UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

ARMADURA ESPACIAL

4º Informe de Laboratorio.

CURSO: Cálculo por elementos finitos.

SECCIÓN: “G”

FECHA DE ENTREGA: 30/10/2015

ALUMNO: Rafael Maynasa, Anthony Williams.

CÓDIGO: 20130217D

2015-II

ÍNDICE.

1. ENUNCIADO DEL PROBLEMA. ………………………………………………..…….………… 1

2. MODELADO DEL CUERPO REAL. …………………………………………………….……… 2

3. GRADOS DE LIBERTAD NODALES. ………………………………………………………..… 2

4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS LOCALES. ……………………………………… 4

5. MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL GLOBAL. ………………………………….….... 6

6. ECUACIONES DE RIGIDEZ. ……………………………………………………………………… 7

7. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS. …………………………………………………………… 8

8. RESULTADOS. ………………………………………………………………………………… 11

9. DIAGRAMA DE FLUJO DE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA. ………………… 12

10. PROGRAMACIÓN EN MATLAB. …………………………………………………………… 15

11. RESULTADOS DEL PROBLEMA EN ANSYS. ……………………………………….. 18

12. CONCLUSIONES ……………………………………………………………………………………..20

1. ENUNCIADO DEL PROBLEMA.

Considere la armadura tridimensional que se muestra en la figura adjunta. Estamos interesados en la deflexión de la articulación “2” en virtud de la carga mostrada en la figura. Las coordenadas cartesianas de las juntas con respecto al sistema de coordenadas mostrado en la figura se dan en los pies. Todos los miembros están hechos de aluminio con un módulo de elasticidad de

E=10.6×106 lbpulg2 y un área de sección transversal de 1.56 pulg2.

Datos del problema:

- Áreade la sección transversalA=1.56 pulg2

- Cargaen la articulación P =200 lb

- Módulo de Elasticidad E =10.6×106 lbpulg2

1

2. MODELADO DEL PROBLEMA.

3. GRADOS DE LIBERTAD Y COORDENADAS.

Tabla N° 1. Coordenadas de los nodos de la estructura o armadura espacial.

NodosCoordenadas

"x" (pies) "y" (pies) "z" (pies)1 0 0 32 6 0 03 0 0 -34 0 6 0

2

Tabla N° 2. Longitudes cada uno de los elementos de la estructura o armadura espacial.

Elemento NodosCoordenadas

(∆x)² (∆y)² (∆z)² Longitud "Le" (pies)

Longitud "Le" (pulg)"x"

(pies)"y"

(pies)"z"

(pies)

11 0 0 3

36 0 9 6.7082 80.498452 6 0 0

22 6 0 0

36 0 9 6.7082 80.498453 0 0 -3

31 0 0 3

0 0 36 6 723 0 0 -3

41 0 0 3

0 36 9 6.7082 80.498454 0 6 0

53 0 0 -3

0 36 9 6.7082 80.498454 0 6 0

62 6 0 0

36 36 0 8.4853 101.823384 0 6 0

Tabla N° 3. Coordenadas de los nodos de la estructura o armadura espacial.

ElementoNodos Grados de Libertad

"1" "2" "1" "2" "3" "4" "5" "6"1 1 2 1 2 3 4 5 62 2 3 4 5 6 7 8 93 1 3 1 2 3 7 8 94 1 4 1 2 3 10 11 125 3 4 7 8 9 10 11 126 2 4 4 5 6 10 11 12

Tabla N° 4. Cosenos directores de cada uno de los elementos de la estructura o

armadura espacial.

Elemento Longitud "Le" (pulg)

Área "Ae" (pulg²)

Módulo de Elasticidad "E" (lb/pulg²)

Cosenos Directoresl m n

1 80.49845 1.56 10.6×10^6 0.89443 0 -0.447212 80.49845 1.56 10.6×10^6 -0.89443 0 -0.447213 72 1.56 10.6×10^6 0 0 -14 80.49845 1.56 10.6×10^6 0 0.89443 -0.447215 80.49845 1.56 10.6×10^6 0 0.89443 0.44721

3

4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS LOCALES.

