anche l’ordine di estrazione?

Allora le cose cambiano. Come prima, posso gettare via la prima pallina pescata come rappresentato a sinistra. P ( e ) = 2 / 12 = 1 / 6Oppure rimetterla nel sacchetto (sotto).P ( e ) = 2 / 16 = 1 / 8

Osservo che moltiplicando la probabilità di pescare la pallina gialla con quella di pescare la pallina rossa ottengo proprio la probabilità cercata:Caso «non rimetto la pallina estratta»: P ( ) x P ( ) = 2 / 4 x 1 / 3 = 1 / 2 x 1 / 3 = 1 / 6 = P ( e ) Caso «rimetto la pallina estratta»:P ( ) x P ( ) = 2 / 4 x 1 / 4 = 1 / 2 x 1 / 4 = 1 / 8 = P ( e ) Se non mi interessasse l’ordine, dovrei moltiplicare il risultato per 2 (x simmetria)

Lanciando 3 volte una moneta, qual è la probabilità che escano 2 teste e 1 croce nell’ordine?Se le mie «intuizioni» sono corrette: P ( T e T e C ) = 1 / 2 x 1 / 2 x 1 / 2 = 1 / 8 Indipendentemente dall’ordineP ( T e T e C ) ‘ = 3 x 1 / 8 Ho moltiplicato per 3 = numero lanci

TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC

TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC

Voglio sapere la probabilità di estrarre da un mazzo di carte da 40 un re, un cavallo di coppe, un fante e un’asse di denari o bastoni, reinserendo le carte di volta in volta. Risolvere questo problema graficamente sarebbe piuttosto lungo, calcoliamo le probabilità delle singole estrazioni.P ( re ) = 4 / 40 = 1 / 10P ( cavallo di coppe ) = 1 / 40P ( fante ) = 4 / 40 = 1 / 10P ( asse di denari o asse di bastoni ) = 2 / 40 = 1 / 20P ( r , c , f , a ) = 1 / 10 x 1 / 40 x 1 / 10 x 1 / 20 = 1 / 80 000 in ordineNon mi fosse interessato l’ordine avrei dovuto semplicemente moltiplicare per il numero delle estrazioni, 4. quindi:P ( r , c , f , a ) ‘ = 1 / 80 000 x 4 = 1 / 20 000 in disordine

Concludiamo con il caso in cui le carte una volta estratte siano messe da parte.P ( re ) = 4 / 40 = 1 / 10P ( cavallo di coppe ) = 1 / 39P ( fante ) = 4 / 38 = 2 / 19P ( asse di denari o asse di bastoni ) = 2 / 37

P ( r , c , f , a ) = 1 / 10 x 1 / 39 x 2 / 19 x 2 / 37 = 2 / 137 085 in ordine

Non mi fosse interessato l’ordine avrei dovuto semplicemente moltiplicare per il numero delle estrazioni, 4. quindi:P ( r , c , f , a ) ‘ = 2 / 137 085 x 4 = 8 / 137 085 in disordine.Interessante, no?

Per concludere, ti presento Monty Hall; questo conduttore televisivo ha proposto un problema che è diventato famoso. Nel gioco sono mostrate 3 porte chiuse: dietro ad una di esse si trova un’automobile, mentre ciascuna delle altre due nasconde una capra. Il giocatore può scegliere una delle tre porte vincendo il premio corrispondente. Dopo che il giocatore ha

scelto una porta il conduttore, prima che la porta indicata sia aperta, apre una delle due porte rimaste e rivela la presenza di una capra. Viene, quindi, chiesto al concorrente se vuole cambiare la sua scelta. Cosa gli converrebbe fare?

Prima la probabilità di vincere l’automobile era di 1 / 3. Ora è di ½, ma è la stessa per entrambe le porte, quindi …

Aspetta, non affrettare le conclusioni.E osserva …

La soluzione può essere illustrata come segue. Ci sono tre scenari possibili, ciascuno avente probabilità 1/3:- Il giocatore sceglie la capra numero 1. Il conduttore sceglie l'altra capra, la numero 2. Cambiando, il giocatore vince l'auto.- Il giocatore sceglie la capra numero 2. Il conduttore sceglie l'altra capra, la numero 1. Cambiando, il giocatore vince l'auto.- Il giocatore sceglie l'auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale. Cambiando, il giocatore trova l'altra capra e perde l’auto.

Ora ho capito !!!