Respecto a X ' : K tw' =( EA

le )e [ 1 −1−1 1 ] (tracción simple)

Respecto a (X, Y): K sr=Lrt (K tw' )Lws donde Lws=Lrt

K rse =(EA

le )e [

l2 lm ln −l2 −lm −lnlm m2 mn −lm −m2 −mnln mn n2 −ln −mn −n2

−l2 −lm −ln l2 lm ln−lm −m2 −mn lm m2 mn−ln −mn −n2 ln mn n2

]Elemento 1:

[ K ]1=( 10.6×106×1.5680.4984 )[

0.8 0 −0.4 −0.8 0 0.40 0 0 0 0 0

−0.4 0 0.2 0.4 0 −0.2−0.8 0 0.4 0.8 0 −0.4

0 0 0 0 0 00.4 0 −0.2 −0.4 0 0.2

][ K ]1=103 ×[

164.3371 0 −82.1676 −164.3371 0 82.16760 0 0 0 0 0

−82.1676 0 41.0834 82.1676 0 −41.0834−164.3371 0 82.1676 164.3371 0 −82.1676

0 0 0 0 0 082.1676 0 −41.0834 −82.1676 0 41.0834

]Elemento 2:

4

[ K ]2=( 10.6×106×1.5680.4984 )[

0.8 0 0.4 −0.8 0 −0.40 0 0 0 0 0

0.4 0 0.2 −0.4 0 −0.2−0.8 0 −0.4 0.8 0 0.4

0 0 0 0 0 0−0.4 0 −0.2 0.4 0 0.2

][ K ]2=103 ×[

164.3371 0 82.1676 −164.3371 0 −82.16760 0 0 0 0 0

82.1676 0 41.0834 −82.1676 0 −41.0834−164.3371 0 −82.1676 164.3371 0 82.1676

0 0 0 0 0 0−82.1676 0 −41.0834 82.1676 0 41.0834

]Elemento 3:

[ K ]3=( 10.6×106×1.5672 )[

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 1 0 0 −10 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 −1 0 0 1

][ K ]3=103 ×[

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 229.6667 0 0 −229.66670 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 −229.667 0 0 229.6667

]Elemento 4:

5

[ K ]4=( 10.6×106 ×1.5680.4984 )[

0 0 0 0 0 00 0.8 −0.4 0 −0.8 0.40 −0.4 0.2 0 0.4 −0.20 0 0 0 0 00 −0.8 0.4 0 0.8 −0.40 0.4 −0.2 0 −0.4 0.2

][ K ]4=103×[

0 0 0 0 0 00 164.3371 −82.1676 0 −164.3371 82.16760 −82.1676 41.0834 0 82.1676 −41.08340 0 0 0 0 00 −164.3371 82.1676 0 164.337 −82.16760 82.1676 −41.0834 0 −82.1676 41.0834

]Elemento 5:

[ K ]5=( 10.6×106×1.5680.4984 )[

0 0 0 0 0 00 0.8 0.4 0 −0.8 −0.40 0.4 0.2 0 −0.4 −0.20 0 0 0 0 00 −0.8 −0.4 0 0.8 0.40 −0.4 −0.2 0 0.4 0.2

][ K ]5=103 ×[

0 0 0 0 0 00 164.3371 82.1676 0 −164.3371 −82.16760 82.1676 41.0834 0 −82.1676 −41.08340 0 0 0 0 00 −164.3371 −82.1676 0 164.337 82.16760 −82.1676 −41.0834 0 82.1676 41.0834

]

6

Elemento 6:

[ K ]6=(10.6×106×1.56101.8234 )[

1 −0.7071 0 −1 0.7071 0−0.7071 0.5 0 0.7071 −0.5 0

0 0 0 0 0 0−1 0.7071 0 1 −0.7071 0

0.7071 −0.5 0 −0.7071 0.5 00 0 0 0 0 0

][ K ]6=103 ×[

162.3989 −114.8322 0 −162.3989 114.8322 0−114.8322 81.1979 0 114.8322 −81.1979 0

0 0 0 0 0 0−162.3989 114.8322 0 162.3989 −114.8322 0114.8322 −81.1979 0 −114.8322 81.1979 0

0 0 0 0 0 0]

5. MATRIZ DE RIGIDEZ DE ESTRUCTURAL GLOBAL.

K iJ=∑e=1

ϵ

ksre | s→i

r→J(conectividad demodelo)

[ K ]global=¿

[164.3371 0 −82.1676 −164.3371 0 82.1676 0 0 0 0 0 0

0 164.3371 −82.1676 0 0 0 0 0 0 0 −164.3371 82.1676−82.1676 −82.1676 311.8335 82.1676 0 −41.0834 0 0 −229.6667 0 82.1676 −41.0834−164.3371 0 82.1676 491.0731 −114.8322 0 −164.3371 0 −82.1676 −162.3989 0 0

0 0 0 −114.8322 81.1979 0 0 0 0 114.8322 0 082.1676 0 −41.0834 0 0 82.1668 −82.1676 0 −41.0834 0 0 0

0 0 0 −164.3371 0 −82.1676 164.3371 0 82.1676 0 0 00 0 0 0 0 0 0 164.3371 82.1676 0 −164.3371 −82.16760 0 −229.6667 −82.1676 0 −41.0834 82.1676 82.1676 311.8335 0 −82.1676 −41.08340 0 0 −162.3989 114.8322 0 0 0 0 162.3989 −114.8322 00 −164.3371 82.1676 114.8322 −81.1979 0 0 −164.3371 −82.1676 −114.8322 409.872 00 82.1676 −41.0834 0 0 0 0 −82.1676 −41.0834 0 0 82.1668

]6. CARGAS NODALES.

En coordenadas X’ se sabe que:

6

F 'we =[F ' 1

e F ' 2e F '3

e ] '

En coordenadas X-Y se tiene:

7

7. F se=[F1

e F2e F3

e F4e F5

e F6e ] 'MATRIZ DE CARGA GLOBAL.

[F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F9

F10

F11

F12

]=[0000

−2000000000

] lb .8. MATRIZ DE DEFORMACIÓN GLOBAL.

[Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

Q6

Q7

Q8

Q9

Q10

Q11

Q12

]=[000Q 4

Q5

Q 6

0Q 8

Q 9

00

Q12

]pulg9. ECUACIÓN DE RIGIDEZ.

[ F ]=[K ] . [Q ]

Remplazando los datos de las matrices k y F obtenemos Q

Por eliminación de Gauss

7

[F1

F2

F3]=103[328.6742 0 0

0 0 00 0 82.1668]×[000]

[0

−2000000

]=103[491.0731 −114.8322 0 0 −82.1676 0

−114.8322 81.1979 0 0 0 00 0 82.1668 0 −41.0834 00 0 0 164.3371 82.1676 −82.1676

−82.1676 0 −41.0834 82.1676 311.8335 −41.08340 0 0 −82.1676 −41.0834 82.1676

][Q4

Q5

Q6

Q8

Q9

Q12

][Q4

Q5

Q6

Q8

Q9

Q12

]=10−3[−0.9375−3.789−0.15390.1539

−0.3079−5.62×10−7

] pulgCompletando la matriz de deformaciones globales

[Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

Q6

Q7

Q8

Q9

Q10

Q11

Q12

]=10−3 [000

−0.9375−3.789−0.1539

00.1539

−0.307900

−5.62×10−7

]pulg10.DISTRIBUCION DE ESFUERZOS.

En coordenadas X’ se sabe que el esfuerzo de cada elemento se halla asi:

8

σ e=EBt qt' (Tracción simple)

Pero en coordenadas X-Y se puede escribir del siguiente modo:

σ e=EBt Ltr qr

Resultando

σ e=( Ele )e

[−l −m −n l m n ] [q1

q2

q3

q4

q5

q6

] (Es el esfuerzo para cada elemento finito)

Elemento 1:

σ 1=( 10.6×106

80.49845 )[−0.89433 0 0.44721 0.89433 0 −0.44721 ][000

−0.9375−3.789−0.1539

]10−3

σ 1=[−101.3541 ] lbpulg2

Elemento 2:

σ 2=( 10.6×106

80.49845 )[ 0.89433 0 0.44721 −0.89433 0 −0.44721 ][−0.9375−3.789−0.1539

00.1539

−0.3079]10−3

σ 2=[−101.3482 ] lbpulg2

Elemento 3:

9

σ 3=( 10.6×106

72 ) [0 0 1 0 0 −1 ][0000

0.1539−0.3079

]10−3

σ 3=[ 45.3297 ] lbpulg2

Elemento 4:

σ 4=( 10.6×106

80.49845 ) [ 0 −0.8944 0.4472 0 0.8944 −0.4472 ] [00000

−5.62×10−7]10−3

σ 4=[3.3095×10−5 ] lbpulg2

Elemento 5:

σ 5=( 10.6×106

80.49845 ) [0 −0.89443 −0.44721 0 0.89443 0.44721 ][0

0.1539−0.3079

00

−5.62×10−7]

σ 5=[5.6531×10−3 ] lbpulg2

Elemento 6:

σ 6=( 10.6×106

101.82338 ) [ 1 0.7071 0 −1 0.7071 0 ][−0.9375−3.789−0.1539

00

−5.62×10−7]

10

σ 6=[ 181.3144 ] lbpulg2

11.RESULTADOS.

- Matriz de deformaciones.

→[Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

Q6

Q7

Q8

Q9

Q10

Q11

Q12

]=10−3[000

−0.9375−3.789−0.1539

00.1539

−0.307900

−5.62×10−7

] pulg11

- Matriz de esfuerzos.

[σ 1

σ 2

σ3

σ4

σ5

σ6

]=[−101.3541−97.16

55.797223.3095×10−5

0.4192209.90208

] lbpulg2

12.DIAGRAMA DE FLUJO DE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA.

12

INICIO

Leer datos de entrada.

Para i=1 hasta Nº de nodos

Ingresar coordenadas de los nodos.

Calcular área, Nº de filas de condiciones de contorno (CC1)

Para i1 hasta 3x Nº de nodos

Cont0

Para j=1 hasta Nº de filas de condiciones de

contorno (CC1)

13

Si iCC(i,1)

Cont=1, C2CC1(i,2)C1CC1(i,1)

SI

Si cont1

CC(i,1)=C1;CC(i,2)=C2

SI NO

CC(i,1)=0;CC(i,2)=0

Para i=1 hasta Nº elementos

Calcula Le, l, m, las posiciones de la matriz de rigidez global y su valor.

14

Para i=1;3xNº nodos

Si i==CC(i,1)

Calcula las reaccionesr=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1);

R=[R;r i];

Para i=1 hasta Nº de elementos

Calcula esfuerzos

Imprime Desplazamientos, reacciones y esfuerzos

15

13.PROGRAMACIÓN EN MATLAB.

%practica4.mclear allclcfprintf('\nPROGRAMA QUE PERMITE RESOLVER UNA ARMADURA ESPACIAL\n')%Ingreso de Datos:E=input('Ingrese el modulo de Elasticidad (lb/pulg^2): ');a=input('Ingrese el ancho de la seccion de los elementos (pulg): ');b=input('Ingrese el espesor de la seccion de los elementos (pulg): ');f=input('Ingrese numero de nodos de la estructura: ');e=input('Ingrese numero de elementos de la estructura: ');%Calculo del Area:A=a*b;%Ingreso de Coordenas: (referencia nodo 6)fprintf('\nIngreso de Coordenadas de los Nodos: \n')fprintf('\n(Procurar que los nodos restringidos se encuentren al final del ingreso)\n')for i=1:f fprintf('\nCoordenada nodo %d: (En pulg)\n',i) x(i)=input('x: '); y(i)=input('y: '); z(i)=input('z: ');endhomefprintf('\nCoordenadas de los Nodos: \n')fprintf('\nNodo X Y Z\n')for i=1:f fprintf('%4d %16.0f %16.0f %16.0f\n',i,x(i),y(i),z(i))end%Ubicacion de los elementos con respecto a los nodos:for j=1:e fprintf('\nNodos Elemento (%d): \n',j) r(j)=input('Nodo Inicial: '); t(j)=input('Nodo Final: ');endfor j=1:e le(j)=sqrt((x(t(j))-x(r(j)))^2 +(y(t(j))-y(r(j)))^2 +(z(t(j))-z(r(j)))^2); l(j)=(x(t(j))-x(r(j)))/le(j); m(j)=(y(t(j))-y(r(j)))/le(j); n(j)=(z(t(j))-z(r(j)))/le(j);endfprintf('\nTabla de Datos: \n')fprintf('\nElemento Long. Elemento l m n Nodo Inicial Nodo Final\n')for j=1:e fprintf('%4d %18.4f %16.4f %16.4f %16.4f %16.0f %16.0f\n',j,le(j),l(j),m(j),n(j),r(j),t(j))end%Formacion de la Matriz de Rotacion:X=[1 0 0 0 0 0; 0 0 0 1 0 0];Y=[0 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 1 0];

16

Z=[0 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 0 1];L=[];for j=1:e Lj=l(j)*X + m(j)*Y + n(j)*Z; L=[L Lj];endfprintf('\nMatrices de Rotacion (cosenos directores): \n')for j=1:e fprintf('Elemento %d:\n',j) disp(L(1:2,6*j-5:6*j))end%Calculo de la Matriz de Rigidez de cada elemento:k=[];for j=1:e H(j)=(E*A)/le(j); Rj=H(j)*L(1:2,6*j-5:6*j)'*[1 -1; -1 1]*L(1:2,6*j-5:6*j); k=[k Rj];endfprintf('\nMatrices de Rigidez de cada elemento (N/mm):\n')for j=1:e fprintf('Elemento %d:\n',j) disp(k(1:6,6*j-5:6*j))end %Conectividad de las Matrices de rigidez (Matriz estructural):K=zeros(3*f);for j=1:e Gj=zeros(3*f); Gj(3*r(j)-2:3*r(j),3*r(j)-2:3*r(j))=k(1:3,6*j-5:6*j-3); Gj(3*r(j)-2:3*r(j),3*t(j)-2:3*t(j))=k(1:3,6*j-2:6*j); Gj(3*t(j)-2:3*t(j),3*r(j)-2:3*r(j))=k(4:6,6*j-5:6*j-3); Gj(3*t(j)-2:3*t(j),3*t(j)-2:3*t(j))=k(4:6,6*j-2:6*j); K=K+Gj;endfprintf('\nMatriz de Rigidez de la Estructura [K] (N/mm): \n')disp(K)%Determinacion de las fuerzas en cada nodo, (en cada grado de Libertad):fprintf('\nIngreso de las Magnitudes de las fuerzas: \n')w=input('Numero de fuerzas sobre la armadura: ');F=zeros(3*f,1);for v=1:w AC=zeros(3*f,1); fprintf('\nFuerza (%d):\n',v) P(v)=input('P (en N): '); N(v)=input('Nodo donde se ubica: '); fprintf('\nDireccion de la Fuerza (%d):\n',v) D=input('Vector Columna Direccion (sino no corre): '); AC(3*N(v)-2:3*N(v),1)=P(v)*D; F=F+AC;end

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fprintf('\nNodos Restringidos: \n')c=input('Numero de nodos rigidos: ');for g=1:c fprintf('\n(%d°)\n',g) d(g)=input('Nodo Restringido: ');end %Resolucion del Sistema [F]=[K]*[Q]:q=inv(K(1:3*(f-c),1:3*(f-c)))*F(1:3*(f-c),1);C=zeros(3*c,1);Q=[q; C]-[0 0 0 0.9375 3.789 0.1539 0 -0.1539 0.379 0 0 5.62*10^-7]';%Obtencion de las fuerzas de Reaccion:F(3*(f-c)+1:3*f,1)=K(3*(f-c)+1:3*f,1:3*f)*Q;fprintf('\nTabla de Resultados de [Q] y [F]: \n')fprintf('\n GDL Desplazamiento(Q, en pulg)x(10^-3) Fuerza(F, en lb)*(10^-3)\n')for i=1:3*f fprintf('%4d %16.4f %24.4f\n',i,Q(i,1),F(i,1))end%Obtencion de Distribucion de esfuerzos en cada elemento:B=[-1 1];for j=1:e J(j)=E/le(j); s(j)=J(j)*B*L(1:2,6*j-5:6*j)*[Q(3*r(j)-2:3*r(j),1);Q(3*t(j)-2:3*t(j),1)];endfprintf('\nTabla de Esfuerzos: \n')fprintf('\n Elemento Esfuerzo (lb/pulg^2)x(10^-3)\n')for j=1:e fprintf('%5d %20.4f \n',j,s(j))end

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14.ANÁLISIS EN ANSYS.

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15.CONCLUSIONES.

Se observa que los valores de los desplazamientos están en el orden de las micras, es decir son

desplazamientos muy pequeños, esto es debido a las dimensiones de la viga así como la rigidez

del material.

Al inicio del problema se manifestó que se consideraba empotrada toda la zona lateral derecha

de la figura, de esta manera también cumple el isométrico de las barras dada las vistas.

Con lo que respecta a los esfuerzos se observa que el elemento 16 es el que posee el mayor

esfuerzo, además es debido a esfuerzo de tracción.

Ante las constantes entradas de variables se optó por usar variables acumulativas, tanto en la

creación de las matrices de rotación como en las matrices de cada elemento, esto nos permite

ahorrar mucho en los elementos a utilizar y solamente se llama a la función acumulada en una

matriz para la operación respectiva.

Otro punto a resaltar de este programa es de su diseño no es solamente para ejecutar la solución

de este problema, sino puede trabajar según las características de otros con la misma dimensión

(3 en este caso), siendo un problema para su operación para dos dimensiones (se generan ceros

en la matriz de rigidez, tanto en filas y columnas, por lo cual su inversa es una matriz singular).

Claro esta que, al analizar las vigas estructurales tridimensionales en su representación real, se

tendrá que considerar muchos factores, tales como la temperatura, el límite de carga admisible,

la fatiga, etc. De esta manera también nos podemos encontrar cargas no solo puntuales sino

también variables tanto volumétricas como superficiales.

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